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  • matlab开发-3快速傅立叶变换快速傅立叶变换器所需的各种单工标签命令的部分演示。三部分演示使用简单的matlab命令进行快速傅立叶变换快速傅立叶变换所需的位反转。
  • 傅立叶变换 傅立叶反变换 快速傅立叶变换 DFT IDFT FFT 公式及原理 非常清楚
  • 傅立叶:快速傅立叶变换-一个小型练习项目
  • 快速傅立叶变换

    2014-06-01 12:58:53
    为什么要进行傅里叶变换,其物理意义是什么?傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义,首先要了解傅立叶原理的意义。...和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本

    为什么要进行傅里叶变换,其物理意义是什么?
    傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义,首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明:任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号,以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。
    和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理,这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。
    因此,可以说,傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号(信号的频谱),可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。
    从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
    在数学领域,尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具,但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。'任意'的函数通过一定的分解,都能够表示为正弦函数的线性组合的形式,而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类:1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;5. 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;4. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。
    正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
    2、图像傅立叶变换的物理意义
    图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标,是灰度在平面空间上的梯度。如:大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域,对应的频率值很低;而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域,对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义,设f是一个能量有限的模拟信号,则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看,傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看,傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域,其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说,傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数,傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数
    傅立叶变换以前,图像(未压缩的位图)是由对在连续空间(现实空间)上的采样得到一系列点的集合,我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点,则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的,图像是二维的,因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示,这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度?因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图,就是图像梯度的分布图,当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系,即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点,实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱,即梯度的大小,也即该点的频率的大小(可以这么理解,图像中的低频部分指低梯度的点,高频部分相反)。一般来讲,梯度大则该点的亮度强,否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图,也叫功率图,我们首先就可以看出,图像的能量分布,如果频谱图中暗的点数更多,那么实际图像是比较柔和的(因为各点与邻域差异都不大,梯度相对较小),反之,如果频谱图中亮的点数多,那么实际图像一定是尖锐的,边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后,可以看出图像的频率分布是以原点为圆心,对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外,还有一个好处,它可以分离出有周期性规律的干扰信号,比如正弦干扰,一副带有正弦干扰,移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心,对称分布的亮点集合,这个集合就是干扰噪音产生的,这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰
    快速傅氏变换 英文名是fast Fourier transform
    快速傅氏变换(FFT)是离散傅氏变换(DFT)的快速算法,它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性,对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现,但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换,可以说是进了一大步。
    设x(n)为N项的复数序列,由DFT变换,任一X(m)的计算都需要N次复数乘法和N-1次复数加法,而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法,一次复数加法等于两次实数加法,即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”(四次实数乘法和四次实数加法),那么求出N项复数序列的X(m),即N点DFT变换大约就需要N2次运算。当N=1024点甚至更多的时候,需要N2=1048576次运算,在FFT中,利用WN的周期性和对称性,把一个N项序列(设N=2k,k为正整数),分为两个N/2项的子序列,每个N/2点DFT变换需要(N/2)2次运算,再用N次运算把两个N/2点的DFT变换组合成一个N点的DFT变换。这样变换以后,总的运算次数就变成N+2(N/2)2=N+N2/2。继续上面的例子,N=1024时,总的运算次数就变成了525312次,节省了大约50%的运算量。而如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去,直到分成两两一组的DFT运算单元,那么N点的DFT变换就只需要Nlog2N次的运算,N在1024点时,运算量仅有10240次,是先前的直接算法的1%,点数越多,运算量的节约就越大,这就是FFT的优越性。
    小波分析 (Wavelet)
    小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域,它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。
    小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的,通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式,当时未能得到数学家的认可。正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家J.L.Lagrange,P.S.Laplace以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是,早在七十年代,A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备,而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基;1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基,并与S.Mallat合作建

    http://blog.sina.cn/dpool/blog/s/blog_62dc34180100fs33.html?

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  • 快速傅立叶变换fftMeteorology students hardly experience smooth and expeditious data analysis. When comes to results, they oftentimes plunge to nebulous insights and vague conclusions. Despite how ...

    快速傅立叶变换fft

    Meteorology students hardly experience smooth and expeditious data analysis. When comes to results, they oftentimes plunge to nebulous insights and vague conclusions. Despite how clearly the method used, meteorology students shouldn’t take the idea of being creative in handling the data for granted. The quality of results totally depends on how creative they scramble the data and extract its insights. Hence the better result quality comes the more beneficial explanation. For the practical instance, when harnessing the time series meteorological dataset on analysis, many students trivialize the existence of another possible domain on the dataset. Many students don’t treat the time series data as a signal or wave that related to many parameters such as frequency and period. In this post, I’m going to show an uncomplicated example on how we use other possible domain of time series data -which is frequency- on analyzing meteorology phenomenon encompassing its practical step-by-step methods using python programming language.

