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  • 向量叉积向量叉积的模的运算

    千次阅读 2020-10-09 10:11:03
    一:向量叉积 设两个点P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2) 叉积PxQ=(y1z2-y2z1,x2z1-x1z2,x1y2-x2y1) 代码实现(vb.net封成一个函数): Private Function Cross(ByVal Mat4() As Double, ByVal Mat5() As Double) Dim...

    一:向量叉积

    设两个点P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)

    叉积PxQ=(y1z2-y2z1,x2z1-x1z2,x1y2-x2y1)

    代码实现(vb.net封成一个函数):

    Private Function Cross(ByVal Mat4() As Double, ByVal Mat5() As Double)
            Dim Mat6() As Double
            Mat6 = {Mat4(1) * Mat5(2) - Mat5(1) * Mat4(2), Mat4(2) * Mat5(0) - Mat4(0) * Mat5(2), Mat4(0) * Mat5(1) - Mat5(0) * Mat4(1)}
            Return Mat6
     End Function

     

    二:向量叉积的模

    向量积的模=两向量组成的平行四边形面积

    |PxQ|= sqrt((x1y2-x2y1)^2+(y1z2-y2z1)^2+(z1x2-z2x1)^2)

     

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  • 向量叉积定义的证明

    2020-12-19 07:57:23
    后来打算写一篇叉积的证明时,却发现有些东西真的不好理解。设两个向量$\mathbf{a} = (x_1, y_1, z_1), \mathbf{b} = (x_2, y_2, z_2)$,两向量夹角为$\theta$,很多教材包括维基百科(Cross Product)等给出的定义都...

    前面写了一篇向量点积定义的证明,由于这个证明比较简单,所以也没有引起深入的思考。后来打算写一篇叉积的证明时,却发现有些东西真的不好理解。

    设两个向量$\mathbf{a} = (x_1, y_1, z_1), \mathbf{b} = (x_2, y_2, z_2)$,两向量夹角为$\theta$,很多教材包括维基百科(Cross Product)等给出的定义都是:

    $$\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{n} |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin{\theta}$$

    其中$\mathbf{n}$是垂直于向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$的单位向量,方向由右手法则确定。这样定义似乎没什么不妥,但是我在考虑一些问题:给出这个定义的数学家,他是怎么发现叉积的结果垂直于两向量?向量的模长为什么恰好等于$|\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin{\theta}$?下面给出我对这些问题的理解。

    我想数学家们刚开始定义向量的叉乘运算($\times$)时,给出的唯一基本定义是:$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$的结果$\mathbf{c}$是垂直于向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$的一个向量,其方向由右手法则确定;如果向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$平行,则叉积结果为零向量。有了这个定义,再根据乘法对加法的分配率,便可得到叉积运算的坐标表达式:

    \begin{align} \mathbf{a} \times \mathbf{b} = & (x_1\mathbf{i} + y_1\mathbf{j} + z_1\mathbf{k}) \times (x_2\mathbf{i} + y_2\mathbf{j} + z_2\mathbf{k}) \\ = &\ x_1\mathbf{i} \times (x_2\mathbf{i} + y_2\mathbf{j} + z_2\mathbf{k}) + y_1\mathbf{j} \times (x_2\mathbf{i} + y_2\mathbf{j} + z_2\mathbf{k}) + z_1\mathbf{k} \times (x_2\mathbf{i} + y_2\mathbf{j} + z_2\mathbf{k}) \\ = &\ x_1 x_2 (\mathbf{i} \times \mathbf{i}) + x_1 y_2 (\mathbf{i} \times \mathbf{j}) + x_1 z_2 (\mathbf{i} \times \mathbf{k}) + \\ &\ y_1 x_2 (\mathbf{j} \times \mathbf{i}) + y_1 y_2 (\mathbf{j} \times \mathbf{j}) + y_1 z_2 (\mathbf{j} \times \mathbf{k}) + \\ &\ z_1 x_2 (\mathbf{k} \times \mathbf{i}) + z_1 y_2 (\mathbf{k} \times \mathbf{j}) + z_1 z_2 (\mathbf{k} \times \mathbf{k}) \end{align}

