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  • 奇异值

    2021-01-11 21:25:55
    定义 特征值分解 奇异值分解 Σ对角元素即为奇异值 酉矩阵与正交矩阵 U为方阵,前者为正交矩阵在实数域,后者为酉矩阵在复数域 ...

    https://www.cnblogs.com/LeftNotEasy/archive/2011/01/19/svd-and-applications.html
    https://blog.csdn.net/dss875914213/article/details/84678957

    定义


    由KKT条件推导出矩阵特征值与矩阵奇异值

    特征值分解

    奇异值分解



    Σ对角元素即为奇异值

    酉矩阵与正交矩阵


    U为方阵,前者为正交矩阵在实数域,后者为酉矩阵在复数域

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  • 矩阵的奇异值是一个数学意义上的概念,一般是由奇异值分解(Singular Value Decomposition,简称SVD分解)得到。如果要问奇异值表示什么物理意义,那么就必须考虑在不同的实际工程应用中奇异值所对应的含义。下面先...

    矩阵的奇异值是一个数学意义上的概念,一般是由奇异值分解(Singular Value Decomposition,简称SVD分解)得到。如果要问奇异值表示什么物理意义,那么就必须考虑在不同的实际工程应用中奇异值所对应的含义。下面先尽量避开严格的数学符号推导,直观的从一张图片出发,让我们来看看奇异值代表什么意义。 
    这是一张照片,像素为高度450*宽度333。

    我们都知道,图片实际上对应着一个矩阵,矩阵的大小就是像素大小,比如这张图对应的矩阵阶数就是450*333,矩阵上每个元素的数值对应着像素值.我们记这个像素矩阵为A
    现在我们对矩阵A进行奇异值分解.直观上,奇异值分解将矩阵分解成若干个秩为一的矩阵之和,用公式表示就是:
    (1)
    其中等式右边每一项前的系数就是奇异值,u和v分别表示列向量,秩一矩阵的意思是矩阵秩为1。注意到每一项都是秩为1的矩阵。我们假定奇异值满足o1 >o2..>or, > 0(奇异值大于0是个重要的性质,但这里先别在意),如果不满足的话重新排列顺序即可,这无非是编号顺序的问题。
    既然奇异值有从大到小排列的顺序,我们自然要问,如果只保留大的奇异值,舍去较小的奇异值,这样(1)式里的等式自然不再成立,那会得到怎样的矩阵(图像)?
    ,这只保留(1)中等式右边第一项,然后作图:





    当我们取(1)的前50项的时候,

    我们得到和原图差别不大的图像.也就是说当k从1不断增大时,Ak不断的逼近A.让我们回到公式

    矩阵A表示一个450*333的矩阵,需要保存450×333=149850个元素的值。等式右边u和v分别是450*1和333*1的向量,每一项有1+450+333=784个元素。如果我们要存储很多高清的图片,而又受限于存储空间的限制在尽可能保证图像可被识别的精度的前提下,我们可以保留奇异值较大的若干项,舍去奇异值较小的项即可.例如在上面的例子中,如果我们只保留奇异值分解的前50项,则需要存储的元素为784×50=39200,和存储原始矩阵A相比,存储量仅为后者的26%。

    奇异值往往对应着矩阵中隐含的重要信息,且重要性和奇异值大小正相关。每个矩阵A都可以表示为一系列秩为1的“小矩阵”之和,而奇异值则衡量了这些“小矩阵”对于A的权重。
    在图像处理领域,奇异值不仅可以应用在数据压缩上,还可以对图像去噪如果一副图像包含噪声,我们有理由相信那些较小的奇异值就是由于噪声引起的。当我们强行令这些较小的奇异值为0时,就可以去除图片中的噪声。
    如下是一张25*15的图像

    但往往我们只能得到如下带有噪声的图像(和无噪声图像相比,下图的部分白格子中带有灰色)∶

    通过奇异值分解,我们发现矩阵的奇异值从大到小分别为:14.15,4.67,3.00,0.21,0.05。除了前3个奇异值较大以外,其余奇异值相比之下都很小.强行令这些小奇异值为0,然后只用前3个奇异值构造新的矩阵,得到

    可以明显看出噪声减少了(白格子上灰白相间的图案减少了)。

    奇异值分解还广泛的用于主成分分析(Principle Component Analysis,简称PCA)和推荐系统(如Netflex的电影推荐系统)等。在这些应用领域,奇异值也有相应的意义。


