文章目录
 
前言
精度限制
float存储方式
float存储示例
float范围
float精度
float小数
float特殊值
总结

 
 
前言
 
关于float的精度和取值范围这个问题，我查询了很多次，每次都是用完就忘了，等到再使用的时候还需要再次查询，关键是这个问题大家给出的结果并不都是一致的，我得从众多的资料当中选择出正确的观点，这还要额外花一些时间，所以我决定也总结一次，方便我以后拿来直接用了，如果能给大家带来帮助那就更好了。下面提到一些说法很多都是我个人的理解，如果大家有疑义，欢迎讨论。
 
精度限制
 
首先考虑下为什么会产生精度问题，是因为存储数据的空间有限，以一个四字节整数int n;为例，一共有32位，取值范围是 [-2147483648‬, 2147483647] ，一共是4,294,967,296种可能，它的精度可以说是小数点后一位都不保留，也就是只有整数，换句话说变量n可以表示实数范围内的4,294,967,296个数值。
 
如果换成float类型呢？一个变量float f所能表示多少个数呢？实际上由于存储空间未发生变化，同样是4字节32位，那么float类型也只能表示，或者说精确表示4,294,967,296个数值（真实情况由于一些特殊的规则，最终所表示的数字个数还要少），说到这里很多人可能会疑惑，因为他知道float可以表示比4,294,967,296大的数，同时也能表示小数，如果只有4,294,967,296种可能，那究竟是怎么做到的呢？
 
这里也就开始提到精度了，整数很好理解，每个数字的间隔都是1，int类型所表示的4,294,967,296个数字都是等间距的，步长为1。而float也只能表示4,294,967,296个数字，同时要表示比int还大的范围，一个很直观的想法就是把间距拉大，这样范围就大了，但是float还要表示小数，像0.2、0.4这样的数字间距明显要小于1啊，想要存储小数貌似要把间距缩小，这就和前面矛盾了啊。
 
实际上float类型存储数据的间隔不是等间距的，而是在0的附近间距小，在远离0的位置间距大，为什么会这样，一会我们看一下float类型数据的存储规则就明白了，这里先来看一下int类型和float类型所表示数字的范围对比，这只是一个示意图。
 
//int
           [ *         *         *         0         *         *         * ]
//float
[ *          *    *    *   *  *  * * * * * 0 * * * * *  *  *   *    *    *          * ]
 
上面的示意图就是两者表示数字范围的差异，每个星号*就表示一个数字，float通过这种不等间距的分布，既扩大了范围也表示了小数，那么有没有问题呢？
 
当然有问题，饭就这么多，人多了自然不够吃了，因为远离0的位置间距越来越大，当要表示间距中间的一个数字时，只能找它附近离它最近的一个可以表示的数字来代替，这就导致了精度问题，比如我给一个float类型变量分别赋值为 4294967244 和 4294967295 ，再次输出时都变成了 4294967296，因为超过了精度，所以只能找最接近的数字代替。
 
float存储方式
 
这部分内容基本上各篇文章说的都一致，我也简单描述下，后面根据这部分的定义来推算一下float的精度和取值范围。
 
首先我们知道常用科学计数法是将所有的数字转换成(±)a.b x $10^c$ 的形式，其中a的范围是1到9共9个整数，b是小数点后的所有数字，c是10的指数。而计算机中存储的都是二进制数据，所以float存储的数字都要先转化成(±)a.b x $2^c$，由于二进制中最大的数字就是1，所以表示法可以写成(±)1.b x $2^c$的形式，float要想存储小数就只需要存储(±)，b和c就可以了。
 
float的存储正是将4字节32位划分为了3部分来分别存储正负号，小数部分和指数部分的：
 
Sign（1位）：用来表示浮点数是正数还是负数，0表示正数，1表示负数。
Exponent（8位）：指数部分。即上文提到数字c，但是这里不是直接存储c，为了同时表示正负指数以及他们的大小顺序，这里实际存储的是c+127。
Mantissa（23位）：尾数部分。也就是上文中提到的数字b。
 
三部分在内存中的分布如下，用首字母代替类型
 
S
E
E
E
E
E
E
E
E
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
float存储示例
 
