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  • 方差的公式是什么?

    千次阅读 2017-09-08 20:19:30
  • 文章目录一:伯努利分布/0-1分布二:二项分布三:泊松分布四:正态分布五:均匀分布六:指数分布 一:伯努利分布/0-1分布 如果随机试验仅有两个可能结果...期望和方差 三:泊松分布 1.引入 很多场合下,我们感兴


    一:期望

    引入:
    在这里插入图片描述


    1.1离散型随机变量的期望

    在这里插入图片描述
    注:其实是在等概率的基础上引申来的,等概率下的权重都是1/N。


    1.2连续型随机变量的期望

    在这里插入图片描述
    注:因为对于连续性随机变量其某一点的概率是无意义的,所以要借用密度函数,详情见:https://blog.csdn.net/qq_37534947/article/details/109563254,其实就是一个期望累计的过程。


    1.3期望的性质

    在这里插入图片描述
    注:其中第三个性质,可以把所有的X+Y的各种情况展开,最后得出的结果就是这样的。


    二:随机变量函数(复合随机)的数学期望

    1.理解

    在这里插入图片描述
    注:其实就是复合随机变量的期望,对于离散型 ,其主要是每个值增加了多少倍/减少了多少倍,但是概率不变,所以公式见上面;对于 连续性随机变量,其实是一样的,每个点的概率没有变,所以就是变量本身的值发货所能了改变。


    三:方差

    引入的意义:
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    求每次相对于均值的波动:
    在这里插入图片描述
    求波动的平方和:
    在这里插入图片描述


    定义:
    在这里插入图片描述
    注:其实就是对X-E(X)方 ,求均值其实就是方差,注意这里的均值也是加权平均,所以方差其实就是一种特殊的期望。


    3.1离散型随机变量的方差

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    3.2连续性随机变量的方差

    在这里插入图片描述


    3.3方差的性质

    在这里插入图片描述
    注:3)4)5)等性质可以套入定义中就可以得到,这里不多说;对于独立以及协方差见后;8)的证明如下
    在这里插入图片描述


    四:协方差

    4.1定义

    在这里插入图片描述
    注:这里和之前一个变量对比,之前是一个变量的偏移后进行平方,然而这里是两个变量平移后进行相乘。

    4.2离散型二维随机变量的协方差

    在这里插入图片描述


    4.3连续型二维随机变量的协方差

    在这里插入图片描述


    4.4二维随机变量的协方差性质

    在这里插入图片描述
    注:了解即可…


    4.5协方差矩阵

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述


    五:相关系数

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    所以: 独立必不相关,但不相关不一定独立,因为这里的不相关指的是线性不相关,可能会有其他非线性关系,具体例子找到再补充-------。


    参考链接:
    https://www.cnblogs.com/bigmonkey/p/11097322.html

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  • 1.随机事件定义是什么?答:随机事件是在随机试验中,可能出现也可能不出现,而在大量重复试验中具有某种规律性事件叫做随机事件(简称事件)。2.随机事件互不相容与相互独立如何区分?答:互不相容又叫互斥,即两...

    1.随机事件的定义是什么?

    答:随机事件是在随机试验中,可能出现也可能不出现,而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件(简称事件)。

    2.随机事件的互不相容与相互独立如何区分?

    答:互不相容又叫互斥,即两个事件不能同时发生,强调“不能同时发生”,可以通过画Venn图判断两事件是否互不相容。而相互独立是通过概率定义的概念,即若两事件相互独立,当且仅当他们各自发生的概率的乘积等于他们的交事件(又称积事件)发生的概率,不能通过画Venn图判断两事件是否相互独立。“互不相容”与“相互独立”没有必然联系,不能由其中一个推出另一个。

    3.积事件与条件事件的区别是什么?

    积事件是指两事件的交集,即两事件同时发生的情形。因此积事件可以为空集也可以就等于其中一个事件(当其中一个事件包含在另一个事件中时)。积事件的概率本质上还是事件的概率。

    条件事件是指在一个事件发生的条件下,另一个事件发生。条件事件是否与确定条件的那个事件相关,需根据这两个事件的独立性来判断。条件事件的概率为条件概率。

    4.什么情况下用全概率公式?

    全概率公式的应用情景:对于一个较复杂的事件A,直接计算A的概率会比较复杂。这时换一种思路,若能找到一个互不相容的事件列

    ,且

    (具备这样性质的事件列

    称为完备事件组),进而将事件A分割成n部分,其中每一部分对应

    。从而

    。全概率公式是条件概率的求和。

    5.什么情况下用Bayes公式?

    贝叶斯公式的应用情景:贝叶斯公式是贝叶斯学派的基本公式,私以为利用了后验概率来修正先验概率的这样一种思想。总的来说可以看成是解决由观察到的现象/测量的数据去推断现象/数据后面的规律的发生的概率的问题的公式,本质上是条件概率:

    若分母不好求,可考虑利用全概率公式将分母展开:

    将“规律”记为B,“现象”记为A,就有贝叶斯公式:

    (也可利用“先验概率”“后验概率”的思想来理解贝叶斯公式,具体参考其他资料)

    6.引入随机变量的意义是什么?

