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  • 该文件包括用于 DFT 和 IDFT 的 matlab 代码
  • 使用 Direct 和 FFT 方法计算 DFT、IDFT
  • 无需使用内置函数即可找到离散信号的 DFT 和 IDFT。它是快速傅立叶变换 (FFT) 的替代算法
  • DFT与IDFT

    万次阅读 2019-02-28 20:38:01
    DFT与IDFT 一.方法简介 序列x(n)(n=0,1,…N-1)的DFT定义为 X(k)=∑n=0N−1x(n)e−j2πnkN X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi nk}{N}} X(k)=n=0∑N−1​x(n)e−jN2πnk​ 设x(n)=a(n)+jb(n),X(k)...

    DFT与IDFT

    一.方法简介

    序列x(n)(n=0,1,…N-1)的DFT定义为
    Xk=n=0N1x(n)ej2πnkN X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi nk}{N}}

    x(n)=a(n)+jb(n),X(k)=A(k)+jB(K),Q=2π/N 设x(n)=a(n)+jb(n),\quad X(k)=A(k)+jB(K),\quad Q=2\pi/N

    则上式变为:
    Ak+jB(k)=n=0N1[a(n)+jb(n)][cos(Qnk)jsin(Qnk)] A(k)+jB(k)=\sum_{n=0}^{N-1}[a(n)+jb(n)][\cos(Qnk)-j\sin(Qnk)]

    Ak=n=0N1[a(n)cos(Qnk)+b(n)sin(Qnk)] A(k)=\sum_{n=0}^{N-1}[a(n)\cos(Qnk)+b(n)\sin(Qnk)]

    B(k)=n=0N1[b(n)cos(Qnk)a(n)sin(Qnk)] B(k)=\sum_{n=0}^{N-1}[b(n)\cos(Qnk)-a(n)\sin(Qnk)]

    序列X(k)的IDFT定义为:
    x(n)=1Nk=0N1X(k)WNnk,n=0,1,...N1 x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)W_{N}^{-nk},\quad n=0,1,...N-1

    DFTWNWN1,N 它与DFT的区别在于将W_{N}改变为改变为W_{N}^{-1},并多了一个除以N 的运算,公式如下

    a(n)=1Nk=0N1[A(k)cos(Qnk)B(k)sin(Qnk)] a(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}[A(k)\cos(Qnk)-B(k)\sin(Qnk)]

    b(n)=1Nk=0N1[B(k)cos(Qnk)+A(k)sin(Qnk] b(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}[B(k)\cos(Qnk)+A(k)\sin(Qnk]

    二.编程实现

    考滤到DFT和IDFT算法过程中有部分相似,可以把它们合成到一个算法。

    DFT.c

    /*
    	x-存放要变换数据的实部
    	y-存放要变换数据的虚部
    	a-存放变换结果的实部
    	b-存放变换结果的虚部
    	n-数据长度
    	sign-为1时执行DFT,为-1时执行IDFT
    */
    #include "math.h"
    void dft(x,y,a,b,n,sign)
    int n, sign;
    double x[],y[],a[],b[];
    {
    	int i,k;
    	double c,d,q,w,s;
    	q = 6.28318530718/n;
    	for (k=0;k<n;k++)
    	{
    		w=k*q;
    		a[k]=b[k]=0.0;
    		for(i=0;i<n;i++)
    		{
    			d=i*w;
    			c=cos(d);
    			s=sin(d)*sign;
    			a[k]+=c*x[i] + s*y[i];
    			b[k]+=c*y[i] - s*x[i];
    		}
    	}
    	if(sign == -1)
    	{
    		c=1.0/n;
    		for (k=0;k<n;k++)
    		{
    			a[k]=c*a[k];
    			b[k]=c*b[k];
    		}
    	}
    }
    

    下面验证此算法,对X(n)=(0,1,2,3,4,5,6,7),做DFT和IDFT算法

    dft_d.c

    #include "stdio.h"
    #include "math.h"
    #include "dft.c"
    #define N 4
    static double  x[N],y[N],a[N],b[N],c[N];
    main(){
    	int k;
    	int i=0;
    	for(i=0; i<N; i++)
    	{
    		x[i]=i;
    		y[i]=0;
    		
    		
    	}
    	dft(x,y,a,b,N,1);	//DFT变换
    	for(i=0; i<N; i++)
    	{
    		c[i]=sqrt(a[i]*a[i]+b[i]*b[i]);	//算出模
    		printf("%lf + j  %lf \n",a[i],b[i]);//输出变换后结果				
    		printf("%lf \n",c[i]); //输出模值
    		printf("\n");		
    	}
    	dft(a,b,x,y,N,-1); //IDFT变换
    	for(i=0; i<N; i++)
    	{
    		printf("%lf \n",x[i]); //输出x(n)的实部
    	}
    	