                                                                               奇异值重构图片

    可以看到,当我们取到前面120个奇异值来重构图片时,基本上已经看不出与原图片有多大的差别。

    从上面的图片的压缩结果中可以看出来,奇异值可以被看作成一个矩阵的代表值,或者说,奇异值能够代表这个矩阵的信息。当奇异值越大时,它代表的信息越多。因此,我们取前面若干个最大的奇异值,就可以基本上还原出数据本身。

    如下,可以作出奇异值数值变化和前部分奇异值和的曲线图,如下图所示

                                                                                           奇异值变化图

    从上面的第1个图,可以看出,奇异值下降是非常快的,因此可以只取前面几个奇异值,便可基本表达出原矩阵的信息。从第2个图,可以看出,当取到前100个奇异值时,这100个奇异值的和已经占总和的95%左右。

    References:https://www.zhihu.com/question/22237507

     

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  • AI数学基础之:奇异值奇异值分解

    千次阅读 2021-02-23 21:00:05
    奇异值是矩阵中的一个非常重要的概念,一般是通过奇异值分解的方法来得到的,奇异值分解是线性代数和矩阵论中一种重要的矩阵分解法,在统计学和信号处理中非常的重要。 在了解奇异值之前,让我们先来看看特征值的...

    简介

    奇异值是矩阵中的一个非常重要的概念,一般是通过奇异值分解的方法来得到的,奇异值分解是线性代数和矩阵论中一种重要的矩阵分解法,在统计学和信号处理中非常的重要。

    在了解奇异值之前,让我们先来看看特征值的概念。

    相似矩阵

    在线性代数中,相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A,B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P-1AP=B,则称矩阵A与B相似,记为A~B。

    对角矩阵

    对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵,常写为diag(a1,a2,…,an) 。对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种,值得一提的是:对角线上的元素可以为 0 或其他值,对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵;对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。对角矩阵的运算包括和、差运算、数乘运算、同阶对角阵的乘积运算,且结果仍为对角阵。

    可对角化矩阵

    可对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵。如果一个方块矩阵 A 相似于对角矩阵,也就是说,如果存在一个可逆矩阵 P 使得 P −1AP 是对角矩阵,则它就被称为可对角化的。

    特征值

    设A为n阶矩阵,若存在常数λ及n维非零向量x,使得Ax=λx,则称λ是矩阵A的特征值,x是A属于特征值λ的特征向量。

    一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量。

    即特征向量被施以线性变换 A 只会使向量伸长或缩短而其方向不被改变。

    一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。

    特征分解

    特征分解(Eigendecomposition),又称谱分解(Spectral decomposition)是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。

    A 是一个 N×N 的方阵,且有 N 个线性无关的特征向量 qi(i=1,…,N)。这样, A 可以被分解为: A= QΛQ-1

    其中 Q 是N×N方阵,且其第 i列为 A 的特征向量 。如果A的所有特征向量用x1,x2 … xm来表示的话,那么Q可以表示为:[x1,x2,,xm]\left[x_1,x_2,…,x_m\right], 其中x是n维非零向量。

    Λ 是对角矩阵,其对角线上的元素为对应的特征值,也即Λiii。 也就是[λ100λm]\left[\begin{matrix}λ_1 … 0\\… … …\\0 … λ_m \end{matrix}\right]

    这里需要注意只有可对角化矩阵才可以作特征分解。比如 [1101]\left[\begin{matrix}11\\01 \end{matrix}\right]不能被对角化,也就不能特征分解。

    因为 A= QΛQ-1 ,可以看做A被分解为三个矩阵,也就是三个映射。

    假如现在有一个向量x,我们可以得出下面的结论:

    Ax=QΛQ1xAx=QΛQ^{-1}x

    Q是正交矩阵,正交阵的逆矩阵等于其转置,所以Q1Q^{-1} = QTQ^T.QTQ^T对x的变换是正交变换,它将x用新的坐标系来表示,这个坐标系就是A的所有正交的特征向量构成的坐标系。比如将x用A的所有特征向量表示为:

    x=a1x1+a2x2++amxmx=a_1x_1+a_2x_2+…+a_mx_m

    则通过第一个变换就可以把x表示为[a1a2...am]T[a_1 a_2 ... a_m]^T

    QΛQ1x=QΛ[x1Tx2TxmT](a1x1+a2x2+a3x3++amxm)=QΛ[a1a2am]QΛQ^{-1}x=QΛ\left[\begin{matrix}x_1^T\\x_2^T\\…\\…\\x_m^T \end{matrix}\right](a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+…+a_mx_m)=QΛ\left[\begin{matrix}a_1\\a_2\\…\\a_m \end{matrix}\right]