    气象专业的学生几乎不会经历流畅而Swift的数据分析。 当涉及到结果时,他们通常会陷入模糊的见解和模糊的结论。 尽管使用的方法有多清晰,但气象学学生在处理数据时不应抱有创造性的想法。 结果的质量完全取决于他们如何创造性地加扰数据并提取其见解。 因此,更好的结果质量来自更有益的解释。 在实际情况中,当利用时间序列气象数据集进行分析时,许多学生轻视了数据集上另一个可能域的存在。 许多学生不会将时间序列数据视为与许多参数(例如频率和周期)相关的信号或波。 在本文中,我将展示一个简单的示例,说明如何使用其他可能的时间序列数据域(即频率)来分析气象现象,其中包括使用python编程语言进行的实用逐步方法。

    Prepare the data

    准备数据

    First things first, prepare the data that going to be analyzed. For example, I use 37-years daily precipitation from CHIRPS which is rainfall estimates from rain gauge and satellite observations. The data has been cropped at the specific BMKG Station in Bandung, named Cemara Weather Station. Since CHIRPS data more complete than BMKG data, I personally prefer to use CHIRPS rather than use BMKG data despite the considerable discrepancy in the data when compared.

    首先,准备要分析的数据。 例如,我使用来自CHIRPS的 37年日降水量,这是根据雨量计和卫星观测得出的降雨量估算值。 数据已在万隆特定的BMKG站Cemara气象站进行了裁剪。 由于CHIRPS数据比BMKG数据更完整,因此我个人更喜欢使用CHIRPS而不是BMKG数据,尽管与之相比数据存在很大差异。

    Fig 1 shows the daily precipitation (mm) from 1st January of 1981 until 31st December of 2018. We might already have known that Bandung or any other region located on Java island has two seasons (dry and rainy). The peak of rainy season in Bandung normally happens in December-January-February (DJF) and the trough of rainy season -which also called dry season- in Bandung normally happens in June-July-August. Much of research proved that seasonality weather in Bandung (and mostly western Indonesia) is affected by Asia-Australia monsoon. As we know the trend of rain seasonality, we suppose to be able to depict it as a wave or signal since it has the peak and trough. For the better overview, instead of figure the data as a panel fraught of raw points connected to each other, let’s turn it to monthly precipitation.

    图1显示了从1981年1月1日到2018年12月31日的日降水量(mm)。我们可能已经知道万隆或Java岛上的任何其他地区有两个季节(干燥和多雨)。 万隆的雨季高峰通常发生在12月至1月至2月(DJF),而万隆的雨季低谷(也称为旱季)通常发生在6月,7月至8月。 许多研究证明,万隆(主要是印度尼西亚西部)的季节性天气受亚澳季风影响。 我们知道降雨季节的趋势,因为它具有波峰和波谷,因此我们可以将其描述为波浪或信号。 为了获得更好的概览,我们不要将数据看作是相互连接的原始点的面板,而是将其转换为月降水量。

    Image for post
    Fig 2. Precipitation — Monthly Average (Stasiun Cemara, Bandung)图2.降水—月平均数(万隆的Stasiun Cemara)

    Now we have a better overview of rain seasonality in Bandung. This wavy pattern transpires one time a year and some years may have shifted of peak and trough of the rainy season. Notwithstanding, the pattern remains.

    现在,我们对万隆的降雨季节有了更好的了解。 这种波浪形图案每年发生一次,并且有些年份可能已经转移了雨季的高峰和低谷。 尽管如此,模式仍然存在。

    How if there were any else possibly periodically pattern occur in a year? Semiannual pattern or quarter-annually pattern? It could be and it should have been known by meteorology students as they recognize that rain pattern in Indonesia is very complex and affected by up to global-scale events and influenced by various topographic features.

    一年中是否还有其他可能定期出现的模式? 半年模式还是每半年一次? 气象学学生应该知道,而且应该知道,因为他们认识到印度尼西亚的降雨模式非常复杂,并且受到全球范围内最大事件的影响,并受到各种地形特征的影响。

    Use FFT!

    使用FFT!

    Fast Fourier Transform (FFT) is one of the most useful tools and widely used in signal processing. FFT has contributed to many problems solving observations in astronomy, physics, and chemistry. In meteorology, FFT has been utilized for many kinds of research and most of it is related to climate data analysis. Climate data tend to have a long period of observation which reflects scientist’s definition that climate normal as an average over a recent 30-year period.

    快速傅立叶变换(FFT)是最有用的工具之一,广泛用于信号处理中。 FFT导致解决天文学,物理学和化学观测问题的许多问题。 在气象学中,FFT已用于多种研究,其中大多数与气候数据分析有关。 气候数据趋向于长期观测,这反映了科学家的定义,即最近30年的平均气候平均值。

    FFT is a very complicated mathematical equation, and to be honest, I’ve never fully understood how’s the FFT equation works. To see more about FFT and how it works, check this out (A gentle introduction to the FFT). In this article, I want to introduce how to use scipy.fft library in python to decompose seasonality patterns in 37-year precipitation data and get yourself (and myself) to gradually adept with python data analysis library.

