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  • 信号处理之DFT、IDFT
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    2020-02-19 22:38:24

    一、DFT之前言部分
    由于matlab已提供了内部函数来计算DFT、IDFT,我们只需要会调用fft、ifft函数就行；
    函数说明：
    fft(x)：计算N点的DFT。N是序列x的长度，即N=length（x）；
    fft(x,L):计算L点的DFT。若L<N,则将原序列x截短为L点序列，再计算其L点的DFT；若L>N,则将原序列x补0至L点，然后通过计算其L点DFT。
    ifft(X):计算N点的IDFT。N是序列x的长度，即N=length（X）。
    ifft(X,L):计算L点的IDFT。若L<N,则将原序列x截短为L点序列，再计算其L点的IDFT；若L>N,则将原序列x补0至L点，然后通过计算其L点IDFT。

    N=30;
L=512;
f1=100;
f2=120;
fsam=600;
T=1/fsam;
wsam=2*pi*fsam;
t=(0:N-1)*T;
x=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t);
X=fft(x,L);
X1=fftshift(X);
w=(-wsam/2+(0:L-1)*wsam/L)/(2*pi);
plot(w,abs(X1));
ylabel('幅度值');
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    2007-08-16 16:42

    IDFT的公式及C语言实现

    该公式与DFT的计算公式极其类似，只是符号发生了变化，而且多了一个1/N。可见IDFT的代码核DFT的代码很相似，在此只给出核心的代码:

    void my_idft_01(

    data_t *xr, // input real part A(k)

    data_t *xi, // input image part: B(k)

    data_t *yr, // output real part: a(n)

    data_t *yi, // output image part: b(n)

    int N // N

    )

    {

    int n, k;

    data_t Q;

    Q = 2*PI/N;

    for (k=0; k

    {

    yr[k] = 0.0;

    yi[k] = 0.0;

    for (n=0; n

    {

    // Different with DFT

    yr[k] += xr[n]*cos(Q*n*k) - xi[n]*sin(Q*n*k);

    yi[k] += xi[n]*cos(Q*n*k) + xr[n]*sin(Q*n*k);

    }

    }

    // Different with DFT * (1/N)

    for (k=0; k

    {

    yr[k] /= N;

    yi[k] /= N;

    }

    }

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  • DFT和IDFT分析

     千次阅读 2019-08-26 20:45:00
    DFT和IDFT分析DFT和IDFT的意义DFT的定义DFT的矩阵分析 DFT和IDFT的意义 DFT：离散傅里叶变换 ...设 x(n)x(n)x(n) 是一个长度为MMM的有限长序列，则定义x(n)x(n)x(n)的NNN点离散傅里叶变换为 X(...

    DFT和IDFT分析

    DFT和IDFT的意义

    DFT：离散傅里叶变换
    离散傅里叶变换可以将连续的频谱转化成离散的频谱去计算，这样就易于计算机编程实现傅里叶变换的计算。FFT算法的出现，使得DFT的计算速度更快。

    定义

    DFT的定义

    设 x ( n ) x(n) x(n) 是一个长度为 M M M的有限长序列，则定义 x ( n ) x(n) x(n)的 N N N点离散傅里叶变换为
    X ( k ) = D F T [ x ( n ) ] = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) W N k n         ( k = 0 , 1 , . . . , N − 1 ) X(k) = DFT[x(n)] = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x(n)W_N^{kn}} \ \ \ \ \ \ \ (k=0, 1, ..., N-1) X(k)=DFT[x(n)]=n=0∑N−1​x(n)WNkn​       (k=0,1,...,N−1)
    注意： x ( n ) x(n) x(n)的离散傅里叶变换结果与变换区间长度 N N N的取值有关。

    DFT的定义

    X ( k ) X(k) X(k)的离散傅里叶逆变换（Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT）为
    x ( n ) = I D F T [ X ( k ) ] = 1 N ∑ n = 0 N − 1 X ( k ) W N − k n         ( n = 0 , 1 , . . . , N − 1 ) x(n) = IDFT[X(k)]=\frac{1}{N} \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {X(k)W_N^{-kn}} \ \ \ \ \ \ \ (n=0, 1, ..., N-1) x(n)=IDFT[X(k)]=N1​n=0∑N−1​X(k)WN−kn​       (n=0,1,...,N−1)
    式中， W N = e − j 2 π N W_{N}=e^{-j\frac{2\pi}{N}} WN​=e−jN2π​, N N N称为DFT变换区间长度， N ≥ M N \ge M N≥M

