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2020-02-19 22:38:24
一、DFT之前言部分
由于matlab已提供了内部函数来计算DFT、IDFT,我们只需要会调用fft、ifft函数就行;
函数说明:
fft(x):计算N点的DFT。N是序列x的长度,即N=length(x);
fft(x,L):计算L点的DFT。若L<N,则将原序列x截短为L点序列,再计算其L点的DFT;若L>N,则将原序列x补0至L点,然后通过计算其L点DFT。
ifft(X):计算N点的IDFT。N是序列x的长度,即N=length(X)。
ifft(X,L):计算L点的IDFT。若L<N,则将原序列x截短为L点序列,再计算其L点的IDFT;若L>N,则将原序列x补0至L点,然后通过计算其L点IDFT。N=30; L=512; f1=100; f2=120; fsam=600; T=1/fsam; wsam=2*pi*fsam; t=(0:N-1)*T; x=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t); X=fft(x,L); X1=fftshift(X); w=(-wsam/2+(0:L-1)*wsam/L)/(2*pi); plot(w,abs(X1)); ylabel('幅度值');
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2007-08-16 16:42
IDFT的公式及C语言实现
该公式与DFT的计算公式极其类似,只是符号发生了变化,而且多了一个1/N。可见IDFT的代码核DFT的代码很相似,在此只给出核心的代码:
void my_idft_01(
data_t *xr, // input real part A(k)
data_t *xi, // input image part: B(k)
data_t *yr, // output real part: a(n)
data_t *yi, // output image part: b(n)
int N // N
)
{
int n, k;
data_t Q;
Q = 2*PI/N;
for (k=0; k
{
yr[k] = 0.0;
yi[k] = 0.0;
for (n=0; n
{
// Different with DFT
yr[k] += xr[n]*cos(Q*n*k) - xi[n]*sin(Q*n*k);
yi[k] += xi[n]*cos(Q*n*k) + xr[n]*sin(Q*n*k);
}
}
// Different with DFT * (1/N)
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{
yr[k] /= N;
yi[k] /= N;
}
}
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DFT的定义
设 x ( n ) x(n) x(n) 是一个长度为 M M M的有限长序列,则定义 x ( n ) x(n) x(n)的 N N N点离散傅里叶变换为
X ( k ) = D F T [ x ( n ) ] = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) W N k n ( k = 0 , 1 , . . . , N − 1 ) X(k) = DFT[x(n)] = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x(n)W_N^{kn}} \ \ \ \ \ \ \ (k=0, 1, ..., N-1) X(k)=DFT[x(n)]=n=0∑N−1x(n)WNkn (k=0,1,...,N−1)
注意: x ( n ) x(n) x(n)的离散傅里叶变换结果与变换区间长度 N N N的取值有关。DFT的定义
X ( k ) X(k) X(k)的离散傅里叶逆变换(Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT)为
x ( n ) = I D F T [ X ( k ) ] = 1 N ∑ n = 0 N − 1 X ( k ) W N − k n ( n = 0 , 1 , . . . , N − 1 ) x(n) = IDFT[X(k)]=\frac{1}{N} \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {X(k)W_N^{-kn}} \ \ \ \ \ \ \ (n=0, 1, ..., N-1) x(n)=IDFT[X(k)]=N1n=0∑N−1X(k)WN−kn (n=0,1,...,N−1)
式中, W N = e − j 2 π N W_{N}=e^{-j\frac{2\pi}{N}} WN=e−jN2π, N N N称为DFT变换区间长度, N ≥ M N \ge M N≥MDFT的矩阵分析
由DFT的数学表达式可以看出:
-
对于每一个 X ( k ) X(k) X(k)的计算,为两个向量的内积形式
-
