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  • 条件概率/全概率/贝叶斯公式

    万次阅读 多人点赞 2018-07-17 11:39:05
    1、条件概率公式 设A,B是两个事件,且P(B)>0,则在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率(conditional probability)为: P(A|B)=P(AB)/P(B) 分析:一般说到条件概率这一概念的时候,事...

    参考:https://www.cnblogs.com/ohshit/p/5629581.html

    1、条件概率公式

            设A,B是两个事件,且P(B)>0,则在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率(conditional probability)为:

                         P(A|B)=P(AB)/P(B)

    分析:一般说到条件概率这一概念的时候,事件A和事件B都是同一实验下的不同的结果集合,事件A和事件B一般是有交集的,若没有交集(互斥),则条件概率为0,例如:

    ① 扔骰子,扔出的点数介于[1,3]称为事件A,扔出的点数介于[2,5]称为事件B,问:B已经发生的条件下,A发生的概率是多少?

    也即,做一次实验时,即有可能仅发生A,也有可能仅发生B,也有可能AB同时发生,

    ② 同时扔3个骰子,“三个数都不一样”称为事件A,“其中有一个点数为1”称为事件B。这一题目中,AB也是有交集的。

    用图更能容易的说明上述问题,我们进行某一实验,某一实验所有的可能的样本的结合为Ω(也即穷举实验的所有样本),圆圈A代表事件A所能囊括的所有样本,圆圈B代表事件B所能囊括的所有样本。

    由图再来理解一下这个问题:“B已经发生的条件下,A发生的概率”,这句话中,“B已经发生”就相当于已经把样本的可选范围限制在了圆圈B中,其实就等价于这句话:“在圆圈B中,A发生的概率”,显然P(A|B)就等于AB交集中样本的数目/B的样本数目。为什么这里用的是样本的数目相除,而上面的公式却是用的概率相除,原因很简单,用样本数目相除时,把分子分母同除以总样本数,这就变成了概率相除。

    2、乘法公式

             1.由条件概率公式得:

                           P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)    

                 上式即为乘法公式;

             2.乘法公式的推广:对于任何正整数n≥2,当P(A1A2...An-1) > 0 时,有:

                     P(A1A2...An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1)

    3、全概率公式

            1. 如果事件组B1,B2,.... 满足

                   1.B1,B2....两两互斥,即 Bi ∩ Bj = ∅ ,i≠j , i,j=1,2,....,且P(Bi)>0,i=1,2,....;

                   2.B1∪B2∪....=Ω ,则称事件组 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分

              设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分,A为任一事件,则:

    题1:

    已知:各个A∩Bi的样本数、Bi的样本数,
    求A的样本数 / 总样本数Ω?

    题2:

    已知:各个A∩Bi的概率、Bi的概率,
    求A的概率?

     

    上图中,某一实验所有的可能的样本的集合为Ω,圆圈A代表事件A所能囊括的所有样本,把总集合Ω分为n个小集合,依次为B1、B2···Bn,这些小集合两两互斥,那么显然,A的样本数目可以通过与Bi的交集来获得,也即=(A∩B1的样本数)+(A∩B2的样本数)+····+(A∩Bn的样本数)。前文已经说过,样本数公式和概率公式,本质上是一样的东西, 题1与题2的是完全相同的题目。

    4、贝叶斯公式

          1.与全概率公式解决的问题相反,贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因(即大事件A已经发生的条件下,分割中的小事件Bi的概率),设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分,则对任一事件A(P(A)>0),有

    上式即为贝叶斯公式(Bayes formula),Bi 常被视为导致试验结果A发生的”原因“,P(Bi)(i=1,2,...)表示各种原因发生的可能性大小,故称先验概率;P(Bi|A)(i=1,2...)则反映当试验产生了结果A之后,再对各种原因概率的新认识,故称后验概率。

    已知:各个A∩Bi的样本数、Bi的样本数,
    求A∩B3的样本数 / A的样本数?