    DFT的矩阵分析

    由DFT的数学表达式可以看出：

    1. 对于每一个 X ( k ) X(k) X(k)的计算，为两个向量的内积形式

    2. 对于 k = 0 , 1 , . . . , N − 1 k=0, 1, ..., N-1 k=0,1,...,N−1,则 X ( k ) X(k) X(k)的计算可以看做向量 x ( n ) x(n) x(n)和一个矩阵的乘积，我们一般讲这个矩阵称作DFT矩阵。 X ( k ) = D F T [ x ( n ) ] = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) W N k n = x ( n ) ∗ P         ( k = 0 , 1 , . . . , N − 1 ) X(k) = DFT[x(n)] = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x(n)W_N^{kn}} = x(n)*P \ \ \ \ \ \ \ (k=0, 1, ..., N-1) X(k)=DFT[x(n)]=n=0∑N−1​x(n)WNkn​=x(n)∗P       (k=0,1,...,N−1) P = [ W N 0 ∗ 0    W N 0 ∗ 1    . . . W N 0 ∗ n W N 1 ∗ 0    W N 1 ∗ 1    . . . W N 1 ∗ n . . . W N k ∗ 0    W N k ∗ 1    . . . W N k ∗ n ] P= \left[ \begin{array}{l} W_N^{0*0}\ \ W_N^{0*1} \ \ ...W_N^{0*n}\\ W_N^{1*0}\ \ W_N^{1*1} \ \ ...W_N^{1*n}\\ ... \\ W_N^{k*0}\ \ W_N^{k*1} \ \ ...W_N^{k*n}\\ \end{array} \right] P=⎣⎢⎢⎡​WN0∗0​  WN0∗1​  ...WN0∗n​WN1∗0​  WN1∗1​  ...WN1∗n​...WNk∗0​  WNk∗1​  ...WNk∗n​​⎦⎥⎥⎤​

    3. 同理，对于IDFT的运算，同样会有一个对应的IDFT矩阵，且和DFT矩阵有如下的关系: x ( n ) = I D F T [ X ( k ) ] = 1 N ∑ n = 0 N − 1 X ( k ) W N − k n = 1 N X ( k ) ∗ Q ( k = 0 , 1 , . . . , N − 1 ) x(n) = IDFT[X(k)]=\frac{1}{N} \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {X(k)W_N^{-kn}} =\frac{1}{N} X(k)*Q \\ (k=0, 1, ..., N-1) x(n)=IDFT[X(k)]=N1​n=0∑N−1​X(k)WN−kn​=N1​X(k)∗Q(k=0,1,...,N−1) Q = [ W N − 0 ∗ 0    W N − 0 ∗ 1    . . . W N − 0 ∗ n W N − 1 ∗ 0    W N − 1 ∗ 1    . . . W N − 1 ∗ n . . . W N − k ∗ 0    W N − k ∗ 1    . . . W N − k ∗ n ] Q= \left[ \begin{array}{l} W_N^{-0*0}\ \ W_N^{-0*1} \ \ ...W_N^{-0*n}\\ W_N^{-1*0}\ \ W_N^{-1*1} \ \ ...W_N^{-1*n}\\ ... \\ W_N^{-k*0}\ \ W_N^{-k*1} \ \ ...W_N^{-k*n}\\ \end{array} \right] Q=⎣⎢⎢⎡​WN−0∗0​  WN−0∗1​  ...WN−0∗n​WN−1∗0​  WN−1∗1​  ...WN−1∗n​...WN−k∗0​  WN−k∗1​  ...WN−k∗n​​⎦⎥⎥⎤​

    4. 对 P P P和 Q Q Q的形式进行分析，则可得到如下结论:
      Q = P ∗ Q = P^{*} Q=P∗
      其中， P P P是 D F T DFT DFT矩阵， Q Q Q是 I D F T IDFT IDFT矩阵，且 P P P和 Q Q Q均为对称阵。
      P P P和 Q Q Q的第一行和第一列全为1。

