最大公约数 订阅
最大公因数,也称最大公约数、最大公因子,指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a,b的最大公约数记为(a,b),同样的,a,b,c的最大公约数记为(a,b,c),多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法,常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数,a,b的最小公倍数记为[a,b]。 展开全文
最大公因数,也称最大公约数、最大公因子,指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a,b的最大公约数记为(a,b),同样的,a,b,c的最大公约数记为(a,b,c),多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法,常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数,a,b的最小公倍数记为[a,b]。
信息
基本概念
多个整数共有约数中最大的一个
相对应概念
最小公倍数
别    名
Highest Common Factor(HCF)
中文名
最大公约数
所属学科
数学
外文名
Greatest Common Divisor(GCD)
最大公约数基本概念
如果数a能被数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。约数和倍数都表示一个整数与另一个整数的关系,不能单独存在。如只能说16是某数的倍数,2是某数的约数,而不能孤立地说16是倍数,2是约数。  "倍"与"倍数"是不同的两个概念,"倍"是指两个数相除的商,它可以是整数、小数或者分数。"倍数"只是在数的整除的范围内,相对于"约数"而言的一个数字的概念,表示的是能被某一个自然数整除的数。  几个整数中公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。例如:12、16的公约数有1、2、4,其中最大的一个是4,4是12与16的最大公约数,一般记为(12,16)=4。12、15、18的最大公约数是3,记为(12,15,18)=3。  几个自然数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个自然数,叫做这几个数的最小公倍数。例如:4的倍数有4、8、12、16,……,6的倍数有6、12、18、24,……,4和6的公倍数有12、24,……,其中最小的是12,一般记为[4,6]=12。12、15、18的最小公倍数是180。记为[12,15,18]=180。若干个互质数的最小公倍数为它们的乘积的绝对值。
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  • Python程序查找最大公因数(HCF)或最大公约数(GCD)
    2020-11-24 09:11:20

    Python程序查找最大公因数(HCF)或最大公约数(GCD)

    在此示例中,您将学习使用两种不同的方法查找两个数字的GCD:函数和循环以及欧几里得算法

    要理解此示例,您应该了解以下Python编程主题:

    两个数的最大公因数(H.C.F)或最大公约数(G.C.D)是能完美地将两个给定数相除的最大正整数。例如,H.C.F(12, 14)等于2。

    源代码:使用循环

    示例# Python程序查找两个数字的H.C.F

    # 定义一个函数

    def compute_hcf(x, y):

    # 选择较小的数字

    if x > y:

    smaller = y

    else:

    smaller = x

    for i in range(1, smaller+1):

    if((x % i == 0) and (y % i == 0)):

    hcf = i

    return hcf

    num1 = 54

    num2 = 24

    print("H.C.F. 是", compute_hcf(num1, num2))

    输出结果H.C.F. 是 6

    这里,存储在变量num1和num2中的两个整数被传递给compute hcf()函数。该函数计算H.C.F.这两个数字并返回它。

    在这个函数中,我们首先确定两个数字中较小的那个F只能小于或等于最小的数。然后我们使用一个for循环从1到那个数字。

    在每次迭代中,我们检查我们的数字是否完美地将两个输入数字相除。如果是这样,我们将这个数字存储为H.C.F.,在循环结束时,我们得到的最大的数字完美地将两个数字相除。

    上述方法易于理解和实施,但是效率不高。查找HCF的一种更有效的方法是欧几里得算法。

    欧几里得算法

    该算法基于以下事实:两个数字的HCF也将它们的差除。

    在此算法中,我们将较大者除以较小者,然后取余数。现在,将较小者除以该余数。重复直到剩余为0。

    例如,如果我们想求54和24的hcf,我们用54除以24。余数是6。24除以6,余数是0。因此,6是必需的hcf

    源代码:使用欧几里得算法

    示例# 函数查找HCF的使用欧几里德算法

    def compute_hcf(x, y):

    while(y):

    x, y = y, x % y

    return x

    hcf = compute_hcf(300, 400)

    print("The HCF is", hcf)

