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  • L1和L2正则化(regularization)

    万次阅读 2020-04-07 09:54:24
    L1和L2正则化   理论上来说,只要参数足够多,而且参数之间的关系足够复杂,模型就可以拟合任意的函数。如果连噪声也都拟合了,这就是过拟合。事实上,我们在学习的时候,需要学习的是数据的普遍特征,但是除了...

    L1和L2正则化

      理论上来说,只要参数足够多,而且参数之间的关系足够复杂,模型就可以拟合任意的函数。如果连噪声也都拟合了,这就是过拟合。事实上,我们在学习的时候,需要学习的是数据的普遍特征,但是除了普遍特征之外还存在一些少量数据独有的特征,这个特征,我们倾向称之为噪声。
      过拟合的具体表现就不细谈了,可以看到根本的原因就是建立的模型过于复杂了,我们想要让这个模型简单点,拟合的函数简单点,这个时候就需要给拟合的函数加一些约束了。机器学习模型里也是有好多种约束,来使得模型的参数不能那么复杂。
      直观的想,既然模型的参数构建出的函数过于复杂,那就把参数减掉一些,让一部分参数不起作用。这个思想就能产生很多防止过拟合的方法。但是回到数学的角度上,模型的学习过程,是最小化损失函数的过程。我们可以给模型加一个约束,这个约束通过损失来呈现,一旦学出来的模型过于复杂,就让模型产生较大的损失。我们可以通过参数的范数来解决这个问题。
      回想大名鼎鼎的0范数,就是矩阵中(向量)中的非零元素的个数。如果非零元素较少,范数就大,可以直接把0范数加权组合进损失函数,就可以很自然的使得参数零的个数增多。因为为了减少损失,模型或多或少的想要去减少0范数,要减少,参数中就得更多的元素变成0。这样得到的模型就非常稀疏了。
      但是零范数的函数是个极限,难以近似。优化损失函数一般都是梯度下降法,0范数,不可导啊,既然不可导,没有导数,怎么下降。
      这个时候就需要使用一范数来近似了,就得到了L1正则化,w1=iwi||w||_1=\sum_i|w_i|,对所有的参数的绝对值求和。直观来想,如果参数的绝对值之和比较大,也说明参数很复杂,如果让参数的1范数变得足够小,那么过拟合就没有那么严重了。
      这样模型的总损失就变成了J(w,b)=J0(W,b)+λw1J(w,b)=J_0(W,b)+\lambda||w||_1,这样在让一范数变小的时候,自然就会有许多的参数被下降到0了。也就起到了正则化的作用。同时有足够多的参数值变成0,这就是一个稀疏的模型。所以L1正则化具有模型稀疏的特点。
      但是一范数使用绝对值,绝对值函数我们都知道在wi=0w_i=0点是一个不可导点,如果众多参数中有一个为0,这个时候就没法求梯度了,所以会给梯度下降带来阻力,需要使用其他技巧来优化,这样L1正则化的一个弊端就出来了,那就是优化的慢。
      范数之间有等价性,1范数可以正则化,2范数可以正则化算是一个比较自然的事情。(L2正则化并不是矩阵的2范数,而是矩阵的F范数),L2范数使用平方项的话,函数就是处处可导的,这样对于2范数做梯度下降就比较容易一些。所以相对于L1正则化,L2正则化收敛的更加快一点
      L2对参数约束,也能够使得部分参数变得小一点,起的影响就小,使得模型不是非常复杂,但是二范数的约束,可以让参数变得更小,可能参数小到一定程度,产生的影响已经被忽略了,这个参数就不是2范数的主要影响因素了,这个时候该参数就不会继续减小。所以L2 正则化能够得到比较小的参数,小到可以被忽略,但是无法小到0,也就不具有稀疏性
      使用L2正则化的时候,求导之后做梯度下降,参数的变化可以看成每次在原来的基础上乘一个小于1的因子,这样可以理解为L2正则化让参数衰减,所以L2正则化又叫权重衰减(Weight Decay)。
      网上有人解释说,L1正则化相当于一个菱形(参数的范数)和椭圆(损失函数的等高线)求最先交上的点,然后比较大概率的落到菱形的角上,使用L2正则化相当于圆(参数的参数)和椭圆求最先交上的点,事实上,这个观点是错误的。但是作为帮助理解记忆还是可以的。为什么L1范数比L2范数更容易得到稀疏性,这是由梯度下降算法和范数的特点决定的,具体原因这里不展开。
      了解了L1和L2正则化,这里做一个拓展。在机器学习中,线性回归模型,如果使用L1正则化,则得到的模型叫Lasso模型,如果使用L2正则化,则得到的模型叫岭(Ridge)回归。
      可能还有一个问题没解决,为什么说L1正则的先验分布是Laplace分布,L2正则先验是Gaussian分布,这个问题就得回到贝叶斯统计上。我们计算一个模型,用一个模型去对数据做判别,相当于求数据和参数的条件下,数据的标签y的最大后验分布。p(yx,w)p(wy,x)/p(w)p(y|x,w)\propto p(w|y,x)/p(w),对这个公式取对数得到logp(yx,w)logp(wy,x)logp(w)logp(y|x,w)\propto logp(w|y,x)-logp(w),把正则化参数当成先验概率,L1=logp(w)=wp(w)=ewL_1=-logp(w)=|w|\rightarrow p(w)=e^{-|w|},得到拉普拉斯分布的核。同理L2=logp(w)=w2p(w)=ew2L_2=-logp(w)=w^2\rightarrow p(w)=e^{-w^2},得到高斯分布的核。
      以上是我的个人理解,如果有不当的地方,请指出。