    FFT是一个非常复杂的数学方程式,老实说,我从未完全理解过FFT方程的工作原理。 要了解有关FFT及其工作原理的更多信息,请检查一下( FFT的简要介绍 )。 在本文中,我想介绍如何使用python中的scipy.fft库分解37年降水数据中的季节性模式,并使自己(和我自己)逐渐适应python数据分析库。

    import matplotlib

    导入matplotlib

    import matplotlib.pyplot as plt

    导入matplotlib.pyplot作为plt

    from pylab import *

    从pylab导入*

    from math import *

    从数学导入*

    import warnings

    进口警告

    warnings.simplefilter(‘ignore’)

    warnings.simplefilter('ignore')

    import numpy as np

    将numpy导入为np

    from numpy.fft import fftfreq

    从numpy.fft导入fftfreq

    from scipy.fftpack import *

    从scipy.fftpack导入*

    from scipy.signal import butter, filtfilt , freqz

    来自scipy.signal进口黄油,filtfilt,freqz

    import pandas as pd

    将熊猫作为pd导入

    Import all the libraries needed. Scipy is the main library use in this analysis. It contains many of FFT formulas and filtering methods. Then, read the data.

    导入所有需要的库。 Scipy是此分析中主要使用的库。 它包含许多FFT公式和滤波方法。 然后,读取数据。

    prec = pd.read_csv(‘prec_chirps.csv’)

    prec = pd.read_csv('prec_chirps.csv')

    Use pandas library to read csv to see the data as data frame like this:

    使用pandas库读取csv可以将数据作为数据框查看,如下所示:

    Image for post
    Fig 3. Data frame图3.数据框

    The data has 13,879 rows represents daily precipitation (mm) from 1981–2018 and has no null values. The annual seasonality in Fig. 1 can be seen by a naked eye. However, it’s not enough to present the existence of seasonality only by subjective plain sight towards a graph, thus we need more palpable images that could indicate the seasonality by exact number.

    该数据有13,879行代表1981-2018年的每日降水量(mm),没有空值。 用肉眼可以看到图1中的年度季节性。 但是,仅凭主观直视图表来呈现季节的存在是不够的,因此我们需要更多可触摸的图像,以确切的数字指示季节。

    dt = 1

    dt = 1

    n = prec.shape[0]

    n = prec.shape [0]

    F = fft(prec[‘prec’])

    F = fft(prec ['prec'])

    w = fftfreq(n, dt)

    w = fftfreq(n,dt)

    t=np.linspace(1, n, n)

    t = np.linspace(1,n,n)

    T = n/t[0:6939]

    T = n / t [0:6939]

    indices = where(w > 0)

    索引=其中(w> 0)

    w_pos = abs(w[indices])

    w_pos = abs(w [indices])

    F_pos = abs(F[indices])

    F_pos = abs(F [indices])

    In this step, we start to use FFT to transform the precipitation data which only has time domain to frequency domain. Declare dt = 1 as long as we want to analyze the data on daily basis over a 37-year period of time. The FFT result represents by F.

    在这一步中,我们开始使用FFT将仅具有时域的降水数据转换为频域。 只要我们想在37年的时间内每天分析数据,就声明dt = 1。 FFT结果用F表示。

    Bear in mind that the time series precipitation data is a combination of many frequency waves which has each wave parameters and amplify one another. By transforming the data to frequency domain, we could get each set of waves with certain frequencies that build-up the data.

    请记住,时间序列降水量数据是许多频率波的组合,这些频率波具有各自的波参数并相互放大。 通过将数据转换到频域,我们可以获得具有一定频率的每组波,这些波构成了数据。

    Next, assign data length to n and calculate sample frequency with fftfreq function in which requires n and dt as arguments. It returns float array w contains the frequency bin centers in cycles per unit of the sample spacing (with zero at the start). Don’t forget to set synthetic data variable which represents the time array with an increasing value from 1 until n (data length). Then, set a new variable that portrays the number of periodicity types of the signal whereby the length is half of the original data. After that, select only indices for elements that correspond to positive frequencies. To know the details about why we do this step, check this thread: Why is FFT “mirrored”?

    接下来,将数据长度分配给n并使用fftfreq函数计算采样频率,其中需要n和dt作为参数。 它返回的浮点数组w包含频率单元中心,以每个采样间隔单位的周期为周期(开始时为零)。 不要忘记设置合成数据变量,该变量代表时间数组,其值从1到n(数据长度)递增。 然后,设置一个新变量,该变量描述信号的周期性类型的数量,其中长度是原始数据的一半。 之后,仅选择与正频率相对应的元素的索引。 要了解有关为什么执行此步骤的详细信息,请检查以下线程: 为什么FFT是“镜像”的?

    Now, we’re all set to figure the desirable of time-domain transformation to the frequency domain.