    其中$\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$分别表示x、y、z轴方向的单位向量。那么根据向量叉积的定义:$\mathbf{i} \times \mathbf{i} = \mathbf{j} \times \mathbf{j} = \mathbf{k} \times \mathbf{k} = \mathbf{0}$,$\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$,$\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$,$\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$,$\mathbf{j} \times \mathbf{i} = -\mathbf{k}$,$\mathbf{k} \times \mathbf{j} = -\mathbf{i}$,$\mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j}$,因此便得到:

    \begin{align} \mathbf{a} \times \mathbf{b} &= (y_1 z_2 - z_1 y_2) \mathbf{i} + (z_1 x_2 - x_1 z_2) \mathbf{j} + (x_1 y_2 - y_1 x_2) \mathbf{k} \\ &= (y_1 z_2 - z_1 y_2, \ z_1 x_2 - x_1 z_2, \ x_1 y_2 - y_1 x_2)\end{align}

    下面来证明$|\mathbf{c}| = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin{\theta}$:

    \begin{align} |\mathbf{c}|^2 = &\ (y_1 z_2 - z_1 y_2)^2 + (z_1 x_2 - x_1 z_2)^2 + (x_1 y_2 - y_1 x_2)^2 \\ = &\ y_1^2 z_2^2 + z_1^2 y_2^2 - 2y_1 y_2 z_1 z_2 + z_1^2 x_2^2 + x_1^2 z_2^2 - 2x_1 x_2 z_1 z_2 + \\ &\ x_1^2 y_2^2 + y_1^2 x_2^2 - 2x_1 x_2 y_1 y_2 \end{align}

    又根据向量点积的定义:

    \begin{align} (|\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin{\theta})^2 &= (|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|)^2 \sin^{2}{\theta} \\ &= (|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|)^2 (1 - \cos^{2}{\theta}) \\ &= (|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|)^2 \left(1 - \frac{(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2}{(|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|)^2} \right) \\ &=  (|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|)^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 \end{align}

    因为:

    \begin{align} (|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|)^2 = &\ \left( \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} \right)^2 \\ = &\ (x_1^2 + y_1^2 + z_1^2) (x_2^2 + y_2^2 + z_2^2) \\ = &\ x_1^2 x_2^2 + y_1^2 y_2^2 + z_1^2 z_2^2 + x_1^2 y_2^2 + x_1^2 z_2^2 + y_1^2 x_2^2 + y_1^2 z_2^2 + z_1^2 x_2^2 + z_1^2 y_2^2 \end{align}

    而且

    \begin{align} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 = &\ (x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2)^2 \\ = &\ x_1^2 x_2^2 + y_1^2 y_2^2 + z_1^2 z_2^2 + 2x_1 x_2 y_1 y_2 + 2x_1 x_2 z_1 z_2 + 2y_1 y_2 z_1 z_2 \end{align}

    容易看出:$(|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|)^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 = |\mathbf{c}|^2$,即:

    $$|\mathbf{c}| = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin{\theta}$$

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  • 向量叉积的几何意义

    万次阅读 多人点赞 2016-02-22 13:38:59
    其实这篇文章主要讨论为何向量叉积这样定义,标题是为了吸引人,让更多有同样疑惑的人搜到。 记得上大学时的第一节课是《空间解析几何》,和大多数的教材一样,开篇就是向量点积和叉积的定义。点积的定义很好理解 ...