    例子:发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“∪”和“—”。由于通信系统受到干扰,当发出信号“∪”时,收报台分别以概率0.8和0.2受到信号“∪”和“—”;又当发出信号“—”时,收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“∪”。求当收报台收到信号“∪”时,发报台确系发出“∪”的概率。

    解析:贝叶斯这一概念,所探讨的问题,也是事件A和事件B都是某一实验的不同的结果集合,然后把事件B这个结果集合分为n小份,每一小份也是结果集合,只不过这些小集合一定位于B集合内部,每一小份结果集合称为Bi(i∈[1,n]),Bi之间两两互斥,所有Bi并起来就是B。
    本例中,实验为“发一次报,收一次报,然后记录发、收的字符”,事件A为“收到了U”,事件B为"发出了信号",事件B1为“发出了U”,事件B2为“发出了—”,显然这里B1∪B2=B,B1∩B2=∅。要想求P(B1 | A),根据条件概率公式,P(B1 | A)=P(B1 A)/P(A),只要分别计算出分子分母就行了,显然分子可以用上面的乘法公式来求,分母为已知(若分母未知,就得用全概率公式来求)。

    贝叶斯公式,根本不用记忆,其实就是条件概率、乘法公式、全概率公式的组合。

     

    总结:(1)以上四个公式的研究对象,都是“同一实验下的不同的结果集合”

    (2)为了容易理解这四个概率公式,可以把用“样本数目公式”来代替“概率公式”,来求概率。

     

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  • 条件概率

    2019-08-27 09:35:54
    一、条件概率 1.1、条件概率定义 1.2、性质 1.3、乘法公式 二、全概率公式与贝叶斯公式 2.1、问题引入 抽签问题例子:   一袋中有a个白球,b个黄球,记a+b=n.设每次摸到各球的概率相等,每次从袋中...

    一、条件概率

    1.1、条件概率定义

    在这里插入图片描述

    1.2、性质

    在这里插入图片描述

    1.3、乘法公式

    在这里插入图片描述

    二、全概率公式

    2.1、问题引入

    抽签问题例子:
      一袋中有a个白球,b个黄球,记a+b=n.设每次摸到各球的概率相等,每次从袋中摸一球,不放回地摸n次.则第k次摸到白球的概率均为a/n.

    2.1.1、方式一: 使用组合求取频数,计算概率在这里插入图片描述

    2.1.2、另一种方式

    在这里插入图片描述

    2.2、全概率公式

    在这里插入图片描述
    全概率公式: A 为任意事件

    在这里插入图片描述

    三、贝叶斯公式

      与全概率公式解决的问题相反,贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因(即大事件A已经发生的条件下,分割中的小事件Bi的概率),设B1,B2,…是样本空间Ω的一个划分,则对任一事件A(P(A)>0),有
    根据乘法公式得:
    在这里插入图片描述
    P(A)使用全概率公式替换得:

    在这里插入图片描述

    简化后的贝叶斯公式:
    在这里插入图片描述

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  • 条件概率表示为:P(A|B),读作“A在B发生的条件下发生的概率”。若只有两个事件A,B,那么, 。 概率测度 如果事件B的概率P(B) > 0,那么Q(A) =P(A|B) 在所有事件A上所定义的函数Q就是概率测度。 如果P(B)...

    P(A+B)表示A
    B至少一个发生的发生概率
    P(AB)表示同时发生的发生概率
    P(A/B)表示在A发生的条件下B发生的概率

     

    条件概率

    条件概率是指事件A在事件B发生的条件下发生的概率。条件概率表示为:P(A|B),读作“A在B发生的条件下发生的概率”。若只有两个事件A,B,那么,

     

    概率测度

    如果事件 B 的概率 P(B) > 0,那么 Q(A) = P(A | B) 在所有事件 A 上所定义的函数 Q 就是概率测度。 如果 P(B) = 0,P(A | B) 没有定义。 条件概率可以用决策树进行计算。 [1] 

    联合概率

    表示两个事件共同发生的概率。AB联合概率表示为 P(AB) 或者P(A,B),或者P(A∩B)。 [2] 

