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  • 人工智能必备数学知识

    千人学习 2020-09-28 18:39:20
    因此在设计这门专为人工智能服务的数学课,讲解从人工智能用到的底层的数学逻辑,让大家可以真正理解数学知识。 【讲师介绍】 褚英昊  技术总监 深造于美国圣地亚哥国家超级计算中心,毕业后归国曾服务于世界某...
  • 高等数学知识框架初步

    千次阅读 2020-09-02 22:08:06
    高等数学知识框架初步 按照高聚合、低耦合的思路规划高等数学;让高等数学知识框架从易到难,从底层到上层, 首先说说前置知识。高等数学的前置知识是初等函数,即高中数学讲的内容; 然后讲讲核心内容。高等数学的...

    高等数学知识框架初步

    按照高聚合、低耦合的思路规划高等数学;让高等数学知识框架从易到难,从底层到上层,

    首先说说前置知识。高等数学的前置知识是初等函数,即高中数学讲的内容;

    然后讲讲核心内容。高等数学的核心内容是求极限、求微分、求积分。

    最后讲讲应用。高等数学的应用包括几何应用等应用、中值定理、多元微分学、无穷级数。

    按学习路线

    顺序依次为:极限计算、求导计算、微分计算、微积分的应用、中值定理、多元微分学。

    计算问题解决了,应用问题都好说。

    一、极限理论体系

    前言

    经过一段时间的学习,写写对高等数学中极限的认识。

    仅现阶段个人的见解,请各位辩证理解

    初等函数是高等函数的基础。高等函数是初等函数的进一步发展;

    高等函数的核心是微积分,微积分的基础是极限;

    在极限中一般使用极限的性质(一般性质、存在性质、无穷小性质、运算性质)证明极限和求极限;

    函数极限计算中,常用的是七种未定式的转换以及泰勒公式;

    函数极限计算的关键词有:未定式、无穷比阶、洛必达法则、变现积分求导、泰勒公式、脱帽戴帽等;

    数列极限计算的关键词有:归结原则、递推式、单调有界准则、夹逼准则等;

    联系函数展开式(泰勒展开式)以及数列递推式,引出无穷级数。

    省略了数列极限的证明、函数的连续性以及间断点等知识;主要突出计算。牢牢把握住高等数学的三大计算。

    初等数学

    为高等数学的前置知识。主要有集合与函数(指数、对数、幂函数)、立体几何与平面几何、算法初步与概率和统计、三角函数和平面向量、数列与不等式;

    参考:高中数学知识点总结(最全版)、张宇30讲

    反函数、复合函数;

    函数的四种特性:有界性、单调性、奇偶性、周期性;

    直角坐标系下的图像

    幂函数、指数函数、对数函数、三角函数;

    图像变换

    极坐标系下的图像

    心型线(外摆线)、玫瑰线、阿基米德螺线、伯努利双扭线;

    摆线(平摆线)、星型线(内摆线)

    常见基础知识

    数列:等差数列、等比数列、常见数列;

    三角函数:基本关系、诱导公式、和差公式、积化和差、和差化积、万能公式;

    指数、队数运算法则

    一元二次方程、因式分解、阶乘

    常用不等式

    函数的性质以及数形结合在导数的几何应用中经常使用到;

    常见基础知识在极限、求导、积分的计算中经常用到。

    数列极限与函数极限

    数列极限偏证明,常用存在性质;函数极限偏计算,常用到运算性质;

    概念

    数列极限证明、函数极限证明

    一般性质

    唯一性、(局部)有界性、(局部)保号性(衍生出脱帽法)

    存在性质

    夹逼准则、单调有界准则(魏氏准则);

    无穷小性质

    无穷小比阶、常见等价无穷小

    运算性质

    数列极限的归结原则

    极限运算性质

    洛必达法则

    泰勒公式

    面对极限计算(如七种未定式),直接使用极限的基本性质一个一个试;高中的常见基础知识要烂熟于心;

    无穷级数

    数项级数判敛

    正项级数:收敛原则、比较判别法、比较判别法的极限形式、比值判别法、根值判别法

    交错级数:莱布尼兹判别法

    任意项级数:绝对收敛、条件收敛;

    幂级数的收敛域

    阿贝尔定理

    结论1

    结论2

    函数展开问题

    幂级数求和问题

    傅里叶级数(展开式、迪利克雷收敛定理)