以数字6.5为例，看一下这个数字是怎么存储在float变量中的：
 
 
先来看整数部分，模2求余可以得到二进制表示为110。
 
 
再来看小数部分，乘2取整可以得到二进制表示为.1（如果你不知道怎样求小数的二进制，请主动搜索一下）。
 
 
拼接在一起得到110.1然后写成类似于科学计数法的样子，得到1.101 x $2^2$。
 
 
从上面的公式中可以知道符号为正，尾数是101，指数是2。
 
 
符号为正，那么第一位填0，指数是2，加上偏移量127等于129，二进制表示为10000001，填到2-9位，剩下的尾数101填到尾数位上即可
 
 
S
E
E
E
E
E
E
E
E
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
内存中二进制数01000000 11010000 00000000 00000000表示的就是浮点数6.5
 
float范围
 
明白了上面的原理就可求float类型的范围了，找到所能表示的最大值，然后将符号为置为1变成负数就是最小值，要想表示的值最大肯定是尾数最大并且指数最大，
 那么可以得到尾数为 0.1111111 11111111 11111111，指数为 11111111，但是指数全为1时有其特殊用途，所以指数最大为 11111110，指数减去127得到127，所以最大的数字就是1.1111111 1111111 11111111 x $2^{127}$，这个值为 340282346638528859811704183484516925440，通常表示成 3.4028235E38，那么float的范围就出来了：
 
 
 
[-3.4028235E38, 3.4028235E38]
 
 
float精度
 
float 类型的数据精度取决于尾数，相信大家都知道这一点，但是精度怎么算我也是迷糊了好久，最近在不断尝试的过程中渐渐的明白了，首先是在不考虑指数的情况下23位尾数能表示的范围是[0, $2^{23}-1$]，实际上尾数位前面还隐含了一个"1"，所以应该是一共24位数字，所能表示的范围是[0, $2^{24}-1$]（因为隐含位默认是"1"，所以表示的数最小是1不是0，但是先不考虑0，后面会特殊介绍，这里只按一般值计算），看到这里我们知道这24位能表示的最大数字为$2^{24}$-1，换算成10进制就是16777215，那么[0, 16777215]都是能精确表示的，因为他们都能写成1.b x $2^c$的形式，只要配合调整指数c就可以了。
 
16777215 这个数字可以写成1.1111111 11111111 1111111 * $2^{23}$，所以这个数可以精确表示，然后考虑更大的数16777216，因为正好是2的整数次幂，可以表示1.0000000 00000000 00000000 * $2^{24}$，所以这个数也可以精确表示，在考虑更大的数字16777217，这个数字如果写成上面的表示方法应该是 1.0000000 00000000 00000000 1 * $2^{24}$，但是这时你会发现，小数点后尾数位已经是24位了，23位的存储空间已经无法精确存储，这时浮点数的精度问题也就是出现了。
 
看到这里发现 16777216 貌似是一个边界，超过这个数的数字开始不能精确表示了，那是不是所有大于16777216的数字都不能精确表示了呢？其实不是的，比如数字 33554432 就可以就可以精确表示成1.0000000 00000000 00000000 * $2^{25}$，说道这里结合上面提到的float的内存表示方式，我们可以得出大于 16777216 的数字（不超上限），只要可以表示成小于24个2的n次幂相加，并且每个n之间的差值小于24就能够精确表示。换句话来说所有大于 16777216 的合理数字，都是[0, 16777215]范围内的精确数字通过乘以$2^n$得到的，同理所有小于1的正数，也都是 [0, 16777215] 范围内的精确数字通过乘以$2^n$得到的，只不过n取负数就可以了。
 
16777216 已经被证实是一个边界，小于这个数的整数都可以精确表示，表示成科学技术法就是1.6777216 * $10^7$，从这里可以看出一共8位有效数字，由于最高位最大为1不能保证所有情况，所以最少能保证7位有效数字是准确的，这也就是常说float类型数据的精度。
 
float小数
 
从上面的分析我们已经知道，float可表示超过16777216范围的数字是跳跃的，同时float所能表示的小数也都是跳跃的，这些小数也必须能写成2的n次幂相加才可以，比如0.5、0.25、0.125…以及这些数字的和，像5.2这样的数字使用float类型是没办法精确存储的，5.2的二进制表示为101.0011001100110011001100110011……最后的0011无限循环下去，但是float最多能存储23位尾数，那么计算机存储的5.2应该是101.001100110011001100110，也就是数字 5.19999980926513671875，计算机使用这个最接近5.2的数来表示5.2。关于小数的精度与刚才的分析是一致的，当第8位有效数字发生变化时，float可能已经无法察觉到这种变化了。
 
float特殊值
 
我们知道float存储浮点数的形式是(±)1.b x $2^c$，因为尾数位前面一直是个1，所以无论b和c取什么样的值，都无法得到0，所以在float的表示方法中有一些特殊的约定，用来表示0已经其他的情况。
 
float的内存表示指数位数有8位，范围是[0, 255]，考虑偏移量实际的指数范围是[-127,128]，但实际情况下指数位表示一般数字时不允许同时取0或者同时取1，也就是指数位的实际范围是[-126,127]，而指数取-127和128时有其特殊含义，具体看下面表格：
 