    若只考虑事件来研究事件的性质(概率,期望,方差,相关性,独立性……),当事件足够多的情况下,研究无法进行。这就必须将事件量化,引进随机变量。当然随机变量也分离散和连续的,其中离散随机变量可以看成是退化的随机变量,因为离散随机变量取离散的值时就是利用事件本身来研究它的性质了。

    7. 伽玛分布与指数分布、卡方分布的关系?

    指数分布和卡方分布都是伽玛函数的特例: 时的伽玛分布为指数分布:

    2.称

    的伽玛分布为自由度为

    (卡方)分布,记作

    8.根据描述说出随机变量的分布。

    这就需要熟悉各类分布的具体应用。譬如二项分布是n重伯努利试验的分布,如投篮、彩票。泊松分布常与单位时间、单位面积、单位体积上的计数过程相联系,如某时间段内,来到某商场的顾客数;单位时间内,某网站的点击量。超几何分布在抽样检测中常用。几何分布刻画试验第一次成功时总的试验次数。负二项分布可以看出是二项分布的对立,刻画试验次数随成功次数的分布(而二项分布可以看成是成功次数随试验次数的分布)。正态分布是实际生活、生产中最常见的分布,大量不确定性因素的累加服从正态分布。均匀分布是在定义域内概率密度处处相等的分布。指数分布常与“寿命”有关,譬如电子元器件的寿命、动物的寿命、电话的通话时间、随机服务系统中的服务时间。伽玛分布可以导出指数分布和卡方分布……具体参见常用分布 - coffee的文章 - 知乎

    9.随机变量的分类?

    离散型随机变量、连续型随机变量和混合型随机变量(这个容易漏掉)。

    10.随机变量的刻画工具是什么?如何定义的?

    随机变量就其分布的定义而言,是由分布函数

    确定的,是概率的累加值,其中需要用到概率密度函数

    随机变量就其数字特征来说,所有的数值特征的本质都是“期望”或者是由“期望”导出的量。数学期望是“期望”,方差是中心化随机变量(又称偏差)平方的期望,标准差是偏差平方的期望的算术根,原点矩是随机变量各次方的数学期望,中心矩是中心化变量各次方的数学期望,变异系数是标准差与期望的比,偏度是三阶中心矩与标准差三次方的比,峰度是四阶中心矩与方差平方的比再减去3,协方差(又称相关中心矩)是两变量的中心化变量的乘积的数学期望,相关系数是协方差与标准差乘积的比……

    11.关于正态分布有哪些主要结论?

    对称性、可加性、所有的正态分布都可以转化为标准正态分布、

    原则……

    12.随机事件的独立性如何证明?

    随机变量序列

    相互独立,当且仅当

    13.满足可加性的分布有哪些?

    二项分布、泊松分布、正态分布、伽马分布、卡方分布。

    14.哪些分布具有无记忆性?

    几何分布、指数分布。

    15.依概率收敛与依分布收敛的联系与区别?

    依概率收敛较依分布收敛更强。依概率收敛是指随机变量列无限趋近于某一随机变量,只不过这种趋近是在概率条件下趋近,是说趋近的概率为1。而依分布收敛是随机变量列的分布函数无限趋近某一随机变量列的分布函数,这相当于函数的弱收敛。

    16.关于特征函数的应用有哪些?

    1.利用特征函数求各种“期望”

    2.对特征函数进行傅里叶逆变换可得到密度函数

    3.服从可加性的变量可利用特征函数快捷地求出和变量的特征函数

    17.弱收敛与依分布收敛的关系是什么?

    弱收敛是一个比较广泛的概念,依分布收敛只是它的一种特殊情况。一般的弱收敛可以不收敛到一个分布函数,当一个分布函数列弱收敛到一个分布函数时,就称为依分布收敛。

    18.引入分布函数的目的是什么?

    从本质上说,分布与分布函数一一对应,即给定一个分布,就有一个确定的分布函数;给定一个分布函数,就有确定的随机变量服从该分布(当然实际生活中是否存在服从这种分布的例子另当别论,这里只在数学的世界里讨论)。从定义上说,分布函数是概率的累加,利用分布函数可以方便地求出随机变量小于等于所要研究的值的概率;同时分布函数的导数是密度函数,进而可以求出特征数(各类“期望”)。

    19.计算数学期望的主要思路有哪些?

    1.定义:

    2.利用定义不方便直接求,利用重期望公式:

    3.利用题目中给出的与数学期望相关的数字特征,解方程求出数学期望

    ……

    20.大数定律和中心极限定理研究的问题是什么?