    现在,我们都准备好将时域转换为频域的理想方法。

    fig1 = plt.figure()

    图1 = plt.figure()

    ax = fig1.add_axes([0, 0, 2, 0.8])

    斧= fig1.add_axes([0,0,2,0.8])

    axF = fig1.add_axes([0, 1.2, 2, 0.8])

    axF = fig1.add_axes([0,1.2,2,0.8])

    axF.plot(w_pos, abs(F_pos))

    axF.plot(w_pos,abs(F_pos))

    axF.set_xlabel(‘Frequency’, fontsize = 13)

    axF.set_xlabel('Frequency',fontsize = 13)

    axF.set_ylabel(‘magnitude’, fontsize = 13)

    axF.set_ylabel('magnitude',fontsize = 13)

    axF.set_title(‘Periodogram (FFT Result)’, fontsize = 15)

    axF.set_title('周期图(FFT结果)',fontsize = 15)

    axF.tick_params(labelsize = 13)

    axF.tick_params(labelsize = 13)

    ax.plot(T, abs(F_pos))

    ax.plot(T,abs(F_pos))

    ax.set_xlabel(‘Period’, fontsize = 13)

    ax.set_xlabel('Period',fontsize = 13)

    ax.set_ylabel(‘magnitude’, fontsize = 13)

    ax.set_ylabel('magnitude',fontsize = 13)

    ax.set_title(‘Periodogram (FFT Result)’, fontsize = 15)

    ax.set_title('周期图(FFT结果)',fontsize = 15)

    ax.tick_params(labelsize = 13)

    ax.tick_params(labelsize = 13)

    Image for post
    Fig 4. Periodogram (FFT Result)图4.周期图(FFT结果)

    The graph called periodogram. The difference between the two graphs above is on the x-axis. The upper graph shows periodogram with frequency as an x-axis, on the contrary, the lower graph uses 1/frequency (period) as x-axis. I found that the lower graph is way more intuitive and comprehensible since the period’s unit is the same as the data time unit which is a day. The y-axis is the amplitude of each periodicity/frequency that build-up the data. From the lower graph, it can be seen that from the 37-years length of data, the highest contributions are ranging between lower period sub-signal for exact < 1000 days of a period. Let’s point out that range.

    该图称为周期图。 上面两个图表之间的差异在x轴上。 上方的图显示频率为x轴的周期图,相反,下方的图使用1 /频率(周期)为x轴。 我发现较低的图形更加直观和易于理解,因为时间段的单位与一天的数据时间单位相同。 y轴是建立数据的每个周期性/频率的幅度。 从下面的图表中可以看出,从37年的数据长度来看,最大的贡献介于精确到<1000天的较低周期子信号之间。 让我们指出这个范围。

    Image for post
    Fig 5. Highlighted Periodogram图5.突出显示的周期图

    By limiting the x-axis range, we get the clear-cut of the periodicity ranges which have a significant amplitude in forming the original data. Without being examined, 365-days periodicity has the highest amplitude as I mentioned earlier. It clearly represents the most common and well-known of Bandung rain seasonality (annual seasonality). The second highest amplitude is on 183-days (~6-month, semi-annual seasonality) and the third is on 122-days (~4-month, quarter-annual seasonality). It turns out that Bandung rain seasonality is not only transpired annually, but it also has semi-annual and quarter-annual patterns, nevertheless, the amplitude is not quite high which means that the patterns are less frequent to exist over the time scope of the data.

    通过限制x轴范围,我们可以清楚地看到周期性范围,该范围在形成原始数据时具有明显的幅度。 如前所述,未经检查,365天的周期具有最高的振幅。 显然,它代表了万隆雨季最常见和最著名的一年(季节性)。 第二高的振幅是在183天(约6个月,每半年一次的季节性),而第三高的振幅是在122天(约4个月,每半年一次的季节性)。 事实证明,万隆的降雨季节不仅每年发生一次,而且还具有半年和四分之一的规律,但幅度并不很高,这意味着在整个时间范围内这些规律的存在频率较低。数据。

    Meteorologically, these patterns could happen inflicted by various events such as local disturbances until global variabilities like El Nino-La Nina or Madden-Julian Oscillation (MJO) effects. We should need more researches to be able to answer the cause of these available patterns of Bandung rainfall seasonality. Python programming language with its user-friendly scientific package has been bringing us to advance the data analysis regarding many sectors. This simple use case in meteorology maybe not as complex as other use cases, but it worth knowing and worth sharing. After using FFT and knowing the hidden patterns of the data, there are so many analysis tools which also practical to meteorological science use cases, like filtering (low-pass, band-pass, high-pass filtering) and many more. Hope this article is pertinent to your study field and could help you to get more profound data analysis.