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  • 这样, 我们从图像化的角度,分析了 L2 正则化的物理意义,解释了带 L2 正则化项的损失函数是如何推导而来的。 2. L1 正则化直观解释 L1 正则化公式也很简单,直接在原来的损失函数基础上加上权重参数的...

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    机器学习中,如果参数过多,模型过于复杂,容易造成过拟合(overfit)。即模型在训练样本数据上表现的很好,但在实际测试样本上表现的较差,不具备良好的泛化能力。为了避免过拟合,最常用的一种方法是使用使用正则化,例如 L1 和 L2 正则化。但是,正则化项是如何得来的?其背后的数学原理是什么?L1 正则化和 L2 正则化之间有何区别?本文将给出直观的解释。

    1. L2 正则化直观解释

    L2 正则化公式非常简单,直接在原来的损失函数基础上加上权重参数的平方和:

    L=Ein+λjwj2

    其中,Ein 是未包含正则化项的训练样本误差,λ 是正则化参数,可调。但是正则化项是如何推导的?接下来,我将详细介绍其中的物理意义。

    我们知道,正则化的目的是限制参数过多或者过大,避免模型更加复杂。例如,使用多项式模型,如果使用 10 阶多项式,模型可能过于复杂,容易发生过拟合。所以,为了防止过拟合,我们可以将其高阶部分的权重 w 限制为 0,这样,就相当于从高阶的形式转换为低阶。

    为了达到这一目的,最直观的方法就是限制 w 的个数,但是这类条件属于 NP-hard 问题,求解非常困难。所以,一般的做法是寻找更宽松的限定条件:

    jwj2C

    上式是对 w 的平方和做数值上界限定,即所有w 的平方和不超过参数 C。这时候,我们的目标就转换为:最小化训练样本误差 Ein,但是要遵循 w 平方和小于 C 的条件。

    下面,我用一张图来说明如何在限定条件下,对 Ein 进行最小化的优化。


    这里写图片描述

    如上图所示,蓝色椭圆区域是最小化 Ein 区域,红色圆圈是 w 的限定条件区域。在没有限定条件的情况下,一般使用梯度下降算法,在蓝色椭圆区域内会一直沿着 w 梯度的反方向前进,直到找到全局最优值 wlin。例如空间中有一点 w(图中紫色点),此时 w 会沿着 -∇Ein 的方向移动,如图中蓝色箭头所示。但是,由于存在限定条件,w 不能离开红色圆形区域,最多只能位于圆上边缘位置,沿着切线方向。w 的方向如图中红色箭头所示。

