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  • 多元回归

    2018-09-29 15:41:39
    2.多元回归模型  y = B0 + B1x1+B2x2+...+Bpxp + e  e是误差值 3.多元回归方程  期望值中e的期望值为0,因此得到多元回归方程如下  E(y) = B0 + B1x1+B2x2+...+Bpxp 4.估计多元回归方程  y_...

    1.与简单线性回归区别(simple linear regression)

       多个自变量(X)

    2.多元回归模型

       y = B0 + B1x1+B2x2+...+Bpxp + e

        e是误差值

    3.多元回归方程

       期望值中e的期望值为0,因此得到多元回归方程如下

       E(y) = B0 + B1x1+B2x2+...+Bpxp

    4.估计多元回归方程

       y_hat = b0 + b1x1 + b2x2+...+bpxp

       一个样本被用来计算B0,B1,B2...Bp的点估计b0,b1,b2,...,bp

    5.估计流程(与简单线性回归方程类似)

      

    6.估计方法

      使sum of squares最小

      

     运算与简单线性回归类似,涉及到线性代数和矩阵代数的运算

    7.例子

      一家快递公司送货:

     运输里程:x1

     运输次数:x2

     运输时间:y

     

    运输里程

    运输次数

    运输时间

    100

    4

    9.3

    50

    3

    4.8

    100

    4

    8.9

    100

    2

    6.5

    50

    2

    4.2

    80

    2

    6.2

    75

    3

    7.4

    65

    4

    6.0

    y = b0 + b1*x1 + b2*x2

    计算后得出方程如下:

    y = -0.869 + 0.0611*x1 + 0.923*x2

     

    8.参数含义

     b0 平均每多运送一英里,运输时间延长0.0611小时

     b1 平均每多一次运输,运输时间延长0.923小时

     

    9.预测

      如果一个运输任务是跑102英里,运输6次,预计多少小时?

      time = -0.869 + 0.0611 * 102 + 0.923*6 = 10.9(小时)

     

    10.如果自变量中有分类型变量(categorical data),如何处理?

    英里数

    次数

    车型

    时间

    100

    4

    1

    9.3

    50

    3

    0

    4.8

    100

    4

    1

    8.9

    100

    2

    2

    6.5

    50

    2

    2

    4.2

    80

    2

    1

    6.2

    75

    3

    1

    7.4

    65

    4

    0

    6

    90

    3

    0

    7.6

     针对分类型变更需要先将分类型变量转化成数值型,有几种分类就追加几列,对应列值设置为1,其余设置为0,转化规则如下:

    英里数

    次数

    车型

    0

    1

    2

    时间

    100

    4

    1

    0

    1

    0

    9.3

    50

    3

    0

    1

    0

    0

    4.8

    100

    4

    1

    0

    1

    0

    8.9

    100

    2

    2

    0

    0

    1

    6.5

    50

    2

    2

    0

    0

    1

    4.2

    80

    2

    1

    0

    1

    0

    6.2

    75

    3

    1

    0

    1

    0

    7.4

    65

    4

    0

    1

    0

    0

    6

    90

    3

    0

    1

    0

    0

    7.6

    11.关于误差的分布

    误差e是一个随机变量,均值为0,e的方差对于所有自变量来说相等,所有e的值是独立的,

    e满足正态分布,并且通过B0+B1*X1+B2*X2+...+Bp*Xp反映y的期望值

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  • 多元门限回归模型优于单纯多元回归模型,曹琨,,利用乌江渡1951-2006年月径流量和74项气象因子资料拟合,建立单纯的多元回归模型和非线性多元门限回归模型,对2007、2008年月径流量进�
  • 多元回归模型

    2016-11-03 15:29:42
    coursera华盛顿大学机器学习专项课程第二门课,多元回归,数据和代码(包括习题答案)
  • 多元回归分析

    2019-11-02 10:00:00
    前言多元回归的形式如下:02.参数估计多元回归方程中各个参数也是需要估计的,关于为什么要估计,其实我们在一元线性回归里面也讲过。与一元线性回归不同的是,一元线性回归拟合的是一条线,而多元回归拟合的是一个...