    在气象上,这些模式可能是由各种事件(例如局部扰动)造成的,直到像El Nino-La Nina或Madden-Julian振荡(MJO)效应这样的全球变率为止。 我们应该进行更多的研究,才能回答万隆降雨季节性变化的这些可用模式。 Python编程语言及其用户友好的科学软件包已使我们推进了许多领域的数据分析。 气象学中的这个简单用例可能没有其他用例那么复杂,但是值得了解和分享。 使用FFT并了解数据的隐藏模式后,有许多分析工具对气象科学用例也很实用,例如滤波(低通,带通,高通滤波)等等。 希望本文与您的研究领域相关,并且可以帮助您获得更深入的数据分析。

    翻译自: https://medium.com/@tiofaizintio/extract-seasonality-patterns-from-climate-data-with-fast-fourier-transform-fft-de479303f01

    快速傅立叶变换fft

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  • matlab开发-快速傅立叶变换器。语音信号的快速傅立叶变换和线性预测控制的比较。
  • C语言数据结构算法之实现快速傅立叶变换 本实例将实现二维快速傅立叶变换,同时也将借此实例学习用c语言实现矩阵的基本操作、复数的基本掾作,复习所学过的动态内存分配、文件操作、结构指针的函数调用等内容。  ...
  • 如何用Matlab实现快速傅立叶变换来源: 陈诚--WECN的日志 写在最前面:本文是我阅读了多篇相关文章后对它们进行分析重组整合而得,内容非我所原创。在此向多位原创作者致敬!!! 一、傅立叶变换的由来 关于...

    【纯技术帖】为什么要进行傅立叶变换?傅立叶变换究竟有何意义?如何用Matlab实现快速傅立叶变换来源: 陈诚--WECN的日志

    写在最前面:本文是我阅读了多篇相关文章后对它们进行分析重组整合而得,内容非我所原创。在此向多位原创作者致敬!!!


    一、傅立叶变换的由来

    关于傅立叶变换,无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述,但是大都是些故弄玄虚的文章,太过抽象,尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列,让人很难能够从感性上得到理解,最近,我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍,是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的,写得非常浅显,里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换,虽然是英文文档,我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容,看了有茅塞顿开的感觉,在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享,希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发,这电子书籍是免费的,有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下,URL地址是:

    http://www.dspguide.com/pdfbook.htm  

    要理解傅立叶变换,确实需要一定的耐心,别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的,当然,也需要一定的高等数学基础,最基本的是级数变换,其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。

    二、傅立叶变换的提出

    让我们先看看为什么会有傅立叶变换?傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字,英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣,于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文,运用正弦曲线来描述温度分布,论文里有个在当时具有争议性的决断:任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人,其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace,1749-1827),当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时,拉格朗日坚决反对,在近50年的时间里,拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号,如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望,拒绝了傅立叶的工作,幸运的是,傅立叶还有其它事情可忙,他参加了政治运动,随拿破仑远征埃及,法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。

    谁是对的呢?拉格朗日是对的:正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是,我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它,逼近到两种表示方法不存在能量差别,基于此,傅立叶是对的。

    为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢?如我们也还可以用方波或三角波来代替呀,分解信号的方法是无穷的,但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单,因为正余弦拥有原信号所不具有的性质:正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后,输出的仍是正弦曲线,只有幅度和相位可能发生变化,但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质,正因如此我们才不用方波或三角波来表示。

    三、傅立叶变换分类

    根据原信号的不同类型,我们可以把傅立叶变换分为四种类别:

    1

    非周期性连续信号

    傅立叶变换(Fourier Transform)

    2

    周期性连续信号

    傅立叶级数(Fourier Series)

    3

    非周期性离散信号

    离散时域傅立叶变换(Discrete Time Fourier Transform)

    4

    周期性离散信号

    离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform)

    下图是四种原信号图例:

     

    这四种傅立叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号,即信号的的长度是无穷大的,我们知道这对于计算机处理来说是不可能的,那么有没有针对长度有限的傅立叶变换呢?没有。因为正余弦波被定义成从负无穷小到正无穷大,我们无法把一个长度无限的信号组合成长度有限的信号。面对这种困难,方法是把长度有限的信号表示成长度无限的信号,可以把信号无限地从左右进行延伸,延伸的部分用零来表示,这样,这个信号就可以被看成是非周期性离解信号,我们就可以用到离散时域傅立叶变换的方法。还有,也可以把信号用复制的方法进行延伸,这样信号就变成了周期性离解信号,这时我们就可以用离散傅立叶变换方法进行变换。这里我们要学的是离散信号,对于连续信号我们不作讨论,因为计算机只能处理离散的数值信号,我们的最终目的是运用计算机来处理信号的。

    但是对于非周期性的信号,我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来表示,这对于计算机来说是不可能实现的。所以对于离散信号的变换只有离散傅立叶变换(DFT)才能被适用,对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才能被处理,对于其它的变换类型只有在数学演算中才能用到,在计算机面前我们只能用DFT方法,后面我们要理解的也正是DFT方法。这里要理解的是我们使用周期性的信号目的是为了能够用数学方法来解决问题,至于考虑周期性信号是从哪里得到或怎样得到是无意义的。

    每种傅立叶变换都分成实数和复数两种方法,对于实数方法是最好理解的,但是复数方法就相对复杂许多了,需要懂得有关复数的理论知识,不过,如果理解了实数离散傅立叶变换(real DFT),再去理解复数傅立叶就更容易了,所以我们先把复数的傅立叶放到一边去,先来理解实数傅立叶变换,在后面我们会先讲讲关于复数的基本理论,然后在理解了实数傅立叶变换的基础上再来理解复数傅立叶变换。

