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  • 极大似然法

    2019-09-26 02:24:50
    极大似然法 建立似然函数\(L(x_{1},x_{2},...,x_{n};\theta_{1},\theta_{2},...,\theta_{k})\)。 极大似然原理 设连续总体X的概率密度或离散总体的概率分布\(f(x|\vartheta)\) 函数形式为已知, \(\vartheta\) 是待...

    极大似然法

    建立似然函数\(L(x_{1},x_{2},...,x_{n};\theta_{1},\theta_{2},...,\theta_{k})\)

    极大似然原理

    设连续总体X的概率密度或离散总体的概率分布\(f(x|\vartheta)\) 函数形式为已知,
    \(\vartheta\) 是待估计的未知参数,待求解的问题是从容量\(n\)的子样\(X_{1}\)
    \(\dots\)\(X_{n}\) 对参数作估计。在以下的讨论中,\(X_{i}\) 可以是一组变量,代表对事件
    \(i(i=1,\:2,\:\dots,\:n)\) 的一组测量:例如,\(X_{i}\) 可以是描述空间方向的两个变量:
    方位角 \(\varphi_{i}\) 和极角 \(\vartheta_{i}\)

    转载于:https://www.cnblogs.com/zywang714/p/8038117.html

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  • 极大似然法matlab实现

    2020-03-02 17:13:32
    极大似然法matlab实现.
  • 极大似然法辨识

    2017-12-31 21:29:49
    极大似然法辨识,内容由浅入深,紧密结合实际,利用大量典型实例,详细讲解极大似然法辨识的用法,总结优化极大似然法辨识的原理
  • 极大似然法.zip

    2019-06-08 20:37:34
    系统辨识课课后作业,极大似然法系统辨识,RML,代码以及运行结果。
  • 极大似然法估计与极大验后法估计

    千次阅读 2016-03-01 12:35:51
    11.2 极大似然法估计与极大验后法估计         一、极大似然法估计  极大似然法估计是以观测值出现的概率为最大作为估计准则的,它是一种觉的参数估计方法。 设是连续随机...

    11.2 极大似然法估计与极大验后法估计

         

     

    一、极大似然法估计

        极大似然法估计是以观测值出现的概率为最大作为估计准则的,它是一种觉的参数估计方法。

    是连续随机变量,其分布密度为,含有个未知参数。把个独立观测值分别代入中的,则得

    将所得的个函数相乘,得

                  (11-20)

    称函数为似然函数。当固定时,的函数。极大似然法的实质就是求出使达到极大时的的估值。从式(11-20)可看到是观测值的函数。

    为了便于求出使达到极大的,对式(11-20)取对数,则

                                      (11-21)

    由于对数函数是单调增加函数,因此当取极大值时,也同时取极大值,将上式分别对求偏导数,令偏导数等于零,可得下列方程组:

                                                 (11-22)

    解上述方程组,可得使达到极大值的。按极大似然法确定的,使最有可能出现,并不需要的验前知识,即不需要知道的概率分布密度和一、二阶矩。

    11-1 设有正态分布随机变量,给出个观测值。观测值相互独立,试根据这个观测值,确定分布密度中的各参数。

      的分布密度可用下式表示:

    式中的为未知参数。现有极大似然法来确定参数。作似然函数:

    对上式取对数,可得

    将上式分别对求偏导数,令偏导数等于零,可得

    联立求解可得

    上面介绍了极大似然法的基本概念。现在来讨论极大似然法估计参数的问题。

    维随机变量,维未知参数,假定已知的条件概率密度。现在得到的观测值。观测值相互独立。当参数是何值时,出现的可能性最大?为此,确定似然函数:

                        (11-23)

                                         (11-24)

    求出使为极大的值,令

                                     (11-25)

    解之,可得的估值

    取极大值的充分条件是

      

    因此,用极大似然法时,应先求似然函数,然后用微分法求出使似然函数为极大的的估值

    设有一线性观测系统

                                            (11-26)