    在这里我们循环直到y变为零。该语句x, y = y, x % y在Python中交换值。单击此处以了解有关在Python中交换变量的更多信息。

    在每次迭代中,我们同时将y的值放在x中,其余的(x % y)放在y中。当y变为0时,我们得到x的hcf。

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    算法设计:

    方法一:

              第一种思路是枚举(穷举法、列举法),但是枚举又可以分为两种方法。第一种,采用穷举法按从小到大(初值为1,最大值为两个整数当中较小的数)的顺序将所有满足条件的公约数列出,输出其中最大的一个;第二种,按照从大(两个整数中较小的数)到小(到最小的整数1)的顺序求出第一个能同时整除两个整数的自然数,即为所求。

             代码示例如下:

    #include <stdio.h>
    
    int main()
    {
        int a, b;
        scanf("%d %d", &a, &b);//低版本编译器使用scanf 高版本编译器使用scanf_s
        int i;
        int gcd;
        gcd = 1;
        
        for(i = (a<b?a: b); i > 0; i--)
        {
            if(a % i == 0 && b % i == 0)
            {
                gcd = i;
                break;
            }
        }
        printf("gcd = %d\n", gcd);
        
        return 0;
    }
    #include <stdio.h>
    int Get_Max_Comm_Divisor(int num1, int num2)
    {
        int i = 0;
        //获取两个整数的最小值
        int min = num1 < num2 ? num1 : num2;
        //从两个数的最小值开始递减遍历
        for (i = min; i > 0; i--)
        {
            //i为num1和num2的公倍数
            if (num1 % i == 0 && num2 % i == 0)
                break;
        }
        return i;
    }
    
    int main()
    {
        int num1 = 0, num2 = 0;
        puts("请输入两个正整数.");
        scanf_s("%d%d", &num1, &num2);
        printf("最大公约数为%d.\n", Get_Max_Comm_Divisor(num1, num2));
        return 0;
    }

    运行结果如下:

    方法二:

              辗转相除法

    1.如果b == 0,计算结束,a为最大公约数;

    2.否则,计算a除以b的余数,让a等于b,而b等于那个余数;

    3.返回第1步

    代码示例如下:

    #include <stdio.h>
    int main(int argc, const char* argv[])
    {
        int a;
        int b;
        int temp;
        scanf_s("%d %d", &a, &b);//低版本编译器使用scanf 高版本编译器使用scanf_s
        while (b != 0)
        {
            temp = a % b;
            a = b;
            b = temp;
        }
        printf("gcd = %d\n", a);
        return 0;
    }
    

    代码运行结果如下:

     方法三:

            更相减损法

           1.求出两个正整数num1和num2的差值diff;

           2.将num2赋值给num1,让上次相减时的减数num2作为下次相减时的被减数。

              同时将当前的差值diff作为下次相减的减数。

              这样一直地辗转相减,直到差值为0,这时的除数num2就是我们要求的最大公因数

    代码示例如下:

    #include <stdio.h>
    int Get_Max_Comm_Divisor(int num1, int num2)
    {
        //两数相减的结果(取正值)
        int diff = num1 > num2 ? num1 - num2 : num2 - num1;
        while (diff != 0)
        {
            num1 = num2;   //更新被减数
            num2 = diff; //更新减数
            diff = num1 > num2 ? num1 - num2\
                : num2 - num1; //更新两数相减的结果(取正值)
        }
        return num2;  //最后的减数即为最大公因数
    }
    
    int main()
    {
        int num1 = 0, num2 = 0;
        puts("请输入两个正整数.");
        scanf_s("%d%d", &num1, &num2);//低版本编译器用scanf 高版本编译器用scanf_s
        printf("最大公约数为%d.\n", Get_Max_Comm_Divisor(num1, num2));
        return 0;
    }