    还有,这里我们所要说的变换(transform)虽然是数学意义上的变换,但跟函数变换是不同的,函数变换是符合一一映射准则的,对于离散数字信号处理(DSP),有许多的变换:傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等,这些都扩展了函数变换的定义,允许输入和输出有多种的值,简单地说变换就是把一堆的数据变成另一堆的数据的方法。

    四、傅立叶变换的物理意义

    傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义,首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明:任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号,以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

    和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理,这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此,可以说,傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号(信号的频谱),可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。

    从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

    在数学领域,尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具,但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解,都能够表示为正弦函数的线性组合的形式,而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类:1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,而提供了计算卷积的一种简单手段;4. 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))

    正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

    五、图像傅立叶变换的物理意义

    图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标,是灰度在平面空间上的梯度。如:大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域,对应的频率值很低;而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域,对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义,f是一个能量有限的模拟信号,则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看,傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看,傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域,其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说,傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数,傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数

    傅立叶变换以前,图像(未压缩的位图)是由对在连续空间(现实空间)上的采样得到一系列点的集合,我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点,则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的,图像是二维的,因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示,这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度?因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图,就是图像梯度的分布图,当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系,即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点,实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱,即梯度的大小,也即该点的频率的大小(可以这么理解,图像中的低频部分指低梯度的点,高频部分相反)。一般来讲,梯度大则该点的亮度强,否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图,也叫功率图,我们首先就可以看出,图像的能量分布,如果频谱图中暗的点数更多,那么实际图像是比较柔和的(因为各点与邻域差异都不大,梯度相对较小),反之,如果频谱图中亮的点数多,那么实际图像一定是尖锐的,边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后,可以看出图像的频率分布是以原点为圆心,对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外,还有一个好处,它可以分离出有周期性规律的干扰信号,比如正弦干扰,一副带有正弦干扰,移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心,对称分布的亮点集合,这个集合就是干扰噪音产生的,这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。

    另外我还想说明以下几点: 
    1
    、图像经过二维傅立叶变换后,其变换系数矩阵表明: 
    若变换矩阵Fn原点设在中心,其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区)。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角,那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。 
    2
    、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频,最亮,平移之后中间部分是低频,最亮,亮度大说明低频的能量大(幅角比较大)。

    六、一个关于实数离散傅立叶变换(Real DFT)的例子

    先来看一个变换实例,一个原始信号的长度是16,于是可以把这个信号分解9个余弦波和9个正弦波(一个长度为N的信号可以分解成N/2+1个正余弦信号,这是为什么呢?结合下面的18个正余弦图,我想从计算机处理精度上就不难理解,一个长度为N的信号,最多只能有N/2+1个不同频率,再多的频率就超过了计算机所能所处理的精度范围),如下图:

    9个正弦信号:

    9个余弦信号:

    把以上所有信号相加即可得到原始信号,至于是怎么分别变换出9种不同频率信号的,我们先不急,先看看对于以上的变换结果,在程序中又是该怎么表示的,我们可以看看下面这个示例图:

    上图中左边表示时域中的信号,右边是频域信号表示方法,从左向右表示正向转换(Forward DFT),从右向左表示逆向转换(Inverse DFT),用小写x[]表示信号在每个时间点上的幅度值数组, 用大写X[]表示每种频率的副度值数组, 因为有N/2+1种频率,所以该数组长度为N/2+1X[]数组又分两种,一种是表示余弦波的不同频率幅度值:Re X[],另一种是表示正弦波的不同频率幅度值:Im X[]Re是实数(Real)的意思,Im是虚数(Imagine)的意思,采用复数的表示方法把正余弦波组合起来进行表示,但这里我们不考虑复数的其它作用,只记住是一种组合方法而已,目的是为了便于表达(在后面我们会知道,复数形式的傅立叶变换长度是N,而不是N/2+1)。