    那么问题来了,存在限定条件,w 最终会在什么位置取得最优解呢?也就是说在满足限定条件的基础上,尽量让 Ein 最小。

    我们来看,w 是沿着圆的切线方向运动,如上图绿色箭头所示。运动方向与 w 的方向(红色箭头方向)垂直。运动过程中,根据向量知识,只要 -∇Ein 与运行方向有夹角,不垂直,则表明 -∇Ein 仍会在 w 切线方向上产生分量,那么 w 就会继续运动,寻找下一步最优解。只有当 -∇Ein 与 w 的切线方向垂直时,-∇Ein在 w 的切线方向才没有分量,这时候 w 才会停止更新,到达最接近 wlin 的位置,且同时满足限定条件。


    这里写图片描述

    -∇Ein 与 w 的切线方向垂直,即 -∇Ein 与 w 的方向平行。如上图所示,蓝色箭头和红色箭头互相平行。这样,根据平行关系得到:

    Ein+λw=0

    移项,得:

    Ein+λw=0

    这样,我们就把优化目标和限定条件整合在一个式子中了。也就是说只要在优化 Ein 的过程中满足上式,就能实现正则化目标。

    接下来,重点来了!根据最优化算法的思想:梯度为 0 的时候,函数取得最优值。已知 ∇Ein 是 Ein 的梯度,观察上式,λw 是否也能看成是某个表达式的梯度呢?

    当然可以!λw 可以看成是 1/2λw*w 的梯度:

    w(12λw2)=λw

    这样,我们根据平行关系求得的公式,构造一个新的损失函数:

    Eaug=Ein+λ2w2

    之所以这样定义,是因为对 Eaug 求导,正好得到上面所求的平行关系式。上式中等式右边第二项就是 L2 正则化项。

    这样, 我们从图像化的角度,分析了 L2 正则化的物理意义,解释了带 L2 正则化项的损失函数是如何推导而来的。

    2. L1 正则化直观解释

    L1 正则化公式也很简单,直接在原来的损失函数基础上加上权重参数的绝对值:

    L=Ein+λj|wj|

    我仍然用一张图来说明如何在 L1 正则化下,对 Ein 进行最小化的优化。


    这里写图片描述

    Ein 优化算法不变,L1 正则化限定了 w 的有效区域是一个正方形,且满足 |w| < C。空间中的点 w 沿着 -∇Ein 的方向移动。但是,w 不能离开红色正方形区域,最多只能位于正方形边缘位置。其推导过程与 L2 类似,此处不再赘述。

    3. L1 与 L2 解的稀疏性

    介绍完 L1 和 L2 正则化的物理解释和数学推导之后,我们再来看看它们解的分布性。


    这里写图片描述

    以二维情况讨论,上图左边是 L2 正则化,右边是 L1 正则化。从另一个方面来看,满足正则化条件,实际上是求解蓝色区域与黄色区域的交点,即同时满足限定条件和 Ein 最小化。对于 L2 来说,限定区域是圆,这样,得到的解 w1 或 w2 为 0 的概率很小,很大概率是非零的。

    对于 L1 来说,限定区域是正方形,方形与蓝色区域相交的交点是顶点的概率很大,这从视觉和常识上来看是很容易理解的。也就是说,方形的凸点会更接近 Ein 最优解对应的 wlin 位置,而凸点处必有 w1 或 w2 为 0。这样,得到的解 w1 或 w2 为零的概率就很大了。所以,L1 正则化的解具有稀疏性。

    扩展到高维,同样的道理,L2 的限定区域是平滑的,与中心点等距;而 L1 的限定区域是包含凸点的,尖锐的。这些凸点更接近 Ein 的最优解位置,而在这些凸点上,很多 wj 为 0。

    关于 L1 更容易得到稀疏解的原因,有一个很棒的解释,请见下面的链接:

    https://www.zhihu.com/question/37096933/answer/70507353

    4. 正则化参数 λ

    正则化是结构风险最小化的一种策略实现,能够有效降低过拟合。损失函数实际上包含了两个方面:一个是训练样本误差。一个是正则化项。其中,参数 λ 起到了权衡的作用。


    这里写图片描述

    以 L2 为例,若 λ 很小,对应上文中的 C 值就很大。这时候,圆形区域很大,能够让 w 更接近 Ein 最优解的位置。若 λ 近似为 0,相当于圆形区域覆盖了最优解位置,这时候,正则化失效,容易造成过拟合。相反,若 λ 很大,对应上文中的 C 值就很小。这时候,圆形区域很小,w 离 Ein 最优解的位置较远。w 被限制在一个很小的区域内变化,w 普遍较小且接近 0,起到了正则化的效果。但是,λ 过大容易造成欠拟合。欠拟合和过拟合是两种对立的状态。