    边缘概率

    是某个事件发生的概率,而与其它事件无关。边缘概率是这样得到的:在联合概率中,把最终结果中不需要的那些事件合并成其事件的全概率而消失(对离散随机变量用求和得全概率,对连续随机变量用积分得全概率)。这称为边缘化marginalization)。A的边缘概率表示为P(A),B的边缘概率表示为P(B)。

     

    条件概率
    计算p1和p2,我们先了解条件概率。

    相信学过概率论的伙伴肯定很熟悉,它就是指事件B发生的情况下,事件A发生的概率,我们用P(A|B)来表示。

    所以P ( A ∩ B ) = P ( A ∣ B ) ∗ P ( B ) P(A\cap B)=P(A|B)*P(B)P(A∩B)=P(A∣B)∗P(B)
    同理我们可以得出P ( A ∩ B ) = P ( B ∣ A ) ∗ P ( A ) P(A\cap B)=P(B|A)*P(A)P(A∩B)=P(B∣A)∗P(A)
    所以p ( A ∣ B ) = P ( B ∣ A ) P ( A ) P ( B ) p(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}p(A∣B)=P(B)P(B∣A)P(A)​


    这样我们简单了解了条件概率的计算公式,我们可以举个例子来练练手,
    在这里插入图片描述
    一共有七个球,3个灰色,4个黑色,我们随机抽取一个球,为灰色的概率是3/7,为黑色的概率是4/7,这个简单。我们都知道,如果这些球放入两个桶中,如图在这里插入图片描述
    如果我们要计算从B桶中抽到灰色球的概率,这就是属于条件概率了,我们可以记为P(gray|B),字面意思就是已知球出自B桶,取出灰色的球的概率,我们看图可以直接得出结果是1/3,我们用公式来计算,球出自B桶的概率P(B)=3/7,球出自B桶且是灰色的概率P(gray and B) = 1/7,所以相除结果正是为1/3,当然想更深入的学习的话可以自行搜索学习。

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  • 条件概率分布If you’re currently in the job market or looking to switch careers, you’ve probably noticed an increase in popularity of Data Science jobs. In 2019, LinkedIn ranked “data scientist” ...

    条件概率分布

    If you’re currently in the job market or looking to switch careers, you’ve probably noticed an increase in popularity of Data Science jobs. In 2019, LinkedIn ranked “data scientist” the №1 most promising job in the U.S. based on job openings, salary, and career advancement opportunities and reported a 56% rise in job openings for data scientists over the previous year. Despite its popularity, however, data science can me a difficult field to enter, let alone to learn. I know from my personal experience, the amount of statistics involved made it very challenging. Probability, in particular, can be quite complicated but is fundamental to many machine learning models such as decision tree learning. So the purpose of this article is to provide a rudimentary undertanding of conditional probability.

    如果您目前正处于就业市场或正在寻求转行,您可能已经注意到Data Science职位的受欢迎程度有所提高。 根据职位空缺,薪水和职业晋升机会,LinkedIn在2019年将“数据科学家”排在美国最有前途的工作之一,并报告说数据科学家的职位空缺比上一年增长了56%。 尽管它非常流行,但是数据科学还是一个很难进入的领域,更不用说学习了。 从我的亲身经历,我知道所涉及的统计数据非常具有挑战性。 概率尤其可能非常复杂,但是对于许多机器学习模型(例如决策树学习)而言,这是基础。 因此,本文的目的是提供对条件概率的基本理解。

    How To Calculate Probability

    如何计算概率

    Simply put, the probability of an event happening is equal to the number of times an event could happen divided by the total number of outcomes. For example, imagine you have a deck of cards and you want to calculate the probability that you’ll randomly pull a king from the deck. How would you calculate that? Well, since there are 4 kings in a deck of cards, there are 4 possible ways you can draw a king from the deck; and since there are 52 cards in the deck, there’s 52 possible outcomes. So 4 divided by 52 is .076 or 7.6% chance your card will be a king. Now say you want to figure out the probability of drawing another king — the answer will depend on how you handle replacement. Sampling with replacement means that you place the first card back into the deck making the two events independant (the probability of drawing each king doesn’t change). Sampling without replacement means you’re not placing the first card back, which affects the probability of drawing the second king (total number of outcomes is now 51). If event A is drawing the first king card and event B os drawing the second king card, then we’d say the probability of B given A is equal to the probability of event A multiplied by the probability of event B given that A occurs.