    总第176篇/张俊红

    01.前言

    前面我们讲了一元线性回归,没看过的可以先去看看:一元线性回归分析。这一篇我们来讲讲多元线性回归。一元线性回归就是自变量只有一个x,而多元线性回归就是自变量中有多个x。

    多元回归的形式如下:

    02.参数估计

    多元回归方程中各个参数也是需要估计的,关于为什么要估计,其实我们在一元线性回归里面也讲过。与一元线性回归不同的是,一元线性回归拟合的是一条线,而多元回归拟合的是一个面。使用的方法也是最小二乘法。

    03.拟合程度判断

    在多元回归里面拟合程度判断与一元回归也类似,也主要有总平方和、回归平方和、残差平方和这三种。

    多元回归里面也有R^2,R^2 = SSR/SST = 1 - SSE/SST。因为增加自变量的会降低残差SSE,进而导致R^2增加。

    为什么加入新的变量会使SSE降低呢?因为每新加入一个新的变量,这个新的变量就会贡献一部分平方和,而这个平方和就是从残差里面分离出来的。

    为了避免盲目增加自变量而导致得到一个虚高的R^2,优秀的前辈们又想出了一个新的指标,即修正后的R^2。公式如下:

    公式中的n为样本量的个数,k为自变量的个数,通过n和k来调整R^2,这样就不会出现随着自变量个数的增加而导致R^2也跟着增加的情况。

    我们一般用调整后的R^2来判断多元回归的准确性。

    除了R^2以外,我们还可以使用标准误差来衡量回归模型的好坏。标准误差就是均方残差(MSE)的平方根,其表示根据各自变量x来预测因变量y的平均预测误差。

    04.显著性检验

    我们在一元线性回归里面做过显著性检验,在多元回归里面也是同样需要做显著性判断的。

    4.1线性关系检验

    线性关系检验就是检验y和多个x之间的关系是否显著,是总体显著性检验。

    检验方法与一元线性回归一致,即我们假设没有线性关系,然后对变量进行F检验,具体的详细介绍,参考一元线性回归中讲解的。

    4.2回归系数检验

    线性关系显著性检验是对多个变量的一个显著性判断,也就是说只要多个x中有一个x对y的影响是显著的,线性关系就是显著的。而回归系数检验是用来看每一个x对应的系数是否是显著的。要看某个变量的系数是否显著,假设这个变量的系数等于0,然后进行t检验判断显著性。

    具体的t检验可以查看假设检验的内容:统计学的假设检验

    05.多重共线性

    多元回归与一元回归还有一个不同点就是,多元回归有可能会存在多重共线性。

    什么是多重共线性呢?多元回归里面我们希望是多个x分别对y起作用,也就是x分别与y相关。但在实际场景中,可能x1与x2之间彼此相关,我们把这种x变量之间彼此相关的情况称为多重共线性。多重共线性可能会让回归得到一个错误的结果。

    既然多重共线性的问题很严重,那我们应该如何发现呢?最简单的一种方法就是求变量之间的相关性,如果两个变量之间高度相关,就可以认为是存在多重共线性。

    对于存在多重共线性问题的变量,我们一般会把其中一个舍弃。

    以上就是关于多元回归的一个简单介绍,大家可以看到很多内容没有展开来讲,主要是因为这些东西在之前的文章都讲过了。如果没有看过的同学,可以去前面对应的文章翻翻。

    你还可以看:

    聊聊置信度与置信区间

    统计学的假设检验

    一元线性回归分析

    方差分析

    多因素方差分析

    卡方检验讲解

    多重比较法-LSD

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  • 多元相关分析与多元回归分析

    万次阅读 多人点赞 2018-10-27 17:13:02
    多元回归分析模型建立 线性回归模型基本假设 多元回归分析用途 多元线性相关分析 矩阵相关分析 复相关分析 曲线回归模型 多项式曲线 二次函数 对数函数 指数函数 幂函数 双曲线函数 变量间的...