    这里写图片描述

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  • 正则化的作用以及L1和L2正则化的区别

    万次阅读 多人点赞 2019-08-21 20:06:16
    常用的正则化方法有L1正则化和L2正则化。L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数做一些限制。 L1正则化的模型建叫做Lasso回归,使用L2正则化的模型叫做Ridge回归...

    0 正则化的作用

    正则化的主要作用是防止过拟合,对模型添加正则化项可以限制模型的复杂度,使得模型在复杂度和性能达到平衡。
    常用的正则化方法有L1正则化和L2正则化。L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数做一些限制。 L1正则化的模型建叫做Lasso回归,使用L2正则化的模型叫做Ridge回归(岭回归。但是使用正则化来防止过拟合的原理是什么?L1和L2正则化有什么区别呢?

    1 L1正则化与L2正则化

    L1正则化的表达如下,其中αw1\alpha||w||_1为L1正则化项,L1正则化是指权值向量w 中各个元素的绝对值之和。
    在这里插入图片描述
    L2正则化项表达式如下,其中αw22\alpha||w||_2^2为L2正则化项,L2正则化是指权值向量w 中各个元素的平方和然后再求平方根。
    在这里插入图片描述
    L1和L2正则化的作用:

    • L1正则化可以产生稀疏权值矩阵,即产生一个稀疏模型,可以用于特征选择,一定程度上,L1也可以防止过拟合
    • L2正则化可以防止模型过拟合(overfitting)

    下面看李飞飞在CS2312中给的更为详细的解释:

    • L2正则化可以直观理解为它对于大数值的权重向量进行严厉惩罚,倾向于更加分散的权重向量。由于输入和权重之间的乘法操作,这样就有了一个优良的特性:使网络更倾向于使用所有输入特征,而不是严重依赖输入特征中某些小部分特征。 L2惩罚倾向于更小更分散的权重向量,这就会鼓励分类器最终将所有维度上的特征都用起来,而不是强烈依赖其中少数几个维度。。这样做可以提高模型的泛化能力,降低过拟合的风险。
    • L1正则化有一个有趣的性质,它会让权重向量在最优化的过程中变得稀疏(即非常接近0)。也就是说,使用L1正则化的神经元最后使用的是它们最重要的输入数据的稀疏子集,同时对于噪音输入则几乎是不变的了。相较L1正则化,L2正则化中的权重向量大多是分散的小数字。
    • 在实践中,如果不是特别关注某些明确的特征选择,一般说来L2正则化都会比L1正则化效果好。