    其实这篇文章主要讨论为何向量叉积这样定义,标题是为了吸引人,让更多有同样疑惑的人搜到。
    记得上大学时的第一节课是《空间解析几何》,和大多数的教材一样,开篇就是向量点积和叉积的定义。点积的定义很好理解 ,a·b(为了讨论方便,之后都假设b为单位向量)可以看成向量a在向量b方向上的投影长度。
    图1
    (图1)

    叉积的定义就比较奇怪了,按理说a·b是a在平行于b方向上的分量上的长度,相应的a×b应该是a在垂直b方向上的分量的长度,也就是上图中虚线部分。然而a×b被定义成了一个向量,方向垂直于oab平面(在这里,如果用右手法则的话,垂直纸面向里)。将叉积定义为向量还好理解,这个奇怪的方向是什么鬼?

    闲话少说,先上结论:为了满足乘法交换律
    乘法的三大运算定律:
    1.乘法分配律
    两个数的和同一个数相乘,等于把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积加起来,和不变。
    (a+b)×c =a×c+b×c
    2.乘法结合律
    三个数相乘,先把前两个数相乘,再和另外一个数相乘,或先把后两个数相乘,再和另外一个数相乘,积不变。
    a×b×c=a×(b×c)
    3.乘法交换律
    乘法交换律是两个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变。
    a×b=b×a
    点积和叉积作为我们定义的乘法,要尽量满足这三个运算定律。所谓尽量满足,就是说不做强制要求,三个满足不了就先满足两个,两个满足不了就先满足一个,一个都满足不了还是不要叫他乘法了,换个名字吧。当然满足得越多越好,实在满足不了,近似满足也可以接受。

    下面分别来检验点积和叉积是否满足乘法运算定律。由于结合律作用不大,应用的也比较少,这里暂时不做检验,只检验分配律和交换律。

    点积a·b

    这里写图片描述
    (图2)

    向量a分解成了两个向量a1和a2,a=a1+a2
    a·b=OX2的长度(假设b为单位向量)
    a1·b=OX1的长度
    a2·b=X1X2的长度
    明显 OX2的长度 = OX1的长度+X1X2的长度
    亦即 a·b=a1·b+a2·b 分配律成立
    再来看看交换律
    按点积的定义a·b = a的长度×b的长度×cos(a和b的夹角)
    b·a = b的长度×a的长度×cos(b和a的夹角)
    都是数值的运算 所以a·b=b·a 交换律成立
    然而点积也有一点不合理之处,两个向量的点积结果是一个标量,方向丢掉了。假如我们把点积的结果定义为一个向量是不是可以呢?反正定义都是人为的,我们重新定义点积也未尝不可。好,我们就把a·b 定义为一个向量,大小和之前一样,是a的长度×b的长度×cos(a和b的夹角),方向是b的方向,也就是a在b方向上的水平分量,对应上图中的向量OX2。
    按照新定义的点积
    a·b=向量OX2
    a1·b =向量OX1
    a2·b =向量X1X2
    向量OX2=向量OX1+向量X1X2,
    所以按新定义的点积,分配律是成立的
    我们再来看看交换律
    这里写图片描述
    (图3)

    按我们定义的点积a·b的朝向是b方向,b·a的朝向是a方向,两个点积的方向不同,交换律不成立。这就是将点积定义为标量而不是向量的原因,也可以说点积为了满足交换律放弃了结果的方向。

    叉积a×b

    同样的我们来重新定义叉积,将叉积a×b定义为a在b的垂直方向上的分量,接着和点积一样去掉方向将结果定义为标量,看下图
    这里写图片描述
    (图4)

    a×b = y0y2的长度,
    a1×b = y0y1的长度,
    a2×b = y1y2的长度,
    和点积的情况是一样的,满足分配律也满足交换律,完美。
    但是我们这里都是在二维的情况下来考量的,我们来看看三维空间下是什么情况:
    这里写图片描述
    (图5)

    向量a分解为两个向量OA1和A1A2(A1和A2分别是向量a1,a2的顶点,图上未画出来),p1和p2是垂直于b的平面,虚线部分的长度就是我们定义的叉积a1×b
    这里写图片描述
    (图6)

