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  • 证明 总偏差平方和 = 回归平方和 + 残差平方和

    万次阅读 多人点赞 2019-08-06 08:13:02
    总偏差平方和(SST)=回归平方和(SSR)+残差平方和(SSE)总偏差平方和 (SST) = 回归平方和(SSR) + 残差平方和(SSE)总偏差平方和(SST)=回归平方和(SSR)+残差平方和(SSE) 即: ∑(yi−y‾)2=∑(y^i−y‾)2+∑...

    线性回归中有这样一条性质:
    总 偏 差 平 方 和 ( S S T ) = 回 归 平 方 和 ( S S R ) + 残 差 平 方 和 ( S S E ) 总偏差平方和 (SST) = 回归平方和(SSR) + 残差平方和(SSE) (SST)=SSR+SSE

    即:
    ∑ ( y i − y ‾ ) 2 = ∑ ( y ^ i − y ‾ ) 2 + ∑ ( y i − y ^ i ) 2 (1) \sum(y_i-\overline y)^2=\sum(\hat y_i-\overline y)^2+\sum(y_i-\hat y_i)^2\tag{1} (yiy)2=(y^iy)2+(yiy^i)2(1)

    证明:下面以一元回归为例证明。
    ∑ ( y i − y ‾ ) 2 = ∑ ( y i − y ^ i + y ^ i − y ‾ ) 2 = ∑ ( y i − y ^ i ) 2 + ∑ ( y ^ i − y ‾ ) 2 + 2 ∑ ( y i − y ^ i ) ( y ^ i − y ‾ ) \begin{aligned} \sum(y_i-\overline y)^2&=\sum(y_i-\hat y_i+\hat y_i-\overline y)^2\\ &=\sum(y_i-\hat y_i)^2+\sum(\hat y_i-\overline y)^2+2\sum(y_i-\hat y_i)(\hat y_i-\overline y)\\ \end{aligned} (yiy)2=(yiy^i+y^iy)2=(yiy^i)2+(y^iy)2+2(yiy^i)(y^iy)

    因此,我们需要证明 ∑ ( y i − y ^ i ) ( y ^ i − y ‾ ) = 0 \sum(y_i-\hat y_i)(\hat y_i-\overline y)=0 (yiy^i)(y^iy)=0.

    ∑ ( y i − y ^ i ) ( y ^ i − y ‾ ) = ∑ ( y i − y ^ i ) y ^ i − y ‾ ∑ ( y i − y ^ i ) (2) \begin{aligned} \sum(y_i-\hat y_i)(\hat y_i-\overline y)&=\sum(y_i-\hat y_i)\hat y_i-\overline y\sum (y_i-\hat y_i)\\ \end{aligned}\tag{2} (yiy^i)(y^iy)=(yiy^i)y^iy(yiy^i)(2)

    根据最小二乘法,若回归方程为: y = β 0 + β 1 x y=\beta_0+\beta_1x y=β0+β1x,优化目标是使得 f = ∑ ( y i − β 0 + β 1 x i ) 2 f=\sum (y_i-\beta_0+\beta_1x_i)^2 f=(yiβ0+β1xi)2最小,通过令一阶导数 f f f 为零计算 β 0 , β 1 \beta_0, \beta_1 β0,β1
    ∂ f ∂ β 0 = − 2 ∑ ( y i − β 0 + β 1 x i ) = 0 \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial \beta_0}=-2\sum(y_i-\beta_0+\beta_1x_i)=0 \end{aligned} β0f=2(yiβ0+β1xi)=0
    由于 y ^ i = β 0 + β 1 x i \hat y_i=\beta_0+\beta_1x_i y^i=β0+β1xi,所以
    ∑ ( y i − y ^ i ) = 0 (3) \sum (y_i-\hat y_i)=0\tag{3} (yiy^i)=0(3)

    又因为:
    ∂ f ∂ β 1 = 2 ∑ x i ( y i − β 0 + β 1 x i ) = 0 \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial \beta_1}=2\sum x_i(y_i-\beta_0+\beta_1x_i)=0 \end{aligned} β1f=2xi(yiβ0+β1xi)=0

    所以,
    ∑ ( β 0 + β 1 x i ) ( y i − β 0 + β 1 x i ) = ∑ y ^ i ( y ^ i − y i ) = 0 (4) \sum (\beta_0+\beta_1x_i)(y_i-\beta_0+\beta_1x_i)=\sum\hat y_i(\hat y_i-y_i)=0\tag{4} (β0+β1xi)(yiβ0+β1xi)=y^i(y^iyi)=0(4)

    综合表达式 (2),(3),(4),表达式(1)成立。因此:
    总 偏 差 平 方 和 ( S S T ) = 回 归 平 方 和 ( S S R ) + 残 差 平 方 和 ( S S E ) 总偏差平方和 (SST) = 回归平方和(SSR) + 残差平方和(SSE) (SST)=SSR+SSE
    □ \Box