    5. 将 P P P和 Q Q Q应用于DFT和IDFT中，则有
      X ( k ) = D F T [ x ( n ) ] = x ( n ) ∗ P x ( n ) = I D F T [ X ( k ) ] = 1 N X ( k ) ∗ Q = 1 N x ( n ) ∗ P ∗ Q 1 N x ( n ) ∗ P ∗ Q = I N X(k) = DFT[x(n)] = x(n)*P \\ x(n) = IDFT[X(k)]=\frac{1}{N} X(k)*Q =\frac{1}{N} x(n)*P*Q \\ \frac{1}{N} x(n)*P*Q = I_{N} X(k)=DFT[x(n)]=x(n)∗Px(n)=IDFT[X(k)]=N1​X(k)∗Q=N1​x(n)∗P∗QN1​x(n)∗P∗Q=IN​
      P ∗ Q = N ∗ I N P*Q = N * I_{N} P∗Q=N∗IN​
      说明 D F T DFT DFT矩阵 P P P和 I D F T IDFT IDFT矩阵 Q Q Q均为正交矩阵（ A ∗ A H = E A*A^{H}=E A∗AH=E）。
      这两个矩阵的每一行（列）都是有个基，在N个方向上都有不同的基向量。
      因此， D F T DFT DFT和 I D F T IDFT IDFT都是一种正交变换。

    DFT在matlab

    对于matlab中的 D F T DFT DFT正变换，可使用内置函数dftmtx(n)，而对于 I D F T IDFT IDFT的矩阵，可以通过 1 N ∗ d f t m t x ( N ) ∗ \frac{1}{N}*dftmtx(N)^{*} N1​∗dftmtx(N)∗来得到。

    相关的代码分析

    %% Prepare
clc;
close all;
clear;

%% Define the signal
N = 8;
x = [0:N-1];

%% Generate the vector of n and k
N = length(x);
n = [0:N-1];
k = [0:N-1];

%% Generate the twist-factor W
imag_unit = sqrt(-1);
W = exp(-1*imag_unit*2*pi/N);

%% Generate P matrix
P = W.^(n'*k);

%% DFT transformation
X_P = x*P;
X_fft = fft(x);
X_err = norm(X_P - X_fft)

%% Generate Q matrix
Q = conj(P);

% IDFT transformation
x_Q = 1/N * X_P * Q;
x_ifft = ifft(X_fft);
x_err = norm(x_Q - x_ifft)

%% Test: P*Q == N*I_n
I_n = eye(N);
left = P*Q;
right = N*I_n;
err = norm(left - right)

%% Generate P and Q using dftmtx
P_dftmtx = dftmtx(N);
P_err = norm(P_dftmtx - P)

Q_dftmtx = conj(dftmtx(N));
Q_err = norm(Q_dftmtx - Q)
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  • 【计算机视觉算法岗面经】“吐血”整理：2019秋招资料

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    先写点废话吧，毕竟最近感受挺多的，在自己的博客里也不用顾忌措辞。强行给自己灌一波鸡汤~ 1、努力永远和收获成正比，即使这个比率很小。一直觉得自己没有特别的天赋，只能一点一点努力，而这点努力还经常被“比你...
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  • 6.3排序式检索 tf-idf权重计算

     千次阅读 2021-11-28 15:08:22
    信息检索：文档评分-词项权重计算-向量空间模型  第三部分：tf-idf权重计算 文章目录tf-idf权重计算权重文档频率dfidf计算举例cf VS df※tf-idf权重 tf-idf权重计算 在进行排序时，除了词项频率tf之外，我们通常...
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    信息检索 自然语言处理

  • 第四章快速傅里叶变换FFT

     2021-11-11 19:09:32
    一、基2FFT算法 1.直接计算DFT的特点 对于N点DFT的乘法和加法运算次数均为N^2(运算量较大) ... 设x(n)长度为N且满足N=2^M（M为自然数），按n的奇偶数把x(n)分解为两个N/2点的子序列（时域不断奇...
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    数字信号处理

  • OpenCV 第六章 DFT IDFT

     千次阅读 2013-09-10 21:05:24
    chap 6 DFT and IDFT （一）最简单的方法： #include // chap 6 DFT and IDFT void main() { IplImage* src=cvLoadImage("D:\\lxlx\\one.jpg",0); // src 8UC1 IplImage* temp=cvCreateImage(cvGetSize(src),8,1...
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  • 实验三用FFT对信号进行频谱分析报告及MATLAB程序.doc

     2021-04-21 01:43:30
    对序列进行N点DFT得到，则是在区间上对的N点等间隔采样，频谱分辨率就是采样间隔。因此序列的傅里叶变换可利用DFT(即FFT)来计算。用FFT对序列进行谱分析的误差主要来自于用FFT作频谱分析时，得...
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空空如也

空空如也

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计算n点idft的程序

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