    上图虚线部分的长度就是我们定义的叉积a2×b
    我们将p1,p2平面合到一起
    这里写图片描述
    (图7)

    从前两图的视线方向看,就是下面的效果:
    这里写图片描述
    (图8)

    这里为了画图方便,选择了两个比较极端的分量a1,a2。
    从上面的最后一张图上看,虚线部分的长度之和明显大于实线部分的长度(也就是a×b ),新定义的叉积不满足分配律。
    仔细看上图,三条线段组成了一个闭合的三角形,将每一个线段看成一个向量:
    这里写图片描述
    (图9)

    则a×b = a1×b + a2×b,也就是说我们修改下定义,把叉积定义为一个向量就能满足分配律了。

    再来看交换律,回头看图(3),按我们现在的定义a×b 和b×a 分别垂直b和a,方向不一致,不满足交换律。
    这时候如果我们修改定义将a×b绕着b轴按左手法则旋转90度,这时a×b垂直a,b所在平面,如下图左半部分
    这里写图片描述
    (图10)
    当然按右手法则旋转也是可以的,这里主要是为了和书本上的定义一致。
    同时我们对b×a进行同样的操作,看图(10)右半部分。我们看到a×b和b×a都垂直于平面,在一条直线上,但是方向相反(大小相等我们就不做过多解释了),即:
    a×b = -b×a
    近似满足了乘法交换律,只要我们能够接受这个多出来的负号。

    那么问题来了,跟挖掘机技术无关,修改过定义以后的叉积还满足分配律吗?
    答案是肯定的。看图(9),a×b,a1×b,a2×b三个向量是未做旋转前的叉积向量,这时的b轴垂直纸面朝里,这三个向量在一个平面上,且这个平面垂直于b轴。
    我们对图(9)稍作修改
    这里写图片描述
    图(11)
    将a2×b移至和b轴相交处,将整个平行四边形逆时针旋转90度,a×b,a1×b,a2×b都旋转了90度,平行四边形的形状没有发生改变,
    a×b = a1×b + a2×b
    仍然成立。

    另外,之前点积也是在二维的情况下讨论的,在三维空间下还满足乘法分配律和交换律吗?
    这个问题就留给聪明的你了。

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  • 向量叉积分配律简单证明

    千次阅读 2020-10-13 20:53:16
    向量叉积分配律简单证明 引入 叉积 向量叉积即向量积a×ba×ba×b,运算结果是一个向量,满足: 方向与aaa,bbb都垂直,符合右手法则; 模等于∣a∣∣b∣sinθ|a||b|sinθ∣a∣∣b∣sinθ,几何意义为以aaa,bbb为...

    向量叉积分配律简单证明

    引入

    叉积
    • 向量叉积即向量积 a × b a×b a×b,运算结果是一个向量,满足:
    • 方向与 a a a, b b b都垂直,符合右手法则;
    • 模等于 ∣ a ∣ ∣ b ∣ s i n θ |a||b|sinθ absinθ,几何意义为以 a a a, b b b为邻边的平行四边形面积大小。
    坐标运算
    • a = ( m , n ) a=(m,n) a=(m,n) b = ( p , q ) b=(p,q) b=(p,q)
    • a × b a×b a×b的竖坐标 = m q − n p =mq-np =mqnp(符号遵循右手法则)
    证明
    • a = ( m , n ) a=(m,n) a=(m,n) b = ( p , q ) b=(p,q) b=(p,q)
    • a = x 1 + y 1 = ( m , 0 ) + ( 0 , n ) a=x1+y1=(m,0)+(0,n) a=x1+y1=(m,0)+(0,n) b = x 2 + y 2 = ( p , 0 ) + ( 0 , q ) b=x2+y2=(p,0)+(0,q) b=x2+y2=(p,0)+(0,q)
    • a × b a×b a×b的竖坐标 = ( x 1 + y 1 ) × ( x 2 + y 2 ) =(x1+y1)×(x2+y2) =(x1+y1)×(x2+y2)
      = x 1 × x 2 + x 1 × y 2 + y 1 × x 2 + y 1 × y 2 =x1×x2+x1×y2+y1×x2+y1×y2 =x1×x2+x1×y2+y1×x2+y1×y2
      = x 1 × y 2 + y 1 × x 2 =x1×y2+y1×x2 =x1×y2+y1×x2
      = ( m , 0 ) × ( 0 , q ) + ( 0 , n ) × ( p , 0 ) =(m,0)×(0,q)+(0,n)×(p,0) =(m,0)×(0,q)+(0,n)×(p,0)
      = m q − n p =mq-np =mqnp
    • 问题来了,这里的证明过程中,第一步直接把括号拆开,相当于默认叉积具有分配律,那么这一定是对的吗?
    • 很多地方都没有给出证明,所以这里考虑对叉积分配律给出简单的证明。