    然后,在新的坐标系表示下,由中间那个对角矩阵对新的向量坐标换,其结果就是将向量往各个轴方向拉伸或压缩:

    QΛ[a1a2am]=Q[λ100λm][a1a2am]=Q[λ1a1λ2a2λmam]QΛ\left[\begin{matrix}a_1\\a_2\\…\\a_m \end{matrix}\right]=Q\left[\begin{matrix}λ_1 … 0\\… … …\\0 … λ_m \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}a_1\\a_2\\…\\a_m \end{matrix}\right]=Q\left[\begin{matrix}λ_1a_1\\λ_2a_2\\…\\λ_ma_m \end{matrix}\right]

    ​ 如果A不是满秩的话,那么就是说对角阵的对角线上元素存在0,这时候就会导致维度退化,这样就会使映射后的向量落入m维空间的子空间中。

    最后一个变换就是Q对拉伸或压缩后的向量做变换,由于Q和Q1Q^{-1}是互为逆矩阵,所以Q变换是Q1Q^{-1}变换的逆变换。

    特征值的几何意义

    一个矩阵乘以一个列向量相当于矩阵的列向量的线性组合。一个行向量乘以矩阵,相当于矩阵的行向量的线性组合。

    所以向量乘以矩阵之后,相当于将这个向量进行了几何变换。

    之前讲了 Λ 是对角矩阵,其对角线上的元素为对应的特征值,也即Λiii。 也就是[λ100λm]\left[\begin{matrix}λ_1 … 0\\… … …\\0 … λ_m \end{matrix}\right]

    这些特征值表示的是对向量做线性变换时候,各个变换方向的变换幅度。

    奇异值 Singular value

    假如A是m * n阶矩阵,q=min(m,n),A*A的q个非负特征值的算术平方根叫作A的奇异值。

    奇异值分解SVD

    特征值分解可以方便的提取矩阵的特征,但是前提是这个矩阵是一个方阵。如果是非方阵的情况下,就需要用到奇异值分解了。先看下奇异值分解的定义:

    A=UΣVTA=UΣV^T

    其中A是目标要分解的m * n的矩阵,U是一个 n * n的方阵,Σ 是一个n * m 的矩阵,其非对角线上的元素都是0。VTV^T是V的转置,也是一个n * n的矩阵。

    奇异值跟特征值类似,在矩阵Σ中也是从大到小排列,而且奇异值的减少特别的快,在很多情况下,前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上了。也就是说,我们也可以用前r大的奇异值来近似描述矩阵。r是一个远小于m、n的数,这样就可以进行压缩矩阵。

    通过奇异值分解,我们可以通过更加少量的数据来近似替代原矩阵。

    本文已收录于 www.flydean.com

    最通俗的解读,最深刻的干货,最简洁的教程,众多你不知道的小技巧等你来发现!

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  • 简介奇异值是矩阵中的一个非常重要的概念,一般是通过奇异值分解的方法来得到的,奇异值分解是线性代数和矩阵论中一种重要的矩阵分解法,在统计学和信号处理中非常的重要。在了解奇异值之前,让我们先来看看特征值的...

    简介

    奇异值是矩阵中的一个非常重要的概念,一般是通过奇异值分解的方法来得到的,奇异值分解是线性代数和矩阵论中一种重要的矩阵分解法,在统计学和信号处理中非常的重要。

    在了解奇异值之前,让我们先来看看特征值的概念。

    相似矩阵

    在线性代数中,相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A,B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P-1AP=B,则称矩阵A与B相似,记为A~B。

    对角矩阵

    对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵,常写为diag(a1,a2,...,an) 。对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种,值得一提的是:对角线上的元素可以为 0 或其他值,对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵;对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。对角矩阵的运算包括和、差运算、数乘运算、同阶对角阵的乘积运算,且结果仍为对角阵。

    可对角化矩阵

    可对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵。如果一个方块矩阵 A 相似于对角矩阵,也就是说,如果存在一个可逆矩阵 P 使得 P −1AP 是对角矩阵,则它就被称为可对角化的。

    特征值

    设A为n阶矩阵,若存在常数λ及n维非零向量x,使得Ax=λx,则称λ是矩阵A的特征值,x是A属于特征值λ的特征向量。

    一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量。

    即特征向量被施以线性变换 A 只会使向量伸长或缩短而其方向不被改变。

    一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。

    特征分解

    特征分解(Eigendecomposition),又称谱分解(Spectral decomposition)是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。