    七、用Matlab实现快速傅立叶变换

    FFT是离散傅立叶变换的快速算法,可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的,但是如果变换到频域之后,就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外,FFT可以将一个信号的频谱提取出来,这在频谱分析方面也是经常用的。 
    虽然很多人都知道FFT是什么,可以用来做什么,怎么去做,但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT 
    现在就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。一个模拟信号,经过ADC采样之后,就变成了数字信号。采样定理告诉我们,采样频率要大于信号频率的两倍,这些我就不在此啰嗦了。 
    采样得到的数字信号,就可以做FFT变换了。N个采样点,经过FFT之后,就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算,通常N2的整数次方。 
    假设采样频率为Fs,信号频率F,采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值,就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢?假设原始信号的峰值为A,那么FFT的结果的每个点(除了第一个点直流分量之外)的模值就是AN/2倍。而第一个点就是直流分量,它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢,就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量(即0Hz),而最后一个点N的再下一个点(实际上这个点是不存在的,这里是假设的第N+1个点,也可以看做是将第一个点分做两半分,另一半移到最后)则表示采样频率Fs,这中间被N-1个点平均分成N等份,每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为:Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出,Fn所能分辨到频率为为Fs/N,如果采样频率Fs1024Hz,采样点数为1024点,则可以分辨到1Hz1024Hz的采样率采样1024点,刚好是1秒,也就是说,采样1秒时间的信号并做FFT,则结果可以分析到1Hz,如果采样2秒时间的信号并做FFT,则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力,则必须增加采样点数,也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。 
    假设FFT之后某点n用复数a+bi表示,那么这个复数的模就是An=根号a*a+b*b,相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果,就可以计算出n点(n≠1,且n<=N/2)对应的信号的表达式为:An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn),即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于n=1点的信号,是直流分量,幅度即为A1/N。由于FFT结果的对称性,通常我们只使用前半部分的结果,即小于采样频率一半的结果。 
    下面以一个实际的信号来做说明。假设我们有一个信号,它含有2V的直流分量,频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号,以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下:S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式中cos参数为弧度,所以-30度和90度要分别换算成弧度。我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样,总共采样256点。按照我们上面的分析,Fn=(n-1)*Fs/N,我们可以知道,每两个点之间的间距就是1Hz,第n个点的频率就是n-1。我们的信号有3个频率:0Hz50Hz75Hz,应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值,其它各点应该接近0。实际情况如何呢?我们来看看FFT的结果的模值如图所示。

    从图中我们可以看到,在第1点、第51点、和第76点附近有比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看: 
    1
    点: 512+0i 
    2
    点: -2.6195E-14 - 1.4162E-13i 
    3
    点: -2.8586E-14 - 1.1898E-13i 
    50
    点:-6.2076E-13 - 2.1713E-12i 
    51
    点:332.55 - 192i 
    52
    点:-1.6707E-12 - 1.5241E-12i 
    75
    点:-2.2199E-13 -1.0076E-12i 
    76
    点:3.4315E-12 + 192i 
    77
    点:-3.0263E-14 +7.5609E-13i 
    很明显,1点、51点、76点的值都比较大,它附近的点值都很小,可以认为是0,即在那些频率点上的信号幅度为0。接着,我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值,结果如下: 
    1
    点: 512 
    51
    点:384 
    76
    点:192 
    按照公式,可以计算出直流分量为:512/N=512/256=250Hz信号的幅度为:384/(N/2)=384/(256/2)=375Hz信号的幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见,从频谱分析出来的幅度是正确的。 
    然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言,不用管它。先计算50Hz信号的相位,atan2(-192,332.55)=-0.5236,结果是弧度,换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再计算75Hz信号的相位,atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度,换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见,相位也是对的。根据FFT结果以及上面的分析计算,我们就可以写出信号的表达式了,它就是我们开始提供的信号。

    总结:假设采样频率为Fs,采样点数为N,做FFT之后,某一点nn1开始)表示的频率为:Fn=(n-1)*Fs/N;该点的模值除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度(对于直流信号是除以N);该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值,范围从-pipi。要精确到xHz,则需要采样长度为1/x秒的信号,并做FFT。要提高频率分辨率,就需要增加采样点数,这在一些实际的应用中是不现实的,需要在较短的时间内完成分析。解决这个问题的方法有频率细分法,比较简单的方法是采样比较短时间的信号,然后在后面补充一定数量的0,使其长度达到需要的点数,再做FFT,这在一定程度上能够提高频率分辨力。具体的频率细分法可参考相关文献。

     

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    自从去年下半年接触三维重构以来,听得最多的词就是傅立叶变换,后来了解到这个变换在图像处理里面也是重点中的重点。

    本身自己基于高数知识的理解是傅立叶变换是将一个函数变为一堆正余弦函数的和的变换。而图像处理里则强调它是将图像信息从空间域往频率域转化的重要手段。最近从头学起数字图像处理,看完傅立叶变换之后,对于其中的计算方法快速傅立叶变换产生了好奇。于是搜索了下FFT,发现杭电上有几个这样的题目,其中点击率最高的是hdu1402*大数乘法。

    大数乘法本来是一个n方的算法,经过FFT之后可以变为nlogn,于是看了下算法导论中多项式与FFT一节,大致弄清楚了FFT的原理和简单实现。

    1.多项式的两种表示:系数表示和点对表示,两种表示之间可以互相转化,一个叫做赋值,一个叫做插值,插值是一个解带有克里蒙德行列式的过程。

    2.为了让多项式乘法更快进行,可以选取一些特殊的数值作为赋值,这些特殊数值就是单位复根。

    3.单位复根有相消引理和折半引理,这些可以使赋值以及插值的时间复杂度降低

    4.以某个单位复根代入多项式得到的表达式就是离散傅立叶变换。(向量->数值)

    5.继续分析多项式表示,可以引出一个蝴蝶操作,以及利用一个二进制平摊反转置换的预处理,使FFT可以迭代进行。

    6.同时逆FFT可以采用和FFT相同的方式实现。

    7.大数乘法可以看成两个多项式相乘,然后令变量为10的结果。

     

