精华内容
下载资源
问答
  • 向量积的性质
    2021-10-17 22:01:13

    面积

    两不共线向量 a ⃗ \vec{a} a b ⃗ \vec{b} b 的向量积的模,等于 a ⃗ \vec{a} a b ⃗ \vec{b} b 为边所构成的平行四边形的面积

    共线

    两向量 a ⃗ \vec{a} a b ⃗ \vec{b} b 共线的充要条件是 a ⃗ × b ⃗ = 0 ⃗ \vec{a}\times\vec{b}=\vec{0} a ×b =0

    反交换

    向量积是反交换的,即

    a ⃗ × b ⃗ = − ( b ⃗ × a ⃗ ) \vec{a}\times\vec{b}=-(\vec{b}\times\vec{a}) a ×b =(b ×a )

    结合律

    向量积满足关于数因子的结合律,即
    λ ( a ⃗ × b ⃗ ) = ( λ a ⃗ ) × b ⃗ = a ⃗ × ( λ b ⃗ ) \lambda(\vec{a}\times\vec{b})=(\lambda\vec{a})\times \vec{b}=\vec{a}\times(\lambda\vec{b}) λ(a ×b )=(λa )×b =a ×(λb )

    分配律

    向量积满足分配律,即

    ( a ⃗ + b ⃗ ) × c ⃗ = a ⃗ × c ⃗ + b ⃗ × c ⃗ (\vec{a}+\vec{b})\times\vec{c}=\vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c} (a +b )×c =a ×c +b ×c

    三维向量的向量积

    如果 a ⃗ = X 1 i ⃗ + Y 1 j ⃗ + Z 1 k ⃗ , b ⃗ = X 2 i ⃗ + Y 2 j ⃗ + Z 2 k ⃗ \vec{a}=X_1\vec{i}+Y_1\vec{j}+Z_1\vec{k},\vec{b}=X_2\vec{i}+Y_2\vec{j}+Z_2\vec{k} a =X1i +Y1j +Z1k ,b =X2i +Y2j +Z2k ,那么

    a ⃗ × b ⃗ = ∣ i ⃗ j ⃗ k ⃗ X 1 Y 1 Z 1 X 2 Y 2 Z 2 ∣ \vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ X_1&Y_1&Z_1\\ X_2&Y_2&Z_2\\ \end{vmatrix} a ×b =i X1X2j Y1Y2k Z1Z2


    2021年10月17日22:10:30

    更多相关内容
  • 高等数学 数量积 向量积 混合积 PPT课件.pptx
  • 平面向量的坐标表示及向量积.doc
  • 向量积

    千次阅读 2017-12-19 12:35:13
    向量积(cross product)在中文中又被称为外积、叉积、矢积、叉乘。从英文中可以看到,叉乘或者叉积更符合直译标准。在学习的时候,就没有完全的数学描述,有时间看一下原版的线性代数书籍,弄的更严谨一些。直观...

    向量积(cross product)在中文中又被称为外积、叉积、矢积、叉乘。从英文中可以看到,叉乘或者叉积更符合直译标准。在学习的时候,就没有完全的数学描述,有时间看一下原版的线性代数书籍,弄的更严谨一些。直观描述一般都是通过图例来实现的,这里就不免俗了,毕竟存在的就是合理的。

    1. 直观描述
      所谓图例说明,也就是用二维或者三维空间的东西来表示通用的概念。那么我们看下图。



      如图所示,三维空间中,向量a、b,夹角是θ,则向量积a×b的结果为一个向量,该向量的模为:
      |a×b|=|a||b|sinθ

      向量的方向遵守“右手定则”,即四指延向量积第一向量向第二向量劣角(小于180度的角)方向旋转,拇指伸直方向即为结果向量方向。上图中给出了a×b和b×a的结果向量,可见二者模相同,方向相反。
    2. 数学描述
      用一般化数学语言描述向量积,以三维空间为例,设在三个坐标轴上的单位向量分别为i、j、k,向量a表达式为(x,y,z),向量b的表达式为(p,q,r),则向量积可以表示为以下行列式的形式。
      a×b=ixpjyqkzr

      对于二维空间(平面)上的向量,在计算向量积时,需要将其扩展到三维空间(即第三维补0),即可应用以上公式计算。
    3. 向量积的性质

      • 模:三维空间中,向量积的模即为两个向量组成平行四边形的面积。
      • 代数规则:
        反交换律:a×b=-b×a
        加法分配率:a×(b+c) = a×b+a×c
        兼容标量乘法:(ra)×b = a×(rb) = r(a×b)
        雅可比恒等式:a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b) = 0
        拉格朗日公式:(a×b)×c = b(a∙c)-a(b∙c) ; a×(b×c) = b(a∙c)-c(a∙b)
    展开全文
  • 两向量的向量积

    千次阅读 2021-01-26 22:09:34
    两向量的向量积 两向量 a 与 b 的向量积(外积)是一个向量,记做 a×b\mathbf{a}\times \mathbf{b}a×b 或 [ab][\mathbf{a}\mathbf{b}][ab],它的模是 ∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin⁡∠(a,b) |\mathbf{a}\times \mathbf{...