    式中,维观测值,维未知参数,维测量误差。设独立。给出的统计特性,求的极大似然估计。

    下面求似然函数

    根据不同随机变量的概率密度变换公式,并考虑到独立,可得

    得上式,可得的估值

    假定噪声是正态分布,其均值为零,方差阵为,则

    代入上式,得

    式中

    求出,使为最大,也就是使

                                     (11-27)

    的偏导数,令偏导数等于零,可得的估值

     

                                         (11-28)

     

    二、           极大验后估计

    如果给出维随机变量的条件概率分布密度――也称验后概率密度,怎样求的最优估值呢?极大验后估计准则:使的验后概率密度达到最大那个值为极大验后估值。可见,极大验后估计是已知的最优估值的一种有效方法。

    极大验后估计是以已知为前提的。如果只知道,可按下式计算

                                        (11-29)

    式中的验前概率密度,是观测值的概率密度,可用计算方法或实验方法求得。为了计算需要知道。在没有验前知识可供利用时,可假定在很大范围内变化。在这种情况下,可把的验前概率密度近似地看作方差阵趋于无限大的正态分布密度

    式中的方差阵,单位阵,,于是

                                         (11-30)

                                                 (11-31)

    当缺乏的验前概率分布密度时,极大验后估计与极大似然估计是等同的,现证明如下:

    对于极大似然估计,为了求得的最优估值,应令

                                                (11-32)

    对于极大验后估计,为了求得的最优估值,应令

                                                (11-33)

    根据式(11-29)

    考虑到不是的函数,同时考虑到式(11-31),可得

                                          (11-34)

    一般说来,极大似然估计比极大验后估计应用普遍,这是由于计算似然函数比计算验后概率密度较为简单。

    from: http://jpkc.nwpu.edu.cn/jpkc2005/40/ebook/kcsj/chp11/11_2.htm
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  • 基于matlab的递推的极大似然法辨识程序 简例
  • 极大似然法估计

    2017-06-26 20:55:00
    极大似然法估计 欢迎关注我的博客:http://www.cnblogs.com/xujianqing/ 举个例子: 张无忌和宋青书分别给周芷若送一个糖果,周芷若最后只接受一个糖果,问周芷若接受了谁的糖果。大部分的人肯定会说,当然是张无忌...

    极大似然法估计

    871557-20170626205432680-1018003469.png

    欢迎关注我的博客:http://www.cnblogs.com/xujianqing/

    举个例子:
    张无忌和宋青书分别给周芷若送一个糖果,周芷若最后只接受一个糖果,问周芷若接受了谁的糖果。大部分的人肯定会说,当然是张无忌了。
    这里面就蕴含了极大似然的思想。因为周芷若接受张无忌的概率大于宋青书呀,而故事的最后周芷若接受了一颗糖果这个事实发生了,所以我们自然选择发生概率大的那个了。

    一个函数总体的分布是871557-20170626205433164-907386523.png。样本871557-20170626205433727-562575821.png是从总体中抽出的样本,这些样本独立同分布(是极大似然的前提条件),则这些样本871557-20170626205434071-796739230.png服从的分布就是:
    871557-20170626205435024-1399375207.png
    因为独立同分布,所以可以乘。把上面函数记为871557-20170626205435508-68882010.png

    871557-20170626205435852-569293115.png当我们固定871557-20170626205436180-2144839560.png时,看做是871557-20170626205436461-1736653491.png的函数,871557-20170626205436743-1272885798.png是一个概率密度函数或者概率函数。

    这样理解:若871557-20170626205437149-374972120.png,则我们可以认为871557-20170626205437508-1670400937.png这个点出现的可能性要大于871557-20170626205437836-278018004.png这些点出现的概率。