    2 L1和L2正则化的原理

    上面讲到L1倾向于学得稀疏的权重矩阵,L2倾向于学得更小更分散的权重?但是L1和L2是怎样起到这样的作用的呢?背后的数学原理是什么呢?
    模型的学习优化的目标是最小化损失函数,学习的结果是模型参数。在原始目标函数的基础上添加正则化相当于,在参数原始的解空间添加了额外的约束。
    L1正则化对解空间添加的约束是:
    w1&lt;=C\sum||w||_1 &lt;= C
    L2正则化对解空间添加的约束是:
    w22&lt;=C\sum||w||_2^2 &lt;= C
    为了形象化的说明以假设有两个空间,以二维参数空间为例,假设有两个参数W1和W2。
    则L1正则化对解空间的约束为:
    w1+w2&lt;=C|w1| + |w2| &lt;= C
    L2对解空间的约束为:
    w12+w22&lt;=Cw1^2 + w2^2 &lt;= C
    在二维平面上绘制以上两个式子的图像,可得L1约束的范围是一个顶点在坐标轴上的菱形,L2约束的范围是一个圆形。
    在这里插入图片描述
    上面的图,左面是L2约束下解空间的图像,右面是L1约束下解空间的图像。
    蓝色的圆圈表示损失函数的等值线。同一个圆上的损失函数值相等的,圆的半径越大表示损失值越大,由外到内,损失函数值越来越小,中间最小。
    如果没有L1和L2正则化约束的话,w1和w2是可以任意取值的,损失函数可以优化到中心的最小值的,此时中心对应的w1和w2的取值就是模型最终求得的参数。
    但是填了L1和L2正则化约束就把解空间约束在了黄色的平面内。黄色图像的边缘与损失函数等值线的交点,便是满足约束条件的损失函数最小化的模型的参数的解。 由于L1正则化约束的解空间是一个菱形,所以等值线与菱形端点相交的概率比与线的中间相交的概率要大很多,端点在坐标轴上,一些参数的取值便为0。L2正则化约束的解空间是圆形,所以等值线与圆的任何部分相交的概率都是一样的,所以也就不会产生稀疏的参数。
    但是L2为什么倾向于产生分散而小的参数呢?那是因为求解模型的时候要求,在约束条件满足的情况下最小化损失函数,w22\sum||w||_2^2也应该尽可能的小。
    看这样一个例子:
    设输入向量x=[1,1,1,1],两个权重向量w_1=[1,0,0,0],w_2=[0.25,0.25,0.25,0.25]。那么w1Tx=w2Tx=1w^T_1x=w^T_2x=1,两个权重向量都得到同样的内积,但是w1w_1的L2惩罚是1.0,而w2w_2的L2惩罚是0.25。因此,根据L2惩罚来看,w2w_2更好,因为它的正则化损失更小。从直观上来看,这是因为w2w_2的权重值更小且更分散。所以L2正则化倾向于是特征分散,更小。

    3 正则化参数 λ

    我们一般会为正则项参数添加一个超参数λ或者α,用来平衡经验风险和结构风险(正则项表示结构风险)。
    在这里插入图片描述以 L2 为例,若 λ 很小,就是说我们考虑经验风险更多一些,对于结构风险没有那么重视,约束条件更为宽松。对应上文中的 C 值就很大。这时候,圆形区域很大,能够让 w 更接近中心最优解的位置。若 λ 近似为 0,相当于圆形区域覆盖了最优解位置,这时候,正则化失效,容易造成过拟合。
    相反,若 λ 很大,约束条件更为严格,对应上文中的 C 值就很小。这时候,圆形区域很小,w 离中心最优解的位置较远。w 被限制在一个很小的区域内变化,w 普遍较小且接近 0,起到了正则化的效果。但是,λ 过大容易造成欠拟合。欠拟合和过拟合是两种对立的状态。

    4 总结

    1. 添加正则化相当于参数的解空间添加了约束,限制了模型的复杂度
    2. L1正则化的形式是添加参数的绝对值之和作为结构风险项,L2正则化的形式添加参数的平方和作为结构风险项
    3. L1正则化鼓励产生稀疏的权重,即使得一部分权重为0,用于特征选择;L2鼓励产生小而分散的权重,鼓励让模型做决策的时候考虑更多的特征,而不是仅仅依赖强依赖某几个特征,可以增强模型的泛化能力,防止过拟合。
    4. 正则化参数 λ越大,约束越严格,太大容易产生欠拟合。正则化参数 λ越小,约束宽松,太小起不到约束作用,容易产生过拟合。
    5. 如果不是为了进行特征选择,一般使用L2正则化模型效果更好。

    参考文章:
    1.【通俗易懂】机器学习中 L1 和 L2 正则化的直观解释
    2. 机器学习中正则化项L1和L2的直观理解

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    请查看以下泛化曲线, 该曲线显示的是训练集和验证集相对于训练迭代次数的损失.

