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  • 信号处理之DFT、IDFT
    千次阅读
    2020-02-19 22:38:24

    一、DFT之前言部分
    由于matlab已提供了内部函数来计算DFT、IDFT,我们只需要会调用fft、ifft函数就行;
    函数说明:
    fft(x):计算N点的DFT。N是序列x的长度,即N=length(x);
    fft(x,L):计算L点的DFT。若L<N,则将原序列x截短为L点序列,再计算其L点的DFT;若L>N,则将原序列x补0至L点,然后通过计算其L点DFT。
    ifft(X):计算N点的IDFT。N是序列x的长度,即N=length(X)。
    ifft(X,L):计算L点的IDFT。若L<N,则将原序列x截短为L点序列,再计算其L点的IDFT;若L>N,则将原序列x补0至L点,然后通过计算其L点IDFT。

    N=30;
    L=512;
    f1=100;
    f2=120;
    fsam=600;
    T=1/fsam;
    wsam=2*pi*fsam;
    t=(0:N-1)*T;
    x=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t);
    X=fft(x,L);
    X1=fftshift(X);
    w=(-wsam/2+(0:L-1)*wsam/L)/(2*pi);
    plot(w,abs(X1));
    ylabel('幅度值');
    
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    2007-08-16 16:42

    IDFT的公式及C语言实现

    该公式与DFT的计算公式极其类似,只是符号发生了变化,而且多了一个1/N。可见IDFT的代码核DFT的代码很相似,在此只给出核心的代码:

    void my_idft_01(

    data_t *xr, // input real part A(k)

    data_t *xi, // input image part: B(k)

    data_t *yr, // output real part: a(n)

    data_t *yi, // output image part: b(n)

    int N // N

    )

    {

    int n, k;

    data_t Q;

    Q = 2*PI/N;

    for (k=0; k

    {

    yr[k] = 0.0;

    yi[k] = 0.0;

    for (n=0; n

    {

    // Different with DFT

    yr[k] += xr[n]*cos(Q*n*k) - xi[n]*sin(Q*n*k);

    yi[k] += xi[n]*cos(Q*n*k) + xr[n]*sin(Q*n*k);

    }

    }

    // Different with DFT * (1/N)

    for (k=0; k

    {

    yr[k] /= N;

    yi[k] /= N;

    }

    }

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  • DFT和IDFT分析

    千次阅读 2019-08-26 20:45:00
    DFT和IDFT分析DFT和IDFT的意义DFT的定义DFT的矩阵分析 DFT和IDFT的意义 DFT:离散傅里叶变换 ...设 x(n)x(n)x(n) 是一个长度为MMM的有限长序列,则定义x(n)x(n)x(n)的NNN离散傅里叶变换为 X(...

    DFT和IDFT的意义

    DFT:离散傅里叶变换
    离散傅里叶变换可以将连续的频谱转化成离散的频谱去计算,这样就易于计算机编程实现傅里叶变换的计算。FFT算法的出现,使得DFT的计算速度更快。

    定义

    DFT的定义

    x ( n ) x(n) x(n) 是一个长度为 M M M的有限长序列,则定义 x ( n ) x(n) x(n) N N N点离散傅里叶变换为
    X ( k ) = D F T [ x ( n ) ] = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) W N k n         ( k = 0 , 1 , . . . , N − 1 ) X(k) = DFT[x(n)] = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x(n)W_N^{kn}} \ \ \ \ \ \ \ (k=0, 1, ..., N-1) X(k)=DFT[x(n)]=n=0N1x(n)WNkn       (k=0,1,...,N1)
    注意: x ( n ) x(n) x(n)的离散傅里叶变换结果与变换区间长度 N N N的取值有关。

    DFT的定义

    X ( k ) X(k) X(k)的离散傅里叶逆变换(Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT)为
    x ( n ) = I D F T [ X ( k ) ] = 1 N ∑ n = 0 N − 1 X ( k ) W N − k n         ( n = 0 , 1 , . . . , N − 1 ) x(n) = IDFT[X(k)]=\frac{1}{N} \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {X(k)W_N^{-kn}} \ \ \ \ \ \ \ (n=0, 1, ..., N-1) x(n)=IDFT[X(k)]=N1n=0N1X(k)WNkn       (n=0,1,...,N1)
    式中, W N = e − j 2 π N W_{N}=e^{-j\frac{2\pi}{N}} WN=ejN2π, N N N称为DFT变换区间长度, N ≥ M N \ge M NM

    DFT的矩阵分析

    由DFT的数学表达式可以看出:

    1. 对于每一个 X ( k ) X(k) X(k)的计算,为两个向量的内积形式

    2. 对于 k = 0 , 1 , . . . , N − 1 k=0, 1, ..., N-1 k=0,1,...,N1,则 X ( k ) X(k) X(k)的计算可以看做向量 x ( n ) x(n) x(n)一个矩阵的乘积,我们一般讲这个矩阵称作DFT矩阵 X ( k ) = D F T [ x ( n ) ] = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) W N k n = x ( n ) ∗ P         ( k = 0 , 1 , . . . , N − 1 ) X(k) = DFT[x(n)] = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x(n)W_N^{kn}} = x(n)*P \ \ \ \ \ \ \ (k=0, 1, ..., N-1) X(k)=DFT[x(n)]=n=0N1x(n)WNkn=x(n)P       (k=0,1,...,N1) P = [ W N 0 ∗ 0    W N 0 ∗ 1    . . . W N 0 ∗ n W N 1 ∗ 0    W N 1 ∗ 1    . . . W N 1 ∗ n . . . W N k ∗ 0    W N k ∗ 1    . . . W N k ∗ n ] P= \left[ \begin{array}{l} W_N^{0*0}\ \ W_N^{0*1} \ \ ...W_N^{0*n}\\ W_N^{1*0}\ \ W_N^{1*1} \ \ ...W_N^{1*n}\\ ... \\ W_N^{k*0}\ \ W_N^{k*1} \ \ ...W_N^{k*n}\\ \end{array} \right] P=WN00  WN01  ...WN0nWN10  WN11  ...WN1n...WNk0  WNk1  ...WNkn