    总结

    唯一核心是函数极限的计算。不过初等数学是其计算基础,必须掌握。无穷级数中的幂级数展开式就是泰勒公式,给函数极限计算带来了便利,需要了解。

    函数极限的计算,一个是计算要过关,另一个就是极限的性质要掌握。

    二、一元微分学理论体系

    前言

    求导是高等数学三大计算的第二大计算,是极限计算和积分计算的承前启后部分。

    一元微分学理论体系

    定义以及性质

    导数:定义

    微分:定义、微分不变性

    求导工具

    基本求导公式

    四则运算

    复合函数运算

    反函数运算

    求导类型

    幂指函数(对数求导)

    参数方程

    高阶导数

    变限积分求导

    总结

    微分部分内容许多,有几何应用(三点两性一线)、中值定理。

    三、一元积分学理论体系

    前言

    积分是高等数学三大计算的第三大计算,是计算量最大的一个计算。还讲导数部分内容综合起来。

    一元积分理论体系

    概念

    不定积分:祖孙三代的奇偶性和周期性

    定积分:基本型、放缩型、变量型;

    变限积分:求导公式

    反常积分:敛散性

    性质

    不定积分:保号性

    定积分:区间长度、线性性质、可加(拆)性、保号性、估值定理、积分中值定理;

    解不定积分(四大积分法)

    基本积分公式

    凑微分法

    换元法

    分部积分法

    有理函数积分

    解定积分

    牛顿-莱布尼兹公式

    区间再现公式

    华里士公式

    补充

    直接、拆分、换元、换序

    求偏导

    总结

    求积分。

    四、微积分的应用

    前言

    微分的应用、积分的应用、微分方程

    微分的应用

    三点两性一线

    相关变化率

    曲率

    积分的应用

    面积、体积、平均值

    抽水做功

    平面上的曲边梯形的形心坐标公式

    弧长

    微分方程

    一阶微分方程的求解

    变量可分离型

    可化为变量可分离型

    一阶线性微分方程

    伯努利方程

    二阶可降阶微分方程

    不含未知函数y

    不含自变量x

    高阶线性微分方程的求解

    二阶常系数齐次线性微分方程的通解

    二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

    应用

    牛顿第二定律

    变化率问题

    五、中值定理

    中值定理

    函数

    有界与最值定理

    介值定理

    平均值定理

    零点定理

    导数

    费马定理

    罗尔定理

    拉格朗日中值定理

    柯西中值定理

    泰勒公式

    积分

    积分中值定理

    零点问题与微分不等式

    零点问题

    零点定理(证存在性)

    单调性(证唯一性)

    罗尔原话

    实系数奇次方程至少有一个实根

    微分不等式

    用函数性态证明不等式

    用常数变量化证明不等式

    用中值定理证明不等式

    积分等式与积分不等式

    积分等式

    用中值定理

    用夹逼准则

    用积分法

    积分不等式

    用函数的单调性

    用拉格朗日中值定理

    用泰勒公式

    用积分法

    六、多元微分学

    前言

    多元微积分的基础知识、多元微分学、多元积分学、三重积分和曲线曲面积分

    多元微积分基础知识

    向量代数

    向量的运算:数量积和向量积

    向量的方向角、方向余弦:stokes公式

    空间平面与直线

    平面方程:一般式、点法式、三点式、截距式

    直线方程:一般式、点向式、参数式、两点式

    位置关系:点到平面、直线、平面、直线与平面

    空间曲线与曲面

    空间曲线:一般式、参数式、空间曲线在坐标面上的投影

    空间曲面:曲面方程、二次曲面、柱面、旋转曲面

    多元函数微分学的几何应用

    空间曲线的切线与法平面

    空间曲面的切平面与法线

    场论初步

    方向导数

    梯度

    方向导数与梯度的关系

    散度、旋度

    多元函数微分学

    基本概念

    极限、连续、偏导数

    可微、偏导数的连续性

    多元函数微分法则

    链式求导规则

    隐函数存在定理

    多元函数的极值最值

    概念

    无条件极值:隐函数、显函数

    条件极值与拉格朗日乘数法:闭区域边界上、闭区域上

    多重积分

    概念

    对称性:普通、轮换

    计算

    直角坐标系

    极坐标系

    极值互化

    积分次序

    二重三重积分、曲线曲面积分

    二重三重积分与第一型曲线曲面积分

    概念、性质

    对称性:普通、轮换

    计算

    基础方法:化为定积分

    技术方法:对称性、形心公式的逆用

    应用

    空间曲面求面积:用第一型曲面积分

    空间物体的重心、形心:三重积分

    第二型曲线曲面积分

    第二型曲线积分:场、概念、性质

    平面第二型曲线积分的计算:化为定积分,格林公式;

    空间第二型曲线积分的计算:斯托克斯公式

    第二型曲面积分:向量场、概念、性质

    第二型曲面积分的计算:化为二重积分、高斯公式

    总结

    认识是多角度反复的。

    更新地址:gitee

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  • 中学数学知识点实体识别 构建中学数学知识图谱的第一步是完成数学命名实体识别。 1. Overview   本文定义是:中学数学学科知识点指客观存在的数学知识实体及其对应的抽象内容。客观存在的实体即例如“三角形”、...

