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  • 卷积公式

    万次阅读 2015-11-17 11:28:33
    卷积公式卷积概念卷积(Convolution)是通过两个函数f(t)和g(t)生成第三个函数的一种数学算子,表征函数f(t)与g(t)经过翻转和平移的重叠部分的面积。f(t)f(t)与g(t)g(t)的卷积公式为: f(t)∗g(t)=∫t0f(u)g(t−u)du...

    卷积公式

    卷积概念

    卷积(Convolution)是通过两个函数f(t)和g(t)生成第三个函数的一种数学算子,表征函数f(t)与g(t)经过翻转和平移的重叠部分的面积。

    f(t)g(t)的卷积公式为:

    f(t)g(t)=t0f(u)g(tu)du(1)

    f(t)g(t)的拉普拉斯变换结果为:
    {F(s)=0estf(t)dtG(s)=0estg(t)dt(2)

    卷积公式与拉普拉斯变换结果的关系为:
    F(s)G(s)=0est(f(t)g(t))dt(3)

    公式(3)对卷积的傅里叶变换同样适用。

    卷积示例

    示例1:f(t)与1的卷积

    f(t)1=t0f(u)du(4)

    示例2:t2t的卷积

    t2t=t0u2(tu)du=[13u3t14u4]|t0=112t4(5)

    此外,t2t的拉式变换为:
    {F(s)=L(t2)=2!s3G(s)=L(t)=1!s2(6)

    所以:
    {F(s)G(s)=2s5L1(F(s)G(s))=112t4(7)

    示例2验证了公式(3)的正确性。

    [知乎:卷积的物理意义]

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  • 概率论复习笔记——卷积公式

    万次阅读 多人点赞 2018-12-03 00:04:49
    概统笔记——多维随机变量及其分布、卷积公式二维随机变量边缘概率密度条件分布相互独立的随机变量两个随机变量的函数的分布(一)Z=X+Y的分布(二)Z=X/Y的分布、Z=XY的分布(三)M=max{X,Y} 及 N=min{X,Y}的分布 ...

    二维随机变量

    定义(X,Y)(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,yx,y,二元函数:\newline
    F(x,y)=P{(Xx)(Yy)}=P{Xx,Yy}F(x,y)=P\{(X\leqslant x)\bigcap(Y\leqslant y)\}\xlongequal{记成}P\{X\leqslant x,Y\leqslant y\}
    称为二位随机变量(X,Y)(X,Y)分布函数,或称为随机变量XXYY联合分布函数

      对离散型随机变量X和Y,有

    F(x,y)=xixyiyPijF(x,y) = \displaystyle\sum_{x_i\leqslant x}\displaystyle\sum_{y_i\leqslant y}P_{ij}\newline

      对连续型随机变量,有

    F(x,y)=yxf(u,v)dudvF(x,y) = \int_{- \infty}^{y}\int_{- \infty}^{x}f(u,v)dudv

      f(x,y)f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)(X,Y)概率密度,或称为随机变量XXYY联合概率密度.

    边缘概率密度

    边缘分布函数

    FX(x)=P{Xx}=P{Xx,Y<}=F(x,),F_X(x) = P\{X \leqslant x \}=P\{X \leqslant x ,Y < \infty\}=F(x,\infty),
    FX(x)=F(x,).F_X(x) = F(x , \infty).

    边缘概率密度

    fX(x)=f(x,y)dy.f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy.
    fY(y)=f(x,y)dx f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx

    条件分布

    定义(X,Y)(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的 jj ,若P{Y=yj}>0,P\{Y = y_j\} > 0, 则称
    P{X=xiY=yj}=P{X=xi,Y=yi}P{Y=yj}P\{X=x_i | Y = y_j\} = \frac{P\{X=x_i,Y=y_i\}}{P\{Y=y_j\}}
    为在X=xiX=x_i在条件Y=yjY=y_j下随机变量XX条件分布律.

    定义 设二维随机变量 (X,Y)(X,Y) 的概率密度为 f(x,y)(X,Y)f(x,y),(X,Y) 关于 YY 的边缘概率密度为fY(y).f_Y(y).若对于固定的 y,fY(y)>0y,f_Y(y)>0,则称f(x,y)fY(y)\frac{f(x,y)}{f_Y(y)} 为在 Y=yY=y 的条件下 XX条件概率密度,记为
    fxy(xy)=f(x,y)fY(y).f_{x|y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}.