    代码运行结果如下:

    方法四:

    Stein算法函数递归调用

    #include "stdio.h"
    #include <windows.h>
    int gcd(int u, int v)
    {
        if (u == 0)	return v;
        if (v == 0)	return u;
        if (~u & 1)
        {
            if (v & 1)
                return gcd(u >> 1, v);
            else
                return gcd(u >> 1, v >> 1) << 1;
        }
        if (~v & 1)
            return gcd(u, v >> 1);
        if (u > v)
            return gcd((u - v) >> 1, v);
        return gcd((v - u) >> 1, u);
    }
    int main()
    {
        int z[2][20] = { {1,1},{31,43,46,65,43,58,55,54,55,56,98,78,96,54,78,85,57,12,36,15} };
        int i = 0;
        double run_time;
        LARGE_INTEGER time_start;	//开始时间
        LARGE_INTEGER time_over;	//结束时间
        double dqFreq;		//计时器频率
        LARGE_INTEGER f;	//计时器频率
        int m, n, t2;
        getch();
        QueryPerformanceFrequency(&f);
        dqFreq = (double)f.QuadPart;
        QueryPerformanceCounter(&time_start);	//计时开始
        for (i = 0; i < 20; i++) {
            t2 = gcd(z[0][i], z[1][i]);
            printf("The higest common divisor is %d\n", t2);
        }
        QueryPerformanceCounter(&time_over);	//计时结束
        run_time = 1000000 * (time_over.QuadPart - time_start.QuadPart) / dqFreq;
        //乘以1000000把单位由秒化为微秒,精度为1000 000/(cpu主频)微秒
        printf("\nrun_time:%fus\n", run_time);
        return 0;
    }

    Stein算法非函数递归调用

    #include "stdio.h"
    #include <windows.h>
    int Stein(int x,int y)
      /*return the greatest common divisor of x and y*/
    {
    	int factor=0;
    	int temp;
    if(x<y)
    	{
    		temp=x;
    		x=y;
    		y=temp;
    	}
    if(0==y)
    	{
    		return 0;
    	}
    while(x!=y)
    	{
    	if(x&0x1)
    		{
    		if(y&0x1)
    		{
    			y=(x-y)>>1;
    			x-=y;
    		}
    		else
    		{
    			y>>=1;
    		}
    	 } 
    else
     {
     	if(y&0x1)
    	{
    	 	x>>=1;
    		if(x<y)
    	 	{
    	 	temp=x;
    	 	x=y;
    	 	y=temp;
    		}
    	}
    	else
    	{
    	 	x>>=1;
    		y>>=1;
    	 	++factor;
    		}	
     	}
    	} 
    return (x<<factor);
    }
    int main()
    {
    	int z[2][20] = {{1,1},{31,43,46,65,43,58,55,54,55,56,98,78,96,54,78,85,57,12,36,15}};
    	int i = 0;
    	double run_time;
    	LARGE_INTEGER time_start;	
    	LARGE_INTEGER time_over;	
    	double dqFreq;		
    	LARGE_INTEGER f;	
    	int m,n,t2;
    getch();
      QueryPerformanceFrequency(&f);
    	dqFreq=(double)f.QuadPart;
    	QueryPerformanceCounter(&time_start);	
    	for( i = 0; i < 20; i++){
    		t2 = Stein(z[0][i],z[1][i]);
    		printf("The higest common divisor is %d\n",t2);
    	}
    	QueryPerformanceCounter(&time_over);	
    	run_time=1000000*(time_over.QuadPart-time_start.QuadPart)/dqFreq;
    	printf("\nrun_time:%fus\n",run_time);
    	return 0;
    } 
    

    代码运行效果如下:

    编者注:以上对本小题的代码编写的多种方法,欢迎大家收藏借鉴并转发;

                   以上代码仅供参考,如有问题欢迎大家在留言区批评指正;