    }
    

    运行结果:

    在这里插入图片描述

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  • matlab的idft代码Matlab的 用于时域和频域采样的Matlab代码用于使用DFT和IDFT进行线性和圆形卷积
  • DFT和IDFT分析

    千次阅读 2019-08-26 20:45:00
    DFT和IDFT分析DFT和IDFT的意义DFT的定义DFT的矩阵分析 DFT和IDFT的意义 DFT:离散傅里叶变换 离散傅里叶变换可以将连续的频谱转化成离散的频谱去计算,这样就易于计算机编程实现傅里叶变换的计算。FFT算法的出现...

    DFT和IDFT的意义

    DFT:离散傅里叶变换
    离散傅里叶变换可以将连续的频谱转化成离散的频谱去计算,这样就易于计算机编程实现傅里叶变换的计算。FFT算法的出现,使得DFT的计算速度更快。

    定义

    DFT的定义

    x(n)x(n) 是一个长度为MM的有限长序列,则定义x(n)x(n)NN点离散傅里叶变换为
    X(k)=DFT[x(n)]=n=0N1x(n)WNkn       (k=0,1,...,N1) X(k) = DFT[x(n)] = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x(n)W_N^{kn}} \ \ \ \ \ \ \ (k=0, 1, ..., N-1)
    注意:x(n)x(n)的离散傅里叶变换结果与变换区间长度NN的取值有关。

    DFT的定义

    X(k)X(k)的离散傅里叶逆变换(Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT)为
    x(n)=IDFT[X(k)]=1Nn=0N1X(k)WNkn       (n=0,1,...,N1) x(n) = IDFT[X(k)]=\frac{1}{N} \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {X(k)W_N^{-kn}} \ \ \ \ \ \ \ (n=0, 1, ..., N-1)
    式中, WN=ej2πNW_{N}=e^{-j\frac{2\pi}{N}}, NN称为DFT变换区间长度,NMN \ge M

    DFT的矩阵分析

    由DFT的数学表达式可以看出:

    1. 对于每一个X(k)X(k)的计算,为两个向量的内积形式

    2. 对于k=0,1,...,N1k=0, 1, ..., N-1,则X(k)X(k)的计算可以看做向量x(n)x(n)一个矩阵的乘积,我们一般讲这个矩阵称作DFT矩阵X(k)=DFT[x(n)]=n=0N1x(n)WNkn=x(n)P       (k=0,1,...,N1)X(k) = DFT[x(n)] = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x(n)W_N^{kn}} = x(n)*P \ \ \ \ \ \ \ (k=0, 1, ..., N-1) P=[WN00  WN01  ...WN0nWN10  WN11  ...WN1n...WNk0  WNk1  ...WNkn]P= \left[ \begin{array}{l} W_N^{0*0}\ \ W_N^{0*1} \ \ ...W_N^{0*n}\\ W_N^{1*0}\ \ W_N^{1*1} \ \ ...W_N^{1*n}\\ ... \\ W_N^{k*0}\ \ W_N^{k*1} \ \ ...W_N^{k*n}\\ \end{array} \right]

    3. 同理,对于IDFT的运算,同样会有一个对应的IDFT矩阵,且和DFT矩阵有如下的关系: x(n)=IDFT[X(k)]=1Nn=0N1X(k)WNkn=1NX(k)Q(k=0,1,...,N1)x(n) = IDFT[X(k)]=\frac{1}{N} \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {X(k)W_N^{-kn}} =\frac{1}{N} X(k)*Q \\ (k=0, 1, ..., N-1) Q=[WN00  WN01  ...WN0nWN10  WN11  ...WN1n...WNk0  WNk1  ...WNkn]Q= \left[ \begin{array}{l} W_N^{-0*0}\ \ W_N^{-0*1} \ \ ...W_N^{-0*n}\\ W_N^{-1*0}\ \ W_N^{-1*1} \ \ ...W_N^{-1*n}\\ ... \\ W_N^{-k*0}\ \ W_N^{-k*1} \ \ ...W_N^{-k*n}\\ \end{array} \right]