    相互独立的随机变量

    定义F(x,y)F(x,y)Fx(x),FY(y)F_x(x),F_Y(y) 分别是二维随机变量 (X,Y)(X,Y) 的分布函数及边缘分布函数.若对于所有 x,yx,y
    P{Xx,Yy}=P{Xx}P{Yy}, P\{X\leqslant x, Y\leqslant y\} = P\{X \leqslant x\} P\{Y\leqslant y\} ,
    F(x,y)=FX(x)FY(y), \nobreak F(x,y) = F_X(x)F_Y(y),
    则称随机变量 XXYY相互独立的.

      设 (X,Y)(X,Y) 是连续型随机变量,f(x,y),fX(x),fY(y)f(x,y),f_X(x),f_Y(y) 分别为 (X,Y)(X,Y) 的概率密度和边缘概率密度,则 XXYY 相互独立的条件等价于

    f(x,y)=fX(x)fY(y)f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)

      对于二维正态随机变量 (X,Y),X(X,Y),XYY 相互独立的充要条件是参数 ρ=0.\rho=0.

    两个随机变量的函数的分布、卷积公式

    (一)Z=X+Y的分布

      设(X,Y) 是二维连续型随机变量,它们具有概率密度 f(x,y).f(x,y).Z=X+YZ=X+Y 仍为连续型随机变量,其概率密度为

    fX+Y(z)=f(zy,y)dy,f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f(z-y,y)dy, \newlinefX+Y(z)=f(x,zx)dx\\f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,z-x)dx

      又若 X 和 Y 相互独立,设(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度分别为 fX(x),fY(y)f_X(x),f_Y(y) 则上式化为

    fX+Y(z)=fX(zy)fY(y)dyf_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(z-y)f_Y(y)dy\newline
    fX+Y(z)=fX(x)fY(zx)dx.f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx.

      这两个公式称为 fXf_XfYf_Y卷积公式,记为 fXfYf_X*f_Y,即

    fXfY=fX(zy)fY(y)dy=fX(x)fY(zx)dx.f_X*f_Y=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(z-y)f_Y(y)dy=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx.


    (二)Z=X/Y的分布、Z=XY的分布

      设(X,Y)是二维连续型随机变量,它具有概率密度 f(x,y)f(x,y) ,则 Z=YXZ=XYZ=\frac{Y}{X}、Z=XY仍为连续型随机变量,其概率密度分别为

    fY/X(z)=xf(x,xz)dx,f_{Y/X}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}|x|f(x,xz)dx,
    fXY(z)=1xf(x,zx)dx.f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{|x|}f(x,\frac{z}{x})dx.

      又若 X 和 Y 相互独立.设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为 fX(x),fY(y),f_X(x),f_Y(y),则上式化为

    fY/X(z)=xfX(x)fY(xz)dx.f_{Y/X}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}|x|f_X(x)f_Y(xz)dx.
    fXY(z)=1xfX(x)fY(x,zx)dx.f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{|x|}f_X(x)f_Y(x,\frac{z}{x})dx.

    (三)M=max{X,Y} 及 N=min{X,Y}的分布

      设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为 FX(x)F_X(x)FY(y).F_Y(y). 现在来求 M=max{X,Y}M=max\{X,Y\}N=min{X,Y}N=min\{X,Y\} 的分布函数.
      由于 M=max{X,Y}M=max\{X,Y\} 不大于 z 等价于 X 和 Y 都不大与 z ,故有
    P{Mz}=P{Xz,Yz}.P\{M\leqslant z\}=P\{X\leqslant z,Y\leqslant z\}.
      又由于 X 和 Y 相互独立,得到M=max{X,Y}M=max\{X,Y\}的分布函数为
    Fmax(z)=P{Mz}=P{Xz,Yz}=P{Xz}P{Yz}.F_{max}(z)=P\{M\leqslant z\}=P\{X\leqslant z,Y\leqslant z\}=P\{X\leqslant z\}P\{Y\leqslant z\}.
      即有

    Fmax(z)=FX(z)FY(z).F_{max}(z)=F_X(z)F_Y(z).