    在这里插入图片描述

    两向量的向量积

    两向量 ab 的向量积(外积)是一个向量,记做 a × b \mathbf{a}\times \mathbf{b} a×b [ a b ] [\mathbf{a}\mathbf{b}] [ab],它的模是
    ∣ a × b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin ⁡ ∠ ( a , b ) |\mathbf{a}\times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\angle(\mathbf{a},\mathbf{b}) a×b=absin(a,b)
    它的方向与 ab 都垂直,并且按 a, b, a × b \mathbf{a}\times\mathbf{b} a×b 这个顺序构成右手标架 { O ; a , b , a × b } \{O;\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{a}\times\mathbf{b}\} {O;a,b,a×b}

    • 两个不共线向量 ab 的向量积的模,等于以 ab 为边所构成的平行四边形的面积
      在这里插入图片描述

    • 两向量 ab 共线的充分必要条件是 a × b = 0 \mathbf{a}\times\mathbf{b} = \mathbf{0} a×b=0
      ab 共线时, sin ⁡ ∠ ( a , b ) = 0 \sin\angle(\mathbf{a},\mathbf{b}) = 0 sin(a,b)=0或者至少一个为零向量; 当 sin ⁡ ∠ ( a , b ) = 0 \sin\angle(\mathbf{a},\mathbf{b}) = 0 sin(a,b)=0时或者其至少一个为零向量,ab 共线

    • 向量积是 反交换 的: a × b = − ( b × a ) \mathbf{a}\times\mathbf{b} = - (\mathbf{b}\times\mathbf{a}) a×b=(b×a)

    • 向量积满足关于数因子的结合律: λ ( a b ) = ( λ a ) × b = a × ( λ b ) \lambda(\mathbf{a}\mathbf{b}) = (\lambda\mathbf{a})\times\mathbf{b} = \mathbf{a}\times(\lambda\mathbf{b}) λ(ab)=(λa)×b=a×(λb)

    • 向量积满足分配律: ( a + b ) × c = a × c + b × c (\mathbf{a}+\mathbf{b})\times\mathbf{c} = \mathbf{a}\times\mathbf{c}+\mathbf{b}\times\mathbf{c} (a+b)×c=a×c+b×c

      c × ( a + b ) = a × c + b × c \mathbf{c}\times(\mathbf{a}+\mathbf{b}) = \mathbf{a}\times\mathbf{c}+\mathbf{b}\times\mathbf{c} c×(a+b)=a×c+b×c同样成立


      先证明 ( a + b ) × c 0 = a × c 0 + b × c 0 (\mathbf{a}+\mathbf{b})\times\mathbf{c}^{\mathbf{0}} = \mathbf{a}\times\mathbf{c}^{\mathbf{0}}+\mathbf{b}\times\mathbf{c}^{\mathbf{0}} (a+b)×c0=a×c0+b×c0
      利用作图将 c 0 \mathbf{c}^{\mathbf{0}} c0ab a × c 0 \mathbf{a}\times\mathbf{c}^{\mathbf{0}} a×c0 b × c 0 \mathbf{b}\times\mathbf{c}^{\mathbf{0}} b×c0 a + b \mathbf{a}+\mathbf{b} a+b ( a + b ) × c 0 (\mathbf{a}+\mathbf{b})\times\mathbf{c}^{\mathbf{0}} (a+b)×c0的图像画出容易得出 ( a + b ) × c 0 = a × c 0 + b × c 0 (\mathbf{a}+\mathbf{b})\times\mathbf{c}^{\mathbf{0}} = \mathbf{a}\times\mathbf{c}^{\mathbf{0}}+\mathbf{b}\times\mathbf{c}^{\mathbf{0}} (a+b)×c0=a×c0+b×c0
      再两边乘以 ∣ c ∣ |\mathbf{c}| c即可得出

