引言

其实对于所有的聚类问题，都有一个核心点，那就是以什么样的规则来划分两个点是不是同一类。密度聚类，本质上就是基于一种密度的概念来进行聚类。而密度的定义本质上也是来自于两点的距离，所以其实对于聚类的算法来看，大家本质上都差不多，谁也别笑话谁。下面我们来总结介绍一种叫做DBSCAN的密度算法。



DBSCAN

DBSCAN 的全称是 Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise  

单词里面有个noise,这就说明我们的算法是能抗噪声的，并且我们的算法是可以在空间中聚类为任意形状的聚类的，这点是一些其他的聚类算法不具备的性质，如下所示：

 

具有这样的性能，就是因为我们的算法引入了“邻域”（其参数为$(\varepsilon, MinPts )$）的概念来刻画样本的紧密程度的算法。

下面我们来介绍一下这个算法，在具体算法之前，我们先看几个定义，非常简单，但是可能比较绕，懂了这几个定义，下面的算法就是小菜一碟了。

基于密度的几个概念

$\varepsilon -$邻域：

对$x_j \in D$，其$\varepsilon -$邻域是指样本集$D$中与$x_j$距离不大于$\varepsilon$的样本，即$N_{\varepsilon}(x_j) = \left \{ x_j \in D | dist(x_i,x_j) \leq \varepsilon  \right \}$

核心对象：

对象$x_j$的$\varepsilon -$邻域中至少包含$MinPts$个样本，即$N_{\varepsilon}(x_j) \geq MinPts$，则称$x_j$为核心对象。

密度直达：

若$x_j$位于$x_i$的$\varepsilon -$邻域中，且$x_i$是核心对象，则称$x_j$由$x_i$密度直达。

密度可达：

对$x_j$与$x_i$，存在样本序列$p_1,p_2,...,p_n$且$p_1 = x_j , p_n = x_i$ 且$p_{i+1}$由$p_{i}$密度直达，则称$x_j$由$x_i$密度可达。

其实这个概念本质上要求$p_2,...,p_n$都是核心对象

密度相连：

对$x_j$与$x_i$，若存在$x_k$使得$x_j$与$x_i$均由$x_k$密度可达，则称$x_j$由$x_i$密度相连。

下图直观的表示了这几个概念



基于上面的概念，可以定义DBSCAN算法里面的簇的定义

簇： 由密度可达关系导出的最大的密度相连的样本集合。

因此实际上簇$C \subseteq D$满足下面的两个条件：

连接性：$x_i \in C,x_j \in C \Rightarrow$ $x_i$与$x_j$密度相连

最大性：$x_i \in C$ 且$x_j$由$x_i$密度可达 $\Rightarrow x_j \in C$

实际上就是核心对象以及与其密度可达的所有的点的集合

本质上相当于一些核心对象以及边界点组成了簇，簇中核心的点就是核心对象。



具体算法描述

实际上就是核心对象以及与其密度可达的所有的点的集合


  
输入
  
  

    

    
样本集 $D = \left \{ x_1,...,x_N \right \}$
    
邻域参数$(\varepsilon, MinPts )$
    
  
  
  
算法流程
  
  

    
 

    
找出所有的核心对象，放入集合中 $\Omega$
    
初始化未访问的样本集合：$\Gamma = D$
    
$while( \Omega \neq \varnothing)$ 

    
    

      
 

      
$\Gamma_{old} = D$ 

      
随机选取一个核心对象$o \in \Omega$，初始化$Q = <o>$ 

      
$\Gamma = \Gamma \setminus  \left \{ o \right \}$ 

      
$while( Q \neq \varnothing)$ 

      
      

        
 

        
从 $Q$中取出样本$q$ 

        
$if (q$是核心对象$)$ 

        
        

          

          
另$\Delta = N_{\varepsilon}(q) \cap \Gamma$， 即获取核心对象$q$邻域内的点 

          
将$\Delta$内的点加入到$Q$中 

          
$\Gamma = \Gamma \setminus  \Delta$ 

          
$end \quad if$ 

          
$end \quad while$ 

          
$k = k+1$,并且生成聚类簇$C_k = \Gamma_{old} \setminus  \Gamma$ 

          
$\Omega = \Omega \setminus C_k$
          
$end \quad while$
          
          
          
          
        
      
    
  
  
  
输出
  
  

    
簇划分$C = \left \{ C_1,...,C_K \right \}$
  




算法的优缺点

优点：


算法不需要指定聚类的数目，但是算法实际上需要另外两个参数$(\varepsilon, MinPts )$，所以这个优点也是勉强。
可以聚成任意形状的类，就像开始的图所示
能够识别出噪声点


缺点：


对高维数据效果不算好
如果样本的密度不均， 效果会不理想

密度聚类

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1、DBSCAN概念 



基于密度的带噪声的空间聚类应用算法，它是将簇定义为密度相连的点的大集合，能够把足够高密度的区域划分为簇，并且可在噪声的空间数据集中发现任意形状的聚类。

2、密度聚类和距离聚类

密度聚类：只要临近区域的密度、对象、或者数据点的数目超过耨个阈值，就继续聚类，可以根据与周伟特点进行聚类

kmeans和分层聚类都是基于距离进行聚类，只能发现球状的簇，五发现其他形式的簇

3、其他概念

01密度：空间中任意一点的密度是以该点为圆形，以Eps为半径的圆区域内包含的点数目。

02 领域： 空间中任意一点的领域是以该点为圆心、以Eps为半径的圆区域内包含的点数目。

03 核心点：空间某一点的密度，如果大于某一给定阈值MInPts，则称为边界点。

04 噪声点：数据集中不属于核心点，也不属于边界点的点，也就是密度值为1的点

4、聚类方法

 

model=sklearn.cluster.DBSCAN(eps,min_samples)

eps 领域的大小，使用圆的半径表示

min_samples 点的个数的阈值

model.fit_predict(data)

data 数据

训练模型并且进行预测的方法

5、案例

import pandas as pd

import matplotlib.pyplot as plt


data = pd.read_csv('D:\\DATA\\pycase\\number2\\7.2\\data.csv')

plt.plot(
        data['x'],
        data['y'],
        '.',
        color='r'
        )
# 只能画出一种颜色，scatter可以根据标签类型区分绘画分类


# 导入DBSCN训练算法

from sklearn.cluster import DBSCAN

eps=0.2 # 领域的大小，使用圆的半径表示

MinPts=5 # 领域内，点个数的阈值

model=DBSCAN(eps,MinPts)

# 数据匹配
data['type']=model.fit_predict(data)

# 绘图
plt.scatter(
        data['x'],
        data['y'],
        c=data['type'] # 表示颜色
        )