      类似地,可得 N=min{X,Y}N=min\{X,Y\} 的分布函数为
    Fmin(z)=P{Nz}=1P{N>z}=1P{X>z,Y>z}=1P{X>z}P{Y>z}F_{min}(z)=P\{N\leqslant z\}=1-P\{N>z\}\newline =1-P\{X>z,Y>z\}=1-P\{X>z\} \cdot P\{Y>z\}
      即有

    Fmin(z)=1[1FX(z)][1FY(z)].F_{min}(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)].

      例题
      设随机变 (X,Y)(X,Y) 的概率密度为
    f(x,y)={x+y,0<x<1,0<y<1,0,其他f(x,y)=\begin{cases}x+y, &\text{0<x<1,0<y<1},\\0, &\text{其他}\end{cases}
      分别求(1)Z=X+Y,(2)Z=XY的概率密度
      解:
      (1)
      f(zy,y)={z,0<z-y<1,0<y<1,0,其他f(z-y,y)=\begin{cases}z, &\text{0<z-y<1,0<y<1},\\0, &\text{其他}\end{cases}

      可以看出使 f0f\neq0yy 的取值范围
      {0<y<1z1<y<z\begin{cases}0<y<1 \\z-1<y<z\end{cases}
      这两部分的交集就是对 ff 积分时 yy 的取值范围.


      fZ(z)=f(zy,y)={0zzdy,0<z<1,z11zdy,1z<20others={z2,0<z<1,2zz2,1z<20othersf_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f(z-y,y)=\begin{cases}\int_{0}^{z}zdy, &\text{0<z<1},\\\int_{z-1}^{1}zdy, &\text{}1\leqslant z<2\\0 &\text{others}\end{cases}=\begin{cases}z^2, &\text{0<z<1},\\2z-z^2, &\text{}1\leqslant z<2\\0 &\text{others}\end{cases}


      (2)
      f(x,zx)={x+zx,0<x<1,0<zx<1,0othersf(x,\frac{z}{x})=\begin{cases}x+\frac{z}{x},&\text{}0<x<1,0<\frac{z}{x}<1,\\0&\text{} others\end{cases}


      从中求得 xx 的取值范围为 z<x<1z<x<1
    fXY(z)=1xf(x,zx)dx=z11x(x+zx)dx=z1(1+zx2)dx=2(1z)f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{|x|}f(x,\frac{z}{x})dx=\int_{z}^{1}\frac{1}{|x|}(x+\frac{z}{x})dx=\int_{z}^{1}(1+\frac{z}{x^2})dx=2(1-z)

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  • 卷积公式的理解

    千次阅读 2019-03-12 11:14:38
    卷积公式的理解 卷积公式与Laplace变换的联系 Laplace变换公式: F(s)=∫0∞f(t)e−stdtG(s)=∫0∞g(t)e−stdtF(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st} \text{d} t \\ G(s) = \int_0^\infty g(t)e^{-st} \text{d}...

    卷积公式的由来

    • 卷积公式与Laplace变换的联系

      Laplace变换公式:
      F(s)=0f(t)estdtG(s)=0g(t)estdtF(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st} \text{d} t \\ G(s) = \int_0^\infty g(t)e^{-st} \text{d} t
      我们希望C(s)=F(s)G(s)C(s)=F(s)G(s)也可以保持Laplace变换公式的形式:
      C(s)=F(s)G(s)=0c(t)estdtC(s)=F(s)G(s) = \int_0^\infty c(t)e^{-st} \text{d} t
      c(t)f(t)g(t)c(t)与f(t)、g(t)的关系就是卷积:
      c(t)=f(t)g(t)c(t) = f(t)*g(t)

    • 卷积公式推导

      基于laplace变换公式,可以得知
      F(s)G(s)=0f(u)esudu0g(v)esvdv=00f(u)g(v)es(u+v)dudvF(s)G(s)= \int_0^\infty f(u)e^{-su} \text{d} u \int_0^\infty g(v)e^{-sv} \text{d} v \\ = \int_0^{\infty}\int_0^{\infty}f(u)g(v)e^{-s(u+v)}\text{d}u \text{d}v
      上式中二重积分的积分区域为(u,v)(u,v)坐标轴的第一象限,令t=u+vt=u+vu=uu=u ,可以确定uu的积分范围为[0,t][0,t]tt的积分范围为[0,][0,\infty]。对微分进行变换
      dudv=(u,v)(u,t)dudt\text{d}u\text{d}v=\frac{\partial(u,v)}{\partial(u,t)}\text{d}u\text{d}t
      Jacobian行列式的计算
      (u,v)(u,t)=(u)(u)(u)(t)(v)(u)(v)(t)=1011=1\frac{\partial(u,v)}{\partial(u,t)}= \begin{vmatrix} \frac{ \partial(u)}{\partial(u)} & \frac{ \partial(u)}{\partial(t)} \\ \frac{ \partial(v)}{\partial(u)} & \frac{ \partial(v)}{\partial(t)} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1