    4. PPQQ的形式进行分析,则可得到如下结论:
      Q=P Q = P^{*}
      其中,PPDFTDFT矩阵,QQIDFTIDFT矩阵,且PPQQ均为对称阵。
      PPQQ的第一行和第一列全为1。

    5. PPQQ应用于DFT和IDFT中,则有
      X(k)=DFT[x(n)]=x(n)Px(n)=IDFT[X(k)]=1NX(k)Q=1Nx(n)PQ1Nx(n)PQ=IN X(k) = DFT[x(n)] = x(n)*P \\ x(n) = IDFT[X(k)]=\frac{1}{N} X(k)*Q =\frac{1}{N} x(n)*P*Q \\ \frac{1}{N} x(n)*P*Q = I_{N}
      PQ=NIN P*Q = N * I_{N}
      说明DFTDFT矩阵PPIDFTIDFT矩阵QQ均为正交矩阵AAH=EA*A^{H}=E)。
      这两个矩阵的每一行(列)都是有个基,在N个方向上都有不同的基向量。
      因此,DFTDFTIDFTIDFT都是一种正交变换。

    DFT在matlab

    对于matlab中的DFTDFT正变换,可使用内置函数dftmtx(n),而对于IDFTIDFT的矩阵,可以通过1Ndftmtx(N)\frac{1}{N}*dftmtx(N)^{*}来得到。

    相关的代码分析

    %% Prepare
    clc;
    close all;
    clear;
    
    %% Define the signal
    N = 8;
    x = [0:N-1];
    
    %% Generate the vector of n and k
    N = length(x);
    n = [0:N-1];
    k = [0:N-1];
    
    %% Generate the twist-factor W
    imag_unit = sqrt(-1);
    W = exp(-1*imag_unit*2*pi/N);
    
    %% Generate P matrix
    P = W.^(n'*k);
    
    %% DFT transformation
    X_P = x*P;
    X_fft = fft(x);
    X_err = norm(X_P - X_fft)
    
    %% Generate Q matrix
    Q = conj(P);
    
    % IDFT transformation
    x_Q = 1/N * X_P * Q;
    x_ifft = ifft(X_fft);
    x_err = norm(x_Q - x_ifft)
    
    %% Test: P*Q == N*I_n
    I_n = eye(N);
    left = P*Q;
    right = N*I_n;
    err = norm(left - right)
    
    %% Generate P and Q using dftmtx
    P_dftmtx = dftmtx(N);
    P_err = norm(P_dftmtx - P)
    
    Q_dftmtx = conj(dftmtx(N));
    Q_err = norm(Q_dftmtx - Q)
    
    
    展开全文
  • 图像的DFT与IDFT,对abs的图像系数一分为四,分别进行IDFT
  • IDFT的python实现

    千次阅读 2018-11-07 16:19:12
    IDFT IDFT(Inverse Discrete Fourier Transform), 傅里叶逆变换,可以将频域信号转换到时域中, 它的公式非常简单: x[n]=1N∑k=0N−1X[k]ej2πkn/N x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j2\pi kn/N} x[n]=...

    IDFT

    IDFT(Inverse Discrete Fourier Transform), 傅里叶逆变换,可以将频域信号转换到时域中, 它的公式非常简单:
    x[n]=1Nk=0N1X[k]ej2πkn/N x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j2\pi kn/N}

    X[k]X[k]:离散频率下标为k时的频率大小

    x[n]x[n]: 离散时域信号序列

    NN: 信号序列的长度,也就是采样的个数

    对比我们之前讲过的DFT,两者公式类似,但是注意在DFT中指数带负号,而IDFT中不带

    从矩阵的角度看IDFT

    DFT的矩阵表示

    讲IDFT之前,我们先复习DFT的矩阵表示形式:
    [s00s01s0N1sk0sk1skN1sN10sN11sN1N1][x[0]x[1]x[n]x[N1]]=[X[0]X[1]X[k]X[N1]] \begin{bmatrix} s_0^0 &amp; s_0^1 &amp; \cdots &amp; s_0^{N-1} \\ \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots\\ s_k^0 &amp; s_k^1 &amp; \cdots &amp; s_k^{N-1} \\ \vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots\\ s_{N-1}^0 &amp; s_{N-1}^1 &amp; \cdots &amp; s_{N-1}^{N-1} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x[0] \\ x[1] \\ \vdots\\ x[n] \\ \vdots \\ x[N-1] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} X[0] \\ X[1] \\ \vdots\\ X[k] \\ \vdots \\ X[N-1] \end{bmatrix}
    SS矩阵中的每一行都是一个SkS_k向量,Sk=ej2πkn/N,n=0,1,&ThinSpace;,N1S_k = e^{-j2\pi kn/N}, n=0,1,\cdots,N-1,进一步简化上面的表示,得到:
    [S0SkSN1][x[0]x[1]x[n]x[N1]]=[X[0]X[1]X[k]X[N1]] \begin{bmatrix} \cdots &amp; S_0 &amp; \cdots \\ &amp; \vdots &amp; \\ \cdots &amp; S_k &amp; \cdots \\ &amp; \vdots &amp; \\ \cdots &amp; S_{N-1} &amp; \cdots \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x[0] \\ x[1] \\ \vdots\\ x[n] \\ \vdots \\ x[N-1] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} X[0] \\ X[1] \\ \vdots\\ X[k] \\ \vdots \\ X[N-1] \end{bmatrix}