    证明

    • 已知 a a a, b b b, c c c为平面内向量,求证: a × ( b + c ) = a × b + a × c a×(b+c)=a×b+a×c a×(b+c)=a×b+a×c.
    • 首先通过平移是向量起点重合,
    • 从几何意义入手,需要满足以 a , b a,b a,b为邻边的平行四边形面积与以 a , c a,c a,c为邻边的平行四边形面积之和等于以 a , b + c a,b+c a,b+c为邻边的平行四边形面积(这里的面积可能为负值),
      在这里插入图片描述
    • 显然,这么看难以证明。
    • 那可以把 b b b, c c c投影到与 a a a垂直的直线上,令投影后的向量分别为 b ′ b' b, c ′ c' c,如图:
      在这里插入图片描述
    • 由叉积的几何意义易得, a × b = a × b ′ a×b=a×b' a×b=a×b a × c = a × c ′ a×c=a×c' a×c=a×c
    • a × b + a × c = a × b ′ + a × c ′ = − ∣ a ∣ ∣ b ′ ∣ + ∣ a ∣ ∣ c ′ ∣ = ∣ a ∣ ( ∣ c ′ ∣ − ∣ b ′ ∣ ) a×b+a×c=a×b'+a×c'=-|a||b'|+|a||c'|=|a|(|c'|-|b'|) a×b+a×c=a×b+a×c=ab+ac=a(cb)
      在这里插入图片描述
    • 同理又有 a × ( b + c ) = a × ( b + c ) ′ = ∣ a ∣ ∣ ( b + c ) ′ ∣ a×(b+c)=a×(b+c)'=|a||(b+c)'| a×(b+c)=a×(b+c)=a(b+c)
    • 因为 ∣ c ′ ∣ − ∣ b ′ ∣ = ∣ ( b + c ) ′ ∣ |c'|-|b'|=|(b+c)'| cb=(b+c),所以 a × b ′ + a × c ′ = a × ( b + c ) ′ a×b'+a×c'=a×(b+c)' a×b+a×c=a×(b+c),所以 a × ( b + c ) = a × b + a × c a×(b+c)=a×b+a×c a×(b+c)=a×b+a×c
    • 得证。
    • 实际上,这样就相当于把原先的三个普通平行四边形转化为了三个矩形,便于证明。
    展开全文
  • 向量叉积(图解)

    千次阅读 2019-03-10 01:37:52
    int cross(point &a,point &b,point &c) { int x1=b.x-a.x; int y1=b.y-a.y; int x2=c.x-a.x; int y2=c.y-a.y; return x1y2-x2y1;//大于0为突出的点 ...}
  • 向量叉积(Cross product)的几何意义及应用

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  • 二维向量叉积是标量还是向量

    千次阅读 2019-09-27 00:23:35
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空空如也

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向量叉积

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