    大数定律:在随机事件的大量重复出现中,往往呈现几乎必然的规律,这个规律就是大数定律。通俗地说,这个定理就是,在试验不变的条件下,重复试验多次,随机事件的频率近似于它的概率。偶然中包含着某种必然。大数定律讨论的是:在什么条件下,随机变量序列的算术平均依概率收敛到其均值的算术平均。

    中心极限定理:在什么条件下, 独立随机变量的和的分布会收敛于正态分布。

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  • 材料按照 一维离散 -> 一维连续 -> 多维离散 -> 多维连续角度讲解。...Geometric 和 Binomial 分布 PMF,期望,方差公式和推导过程。目录随机变量定义。是 function,而非 variableP...

    有的材料按照 一维离散 -> 一维连续 -> 多维离散 -> 多维连续的角度讲解。

    我比较喜欢先讲清楚离散,再扩展到连续。随机变量和随机过程,不一样。要区分开。

    独立性,依旧是一个重要议题。在伯努利“独立”重复实验相关的计算中,很实用。

    Geometric 和 Binomial 分布的 PMF,期望,方差公式和推导过程。

    目录随机变量定义。是 function,而非 variable

    PMF 公式。how to compute(图), Geometric, Binomial

    数学期望。

    ,

    方差

    条件 PMF 和条件期望。在新的样本空间里,缩放 PMF。

    Geometric PMF 期望计算。Memoryless & Total Expectation theorem

    联合分布和边缘分布。

    独立性。独立联合分布的 E 和 Var 计算。

    Binomial means and variance。

    1. Random variables 随机变量的定义

    An assignment of a value (number) to every possible outcome.

    Mathematically: A function from the sample space Ω to the real numbers.

    随机变量,不是一个变量,而是一个 function(函数)。

    一个 sample space 可以定义多个 Random variables,即多个特征。

    比如,sample space 是一个班级里的所有学生,Random variables 可以是身高函数、体重函数。

    Notation:random variable X -- 大写

    numerical value x -- 小写

    2 个性质:

    2. Probability mass function (PMF) 分布律

    两种写法:

    分布律也可以用表格的形式表示,如

    How to compute a PMF

    collect all possible outcomes for which X is equal to x

    add their probabilities

    repeat for all x

    找准 sample space 里的所有互斥事件,并满足

    找准 random variable 的所有取值,同样满足 sum = 1

    找准映射关系,累加起来。

    2.1. Example:Geometric PMF 几何分布的 PMF

    几何级数:X = number of coin tosses until first had

    几何级数的 PMF:

    等比数列

    2.2. Example: Binomial PMF 二项分布的 PMF

    二项分布:X = number of heads in n independent coin tosses

    二项分布的 PMF:

    3. Expectation 数学期望

    加权求平均。

    center of gravity of PMF -- 计算 PMF 图形很规则的 E[X] 时,可以直接写出结果。

    级数绝对收敛

    关键公式:

    作为对比,如果不是线性函数,

    关键公式的推导:从 sample space 到 X 再到 Y 的转换,可以以 sample space 为最小 element 计算,也可以以 X 为最小 element 计算 Y。

    如果以 X 计算,那就是 x 的值 g(x) 乘以对应的分布律

    性质:

    线性函数的数学期望,等于数学期望的线性函数。

    如果不是线性函数,则不满足, 即

    4. Variance 方差

    推导过程,反复使用 :

    5. Conditional PMF and expectation 条件 PMF 和条件期望

    在新的样本空间里重新计算 PMF 和 expectation 即可。

    没有新的概念和知识,但在计算中很实用。

    在这个特例中,加条件前后的样本空间,PMF 形状不变,只是少了 X=1.

    将剩下的概率值做一次缩放即可,从 1/4 缩放到 1/3

    6. Geometric PMF, Memoryless Property & Total Expectation theorem

    几何级数:X = number of coin tosses until first had

    几何级数的 PMF:

    用代数推导的过程:

    两边同乘 (1-p), 得

    旧式 减 新式 ,

    左侧,得到

    右侧错位相减,得到

    所以,

    Memoryless Property: Given that X > 2, 1/4 the r.v. X − 2 has same geometric PMF

    与前面的条件 PMF 一样,曲线形状不变,做一次放缩。

    Total Expectation theorem:

    利用全概率公式

    Geometric Example:

    其中,

    事件

    ,只有一个事件,且值为 1(投掷次数)。所以,

    事件

    7. Joint PMFs and marginal PMFs 联合分布和边缘分布

    在一个 sample space 上可以定义多个随机变量,比如,学生的身高

    和体重

    .

    随机变量之间,不一定独立,需要作为一个整体来研究。

    类似一维随机变量的分布律,二维的叫 联合分布律,也可以用二维表格表示。

    关于 X 的边缘分布律

    关于 Y 的边缘分布律

    三维的条件分布律

    8. independence 独立性

    X, Y, Z 相互独立:

    注意,此处的 X,Y,Z 来自同一个 sample space。

    9. Binomial means and variance 二项分布的数学期望和方差

    二项分布是 N 重独立实验,利用独立性计算期望和方差,可以口算。

    可知,

    时,方差最大,不确定性最大。

    Reference:

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