符号位
指数位
尾数位
数值
含义
0
全为0
全为0
+0
正数0
1
全为0
全为0
-0
负数0
0
全为0
任意取值f
$0.f\ast 2^{-126}$
非标准值，尾数前改为0，提高了精度
1
全为0
任意取值f
$-0.f\ast 2^{-126}$
非标准值，尾数前改为0，提高了精度
0
全为1
全为0
+Infinity
正无穷大
1
全为1
全为0
-Infinity
负无穷大
0/1
全为1
不全为0
NaN
非数字，用来表示一些特殊情况
总结
 
float的精度是保证至少7位有效数字是准确的
float的取值范围[-3.4028235E38, 3.4028235E38]，精确范围是[-340282346638528859811704183484516925440, 340282346638528859811704183484516925440]
一个简单的测试float精度方法，C++代码中将数字赋值给float变量，如果给出警告warning C4305: “=”: 从“int”到“float”截断，则超出了float的精度范围，在我的测试中赋值为16777216及以下整数没有警告，赋值为16777217时给出了警告。

首先我们需要知道何为bits和bytes?
 
bits:名为位数
bytes:为字节
简单的数就是MB和G的关系！那么8bits=1bytes，下面是各个单位的相互转化！
 
 那么float32和float64有什么区别呢?
 
数位的区别
一个在内存中占分别32和64个bits，也就是4bytes或8bytes
数位越高浮点数的精度越高
它会影响深度学习计算效率?
 
float64占用的内存是float32的两倍，是float16的4倍；比如对于CIFAR10数据集，如果采用float64来表示，需要60000*32*32*3*8/1024**3=1.4G，光把数据集调入内存就需要1.4G；如果采用float32，只需要0.7G，如果采用float16，只需要0.35G左右；占用内存的多少，会对系统运行效率有严重影响；（因此数据集文件都是采用uint8来存在数据，保持文件最小）
 
Pandas各数据类型占用内存情况表
 
 
Python使用numpy将数据类型设置为float32
 
import numpy as np
data = np.array([1,2,3,4,5,6,7,8,9],dtype='float32')
 
pandas分析float32和64的内存占用情况
 
pandas之所以处理数据速度快的原因就是他将数据加载到内存进行处理，下面使用pandas加载数据分别测试不同数据类型，相同的数据所占内存情况~
 
import pandas as pd
data = pd.DataFrame([1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9], dtype="float64")

data1 = pd.DataFrame([1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9], dtype="float32")

print(data.info(memory_usage=True))
print(data1.info(memory_usage=True))
 
 打印结果如下，我们只需要查看占用内存大小即可，float64数据占用192bytes，float32数据占用160bytes
 
 
 
<class 'pandas.core.frame.DataFrame'>
 RangeIndex: 8 entries, 0 to 7
 Data columns (total 1 columns):
  #   Column  Non-Null Count  Dtype  
 ---  ------  --------------  -----  
  0   0       8 non-null      float64
 dtypes: float64(1)
 memory usage: 192.0 bytes       ----------------->内存占用大小
 None
 <class 'pandas.core.frame.DataFrame'>
 RangeIndex: 8 entries, 0 to 7
 Data columns (total 1 columns):
  #   Column  Non-Null Count  Dtype  
 ---  ------  --------------  -----  
  0   0       8 non-null      float32
 dtypes: float32(1)
 memory usage: 160.0 bytes        ----------------->内存占用大小
 None
 
 

目录
 
1、浮点类型转换为十六进制
 
方法1：用地址用指针
 
方法2：用共用体
 
方法3： 使用memcpy
 
2、十六进制转换为浮点类型
 

近日在研究Modbus协议的时候遇到这样一个情况：使用ModScan32软件，可将HEX和浮点类型转换，如下所示：
 
 
那么如何在程序设计中实现十六进制和浮点类型转换呢？
 
C语言和C#语言中，对于浮点类型的数据采用单精度类型（float）和双精度类型(double)来存储，float数据占用32bit,double数据占用64bit,我们在声明一个变量float f= 2.25f的时候，是如何分配内存的呢？如果胡乱分配，那世界岂不是乱套了么，其实不论是float还是double在存储方式上都是遵从IEEE的规范的，float遵从的是IEEE R32.24 ,而double 遵从的是R64.53。
 