    • 如果 a = X 1 i + Y 1 j + Z 1 k b = X 2 i + Y 2 j + Z 2 k \mathbf{a} = X_{1}\mathbf{i} + Y_{1}\mathbf{j}+Z_{1}\mathbf{k}\quad\mathbf{b} = X_{2}\mathbf{i} + Y_{2}\mathbf{j}+Z_{2}\mathbf{k} a=X1i+Y1j+Z1kb=X2i+Y2j+Z2k,那么
      a × b = ∣ Y 1 Z 1 Y 2 Z 2 ∣ i + ∣ Z 1 X 1 Z 2 X 2 ∣ j + ∣ X 1 Y 1 X 2 Y 2 ∣ k \mathbf{a}\times\mathbf{b} = \left| \begin{array}{cc} Y_{1} & Z_{1} \\ Y_{2} & Z_{2} \end{array} \right|\mathbf{i} + \left| \begin{array}{cc} Z_{1} & X_{1} \\ Z_{2} & X_{2} \end{array} \right|\mathbf{j} + \left| \begin{array}{cc} X_{1} & Y_{1} \\ X_{2} & Y_{2} \end{array} \right|\mathbf{k} a×b=Y1Y2Z1Z2i+Z1Z2X1X2j+X1X2Y1Y2k
      或则写成
      a × b = ∣ i j k X 1 Y 1 Z 1 X 2 Y 2 Z 2 ∣ \mathbf{a}\times\mathbf{b} = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ X_{1} & Y_{1}& Z_{1}\\ X_{2} & Y_{2}& Z_{2} \end{array} \right| a×b=iX1X2jY1Y2kZ1Z2

    展开全文
  • 高中数学思维导图_平面向量积基本定理及其向量积.pdf
  • 对于运动学逆解或者姿态求解过程中存在的矩阵的计算的一部分内容点,斜对称阵,叉乘
  • Efficient PyTorch Hessian eigendecomposition using the Hessian-vector product and stochastic power iteration
  • 向量积坐标表示公式

    千次阅读 2020-12-30 13:38:07
    定义向量积可以被定义为:。模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。)方向:a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直...

    展开全部

    表示方法

    两个向量a和b的叉积写作a×b(有时也被写成a∧b,避免32313133353236313431303231363533e78988e69d8331333431363036和字母x混淆)。

    定义

    向量积可以被定义为:。

    模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。)

    方向:a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直,且遵守右手定则。(一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时,竖起的大拇指指向是c的方向。)

    也可以这样定义(等效):

    向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin

    即c的长度在数值上等于以a,b,夹角为θ组成的平行四边形的面积。

    而c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手定则从a转向b来确定。

    扩展资料:

    证明

    为了更好地推导,加入三个轴对齐的单位向量i,j,k。

    i,j,k满足以下特点:

    i=jxk;j=kxi;k=ixj;

    kxj=–i;ixk=–j;jxi=–k;

    ixi=jxj=kxk=0;(0是指0向量)

    由此可知,i,j,k是三个相互垂直的向量。它们刚好可以构成一个坐标系。

    这三个向量的特例就是i=(1,0,0)j=(0,1,0)k=(0,0,1)。

    对于处于i,j,k构成的坐标系中的向量u,v我们可以如下表示:

    u=Xu*i+Yu*j+Zu*k;

    v=Xv*i+Yv*j+Zv*k;

    那么uxv=(Xu*i+Yu*j+Zu*k)x(Xv*i+Yv*j+Zv*k)

    =Xu*Xv*(ixi)+Xu*Yv*(ixj)+Xu*Zv*(ixk)+Yu*Xv*(jxi)+Yu*Yv*(jxj)+Yu*Zv*(jxk)+Zu*Xv*(kxi)+Zu*Yv*(kxj)+Zu*Zv*(kxk)

    由于上面的i,j,k三个向量的特点,所以,最后的结果可以简化为

    uxv=(Yu*Zv–Zu*Yv)*i+(Zu*Xv–Xu*Zv)*j+(Xu*Yv–Yu*Xv)*k。

    展开全文
  • 混合积与双重向量积

    千次阅读 2021-01-30 15:17:17
    我们定义空间上三个向量 a,b,c ,先作 a 和 b 的向量积,用所得向量再与 c 作数量积,所得结果称为三向量的混合积,记作 (a×b)⋅c(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}(a×b)⋅c 或者 (a,b,c)(\mathbf{a}...
  • 向量的数量积和向量积PPT课件.pptx
  • 基本概念 向量: 有大小、方向的量。 向量的模: 向量的大小,记作:|向量|。... 方向与某向量相反的向量,称为某向量的负向量。记作:-某向量。例如:向量(1,2,3)是向量(-1,-2,-3)的负向量...
  • 数量积、向量积与混合积