    中学数学知识点实体识别

    构建中学数学知识图谱的第一步是完成数学命名实体识别。

    1. Overview

      本文定义是:中学数学学科知识点指客观存在的数学知识实体及其对应的抽象内容。客观存在的实体即例如“三角形”、“数列”、“平面向量”等指代一个数学的概念;抽象是指基于这些客观实体的一些数学“方法”、“定理”等,例如“边角边定理”是基于三角形的全等的定理,“裂项相消法”是基于“数列”求和的一种方法,“共线定理”则是基于“平面向量”的法则。本文设定“KNOW”表示概念实体,“PRIN”表示法则实体,“O”则表示非实体。对于中文汉字,首字符用“B”作为前缀,其余用“I”。

    2. Algorithm

      我们提供了训练数学实体识别的程序,可在Github上下载:Mathematical-Knowledge-Entity-Recognition,训练和测试方法请查看相应的README.md

    3. Datasets

      我们依然提供了数据集及对应的词向量。下载地址为:中学学科知识点数据集。请在中学数学或高中数学一行中选择相应的语料。数据集中仅需要使用ner_train_data和ner_test_data即可。

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  • 今天,小编给大家整理了集合知识点归纳及典型例题,一起来学习一下吧 今天高中数学集合知识点讲解,就分享到这里了,好友更多高中数学知识点会持续分享! ...

    今天,小编给大家整理了集合知识点归纳及典型例题,一起来学习一下吧
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    今天高中数学集合知识点讲解,就分享到这里了,好友更多高中数学知识点会持续分享!

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  • 学好机器学习需要哪些数学知识

    千次阅读 2019-02-24 11:10:42
    很多同学谈数学色变,但数学是机器学习绕不开的基础知识。今天我们来谈谈这个话题:学好机器学习究竟需要哪些数学知识?  

    作者:SIGAI人工智能平台,出处:SIGAI人工智能平台,公众号:SIGAI

    -----------------------------------------

     

    很多同学谈数学色变,但数学是机器学习绕不开的基础知识。今天我们来谈谈这个话题:学好机器学习究竟需要哪些数学知识?

     

    先看某乎上的回答:

     

    随机过程,实分析。机器学习往深里做肯定需要用这种,高级的数学语言去对问题进行描述。我本人对随机和实分析,其实目前也还只是略懂,很难说,真正的彻底掌握这两门十分强大的数学工具。

     

    我本科没好好学泛函,到学到一些ML的方法比如kernel相关的方法的时候就凸显出来对泛函不熟,对函数空间理解不够的话会比较吃力。但重要性上比如前面几个方面。

    (以上为原文引用,错别字没有校正)

     

    大部分读者看到这样的答案之后内心是凄凉的。实变函数,拓扑学,泛函分析,除了数学系之外,很少有其他专业会学这些课程。

                     

    我们先用不少大学流传的顺口溜压压惊

    真的需要学习这些令人不寒而栗的课程吗?事实上,要理解和掌握绝大部分机器学习算法和理论,尤其是对做工程应用的人而言,所需要的数学知识大学数学老师已经给你了:

    • 微积分
    • 线性代数
    • 概率论
    • 最优化方法

    关键知识点

     

    1.  微积分

    先说微积分/高等数学。在机器学习中,微积分主要用到了微分部分,作用是求函数的极值,就是很多机器学习库中的求解器(solver)所实现的功能。在机器学习里会用到微积分中的以下知识点:

     

    • 导数和偏导数的定义与计算方法

    • 梯度向量的定义

    • 极值定理,可导函数在极值点处导数或梯度必须为0

    • 雅克比矩阵,这是向量到向量映射函数的偏导数构成的矩阵,在求导推导中会用到

    • Hessian矩阵,这是2阶导数对多元函数的推广,与函数的极值有密切的联系

    • 凸函数的定义与判断方法

    • 泰勒展开公式

    • 拉格朗日乘数法,用于求解带等式约束的极值问题

       

    其中最核心的是记住多元函数的泰勒展开公式,根据它我们可以推导出机器学习中常用的梯度下降法,牛顿法,拟牛顿法等一系列最优化方法:

     

    参考书目:

    微积分用经典的同济7版就可以了,这是国内很多高校工科专业的微积分教材。如果想深入学习,可以看数学分析的教材,这是数学系的微积分。北大张筑生先生所著的数学分析可谓是国内这方面教材的精品。

     

     

    2.  线性代数

    相比之下,线性代数用的更多。在机器学习的几乎所有地方都有使用,具体用到的知识点有:

    • 向量和它的各种运算,包括加法,减法,数乘,转置,内积

    • 向量和矩阵的范数,L1范数和L2范数

    • 矩阵和它的各种运算,包括加法,减法,乘法,数乘

    • 逆矩阵的定义与性质

    • 行列式的定义与计算方法

    • 二次型的定义

    • 矩阵的正定性

    • 矩阵的特征值与特征向量

    • 矩阵的奇异值分解

    • 线性方程组的数值解法,尤其是共轭梯度法

      机器学习算法处理的数据一般都是向量、矩阵或者张量。经典的机器学习算法输入的数据都是特征向量,深度学习算法在处理图像时输入的2维的矩阵或者3维的张量。掌握这些知识会使你游刃有余。

    3.  概率论

    如果把机器学习所处理的样本数据看作随机变量/向量,我们就可以用概率论的观点对问题进行建模,这代表了机器学习中很大一类方法。在机器学习里用到的概率论知识点有:

    • 随机事件的概念,概率的定义与计算方法

    • 随机变量与概率分布,尤其是连续型随机变量的概率密度函数和分布函数

    • 条件概率与贝叶斯公式

    • 常用的概率分布,包括正态分布,伯努利二项分布,均匀分布

    • 随机变量的均值与方差,协方差

    • 随机变量的独立性

    • 最大似然估计

      这些知识不超出普通理工科概率论教材的范围。

     

    4.  最优化方法

    最后要说的是最优化,因为几乎所有机器学习算法归根到底都是在求解最优化问题。求解最优化问题的指导思想是在极值点出函数的导数/梯度必须为0。因此你必须理解梯度下降法,牛顿法这两种常用的算法,它们的迭代公式都可以从泰勒展开公式中得到。如果能知道坐标下降法、拟牛顿法就更好了。

     

    凸优化是机器学习中经常会提及的一个概念,这是一类特殊的优化问题,它的优化变量的可行域是凸集,目标函数是凸函数。凸优化最好的性质是它的所有局部最优解就是全局最优解,因此求解时不会陷入局部最优解。如果一个问题被证明为是凸优化问题,基本上已经宣告此问题得到了解决。在机器学习中,线性回归、岭回归、支持向量机、logistic回归等很多算法求解的都是凸优化问题。

     

    拉格朗日对偶为带等式和不等式约束条件的优化问题构造拉格朗日函数,将其变为原问题,这两个问题是等价的。通过这一步变换,将带约束条件的问题转换成不带约束条件的问题。通过变换原始优化变量和拉格朗日乘子的优化次序,进一步将原问题转换为对偶问题,如果满足某种条件,原问题和对偶问题是等价的。这种方法的意义在于可以将一个不易于求解的问题转换成更容易求解的问题。在支持向量机中有拉格朗日对偶的应用。

     

    KKT条件是拉格朗日乘数法对带不等式约束问题的推广,它给出了带等式和不等式约束的优化问题在极值点处所必须满足的条件。在支持向量机中也有它的应用。

     

    如果你没有学过最优化方法这门课也不用担心,这些方法根据微积分和线性代数的基础知识可以很容易推导出来。如果需要系统的学习这方面的知识,可以阅读《凸优化》,《非线性规划》两本经典教材。

     

    各种算法和理论用到的数学知识

     

    下面我们来看典型算法和理论结论所用到的数学知识:

     

    除流形学习需要简单的微分几何概念之外,深层次的数学知识如实变函数,泛函分析等主要用在一些基础理论结果的证明上,即使不能看懂证明过程,也不影响我们使用具体的机器学习算法。概率图模型、流形学习中基于图的模型会用到图论的一些基本知识,如果学习过离散数学或者数据结构,这些概念很容易理解。

     

    看完这些,你心里的底气应该更足,如果你大学数学知识还没有还给老师,为什么还担心因为数学而学不好机器学习呢?

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    千次阅读 2017-08-12 21:59:28
    本文转自:编程需要知道多少数学知识?-唐小娟的翻译下面是我在Reddit的子论坛 r/learnprogramming 看到的几个帖子:“要成为一个优秀的程序员需要学习多少数学?” “我应该重新学习数学吗?” “这可能是我...
  • 压缩感知中的数学知识:凸优化

    万次阅读 多人点赞 2014-11-03 17:47:19
    题目:压缩感知中的数学知识:凸优化

空空如也

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