    IDFT的矩阵表示

    从IDFT的公式,可以看出,其实IDFT和DFT表示是一样的,只是对象发生了变化。具体来说,有两个变化:

    • 由于指数部分不再有符号,SkS_k进行了共轭操作,得到SkS_k^*
    • 输入是频率信息X[k]

    因此,矩阵表示变成了下面这样:
    [S0SkSN1][X[0]X[1]X[n]X[N1]]=[x[0]x[1]x[k]x[N1]] \begin{bmatrix} \cdots &amp; S_0^* &amp; \cdots \\ &amp; \vdots &amp; \\ \cdots &amp; S_k^* &amp; \cdots \\ &amp; \vdots &amp; \\ \cdots &amp; S_{N-1}^* &amp; \cdots \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X[0] \\ X[1] \\ \vdots\\ X[n] \\ \vdots \\ X[N-1] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x[0] \\ x[1] \\ \vdots\\ x[k] \\ \vdots \\ x[N-1] \end{bmatrix}

    Talk is cheap, show me the code

    接下来就简单多了,我们将先介绍如何使用scipy中ifft,然后自己动手实现一份ifft

    导入必要的包

    import numpy as np
    from scipy.fftpack import fft, ifft
    
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    %matplotlib notebook
    

    生成信号用于测试

    def generate_sine(N, A, fs, f0, phi):
        '''
        N : number of samples
        A : amplitude
        fs: sample rate
        f0: frequency
        phi: initial phase
        '''
        
        T = 1/fs
        n = np.arange(N)
        x = A*np.cos( 2*np.pi*f0*n*T + phi )
        
        return x
    
    # generate signal
    N = 501
    A = 0.8
    fs = 44100
    f0 = 1000
    phi = 0.0
    
    x = generate_sine(N, A, fs, f0, phi)
    
    plt.figure()
    plt.plot(x)
    plt.show()
    

    png

    使用scipy中的ifft

    # fft the signal
    N = 512                       # fft size
    X = fft(x, N)
    mX = np.abs(X)
    pX = np.angle(X)
    
    freq_axis = np.arange(N)/N * fs
    plt.figure(figsize=(10, 12))
    ax = plt.subplot(3,1,1)
    plt.plot(freq_axis, mX)
    ax.set_title('Magnitude')
    
    ax = plt.subplot(3,1,2)
    plt.plot(freq_axis, pX)
    ax.set_title('Phase')
    
    
    # ifft it
    ifft_x = ifft(X)
    ax = plt.subplot(3,1,3)
    plt.plot(ifft_x)
    ax.set_title('Synthesise')
    
    plt.show()
    

    png

    自己动手写ifft

    只有两个地方要注意:

    • 不要忘记乘上 1/N
    • SkS_k^*SkS_k向量的共轭后的结果。反映在代码中,就是SkS_k^*不要共轭操作之间返回
    def generate_complex_sinusoid(n, N):
        '''
        n : time index (or frequency index)
        N : number of sample
        '''
        
        k = np.arange(N)
        
        c_sin = np.exp(1j*2*np.pi*k*n/N)
        
        return c_sin
    
    # ifft loop
    ifft_x = np.array([])
    
    for i in range(N):
        s = generate_complex_sinusoid(i, N)
        ifft_x = np.append(ifft_x, 1/N * np.sum(X*s))
    
    plt.figure()
    plt.plot(ifft_x)
    plt.show()
    

    png

    总结

    通过自己动手,我们发现IDFT的原来和实现很简单,几乎与DFT一模一样,唯一需要注意的点就是SkS_k^*

    展开全文
  • Discover_in_Programming_1092_IDFT_Project
  • 输入第一个周期序列[1 2 3 1] 输入第二个周期序列[1 2 2 1] 循环卷积输出:11 9 10 12 最终 IDFT 输出:11 9 10 12
  • 使用 DFT-IDFT 的循环卷积 第一个序列(*) 第二个序列 = IDFT(第一个序列的 DFT * 第二个序列的 DFT)
  • 正交频分复用(0FDM)系统的后-逆离散傅立叶变换(post-IDFT)多波束形成技术。该技术通过对空频信道相关矩阵进行特征分解获得多个特征模式,再利用空时分组码(STBC)各发射分支信号的正交性使0FDM系统形成多个post...
  • 当您对图像进行idft时,源文件是通过dft命令创建的.idft文件。 然后它将进行逆dft运算并吐出结果。 该实用程序使用: simple_fft进行dft和idft操作: 机顶盒读取和写入图像: 例如:LokiAlan DFT dft assets/...
  • 信号处理之DFT、IDFT