对于 k = 0 , 1 , . . . , N − 1 k=0, 1, ..., N-1 k=0,1,...,N−1,则 X ( k ) X(k) X(k)的计算可以看做向量 x ( n ) x(n) x(n)和一个矩阵的乘积,我们一般讲这个矩阵称作DFT矩阵。 X ( k ) = D F T [ x ( n ) ] = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) W N k n = x ( n ) ∗ P ( k = 0 , 1 , . . . , N − 1 ) X(k) = DFT[x(n)] = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x(n)W_N^{kn}} = x(n)*P \ \ \ \ \ \ \ (k=0, 1, ..., N-1) X(k)=DFT[x(n)]=n=0∑N−1x(n)WNkn=x(n)∗P (k=0,1,...,N−1) P = [ W N 0 ∗ 0 W N 0 ∗ 1 . . . W N 0 ∗ n W N 1 ∗ 0 W N 1 ∗ 1 . . . W N 1 ∗ n . . . W N k ∗ 0 W N k ∗ 1 . . . W N k ∗ n ] P= \left[ \begin{array}{l} W_N^{0*0}\ \ W_N^{0*1} \ \ ...W_N^{0*n}\\ W_N^{1*0}\ \ W_N^{1*1} \ \ ...W_N^{1*n}\\ ... \\ W_N^{k*0}\ \ W_N^{k*1} \ \ ...W_N^{k*n}\\ \end{array} \right] P=⎣⎢⎢⎡WN0∗0 WN0∗1 ...WN0∗nWN1∗0 WN1∗1 ...WN1∗n...WNk∗0 WNk∗1 ...WNk∗n⎦⎥⎥⎤
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同理,对于IDFT的运算,同样会有一个对应的IDFT矩阵,且和DFT矩阵有如下的关系: x ( n ) = I D F T [ X ( k ) ] = 1 N ∑ n = 0 N − 1 X ( k ) W N − k n = 1 N X ( k ) ∗ Q ( k = 0 , 1 , . . . , N − 1 ) x(n) = IDFT[X(k)]=\frac{1}{N} \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {X(k)W_N^{-kn}} =\frac{1}{N} X(k)*Q \\ (k=0, 1, ..., N-1) x(n)=IDFT[X(k)]=N1n=0∑N−1X(k)WN−kn=N1X(k)∗Q(k=0,1,...,N−1) Q = [ W N − 0 ∗ 0 W N − 0 ∗ 1 . . . W N − 0 ∗ n W N − 1 ∗ 0 W N − 1 ∗ 1 . . . W N − 1 ∗ n . . . W N − k ∗ 0 W N − k ∗ 1 . . . W N − k ∗ n ] Q= \left[ \begin{array}{l} W_N^{-0*0}\ \ W_N^{-0*1} \ \ ...W_N^{-0*n}\\ W_N^{-1*0}\ \ W_N^{-1*1} \ \ ...W_N^{-1*n}\\ ... \\ W_N^{-k*0}\ \ W_N^{-k*1} \ \ ...W_N^{-k*n}\\ \end{array} \right] Q=⎣⎢⎢⎡WN−0∗0 WN−0∗1 ...WN−0∗nWN−1∗0 WN−1∗1 ...WN−1∗n...WN−k∗0 WN−k∗1 ...WN−k∗n⎦⎥⎥⎤
-
对 P P P和 Q Q Q的形式进行分析,则可得到如下结论:
Q = P ∗ Q = P^{*} Q=P∗
其中, P P P是 D F T DFT DFT矩阵, Q Q Q是 I D F T IDFT IDFT矩阵,且 P P P和 Q Q Q均为对称阵。
P P P和 Q Q Q的第一行和第一列全为1。 -
将 P P P和 Q Q Q应用于DFT和IDFT中,则有
X ( k ) = D F T [ x ( n ) ] = x ( n ) ∗ P x ( n ) = I D F T [ X ( k ) ] = 1 N X ( k ) ∗ Q = 1 N x ( n ) ∗ P ∗ Q 1 N x ( n ) ∗ P ∗ Q = I N X(k) = DFT[x(n)] = x(n)*P \\ x(n) = IDFT[X(k)]=\frac{1}{N} X(k)*Q =\frac{1}{N} x(n)*P*Q \\ \frac{1}{N} x(n)*P*Q = I_{N} X(k)=DFT[x(n)]=x(n)∗Px(n)=IDFT[X(k)]=N1X(k)∗Q=N1x(n)∗P∗QN1x(n)∗P∗Q=IN
P ∗ Q = N ∗ I N P*Q = N * I_{N} P∗Q=N∗IN
说明 D F T DFT DFT矩阵 P P P和 I D F T IDFT IDFT矩阵 Q Q Q均为正交矩阵( A ∗ A H = E A*A^{H}=E A∗AH=E)。
这两个矩阵的每一行(列)都是有个基,在N个方向上都有不同的基向量。
因此, D F T DFT DFT和 I D F T IDFT IDFT都是一种正交变换。
DFT在matlab
对于matlab中的 D F T DFT DFT正变换,可使用内置函数dftmtx(n),而对于 I D F T IDFT IDFT的矩阵,可以通过 1 N ∗ d f t m t x ( N ) ∗ \frac{1}{N}*dftmtx(N)^{*} N1∗dftmtx(N)∗来得到。
相关的代码分析
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