    3. 同理,对于IDFT的运算,同样会有一个对应的IDFT矩阵,且和DFT矩阵有如下的关系: x ( n ) = I D F T [ X ( k ) ] = 1 N ∑ n = 0 N − 1 X ( k ) W N − k n = 1 N X ( k ) ∗ Q ( k = 0 , 1 , . . . , N − 1 ) x(n) = IDFT[X(k)]=\frac{1}{N} \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {X(k)W_N^{-kn}} =\frac{1}{N} X(k)*Q \\ (k=0, 1, ..., N-1) x(n)=IDFT[X(k)]=N1n=0N1X(k)WNkn=N1X(k)Q(k=0,1,...,N1) Q = [ W N − 0 ∗ 0    W N − 0 ∗ 1    . . . W N − 0 ∗ n W N − 1 ∗ 0    W N − 1 ∗ 1    . . . W N − 1 ∗ n . . . W N − k ∗ 0    W N − k ∗ 1    . . . W N − k ∗ n ] Q= \left[ \begin{array}{l} W_N^{-0*0}\ \ W_N^{-0*1} \ \ ...W_N^{-0*n}\\ W_N^{-1*0}\ \ W_N^{-1*1} \ \ ...W_N^{-1*n}\\ ... \\ W_N^{-k*0}\ \ W_N^{-k*1} \ \ ...W_N^{-k*n}\\ \end{array} \right] Q=WN00  WN01  ...WN0nWN10  WN11  ...WN1n...WNk0  WNk1  ...WNkn

    4. P P P Q Q Q的形式进行分析,则可得到如下结论:
      Q = P ∗ Q = P^{*} Q=P
      其中, P P P D F T DFT DFT矩阵, Q Q Q I D F T IDFT IDFT矩阵,且 P P P Q Q Q均为对称阵。
      P P P Q Q Q的第一行和第一列全为1。

    5. P P P Q Q Q应用于DFT和IDFT中,则有
      X ( k ) = D F T [ x ( n ) ] = x ( n ) ∗ P x ( n ) = I D F T [ X ( k ) ] = 1 N X ( k ) ∗ Q = 1 N x ( n ) ∗ P ∗ Q 1 N x ( n ) ∗ P ∗ Q = I N X(k) = DFT[x(n)] = x(n)*P \\ x(n) = IDFT[X(k)]=\frac{1}{N} X(k)*Q =\frac{1}{N} x(n)*P*Q \\ \frac{1}{N} x(n)*P*Q = I_{N} X(k)=DFT[x(n)]=x(n)Px(n)=IDFT[X(k)]=N1X(k)Q=N1x(n)PQN1x(n)PQ=IN
      P ∗ Q = N ∗ I N P*Q = N * I_{N} PQ=NIN
      说明 D F T DFT DFT矩阵 P P P I D F T IDFT IDFT矩阵 Q Q Q均为正交矩阵 A ∗ A H = E A*A^{H}=E AAH=E)。
      这两个矩阵的每一行(列)都是有个基,在N个方向上都有不同的基向量。
      因此, D F T DFT DFT I D F T IDFT IDFT都是一种正交变换。

    DFT在matlab

    对于matlab中的 D F T DFT DFT正变换,可使用内置函数dftmtx(n),而对于 I D F T IDFT IDFT的矩阵,可以通过 1 N ∗ d f t m t x ( N ) ∗ \frac{1}{N}*dftmtx(N)^{*} N1dftmtx(N)来得到。

    相关的代码分析

    %% Prepare
    clc;
    close all;
    clear;
    
    %% Define the signal
    N = 8;
    x = [0:N-1];
    
    %% Generate the vector of n and k
    N = length(x);
    n = [0:N-1];
    k = [0:N-1];
    
    %% Generate the twist-factor W
    imag_unit = sqrt(-1);
    W = exp(-1*imag_unit*2*pi/N);
    
    %% Generate P matrix
    P = W.^(n'*k);
    
    %% DFT transformation
    X_P = x*P;
    X_fft = fft(x);
    X_err = norm(X_P - X_fft)
    
    %% Generate Q matrix
    Q = conj(P);
    
    % IDFT transformation
    x_Q = 1/N * X_P * Q;
    x_ifft = ifft(X_fft);
    x_err = norm(x_Q - x_ifft)
    
    %% Test: P*Q == N*I_n
    I_n = eye(N);
    left = P*Q;
    right = N*I_n;
    err = norm(left - right)
    
    %% Generate P and Q using dftmtx
    P_dftmtx = dftmtx(N);
    P_err = norm(P_dftmtx - P)
    
    Q_dftmtx = conj(dftmtx(N));
    Q_err = norm(Q_dftmtx - Q)
    
    
    展开全文
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