      F(s)G(s)=00tf(u)g(tu)estdudt=0est0tf(u)g(tu)dudtF(s)G(s)=\int_0^{\infty}\int_0^{t}f(u)g(t-u)e^{-st}\text{d}u \text{d}t \\ = \int_0^{\infty}e^{-st}\int_0^{t}f(u)g(t-u)\text{d}u \text{d}t
      可以得到卷积公式
      c(t)=f(t)g(t)=0tf(u)g(tu)duc(t)=f(t)*g(t)= \int_0^{t}f(u)g(t-u)\text{d}u

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  • 概率论里在计算二维连续型随机变量函数的分布时,有一种公式法——卷积公式。强烈不建议这样来称呼,因为想要理解卷积的概念需要有信号系统的理论基础。实质上,卷积公式仅仅只是二重积分换元法最简单的应用而已,...

    概率论里在计算二维连续型随机变量函数的分布时,有一种公式法——卷积公式。

    强烈不建议这样来称呼,因为想要理解卷积的概念需要有信号系统的理论基础。

    实质上,卷积公式仅仅只是二重积分换元法最简单的应用而已,难度还不如极坐标换元法大。

    二重积分换元参考《高等数学下》(同济七版)——二重积分换元。

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  • 卷积公式已知两个函数的拉普拉斯变换 , 。那么是否有公式来表示 的拉普拉斯变换?答案是没有。但是将拉普拉斯变换相乘 ,它是两个函数卷积的拉普拉斯变换 。拉普拉斯变换类比幂级数,因此我们首先来考察一下离散...
  • 第二十一讲 卷积公式

    千次阅读 2018-12-16 18:46:42
    一,卷积公式: 已知:, 设: 求: 因为拉氏变换是由幂级数变过来的,所以上面的问题可以转换为下面的问题方便计算: 已知:, 设: 求:,(求解过程省略) 解得卷积公式: 文字解读:两个函数的乘积,等于...
  • 第二种就是应用卷积公式。下面我给大家列出了卷积公式: 但是呢,我一般给我的学生推荐,我只会强烈推荐利用卷积公式,没有对比就没有伤害,我下面对一个例子应用两种方法来解决一下,大家自见分晓(●’◡’●) ...
  • 今天看了Dr.CAN在B站上传关于卷积的教学视频理解卷积的含义结合他上课举的例子,我想到了一种使用被棒子击打之后的疼痛值来形象来理解以下卷积公式的美妙方法: f(t)∗h(t)=∫0tf(τ)h(t−τ)dτf(t)*h(t)=\int_0^t{...
  • 2.13卷积公式

    2020-08-06 09:32:30
    信号的分解实际上是依靠卷积运算来做的。 lim⁡Δ→0f^(t)=f(t)=∫−∞∞f(τ)δ(t−τ)dτ\lim _{\Delta \to 0}\hat f(t)=f(t)=\int _{-\infty}^{\infty}f(\tau)\delta(t-\tau)\rm d\tauΔ→0lim​f^​(t)=f(t)=∫...
  • 二维随机变量函数卷积公式的推导

