目录
最小二乘法的思想
目标公式
求解方法
矩阵求导方法
最小二乘和梯度下降区别
简单总结
后记
线性回归python
参考

最小二乘法的思想
最小二乘法则是一种统计学习优化技术，它的目标是最小化误差平方之和来作为目标，从而找到最优模型，这个模型可以拟合（fit）观察数据。

回归学习最常用的损失函数是平方损失函数，在此情况下，回归问题可以用著名的最小二乘法来解决。最小二乘法就是曲线拟合的一种解决方法。

最小二乘法的问题分为两类：
线性最小二乘法
非线性最小二乘法
如果是线性的则有闭式解(closed-form solution)，唯一解。理解为所有点都在某条线上，全拟合好了。

非线性的经常需要数值方法来求解。比如：随机梯度下降或者牛顿法等。当然，随机梯度下降也可以解决线性问题。
目标公式
J(θ)=∑i=1m(fθ(xi)−yi)2(1)J(\theta)= \sum_{i=1}^{m} (f_\theta(x_{i})-y_{i})^2 \tag{1}J(θ)=i=1∑m​(fθ​(xi​)−yi​)2(1)

最小二乘法的目标就是最小化公式1。f则是模型（取自假设空间），y则是观察值。

通俗来讲，就是观察值和拟合值(模型给出）之间的距离平方和最小化作为目标来优化。
求解方法
矩阵求导方法
思想就是把目标函数划归为矩阵运算问题，然后求导后等于0，从而得到极值。以线性回归问题为例：

求解最小二乘的问题推导为如下：求解变量$\theta$,满足
(XTX)θ=XTy(2)
(X^T X)\theta = X^Ty {\tag2}
(XTX)θ=XTy(2)

如果可逆，将得到：
θ=(XTX)−1XTy
\theta = (X^T X)^{-1}X^Ty
θ=(XTX)−1XTy

这是利用矩阵得到的最小二乘法的一种解法。

注意这是线性回归的最小二乘法的求解结果，不是其他问题的，其他问题的假设函数有时候很复杂。比如下面的博文对线性回归的推算挺好，但没有说明求导的大前提条件：线性回归，这容易把最小二乘法和最小二乘法的求解混在一起。

http://blog.csdn.net/ACdreamers/article/details/44662633

##数值方法随机梯度下降

思路：对参数向量求导，使其梯度为0，然后得到参数变量的迭代更新公式。
θj:=θj−α∗∂J(θ)∂(θj)(3)\theta_j:=\theta_j - \alpha* \frac{\partial J(\theta)}{\partial(\theta_j)} \tag{3}θj​:=θj​−α∗∂(θj​)∂J(θ)​(3)

请参考：http://blog.csdn.net/iterate7/article/details/76709492

##数值方法牛顿法

利用泰勒公式展开，利用梯度和海塞矩阵进行迭代下降。速度很快。
xk+1=xk−Hk−1gk(4)x^{k+1}=x^{k}-H^{-1}_kg_{k}
\tag{4}xk+1=xk−Hk−1​gk​(4)

变量以牛顿方法来下降。

牛顿方向定义为：
−Hk−1gk
-H^{-1}_kg_{k}
−Hk−1​gk​

请参考：
http://blog.csdn.net/iterate7/article/details/78387326
最小二乘和梯度下降区别
最小二乘看做是优化问题的话，那么梯度下降是求解方法的一种。梯度下降是一种解决最优化问题的数值方法。最小二乘法则是一个最优化问题。
简单总结
数值方法的基本含义则是对一个函数求极值，在无法直接求得解析解的情况下，通过求导为0的方法，找到迭代方向保证可以下降目标值，梯度方向或者牛顿方向等等。 逐步下降直到满足一些工程要求则结束迭代。
后记
最小二乘法是一种对于偏差程度的评估准则思想，由公式1给出。个人认为，应该称之为：最小二乘准则。
公式1里没有给出f的值，也就是说假设空间。如果是线性回归，也就是wx+b的形式，那么公式2就是最小二乘法的解。所以大部分的博文都在此范畴讨论。为何都用这个线性回归直接说呢，其实最小二乘准则更适合线性回归。应该称之为狭义的最小二乘方法，是线性假设下的一种有闭式解的参数求解方法，最终结果为全局最优。
梯度下降只是数值求解的具体操作，和最小二乘准则下面的最优化问题都可以用随机梯度下降求解。
线性回归python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
data = np.array([
    [1, 6],
    [2, 5],
    [3, 7],
    [4, 10]
])
m = len(data)
X = np.array([np.ones(m), data[:, 0]]).T
print("X:", X)
y = np.array(data[:, 1]).reshape(-1, 1)
print("y:",y)
W = np.linalg.solve(X.T.dot(X), X.T.dot(y)) ## 求解XW=y的值，W
print("W:",W)

##show
plt.figure(1)
xx = np.linspace(0, 5, 2)
yy = np.array(W[0] + W[1] * xx)
plt.plot(xx, yy.T, color='b')
plt.scatter(data[:, 0], data[:, 1], color='r')
plt.show()


参考
机器学习 周志华 线性模型和最小二乘法

https://en.wikipedia.org/wiki/Least_squares

https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_least_squares_(mathematics)

https://en.wikipedia.org/wiki/Newton’s_method_in_optimization