    871557-20170626205438211-859484396.png当我们固定871557-20170626205439102-2140308163.png时,871557-20170626205441024-170498259.png看做是871557-20170626205442414-1619554826.png的函数,871557-20170626205442993-439868072.png是一个似然估计,这个函数在一个固定的观察结果871557-20170626205443836-1915557399.png的取值下,参数值871557-20170626205444649-14142882.png可以看成是导致这个结果出现的原因,因为出现了周芷若接受糖果的事了,所以我们就让这件事情发生的概率最大,所以就叫张无忌去送糖果。张无忌就是那个871557-20170626205445493-1492064752.png。当然这里面的871557-20170626205447243-1039744507.png是有一定的值的(并不是任何值都可以),并不是随便一个人送糖果都可以的对吧。这里还包含了贝叶斯学派和频率主义学派两家的观点问题。频率主义学派认为参数是虽然是未知的,但是它是一个客观存在的固定值,因此可以通过优化似然函数等一些准则来确定参数值;但是贝叶斯学派认为参数是未观察到的随机变量,其本身也可以有分布,因此可以假定参数服从一个先验分布,然后基于观测到的数据来计算参数的后验分布。上面的估计方法就是传统的频率主义学派所认为的观点,就是一个事件的概率分布参数是存在的,我们需要优化似然函数这样的函数来求解得到参数。既然能发生,说明它出现的概率就是大,就像能考到清北的孩子优秀的概率肯定大于一般高校的孩子(一般这样认为)。
    所以我们就去求当满足取样值的条件下,似然函数最大的那个参数就ok即:

    871557-20170626205447852-1221780125.png

    即选择使得似然条件最大的参数作为原始参数的估计值。当然为了使得似然函数计算和不至于上溢,选择对原始似然函数去对数,叫做对数似然,于是就是优化下面的函数

    871557-20170626205448368-45498270.png

    为了使得871557-20170626205448836-1851471085.png达到最大,只需对871557-20170626205449258-1529735013.png取偏导,就可以建立方程组:

    871557-20170626205449727-1514394558.png

    例题

    例题

    例题

    例题

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  • 极大似然法(ML)与最大期望法(EM)

    千次阅读 2018-08-05 11:37:00
    极大似然法 极大似然,或者称最大似然(Maximum likelihood)。 目的 利用已知的样本结果,反推最有可能(最大概率)导致这样结果的参数值。 原理 极大似然估计是建立在极大似然原理的基础上的一个统计方法...

    极大似然法

    极大似然,或者称最大似然(Maximum likelihood)。

    目的

    利用已知的样本结果,反推最有可能(最大概率)导致这样结果的参数值。

    原理

    极大似然估计是建立在极大似然原理的基础上的一个统计方法,是概率论在统计学中的应用。极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法,即:“模型已定,参数未知”。通过若干次试验,观察其结果,利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大,则称为极大似然估计。

    举例

    说人话就是,学霸和学渣考试结束之后,一个成绩是A,一个成绩是C。这时候,一般是猜测学霸的成绩是A;学渣的成绩为C。这就体现了极大似然的基本思想。在已知结果集(一个A,一个C)的情况下,根据一些先验知识(学霸成绩有很大可能高于学渣),得到分析的结果(学霸A,学渣C)。一句话总结,已知结果,求出现这个结果的最大可能条件

    数学定义

    似然函数:L(θ)

    最大似然估计量(需要得到的结果):θ

    目的是需要找到一个θ,使得L(θ)最大。这个最大的θ表示为:θ^=argmaxL(θ)。(arg表示在θ所有的索引值)

    在某些情况下,L(θ)是用连乘来表示的,如L(θ)=i=1np(xi;θ)。此时,为了便于分析,将其转换为连加计算,H(θ)=lnL(θ)=i=1np(xi;θ)

    此时,问题转换为求L(θ)的极大值,方法就是运用求导(前提是这个函数连续可微)。值得一提的是,θ不一定只有一个值,可能为一个向量,所以求极大值的时候需要对每个参数进行求偏导。

    EM算法

    EM算法,最大期望算法(Expectation-maximization)