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  • 回归平方和 ESS,残差平方和 RSS,总体平方和 TSS 总变差 (TSS):被解释变量Y的观测值与其平均值的离差平方和(总平方和)(说明 Y 的总变动程度) 解释了的变差 (ESS):被解释变量Y的估计...

    https://zhidao.baidu.com/question/565190261749684764.html

     

    回归平方和 ESS,残差平方和 RSS,总体平方和 TSS

     
      • 总变差          (TSS):被解释变量Y的观测值与其平均值的离差平
        方和(总平方和)(说明 Y 的总变动程度)

      • 解释了的变差          (ESS):被解释变量Y的估计值与其平均值的
        离差平方和(回归平方和)

      • 剩余平方和         (RSS):被解释变量观测值与估计值之差的平方
        和(未解释的平方和)

      • 他们的关系是TSS=RSS+ESS

      • TSS: Total Sum of Squares 总离差平方和/总平方和

      • ESS: Explained Sum of Squares 回归平方和/解释平方和

      • RSS: Residual Sum of Squares 残差平方和

    转载于:https://www.cnblogs.com/shanyr/p/11099992.html

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  • HDU 2007 平方和与立方和

    万次阅读 2019-10-11 13:15:20
    平方和与立方和 Problem Description 给定一段连续的整数,求出他们中所有偶数的平方和以及所有奇数的立方和。 Input 输入数据包含多组测试实例,每组测试实例包含一行,由两个整数m和n组成。 Output 对于每组输入...

    平方和与立方和

    Problem Description
    给定一段连续的整数,求出他们中所有偶数的平方和以及所有奇数的立方和。

    Input
    输入数据包含多组测试实例,每组测试实例包含一行,由两个整数m和n组成。

    Output
    对于每组输入数据,输出一行,应包括两个整数x和y,分别表示该段连续的整数中所有偶数的平方和以及所有奇数的立方和。
    你可以认为32位整数足以保存结果。

    Sample Input
    1 3
    2 5

    Sample Output
    4 28
    20 152

    这题目关键点在于输入的x,y并不一定是x < y,因此需要判断

    #include<stdio.h>
    
    int isOdd(int n)
    {
        if(n % 2 != 0)
            return 1;
        return 0;
    }
    
    int main()
    {
        int a, b, tmp;
        while(scanf("%d %d",&a, &b) != EOF)
        {
            if(a > b)
            {
                tmp = a;
                a = b;
                b = tmp;
            }
            int ans1 = 0, ans2 = 0;
            for(int i = a; i <= b; ++i)
            {
                if(isOdd(i))
                    ans1 += i*i*i;
                else
                    ans2 += i*i;
            }
            printf("%d %d\n",ans2, ans1);
        }
        return 0;
    }
    

    如果对代码有什么疑惑可以评论问我,也可以私信我,收到将会及时回复。

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  • 平方和与和平方

    千次阅读 2015-05-09 20:19:55
    前十个自然数的平方和是 1^2+2^2+3^2+...+10^2 =385,前十个自然数和的平方是(1+2+3+...+10)^2=55^2=3025,所得平方之和与和的平方的差值是3025-385=2640. 现给定一个n,叫你求出前n个自然数的平方和与和平方的差值.

    平方和与和平方

    问题描述:

    前十个自然数的平方和是12+22+32+...+102=385 ,前十个自然数和的平方是(1+2+3+...+10)2=552=3025;

    所得平方之和与和的平方的差值是3025-385=2640. 现给定一个n,叫你求出前n个自然数的平方和与和平方的差值.

    输入:

    一个整数n

    输出:

             一个整数(前n个自然数的平方和与和平方的差值 )

    例 如

    输入:

    10

    输出:

    2640

    解法一:

    首先也是最笨的解法,即直接对题目中的计算过程进行模拟求得,, ,最后直接输出result

    C语言代码如下:

    #include <stdio.h>
    #include <math.h>
    void main()
    {
        __int64 result,sum1=0,sum2=0;	
        int n,i;	
        scanf("%d",&n);	
        for(i=1;i<=n;i++)		
        {		
            sum1+=pow(i,2);		
            sum2+=i;		
        }	
        sum2=pow(sum2,2);	
        result=sum2-sum1;
        printf("%I64d\n",result);
    }


    解法二:

    首先我们先写下题目中的两个公式



    最后的解为:

    C语言代码如下:

    #include <stdio.h>
    void main()
    {
    	__int64 result=0;
    	int n,i,j;
    	scanf("%d",&n);
    	for(i=1;i<n;i++)
    	{
    		result+=2*i*(((n-i)*(i+1+n))/2);
    	}
    	printf("%I64d\n",result);
    }

    解法三:

      此公式由数学归纳法证明



    C语言代码如下:

    #include <stdio.h>
    #include <math.h>
    void main()
    {
    	__int64 result,n,sum1,sum2;
    	scanf("%I64d",&n);
    	sum1=(n*(n+1)*(2*n+1))/6;
    	sum2=pow((n*(n+1))/2,2);
    	result=sum2-sum1;
    	printf("%I64d\n",result);
    }



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空空如也

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