    令 A 是一个 N×N 的方阵,且有 N 个线性无关的特征向量 qi(i=1,…,N)。这样, A 可以被分解为: A= QΛQ-1

    其中 Q 是N×N方阵,且其第 i列为 A 的特征向量 。如果A的所有特征向量用x1,x2 … xm来表示的话,那么Q可以表示为:$\left[x_1,x_2,…,x_m\right]$, 其中x是n维非零向量。

    Λ 是对角矩阵,其对角线上的元素为对应的特征值,也即Λii=λi。 也就是$\left[\begin{matrix}λ_1 … 0\\… … …\\0 … λ_m \end{matrix}\right]$

    这里需要注意只有可对角化矩阵才可以作特征分解。比如 $\left[\begin{matrix}11\\01 \end{matrix}\right]$不能被对角化,也就不能特征分解。

    因为 A= QΛQ-1 ,可以看做A被分解为三个矩阵,也就是三个映射。

    假如现在有一个向量x,我们可以得出下面的结论:

    $Ax=QΛQ^{-1}x$

    Q是正交矩阵,正交阵的逆矩阵等于其转置,所以$Q^{-1}$ = $Q^T$.$Q^T$对x的变换是正交变换,它将x用新的坐标系来表示,这个坐标系就是A的所有正交的特征向量构成的坐标系。比如将x用A的所有特征向量表示为:

    $x=a_1x_1+a_2x_2+…+a_mx_m$

    则通过第一个变换就可以把x表示为$[a_1 a_2 ... a_m]^T$。

    $QΛQ^{-1}x=QΛ\left[\begin{matrix}x_1^T\\x_2^T\\…\\…\\x_m^T \end{matrix}\right](a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+…+a_mx_m)=QΛ\left[\begin{matrix}a_1\\a_2\\…\\a_m \end{matrix}\right]$

    然后,在新的坐标系表示下,由中间那个对角矩阵对新的向量坐标换,其结果就是将向量往各个轴方向拉伸或压缩:

    $QΛ\left[\begin{matrix}a_1\\a_2\\…\\a_m \end{matrix}\right]=Q\left[\begin{matrix}λ_1 … 0\\… … …\\0 … λ_m \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}a_1\\a_2\\…\\a_m \end{matrix}\right]=Q\left[\begin{matrix}λ_1a_1\\λ_2a_2\\…\\λ_ma_m \end{matrix}\right]$

    ​ 如果A不是满秩的话,那么就是说对角阵的对角线上元素存在0,这时候就会导致维度退化,这样就会使映射后的向量落入m维空间的子空间中。

    最后一个变换就是Q对拉伸或压缩后的向量做变换,由于Q和$Q^{-1}$是互为逆矩阵,所以Q变换是$Q^{-1}$变换的逆变换。

    特征值的几何意义

    一个矩阵乘以一个列向量相当于矩阵的列向量的线性组合。一个行向量乘以矩阵,相当于矩阵的行向量的线性组合。

    所以向量乘以矩阵之后,相当于将这个向量进行了几何变换。

    之前讲了 Λ 是对角矩阵,其对角线上的元素为对应的特征值,也即Λii=λi。 也就是$\left[\begin{matrix}λ_1 … 0\\… … …\\0 … λ_m \end{matrix}\right]$

    这些特征值表示的是对向量做线性变换时候,各个变换方向的变换幅度。

    奇异值 Singular value

    假如A是m n阶矩阵,q=min(m,n),AA的q个非负特征值的算术平方根叫作A的奇异值。

    奇异值分解SVD

    特征值分解可以方便的提取矩阵的特征,但是前提是这个矩阵是一个方阵。如果是非方阵的情况下,就需要用到奇异值分解了。先看下奇异值分解的定义:

    $A=UΣV^T$

    其中A是目标要分解的m n的矩阵,U是一个 n n的方阵,Σ 是一个n m 的矩阵,其非对角线上的元素都是0。$V^T$是V的转置,也是一个n n的矩阵。

    奇异值跟特征值类似,在矩阵Σ中也是从大到小排列,而且奇异值的减少特别的快,在很多情况下,前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上了。也就是说,我们也可以用前r大的奇异值来近似描述矩阵。r是一个远小于m、n的数,这样就可以进行压缩矩阵。

    通过奇异值分解,我们可以通过更加少量的数据来近似替代原矩阵。本文已收录于 www.flydean.com

    最通俗的解读,最深刻的干货,最简洁的教程,众多你不知道的小技巧等你来发现!