无论是单精度还是双精度在存储中都分为三个部分：
 
1、符号位(Sign) ：0代表正，1代表为负；
 
2、指数位（Exponent）：用于存储科学计数法中的指数数据，并且采用移位存储；
 
3、尾数部分（Mantissa）：尾数部分。
 
其中float的存储方式如下图所示：
 
 
而双精度的存储方式为：
 
 
了解了基本概念后咱就开始代码实现吧~
 
1、浮点类型转换为十六进制
 
方法1：用地址用指针
 
#include "stdio.h"

int main(void)
{
 float fa = 123.56;
 char farray[4] = {0};

 *(float*)farray = fa;
 
 printf("%f\n",*(float*)farray);
 
 return (0);
}
 
输出结果：
 
123.559998
 
方法2：用共用体
 
#include "stdio.h"

union {
 float fa;
 char farray[4];
}utemp;

int main(void)
{
 int i = 0;
 float ft = 0.0;
 
 utemp.fa = (float)123.56;
 
 ft = *(float*)utemp.farray;
 
 printf("%f\n",ft);
 
 return (0);
}
 
 输出结果：
 
123.559998
 
方法3： 使用memcpy
 
#include "stdio.h"
#include "string.h"

int main(void)
{
 float fa;
 char farray[4];
 float ft; 
 
 fa = 45.23;
 memcpy(farray,&fa,sizeof(farray));
 memcpy(&ft,&farray,sizeof(farray)); 
 printf("%f\n",ft);
 
 return (0);
}
 
 输出结果：
 
45.230000
 
2、十六进制转换为浮点类型
 
#include "stdio.h"
 
int main(void)
{
    unsigned char pMem[] = {0x66,0xE6,0xF0,0x42};
    float *p = (float*)pMem;
    printf("%g\r\n",*p);

    return 0;
}
 
  输出结果：
 
120.45
 
 最后为各位分享一个十分便利的十六进制和浮点类型互相转换的小工具：
 
 
参考链接，拓展学习：
 
1、浮点数类型在计算机里面的表示方法
 
2、浮点数在计算机中存储方式
 
3、如何把一个float存到一个长度为4的char数组中？

 
 
本文只讨论float转int的原理，如有不当之处，欢迎留言指出。交流学习。 
 
 
推荐阅读关于float转int的函数实现（非结构体实现版） 类型强转丢失精度的根源
 
目录
 
一、思路
 
1.1 十进制
 
1.2 二进制
 
1.3 处理棘手的符号位
 
1.4 小端模式
 
二、C语言实现
 
2.1 思路
 
2.2 利用结构体实现
 
2.3 利用内存拷贝函数memcpy实现
 

一、思路
 
1.1 十进制
 
大体和科学计数法（小数点前面只有1位，和用什么进制实现没有关系）别无二致。如果十进制：
 
 
 

  
  
 
 
从图1 我们可以看到， 对于科学计数法而言，小数点前面只有1位、小数点后面是有效位、以10为底数的幂有正有负有0。那么为了记录一个十进制数，我们需要记录四个要素：符号、小数点前的一位、有效位、指数。
 
1.2 二进制
 
类比到二进制，小数点前面一位一定是1，正如十进制小数点前面一位一定是1-9一样；那么我们只需记录符号、有效位以及指数。下面我们先举一个例子：-12,25展成float。注意：此处不要去想表示整型的原码反码补码那一套了。正如稍前讨论的那般，指数是有正负的，那如果不加某种手段，如何表示指数的正负呢？
 
1.3 处理棘手的符号位
 
IEEE二进制浮点数算术标准（ANSI/IEEE Std 754-1985）告诉我们一个很棒的解决办法：是这样做的，选取8bite用于表示指数部分（底数是2），有256种变化，既可以理解为0-255也可以理解为-128-127，取决于设计者是如何去解释的。而后者是非常好的，正指数和负指数都是127一人一半。所以不管实际指数是多少，一律加上127类似于加密过程；等到想把真实值取出来的时候，一律减去127类似于解密过程。
 