                   版权所有,翻印必究,如有雷同纯属巧合,转载请注明出处。

                   By CRH380AJ2808 2022.04.23
    ————————————————
    版权声明:本文为CSDN博主「CRH380AJ2808」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    原文链接:https://blog.csdn.net/JH13thpig/article/details/124361837

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    3.短除法:两数除以其共同素因数,直到两数互素时,所有除数的乘积即为最大公约数。
    4.辗转相除法:两数相除,取余数重复进行相除,直到余数为0时,前一个除数即为最大公约数。

    gcd函数的一些实现方法:

    【C++】gcd函数的写法

    库函数也有已经实现的gcd函数:

    int k=__gcd(n,m);

    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    using namespace std;
    int a,b;
     
    int main()
    {
      cin>>a>>b;
      cout<<__gcd(a,b)<<endl;
      return 0;
    }
    

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    为里或旦

    P q

    证明:·.·旦=卫

    “ q

    .‘.m2pk.n2qk

    又p、q互质

    k=旦是m、rt的最大公因数(即最大公约数)

    P

    同理可得k=三握m、n的最大公因数(即最大公约数)

    q

    用辗转相除法可以求出两个自然数的最大公因数

    825l=6105x1+2146

    6105=2146 X2+1813

    2146=1813 Xl+333

    18】3=333 X5+148

    333:148×2+37

    148=37 x4

    则根据定理4。148与37的最大公约数就是8251与6105

    的最大公约数,故8251与6105的最大公约数是37。这过程不

    断交换除数被除数,容易混淆,过程也复杂。根据定理l利用计

    算器我们能够更快求出两个较大的数的最大公约数。

    第一步:输入m÷n,结果为x

    第二步:按“shift”+“d/c”,就能将x转化假分数形式卫

    q

    第三步:输入m÷P=,这样通过计算器三步就能得到m、n

    的最大公因数k

    我们以上面求8251。6105的最大公约数为例

    第一步:输入8251÷6105,结果为1.351515152

    第二步:按“shift”+“d/c”,就能将1.351515152转化假分

    ’11

    数形式筹

    1QJ

    第三步:输入8215÷223。得到m、n的最大公因数37。结果

    与用辗转相除法相同,步骤却省了很多。

    练习验证:

    求下列两数最大公约数

    (i)225,135②粥,196 劬2,168 ④153,119

    并非求函数的定义域,教学时不需加大此部分难度.4作业布置

    巩固练习:(教材%练习2).(个体练习为主,可让学生上4.1必做题:教材P7.习题2.2(A组)第7、8题.

    迸台在黑板解题,强调格式)4.2选做题:教材%习题2.2(B组)第4题.

    例2.(教材%例8)(讨论分析:比大小的依据?一师生共 4.3拓展题(选做):

    练一小结:利用单调性比大小)4.3.1已知函数Y=f(2‘)的定义域为[一1,1],则函数Y

    解: =f(1092x)的定义域为——

    (1)解法1:用图形计算器或多媒体画出对数函数Y=l092x 4.3.2求函数Y=2+l092x(x≥1)的值域.

    的图象.在图象上,横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的4.3.3已知log.

    r月三一⋯ . .4.3.4已知0l,ab>1.比较IogI÷,Iog.109b

    所以,10923.4

    解法2:由函数Y+l092x在R+上是单调增函数,且3.4<

    8.5,所以I0923.4

    3归纳小结。强化思想

    本节课的目的要求是掌握对数函数的概念、图象和性质.在

    理解对数函数的定义的基础上,掌握对数函数的图象和性质是

    本节课的重点.

    ①提问学生本节课学会了什么知识;

    ②总结本节课主要学习内容:

    ·212·

    ÷的大,J、o

    (设计意图)作业按循序渐进的原则布置,既巩固本节课所

    学知识。又培养自觉学习的习惯,在解题

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空空如也

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