    目录

    变量间的关系分析

    什么是相关分析

    什么是回归分析

    分析步骤

    回归分析与相关分析的主要区别

    一元线性相关分析

    一元线性回归分析

    建模

    方差分析检验

     t检验

    多元回归分析模型建立

    线性回归模型基本假设

    多元回归分析用途

    多元线性相关分析

    矩阵相关分析

    复相关分析

    曲线回归模型

    多项式曲线

    二次函数

    对数函数

    指数函数

    幂函数

    双曲线函数


    变量间的关系分析

    变量间的关系有两类,一类是变量间存在着完全确定的关系,称为函数关系,另一类是变量间的关系不存在完全的确定性,不能用精缺的数学公式表示,但变量间存在十分密切的关系,这种称为相关关系,存在相关关系的变量称为相关变量

    相关变量间的关系有两种:一种是平行关系,即两个或两个以上变量相互影响。另一种是依存关系,即是一个变量的变化受到另一个或多个变量的影响。相关分析是研究呈平行关系的相关变量之间的关系。而回归分析是研究呈依存关系的相关变量间的关系。表示原因的变量称为自变量-independent variable,表示结果的变量称为因变量-dependent variable

    什么是相关分析

    通过计算变量间的相关系数来判断两个变量的相关程度及正负相关。

    什么是回归分析

    通过研究变量的依存关系,将变量分为因变量和自变量,并确定自变量和因变量的具体关系方程式

    分析步骤

    建立模型、求解参数、对模型进行检验

    回归分析与相关分析的主要区别

    1.在回归分析中,解释变量称为自变量,被解释变量称为因变量,相关分析中,并不区分自变量和因变量,各变量处于平的地位。--(自变量就是自己会变得变量,因变量是因为别人改变的)

    2.在相关分析中所涉及的变量全部是随机变量,在回归分析中只有只有因变量是随机变量。

    3.相关分析研究主要是为刻画两类变量间的线性相关的密切程度,而回归分析不仅可以揭示自变量对因变量的影响大小,还可以由回归方程进行预测和控制。

    一元线性相关分析

    线性相关分析是用相关系数来表示两个变量间相互的线性关系,总体相关系数的计算公式为:

     δ^2x代表x的总体方差, δ^2y代表y的总体方差,δxy代表x变量与y变量的协方差,相关系数ρ没有单位,在-1到1之间波动,绝对值越接近1越相关,符号代表正相关或复相关。

    一元线性回归分析

    使用自变量与因变量绘制散点图,如果大致呈直线型,则可以拟合一条直线方程

    建模

    直线模型为:

     y是因变量y的估计值,x为自变量的实际值,a、b为待估值

    几何意义:a是直线方程的截距,b是回归系数

    经济意义:a是x=0时y的估计值,b是回归系数

    对于上图来说,x与y有直线的趋势,但并不是一一对应的,y与回归方程上的点的差距成为估计误差或残差,残差越小,方程愈加理想。

    当误差的平方和最小时,即Q,a和b最合适

    对Q求关于a和b的偏导数,并令其分别等于零,可得:

     式中,lxx表示x的离差平方和,lxy表示x与y的离差积和。

    方差分析检验

    将因变量y实测值的离均差平方和分成两部分即使:

    分为:

    实测值yi扣除了x对y的线性影响后剩下的变异

    和x对y的线性影响,简称为回归评方或回归贡献

    然后证明:

     t检验

    当β成立时,样本回归系数b服从正态分布,这是可以使用T检验判断是否有数学意义,检验所用统计量为

    例如t=10,那么可以判断α=0.05水平处拒绝H0,接受H1,那么x与y存在回归关系

    多元回归分析模型建立

    一个因变量与多个自变量间的线性数量关系可以用多元线性回归方程来表示

    b0是方程中的常数项,bi,i=1,2,3称为偏回归系数。

    当我们得到N组观测数据时,模型可表示为:

    其矩阵为:

    X为设计阵,β为回归系数向量。

    线性回归模型基本假设

    在建立线性回归模型前,需要对模型做一些假定,经典线性回归模型的基本假设前提为:

    1.解释变量一般来说是非随机变量

    2.误差等方差及不相关假定(G-M条件)

    3.误差正太分布的假定条件为:

    4. n>p,即是要求样本容量个数多于解释变量的个数

    多元回归分析用途

    1.描述解释现象,希望回归方程中的自变量尽可能少一些

    2.用于预测,希望预测的均方误差较小

    3.用于控制,希望各个回归系数具有较小的方差和均方误差

    变量太多,容易引起以下四个问题:
    1.增加了模型的复杂度

    2.计算量增大

    3.估计和预测的精度下降

    4.模型应用费用增加

    多元线性相关分析

    两个变量间的关系称为简单相关,多个变量称为偏相关或复相关

    矩阵相关分析

    设n个样本的资料矩阵为:

    此时任意两个变量间的相关系数构成的矩阵为:

    其中rij为任意两个变量之间的简单相关系数,即是:

    复相关分析

    系数计算:

    设y与x1,x2,....,回归模型为

    y与x1,x2,....做相关分析就是对y于y^做相关分析,相关系数计算公式为

    曲线回归模型

    多项式曲线

    二次函数

    y=a+bx+cx^2

    对数函数

    y=a+blogx

    指数函数

    y = ae^bx或y = ae^(b/x)

    幂函数

    y=ax^b (a>0)

    双曲线函数

    y = a+b/x

     实战操作见下一篇文章

    展开全文
  • 主要介绍了scikit-learn线性回归,多元回归,多项式回归的实现,文中通过示例代码介绍的非常详细,对大家的学习或者工作具有一定的参考学习价值,需要的朋友们下面随着小编来一起学习学习吧
  • 用C#写的多元回归算法,有详细的注释,一看就明白。Java可以直接拿去更改,包含了一份data.xlsx文件数据。
  • 多元回归是六西格玛管理中我们常用的一统计工具,它可以帮助考察多个x对y的影响,并建立可以用于预测的回归方程。这一块的内容我们在之前的文章中做了详细介绍,但是我们今天将基于Minitab 19向大家介绍机器学习下的...

    多元回归是六西格玛管理中我们常用的一统计工具,它可以帮助考察多个x对y的影响,并建立可以用于预测的回归方程。这一块的内容我们在之前的文章中做了详细介绍,但是我们今天将基于Minitab 19向大家介绍机器学习下的多元回归

    0079f319e4012b5a3727c3734f0ab086.png

    Minitab中已经引入很多机器学习的算法,在Minitab 19中我们还加入了CART分类树与CART回归树算法,当然我们今天的重点是多元回归。

    7f30277563261c17be0069de46798217.png51ef0ea4b468eb0af9950e4b4e74c364.png

    什么是好的模型   

    我们在建模的时候最不愿意看到两种情况:过度拟合和欠拟合。

    使用与拟合模型相同的数据来评估模型,经常会导致过度拟合,如下图。

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    而这种过度拟合的模型如果用来预测的话,效果往往不好。

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    那么什么才算一个好的模型呢?一个好的模型需要在高方差(过度拟合)和高偏差(欠拟合)之间找到一种权衡。

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    上图就是由于模型太简单导致存在高的偏差。

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    上图就是由于模型过度拟合导致存在高的方差(为什么说高方差呢?大家试想一下挪动一点试试看)。

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    什么是“验证”   