    图 1.训练集和验证集损失

    图 1 显示的是某个模型的训练损失逐渐减少, 但验证损失最终增加.换言之, 该泛化曲线显示该模型与训练集中的数据过拟合.根据奥卡姆剃刀定律, 或许我们可以通过降低复杂模型的复杂度来防止过拟合, 这种原则称为正则化。

    也就是说, 并非只是以最小化损失 ( 经验风险最小化 ) 为目标:

    minimize ( Loss ( Data|Model ))

    而是以最小化损失和复杂度为目标, 这称为结构风险最小化:

    minimize(Loss(Data|Model) + complexity(Model))

    现在, 我们的训练优化算法是一个由两项内容组成的函数:一个是损失项, 用于衡量模型与数据的拟合度, 另一个则是正则化项, 用于衡量模型的复杂度。

    机器学习速成课程重点介绍了这两种衡量模型复杂度的常见方式 ( 这两种方式有些相关 ):

    将模型复杂度作为模型中所有特征的权重的函数。

    将模型复杂度作为具有非零权重的特征总数的函数。

    如果模型复杂度是权重的函数, 则特征权重的绝对值越高, 对模型复杂度的贡献就越大.

    我们可以使用 L2 正则化公式来衡量复杂度, 该公式将正则化项定义为所有特征权重的平方和:

    L_2 regularization term = ||w||_{2}^{2} = w_{1}^{2} + w_{2}^{2} + ... +w_{n}^{2}在这个公式中, 接近于 0 的权重对模型的复杂度几乎没有影响, 而离群值权重则可能会产生巨大的影响。

    例如, 某个线性模型具有以下权重:

    w_1 = 0.2, w_2 = 0.5, w_3 = 5, w_4 = 2, \\w_5 = 0.25, w_6 = 0.75

    L_2 正则化项为 26.915:

    w_{1}^{2} + w_{2}^{2} + \mathbf{w_{3}^{2}} + w_{4}^{2} + w_{5}^{2 }+ w_{6}^{2}\\

    = 0.2^{2} + 0.5^{2} + \mathbf{5^{2}} + 1^{2} + 0.25^{2} + 0.75^{2}\\

    = 0.04 + 0.25 + \mathbf{25} + 1 + 0.0625 + 0.5625

    = 26.915

    但是w_3( 上述加粗内容 ) 的平方值为 25, 几乎贡献了全部的复杂度。所有 5 个其他权重的平方和对 L_2 正则化的贡献仅为 1.915.

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    Hacking

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  • 目录:0 前言1 学习模型正则化1.1 什么是模型正则化1.2 模型的过拟合2 L1正则化2.1 LASSO回归思路2.2 L1正则化项与稀疏性2.3 L1正则使用2.4 调参效果3 L2正则化3.1 岭回归思路3.2 L2正则防止过拟合3.3 L2正则的使用...
  • L1正则化和L2正则化

    2021-04-24 10:57:12
    文章目录前言一、L1和L2正则化是什么?二、区别三、其他问题 前言 在防止过拟合的方法中有L1正则化和L2正则化,那么这两者有什么区别呢? 一、L1和L2正则化是什么? L1和L2是正则化项,又叫做惩罚项,是为了限制...
  •  颓废多日,终于重新回归博客,记录每天的学习or复习,每...L1和L2正则化的区别? 1.为什么要正则化?  减小模型参数大小或参数数量,缓解过拟合 2.什么是正则化?  通式: 正则化项 又称惩罚项,惩罚的是模型的参
  • L1正则化与L2正则化

    2021-03-19 23:35:59
    (1)通过导数值进行分析:在进行梯度下降时,对于L1的正则(权值向量w中各个元素的绝对值之和)求导得到的都是1+1+······(有多项1相加),而L2正则化(权值向量w中各个元素的平方和)求导要对于各个特征...
  • # L2正则化 from keras import regularizers model = models.Sequential() # l2(0.001)是指该层权重矩阵每个系数都会使网络总损失增加0.001*weight_coefficient_value # 由于这个惩罚项只在...
  • 2、L2正则化(权重衰减) 权值向量w中各个元素的平方和: 3、L1正则化 VS L2正则化 L1正则化可以产生稀疏权值矩阵,即产生一个稀疏模型,可以用于特征选择 L2正则化可以防止模型过拟合(overfitting) 问:为什么 L1 ...
  • 1.1 一种Regularization的方法,与L1、L2正则化和最大范式约束等方法互为补充。在训练的时候,dropout的实现方法是让神经元以超参数 p 的概率被激活或者被设置为0。 1.2 在训练过程中,随机失活可以被认为是对完整...

空空如也

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