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  • 奇异值分解 SVD 的数学解释

    万次阅读 多人点赞 2017-03-29 12:33:19
    奇异值分解(Singular Value Decomposition,SVD)是一种矩阵分解(Matrix Decomposition)的方法。除此之外,矩阵分解还有很多方法,例如特征分解(Eigendecomposition)、LU分解(LU decomposition)、QR分解(QR ...
  • 奇异值分解

    2018-12-11 23:19:39
    详细的奇异值分解ppt,包含了特征值分解,基于此详细讲解了奇异值分解,并有图示说明,对数据降维有直观感受,采用例子简单易懂。内容与学科前沿息息相关。
  • 奇异值分解,就是把矩阵分成多个“分力”。奇异值的大小,就是各个“分力”的大小。 之前在介绍矩阵特征值与特征向量的时候,也是以运动作为类比。 一、通俗理解奇异值 1、翻绳 对于翻绳的这个花型而言,是由四...
  • 点击上方蓝字关注我们奇异值分解(SVD)在计算机视觉中有着广泛的应用,如数据降维、推荐系统、自然语言处理等。本文是介绍SVD的数学计算过程,并从SVD的性质说明其应用的原理。01特征值与特征向量奇异值分解(SVD)与...
  • 常用的三种方法有三角分解法,QR分解法,奇异值分解法(SVD)。奇异值分解是应用广泛的一种矩阵分解方法,任何一个矩阵都有一个SVD分解,SVD在数据压缩、去噪、图像处理中有重要应用。1. 特征值分解了解SVD,首先来看...
  • 本文主要关注奇异值的一些特性,另外还会稍稍提及奇异值的计算,不过本文不准备在如何计算奇异值上展开太多。另外,本文里面有部分不算太深的线性代数的知识,如果完全忘记了线性代数,看本文可能会有些困难。
  • 文章目录前言奇异值奇异值分解 前言 我们知道,只有方阵才有特征值和特征向量,因此只有方阵才能特征值分解, 那么非方阵怎么办? 奇异值奇异值分解 特征值分解只适用于方阵, 奇异值分解适用于任意的矩阵. 奇异值...
  • 奇异值分解(Singular Value Decomposition,SVD) 是一种矩阵因子分解方法, 是线性代数的概念。 任意一个m*n矩阵,都可以表示为三个矩阵的乘积(因式分解)形式, 分别是m阶正交矩阵、由降序排序的非负的对角线...
  • 奇异值分解的揭秘(一):矩阵的奇异值分解过程

    万次阅读 多人点赞 2019-05-27 11:03:12
    矩阵的奇异值分解(singular value decomposition,简称SVD)是线性代数中很重要的内容,并且奇异值分解过程也是线性代数中相似对角化分解(也被称为特征值分解,eigenvalue decomposition,简称EVD)的延伸。...
  • 01Singular Value Decomposition奇异值分解奇异值分解指任一mxn的矩阵A都可以分解为一个mxm酉矩阵U乘一个mxn对角阵Σ再乘一个nxn酉矩阵V共轭转置的形式。下面的讨论都是基于n阶实方阵,故奇异值分解的结果是一个n阶...
  • 特征值分解 奇异值分解 奇异谱分析

    千次阅读 2019-12-18 19:39:17
    特征值分解 奇异值分解 奇异谱分析特征值分解与奇异值分解奇异谱分析 特征值分解与奇异值分解 链接:https://blog.csdn.net/u013108511/article/details/79016939 奇异谱分析 链接:...
  • 奇异值分解(Singular value decomposition)简称SVD,是将矩阵分解为特征值和特征向量的另一种方法。奇异值分解可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵相乘来表示,这些小矩阵描述的都是矩阵的重要的特性...
  • 奇异值奇异值分解

    2013-09-15 21:42:00
    理论: 假设M是一个m×n阶矩阵,其中的元素全部属于域 K,也...这样的分解就称作M的奇异值分解。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。 直观的解释 在矩阵M的奇异值分解中 M = UΣV* ·U的列(columns)组成一套...
  • 奇异值与特征值分解

    2013-12-20 15:47:48
    奇异值与特征值分解
  • 本图文介绍了Matlab中有关奇异值奇异值分解的操作。
  • 奇异值和特征值

    2019-02-23 15:17:05
    第一次接触奇异值分解还是在本科期间,那个时候要用到点对点的刚体配准,这是查文献刚好找到了四元数理论用于配准方法(点对点配准可以利用四元数方法,如果点数不一致更建议应用ICP算法)。一直想找个时间把奇异值...

空空如也

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