现在来演算一下-12.25如何展成float吧：
 
 
 

  
  
 
 
最后我们才能大体看懂这张示意图：
 
 
 

  
  
 
 
1.4 小端模式
 
大端模式和小端模式的由来
 
二、C语言实现
 
2.1 思路
 
难点在于如何用一个变量去读出内存中存放的float类型的变量。最直接的办法就是按照float类型的结构去设计一个完全一致的结构体，更为巧妙的办法是将float类型的变量通过调用内存拷贝函数memcpy复制到unsigned long类型的变量中。这两种办法都能将float类型的变量取出，然后分别读取符号位、指数位、尾数有效位。
 
学无止境，下面分别讨论这两种思路的实现：
 
2.2 利用结构体实现
 
用到了位域的知识点：
 
 
 

  
  
 
 
结构体设计以及函数声明。
 
#include<stdio.h> //printf()
#include<stdlib.h> //atof()

typedef struct FloatNode
{
    unsigned int mantissa : 23; //尾数部分
    unsigned int exponent : 8; //指数部分
    unsigned int sign : 1;  //符号位
}FloatNode;

int GetSign(const FloatNode *fn); //获取符号位
int GetExp(const FloatNode *fn); //获取指数部分
int Float_To_Int(float num); //类型强制转换
 

其他函数的实现
 
int GetSign(const FloatNode *fn) //获得符号位
{
    return fn->sign == 1 ? -1 : 1;
}

int GetExp(const FloatNode *fn) //获得指数位
{
    return (fn->exponent - 127); //根据IEEE754,减去127才是真正的指数位
}

int Float_To_Int(float num) //将float强转成int
{
    FloatNode *fn = (FloatNode*)&num;
    int exp = GetExp(fn);

    if(exp >= 0)
    {
        int mov = 23 - exp;
        int res = (fn->mantissa | 1<<23) >> mov;
        return res*GetSign(fn);
    }
    else
    {
        return 0;
    }
}
 
main主函数
 
int main(int argc, char* argv[])
{
    if(argc <= 1)
    {
        printf("%s\n", "Argument isn't enough.");
        return 0;
    }
    char *p = argv[1];
    float num = atof(p);
    int res = Float_To_Int(num);
    printf("转换之后的结果是：%d\n", res);
    return 0;
}
 
 
 

  
  
 
 
2.3 利用内存拷贝函数memcpy实现
 
重要的话，浮点型没有移位运算，或者说，即使强行进行移位运算也是被当成整型对待而得到错误的结果。如果不用一个和float类型完全一致的结构体去读取，那么只能将float类型的数据放到unsigned类型中再进行操作。
 
实际上就是对float型的结构进行解析，尤要注意的是运算符的优先级，告诫本篇博客的博友们：不要止步于看懂，自己也要写一写。
 
库文件的引入及函数的声明：
 
#include<stdio.h> //printf()
#include<string.h> //memcpy()
#include<stdlib.h> //atof()

int getSign(unsigned num);      //获得符号位
int getExp(unsigned num);       //获得指数部分
int float2int(float ft);    //float强转为int
 
其他函数的实现
 
int getSign(unsigned num)       //获得符号位
{
    int sign = num & (1<<31);
    return sign == 0 ? 1 : -1; 
}

int getExp(unsigned num)        //获得指数部分
{
    int exp = 0;
    for(int i = 23; i < 31; ++i)
        exp |= (num & (1<<i));
    exp = (exp>>23) - 127;
    return exp;
}

int float2int(float ft) //float强转为int
{
    unsigned num;
    memcpy(&num, &ft, sizeof(float)); //将float数据完整地拷贝到unsigned中

    int exp = getExp(num); //获得float存储结构的指数部分
    if(exp < 0) //如果指数小于0的话，实际值肯定是0.***,故而强转之后就为0
    {
        return 0;
    }
    else
    {
        int res = num & ((1<<23)-1);  //保留mantissa 注意运算符的优先级
        res |= 1<<23;   //将小数点前的1补上
        res >>= (23-exp); //整数部分右移到合适位置
        return res*getSign(num);
    }
}
 
main主函数
 
int main(int argc, char * argv[])
{
    if(argc <= 1)
    {
        printf("augument is not enough.\n");
        return 0;
    }

    float ft = atof(argv[1]); //将字符串转化为同值的float
    int res = float2int(ft);
    printf("转换之后的结果是：%d\n", res);
    return 0;
}
 
运行结果：