     自学一个新的算法其实最容易的入门方式就是找一组数据试一试,在计算(1,2,3,4)的离散傅里叶变换之后自己就更清楚为什么蝴蝶操作是可以进行的。

    假设两个4321相乘,那么n扩展为8

    1.fft数组初始化就是(1,2,3,4,0,0,0,0)。而目的是求出()这个对应的值

    2.以wn0为例:

    系数形成的树如下:

    第一次进行n=2的傅里叶变换之后,系数如下:

    第二次进行n=4的傅里叶变换之后,系数如下:

    而在这步变化里同时体现了蝶形操作:(k)与(k+n/2的关系)

     

    hdu1402:---代码实现:

    #include <iostream>
    #include <cmath>
    #include <string.h>
    using namespace std;
    #define N 200005
    #define PI acos(-1.0)
    struct complex  
    {  
        double r,i;  
        complex(double real=0.0,double image=0.0)  
        {  
            r=real;  
            i=image;  
        }  
        //以下为三种虚数运算的定义   
        complex operator+(const complex o)  
        {  
            return complex(r+o.r,i+o.i);  
        }  
        complex operator-(const complex o)  
        {  
            return complex(r-o.r,i-o.i);  
        }  
        complex operator*(const complex o)  
        {  
            return complex(r*o.r-i*o.i,r*o.i+i*o.r);  
        }  
    }x1[N],x2[N];  
    char a[N/2],b[N/2];  
    int sum[N]; //结果存在sum里   
    
    
    void bitrev(complex *y,int l) //二进制平摊反转置换 O(logn)   
    {  
        register int i,j,k;  
        for(i=1,j=l/2;i<l-1;i++)  
        {  
            if(i<j)  swap(y[i],y[j]); //交换互为下标反转的元素    
                                     //i<j保证只交换一次   
            k=l/2;  
            while(j>=k) //由最高位检索,遇1变0,遇0变1,跳出   
            {  
                j-=k;  
                k/=2;  
            }  
            if(j<k)  j+=k;  
        }  
    }  
    void fft(complex *in,int n)
    {
        int i,j,k;
        complex u,t;
        bitrev(in,n);
        for(int i=2;i<=n;i=i*2)
        {
            complex wn(cos((2*PI)/i),sin((2*PI)/i));//初始化单位复根
            for(j=0;j<n;j=j+i)
            {
                complex w(1,0);
                for(k=j;k<j+i/2;k++)
                {
                    u=in[k];
                    t=w*in[k+i/2];
                    in[k]=u+t;
                    in[k+i/2]=u-t;
                    w=w*wn;
                }
            }
        }
    }
    void antifft(complex *in,int n)
    {
        complex x,y;
        int i,j,k;
        bitrev(in,n);
        for(int i=2;i<=n;i=i*2)
        {
            complex init(cos((2*PI*-1)/i),sin((2*PI*-1)/i));
            for(j=0;j<n;j=j+i)
            {
                complex w(1,0);
                for(k=j;k<j+i/2;k++)
                {
                    x=in[k];
                    y=w*in[k+i/2];
                    in[k]=x+y;in[k+i/2]=x-y;
                    w=w*init;
                }
            }
        }
        for(int i=0;i<n;i++)
            in[i]=in[i].r/n;
    }
    
    
    int main() {
    
        while(~scanf("%s%s",a,b))
        {
            //提取系数并逆序
            int na=strlen(a);
            int nb=strlen(b);
        
            int n=1;
            //expand
            
            while(n<na*2 || n<nb*2)   n=n*2; //将次数界变成2^n
            for(int i=na-1;i>=0;i--)
            {
                x1[na-1-i].r=a[i]-'0';x1[na-1-i].i=0;
            }
            
            for(int i=nb-1;i>=0;i--)
            {
                x2[nb-1-i].r=b[i]-'0';x2[nb-1-i].i=0;
            }
            
            for(int i=na;i<n;i++)
            {
                x1[i].i=0;x1[i].r=0;
            }
            for(int i=nb;i<n;i++)
            {
                x2[i].i=0;x2[i].r=0;
            }
            
            //分别傅里叶变换
            fft(x1,n);
            fft(x2,n);
            //点值相乘得到新的傅里叶变换数值
            for(int i=0;i<n;i++)
                x1[i]=x1[i]*x2[i];
            //逆傅里叶变换得到系数,*10求和
            antifft(x1,n);
            memset(sum,0,sizeof(sum));
            //四舍五入
            for(int i=0;i<n;i++)
                sum[i]=x1[i].r+0.5;
            for(int i=0;i<n;i++) //进位    
            {  
                sum[i+1]+=sum[i]/10;  
                sum[i]%=10;
            }  
            while(sum[n]<=0 && n>0)   n--; //检索最高位   
            
            for(int i=n;i>=0;i--)  
                putchar(sum[i]+'0'); //倒序输出    
            printf("\n");  
        }
        return 0;
    
    }

    代码参照:http://blog.csdn.net/u011328276/article/details/10020723

    PS:csdn这份代码没有每次将sum初始化,有时会造成错误结果。

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    转载于:https://www.cnblogs.com/holyprince/p/3585416.html

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