    千次阅读 多人点赞 2018-03-27 23:30:17
    对两个向量a→a→\overrightarrow a和b→b→\overrightarrow b进行运算,运算的结果是一个数,这个数等于|a→|、|b→||a→|、|b→||\overrightarrow a|、|\overrightarrow b|及它们的夹角θθ\theta的余弦的乘积,则...
  • 向量积的坐标运及度量公式.ppt

    千次阅读 2020-12-30 13:38:07
    向量积的坐标运及度量公式* * 向量数量积的 坐标运算与度量公式 一.复习回顾: 2. 二.探究新知: 三.新课讲授: 1.向量内积的坐标运算 结论:两个向量的数量积等于它们 对应坐标的乘积的和。 即: x o B(b1,b2) A(a1,a2...
  • a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉是定义,推出交换律,分配率,与数的乘法的结合律,以及垂直时为零。...y轴上的单位向量。i²=1, j²=1, i·j=0 ]看你是要高中证明还是大学证明还是更严密的证明。向...
  • 向量积在图像中的常用场景

    千次阅读 2022-01-12 11:09:57
    叉积(向量积)定义: 1、a×b或a∧b,结果为标量; 2、向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin<a,b>,即c的长度在数值上等于以a,b,夹角为θ组成的平行四边形的面积; 3、a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a×b=x1y2-y1x2; 4、a...
  • 一、两向量的数量   数量: a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡θ,a⋅a=∣a∣2\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b=|\boldsymbol a||\boldsymbol b| \cos \theta, \quad \boldsymbol a \cdot \boldsymbol a=|\boldsymbol a|^...
  • 支持向量积【SVM】

    千次阅读 2019-03-16 16:33:26
    支持向量积根据数据的情况分为三种。如果数据是线性可分的,则用线性可分支持向量积。如果数据是近似线性可分的,则用线性支持向量积。如果数据是不可分的,则用非线性支持向量积。 一、线性可分支持向量积 1.1 ...
  • 需注意握拳的方向所对应的角度是小于180度 仍需注意是谁叉乘谁,叉乘前面的向量才是四指指向的方向 如有任何问题,请各路大神再评论区中指教!!!
  • 向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛,通常应用于...
  • python实现向量积运算

    千次阅读 2021-07-19 21:22:06
    即list1[0]乘以list2[0]然后相加并且以此类推 ist1 = [111,222,333,444,555,666,777,888,999] list2 = [999,777,555,333,111,888] count = 0 for i in range(100): #为了防止两个列表长度不一致 ...
  • 高等数学:对向量及其线性运算和数量积、向量积的见解
  • 数量积、向量积、混合积

    千次阅读 2020-03-09 12:49:26
    一、数量积 二、向量积 三、混合积
  • 对于a=(x1,y1,z1)和b=(x2,y2,z2) 数量积:(x1*x2,y1*y2,z1*z2) 向量积:(y1*z2-z1*y2,z1*z2-z1*z2,x1*y2-y1*x2) 即求矩阵
  • 本篇内容依然是向量的运算,只不过不属于线性运算,内容包括向量的数量积与向量积。 一、向量的数量积(内积、点乘,参与运算的是向量,结果是数) (一)问题产生的背景与表达 (二)向量数量积定义(几何) 向量...
  • 叉乘是向量积,记作a×b,a×b=|a|·|b|sinθ,其中|a|、|b|是两向量的模,θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π).以上a与b均为向量。 |向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b> 向量c的方向与a
  • 例子:两个向量A和B,求交叉。已知 A=[x1,y1,z1], B=[x2,y2,z2] 则A和B的交叉运算方法:C=[y1z2-y2z1,x2z1-x1z2,x1y2-x2y1]。 其中: y1z2-y2z1部分标记如下: A=[x1,y1,z1], B=[x2,y2,z2] x2z1-x1z2...
  • 高数中的知识,忘了差不多了呢,一下内容来自于网络整理:向量的点积即数量积,叉积又称向量积或矢量积。点积、叉积甚至两者的混合积在场论中是极其基本的运算。MATLAB是用函数实现向量点、叉积运算的。1. 点积运算...
  • 向量积计算三角形面积

    万次阅读 2020-02-09 17:57:33
    向量积:数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。 向量积可以被定义为: 模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所...
  • 向量的数量积,向量积,混合积

    千次阅读 2019-10-05 21:49:56
    设两向量分别为 α 和 β, ... 通过公式我们可以发现,两个向量的数量就是一个数量。  数量又称为点或者内。  ex: 在直角坐标系 {O; i, j, k} 中,设 α = (a1, a2, a3), β = (b1, b2, b3),  ...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 95,367
精华内容 38,146
关键字:

向量机