    目的

    在统计中被用于寻找,依赖于不可观察的隐性变量的概率模型中,参数的最大似然估计。

    原理

    最大期望算法经过两个步骤交替进行计算,第一步是计算期望(E),利用对隐藏变量的现有估计值,计算其最大似然估计值;第二步是最大化(M),最大化在E步上求得的最大似然值来计算参数的值。M步上找到的参数估计值被用于下一个E步计算中,这个过程不断交替进行。

    举例

    说人话就是,一堆钞票(很多很多),在不借助外力(点钞机)的情况下,如何平均分成两部分。最简单的做法就是,首先大致分为两堆,然后比较两堆钞票的高低;将高堆的一部分钞票转给低堆;来回往复,直到两堆同高。前提钞票是崭新,每张厚度一样。为了想得到在开始状态下未知的两个参数A、B(平均分为两堆钞票),前提条件是得到A了就可以得到B,得到B也可以得到A。此时,就可以随机(指定)赋予A某初值(先大概分一堆钞票出来),B也得到了一个值(另一堆钞票就是B);根据B的当前值(钞票高度)重新估计A值(对比两堆高低,进行转钞票),直到收敛(两堆钞票相等)。一句话总结,想要得到一堆有关联的未知参数,先猜一个大概的参数结果,再不断的调整,直到参数结果符合条件(收敛)

    数学定义

    样本集:{x(1)x(2)xm}

    每个样本对应的类别(未知):z(i)

    基于最大似然问题的定义,概率估计模型p(x(i);θ)。现在多了一个未知变量z(θ),变成了p(x(i),z(i);θ)。问题还是一样,求解θ^

    E步骤:根据参数初始值或上一次迭代的参数值(一开始定义的钞票高度或者每次调整完钞票高度后的两堆高度)来计算隐性变量(z(i)的后验概率(隐性变量的期望,新估计值)

    M步骤:将似然函数极大化获得新参数值(根据B堆高度调整A堆高度)

    推导过程

    一个背景知识,Jensen不等式。f是凸函数,X是随机变量,公式是这样的,E(f(X))f(EX)。具体推导过程不做介绍。

    H(θ)=logL(θ)=i=1mlogp(x(i);θ)=i=1mlogz(i)p(x(i),z(i);θ)=i=1mlogz(i)Qi(z(i))p(x(i),z(i);θ)Qi(z(i))i=1mz(i)Qi(z(i))logp(x(i),z(i);θ)Qi(z(i))

    稍作解释,第一行到第二行,是引出z(i)这个未知变量,第三行是引入一个额外的Qi(z(i))变量,便于使用Jensen不等式,第四行运用Jensen不等式。

    接下来,就是求解p(x(i),z(i);θ)Qi(z(i)),令其等于c。由推导可得zQi(z(i))=1。所以:

    Qi(z(i))=p(x(i),z(i);θ)zp(x(i),z;θ)=p(x(i),z(i);θ)p(x(i);θ)=p(z(i)|x(i);θ)

    所以,接下来就可以正式的进行E、M步骤

    E:Qi(z(i))=p(zi|x(i);θ)

    M:θ=argmaxiz(i)Qi(z(i))logp(x(i),z(i);θ)Qi(z(i))

    最后收敛。关于一定会收敛的证明。

    在第t步骤中,

    L(θ(t))=iz(i)Qi(t)(z(i))logp(x(i),z(i);θ(t))Qi(t)(z(i))

    之后进行M步骤,固定了Qi(t)(z(i)),求新的θ,即θ(t+1)。所以,

    L(θ(t+1))iz(i)Qi(t)(z(i))logp(x(i),z(i);θ(t+1))Qi(t)(z(i))

    显然,L(θ(t+1))L(θ(t))

    参考文章:

    (EM算法)The EM Algorithm

    从最大似然到EM算法浅解

    展开全文
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  • 1.2、logistic回归之极大似然法

    千次阅读 2016-02-06 17:43:16
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    2017-09-16 15:17:05
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