    简而言之,事件发生的概率等于事件可能发生的次数除以结果总数。 例如,假设您有一副扑克牌,并且想要计算随机从该副牌中拉出国王的概率。 您将如何计算? 好吧,由于在一副纸牌中有4个国王,因此有四种方法可以从纸牌中抽出一张国王; 而且由于套牌中有52张牌,因此有52种可能的结果。 因此,将4除以52得出的结果是.076,即7.6%的机会是您的卡成为王牌。 现在,您要确定吸引另一位国王的可能性-答案将取决于您如何进行替换 进行替换采样意味着您将第一张卡放回卡组中,从而使两个事件无关(抽出每位国王的概率不变)。 无需更换就可以进行采样,这意味着您不会放回第一张纸牌,这会影响抽出第二张王牌的可能性(现在总结果为51)。 如果事件A吸引第一张王牌而事件B os吸引第二张王牌,那么我们说给定A的B概率等于事件A的概率乘以给定A发生的事件B的概率。

    Mathematical Notation
    P(A and B) = P(A) x P(B|A) = 4/52 x 3/51 = .45%

    Tree Diagram

    树状图

    Mathematics isn’t intuitive to everyone; it certainly wasn’t for me as I was just starting out in this field. Visualizations, however, can be a great tool when it comes to reenforcing complex topics. A tree diagram is one example that can help you break down a general problem into smaller components — perfect for probability problems that involves multiple events that lead to a variety of outcomes. For example, take a look at the diagram I’ve created that helps answer the following question: If you have a bag of 23 marbles (5 green, 8 blue, and 10 red), what’s the probability that you’ll randomly pull out a blue marble and a green marble? Let’s break it down.

    数学不是每个人都直观的。 因为我刚开始涉足这一领域,所以对我当然不是。 但是,在强化复杂主题时,可视化可能是一个很好的工具。 树形图是一个示例,可以帮助您将一般问题分解为较小的部分-非常适合涉及多个事件并导致各种结果的概率问题。 例如,看一下我创建的有助于回答以下问题的图表:如果您有一袋23颗大理石(5颗绿色,8颗蓝色和10颗红色),那么您随机抽出的概率是多少?蓝色大理石和绿色大理石? 让我们分解一下。

    1. The probability of grabbing a blue marble is 35%, because there are 8 way you can get a blue marble and 23 total potential outcomes.

      抓住蓝色大理石的可能性为35%,因为有8种方法可以获取蓝色大理石,并且有23种潜在结果。
    2. Now given that you pulled out a blue marble, the probability of grabbing a green marble from the bag is 23% — 5 green marbles divided by 22 potential outcomes (notice how the total number of outcomes changes the second time, hence the change in probability).

      现在,假设您拔出一块蓝色大理石,则从袋子中抓取绿色大理石的概率为23%-5个绿色大理石除以22个潜在结果(请注意结果总数如何第二次更改,因此概率发生变化)

    3. Finally, calculating the probability of both these events happening involves multiplying the probability of both events (.35 x .23 = 8%).

      最后,计算这两个事件发生的概率涉及将两个事件的概率相乘(.35 x .23 = 8%)。

    Conclusion

    结论

    Hopefully this demsonstration has given you a clearer mental picture of statistical probability. Even though conditional probability may seem elementary compared to the more advanced concepts in machine learning, having a solid understanding of the foundation of which data science is built on is extremely important. So whenever you begin to learn something new, remember that no topic is too small and relearning is reenforcement.

    希望这种演示能使您对统计概率有更清晰的认识。 尽管与机器学习中更高级的概念相比,条件概率似乎是基本的,但对数据科学所基于的基础有扎实的了解仍然非常重要。 因此,每当您开始学习新知识时,请记住,没有一个主题太小,重新学习就是强化。

    翻译自: https://medium.com/swlh/conditional-probability-7f519a81655e

    条件概率分布

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  • 联合概率 条件概率

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    2019-02-16 13:40:02
    理解条件概率
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空空如也

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