    万次阅读 多人点赞 2016-11-02 00:59:00
    二维随机变量函数卷积公式的推导@(概率论)给定Z=g(x,y)Z = g(x,y) 通常需要求FZ(z),fZ(z)F_Z(z),f_Z(z)这里是由两个变元依据关系映射到一个变元,因此,求得FZ(z)F_Z(z)后,很容易求得fZ(z)f_Z(z),只是一个求导的...
  • 浅谈(线性)卷积公式为什么要翻转信号系统信号处理卷积文章题目之所以写(线性)卷积,是因为卷积有很多种,如循环卷积,周期卷积以及线性卷积。本文主要讨论线性卷积,为书写方便,下文都以卷积代替。至于循环和周期...
  • 求随机变量的概率密度有两种方法,一是定义法先求分布函数再求导,二是概率密度卷积公式(效率更高),本文介绍了一维、二维概率密度的卷积公式,两种方法的异同请读者自行品味。一维变量的概率密度卷积公式二维变量的...
  • 本文主要介绍系统属性以及推导出时不变系统的卷积公式。1.系统的概念一个系统简而言之就是,接受输入,产生输出。人的眼睛接受光信号,在大脑中产生化学信号(使得我们能够看到外界)就是一种系统。系统的范围很广阔,...
  • BZOJ3527 推出卷积公式FFT求值 传送门:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3527 题意: \(F_{j}=\sum_{i<j} \frac{q_{i} q_{j}}{(i-j)^{2}}-\sum_{i>j} \frac{q_{i} q_{j}}{(i-j)^{2}}\) 求\...
  • 信号处理的卷积公式

    2020-12-22 23:05:07
    序列卷积和 周期卷积 循环卷积 连续 卷积积分 ...
  • 卷积公式的理解

    2020-09-13 01:43:55
    卷积操作尺寸计算公式为 o = (i +2p -k)/s +1 反卷积的计算公式 (1)如果 (i + 2p - k)%s= 0, 则关系为i= s(o-1)-2p+k, (2)如果(i + 2p -k)%s!=0, 则关系为i=s(o-1)-2p+k+ (o+2p-k)%s 看了网上不少内容,介绍了很多...
  • 关于Lucas数立方与二项式数的卷积公式陈小芳【摘要】对于非负整数l,Ll表示第l个Lucas数;为二项式系数;对于非负整数l和k以及正整数n,设l(k,3,n)是数列和的卷积,即l(k,3,n)=文章证明了k≥n时,l(k,3,n)=2nL3k+2n+...
  • 文章目录重积分换元(雅克比行列式)卷积公式①:把$x$换掉确定范围卷积公式做定义法来做 重积分换元(雅克比行列式) {x=x(u,v)y=y(u,v)\left\{\begin{matrix} x=x(u,v)\\ \\ y=y(u,v) \end{matrix}\right.⎩⎨⎧...
  • 卷积公式的推导过程书上有,不难理解。但是在解题时,确定积分区间很是头疼,本文讲解如何确定积分区间。 首先弄清f是什么,从定义入手,对于二维连续型随机变量(X,Y),Z=X+Y有  F(z)是一个二重积分,高数...
  • 离散型变量分布:0—1分布,二项分布,泊松分布,几何分布;连续型:均匀分布,指数分布;卷积公式的意义、表达及记忆
  • 卷积公式细谈

    千次阅读 2017-05-11 16:11:45
    ————————————-conv2函数—————————————-1、用法 C=conv2(A,B,shape); %卷积滤波 复制代码 A:输入图像,B:卷积核  假设输入图像A大小为ma x na,卷积核B大小为mb x nb,则  当shap
  • 二维函数Z=g(X,Y)型,用卷积公式求概率密度,积分区域如何确定(上) 因为关于二维随机变量主题内容重要,难度大,例题多,最主要是积分区间的确定是难点,同时关联卷积概念,求二维函数Z=g(X,Y)型,用卷积公式求...
  • 关于卷积公式的模型

    千次阅读 2018-06-04 20:33:04
    在信号分析处理中,卷积是最重要的运算,但是一般计算中,关于卷积的“反褶”,“平移”,“累加和”这三个步骤,其计算步骤和卷积的实际意义,貌似“脱离”,从而影响对信号与系统相互作用关系的理解,尤其不知为何...
  • 因为关于二维随机变量主题内容重要,难度大,例题多,最主要是积分区间的确定是难点,同时关联卷积概念,卷积公式容易,积分区间难以确定,因为书上的例题都没有详细解释积分区间如何确定,所以分成上中下三篇博客写...
  • 详解卷积公式的物理意义

    千次阅读 2020-03-15 17:34:05
    这个公式的分析: 时刻上看:在任意时刻k,信号的能量值x[k]等于x[k]乘以1,看起来像是废话,但这里面透露的深层次信息为:信号x[k]已经被分解,改用单位1能量的倍数来表示 总时间上看:用单位1能量描绘了信号x[n]...

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