    那么如何去找到“高偏差”与“高方差”之间的权衡呢?这就需要用到“验证”法了。

    机器学习下的多元回归把数据分为两大类:训练集和测试集。训练集用来创建模型,而测试集来评估模型的性能。这样我们就可以来权衡过度拟合和欠拟合的模型。

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    从上图中我们可知,用训练集来建模时,模型越复杂模型误差越小,但再来看看测试集你会发现当模型复杂到一定程度,它的误差会随着模型复杂度的增加而增大。也就是说,太简单和太复杂的模型都不能很好的用来预测。这是如何做到的呢?这就要来说说机器学习中的“验证”法了。

    在Minitab 19中的回归中,我们加入“验证”按钮,丰富了验证的方法。

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    验证法一共有三种:留一验证法、测试集验证法和K者交叉验证法,下面我们一起来看看三者之间的区别。

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    1. 留一验证法

    这种方法正如其名,留一留一,就是留下一行yi,再用其他所有数据来建模,得到模型后再把留下来这一行代入得到的模型就会得到对应的拟合者,其过程如下所示:

    a39d377d43285367adbd3f86fc828450.png

    接下来,我们计算预测的残差平方和(Predicted Residual Sum of Squares)

    5fdb18f94be145ff95a97074865a629e.png

    有了PRESS就可以来计算R-sq(预测)了,到这里是不是很熟悉了。

    f45066f20633cf7462cb3173ec45fdb2.png31c27761619f9931864367a61a2fa394.png

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    2. 测试集验证法

    随机保留一定比例(Minitab 19默认保留30%)的数据(测试集),用剩余的数据来拟合模型(训练集)。

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    用测试集数据计算误差,基于测试集数据的误差统计汇总信息选择模型。

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    另外,此时的残差分析也有点不同。

    23241bd0054b59d4ab97e5b6bacc6d66.png

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    3. K折交叉验证法

    将数据拆分为K个子集或份,以其中一份为测试数据,其它K-1份用于训练数据来拟合模型。使用测试数据计算误差,重复k次,每次忽略一份,基于测试数据误差统计汇总信息选择模型。

    7a541f84be5b42cefe5a14578ba6d269.pngdfc967f0d5e9db13f0caf3acc1cd5d7f.pngea80eacddb671904ec8d07f256e7788b.png2c2252428c1722dc8d4b8632ef66556e.png329c889d59d4e153fdc99c43d63f27ea.png

    这三种验证方法,留一法比较实用于小样本,测试集验证和K折交叉验证比较实用于大样本(在Minitab 19的CART分类树和CART回归树中,当数据行数小于等于 5000 时,K 折交叉验证方法为默认方法)。另外,在Logistic回归中仅使用测试集验证法。

    最后,如果您感兴趣,不妨再去试试Minitab 19中的逐步回归,您也会有新发现哦!

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  • 关于一元回归分析和多元回归分析的matlab代码,含有测试数据,直接就可以运行,然后出图,注释清楚,通俗易懂,每一步都有注释,比较详细。
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  • 如果只考虑f是线性函数的情形,当自变量只有一个时,即,,,nxxx1中n1时,称为一元线性回归,当自变量有多个时,即,...在Matlab软件包中有一个做一般多元回归分析的命令regeress,调用格式如下:[b,...
  • 多元回归实例分析

    2015-04-18 12:27:53
    多元回归分析的实例,有具体的讲解和操作,主要应用于spss等软件操作。有利于初学者掌握知识的要领
  • 介绍多元回归和logistic回归的原理,并介绍spss的具体操作,对学习有帮助
  • scikit-learn : 线性回归,多元回归,多项式回归

    万次阅读 多人点赞 2016-06-17 23:36:53
    使用scikit-learn学习线性回归,多元回归,多项式回归
  • 基于自适应多重多元回归的人脸年龄估计
  • 基于多元回归分析的无袖连续血压估算
  • 多元回归的形式如下:02.参数估计多元回归方程中各个参数也是需要估计的,关于为什么要估计,其实我们在一元线性回归里面也讲过。与一元线性回归不同的是,一元线性回归拟合的是一条线,而多元回归拟合的是一个面。...

空空如也

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多元回归