    2020-02-19 22:38:24
    由于matlab已提供了内部函数来计算DFT、IDFT,我们只需要会调用fft、ifft函数就行; 函数说明: fft(x):计算N点的DFT。N是序列x的长度,即N=length(x); fft(x,L):计算L点的DFT。若L<N,则将原序列x截短为L点...

    一、DFT之前言部分
    由于matlab已提供了内部函数来计算DFT、IDFT,我们只需要会调用fft、ifft函数就行;
    函数说明:
    fft(x):计算N点的DFT。N是序列x的长度,即N=length(x);
    fft(x,L):计算L点的DFT。若L<N,则将原序列x截短为L点序列,再计算其L点的DFT;若L>N,则将原序列x补0至L点,然后通过计算其L点DFT。
    ifft(X):计算N点的IDFT。N是序列x的长度,即N=length(X)。
    ifft(X,L):计算L点的IDFT。若L<N,则将原序列x截短为L点序列,再计算其L点的IDFT;若L>N,则将原序列x补0至L点,然后通过计算其L点IDFT。

    N=30;
    L=512;
    f1=100;
    f2=120;
    fsam=600;
    T=1/fsam;
    wsam=2*pi*fsam;
    t=(0:N-1)*T;
    x=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t);
    X=fft(x,L);
    X1=fftshift(X);
    w=(-wsam/2+(0:L-1)*wsam/L)/(2*pi);
    plot(w,abs(X1));
    ylabel('幅度值');
    
    展开全文
  • 基于CZT与混合基算法的LTE-DFT/IDFT模块的研究与实现,刘建霞,回海生,本文分析了LTE系统在不同配置带宽条件及随机接入过程中DFT/IDFT模块的需求,采用混合基算法和CZT算法设计了通用的LTE-DFT/IDFT模块,分析�
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  • 数字信号处理基础-DFT、IDFT

    千次阅读 2016-09-11 17:22:30
    DFT和IDFT公式:
  • IDFT函数的计算结果与matlab的ifft(X)函数计算结果完全相同,运行速度超级快,文件包含使用示例代码和说明,写的很详细了,保证你看了就会用。
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    傅里叶变换 矩阵 DFT-dftmtx 是对称 Vandermonder Matrix conj(dftmtx )=dftmtx ';...IDFT-conj(dftmtx )/N fft(x)-------conj(dftmtx )*x % x column vector ifft(x)--------conj(dftmtx )/N*x % fft 和
  • 在六边形采样点阵上表示的数据具有许多有趣的特性。 最重要的是,当六边形采样图像以向量的形式表示时,图像空间中的相邻区域被映射到向量中的相邻区域。... 提供的代码实现了六边形采样点阵的 DFT 和 IDFT 算法。
  • 利用二维离散傅里叶变换(DFT)的一些性质,将Gunther提出的关于同时计算一个N点实序列的DFT和另一个N点实序列的DFT的逆离散傅里叶变换(IDFT)的4个新的直接公式中的第1和第4个公式,以及他提出的关于同时计算2个N...
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  • Downstream signal processing, synch, FEC, bit Mapping , interleaving, IDFT, CP
  • OpenCV 第六章 DFT IDFT

    千次阅读 2013-09-10 21:05:24
    chap 6 DFT and IDFT (一)最简单的方法: #include // chap 6 DFT and IDFT void main() { IplImage* src=cvLoadImage("D:\\lxlx\\one.jpg",0); // src 8UC1 IplImage* temp=cvCreateImage(cvGetSize(src),8,1...
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  • 腐蚀膨胀DFT IDFT

    2018-05-07 20:28:31
    形态学处理,腐蚀膨胀来处理图形边缘,以及图像用傅里叶变换由空间域转换为频域,由频域转换回空间域
  • 傅立叶变换在时域中获取信号并将其映射到频域,而不会丢失信息。 频域表示是完全相同的信号,形式不同。 傅里叶逆变换 (IDFT) 将信号从频域映射回时域。

空空如也

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