最长递增子序列 订阅
在计算机科学中,最长递增子序列(longest increasing subsequence)问题是指,在一个给定的数值序列中,找到一个子序列,使得这个子序列元素的数值依次递增,并且这个子序列的长度尽可能地大。最长递增子序列中的元素在原序列中不一定是连续的。许多与数学、算法、随机矩阵理论、表示论相关的研究都会涉及最长递增子序列。解决最长递增子序列问题的算法最低要求O(n log n)的时间复杂度,这里n表示输入序列的规模。 展开全文
在计算机科学中,最长递增子序列(longest increasing subsequence)问题是指,在一个给定的数值序列中,找到一个子序列,使得这个子序列元素的数值依次递增,并且这个子序列的长度尽可能地大。最长递增子序列中的元素在原序列中不一定是连续的。许多与数学、算法、随机矩阵理论、表示论相关的研究都会涉及最长递增子序列。解决最长递增子序列问题的算法最低要求O(n log n)的时间复杂度,这里n表示输入序列的规模。
信息
外文名
longest increasing subsequence
中文名
最长递增子序列
最长递增子序列最长递增子序列问题
问题描述:给定正整数序列x1,···,xn。(1)计算其最长递增子序列的长度s。(2)计算从给定的序列中最多可取出多少个长度为s的递增子序列。(3)如果允许在取出的序列中多次使用x1和 xn,则从给定序列中最多可取出多少个长度为s的递增子序列。12345。编程任务:设计有效算法完成(1)(2)(3)提出的计算任务 [1]  。数据输入:由文件input.txt提供输入数据。文件第1行有1个正整数n,表示给定序列的长度。接下来的1行有n个正整数x1,···,xn。结果输出:程序运行结束时,将任务(1)(2)(3)的解答输出到文件 output.txt中。第1 行是最长递增子序列的长度s。第2行是可取出的长度为s的递增子序列个数。第3行是允许在取出的序列中多次使用x1和xn时可取出的长度为s的递增子序列个数。输入文件示例:输出文件示例:
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  • 求数组中最长递增子序列
    2021-03-01 08:36:50

    什么是最长递增子序列呢?

    问题描述如下:

    设L=是n个不同的实数的序列,L的递增子序列是这样一个子序列Lin=,其中k1

    对于这个问题有以下几种解决思路:

    1、把a1,a2,...,an排序,假设得到a'1,a'2,...,a'n,然后求a的a'的最长公共子串,这样总的时间复杂度为o(nlg(n))+o(n^2)=o(n^2);

    2、动态规划的思路:

    另设一辅助数组b,定义b[n]表示以a[n]结尾的最长递增子序列的长度,则状态转移方程如下:b[k]=max(max(b[j]|a[j]

    这个状态转移方程解释如下:在a[k]前面找到满足a[j]

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  • js代码-求最长递增子序列
  • 最长递增子序列

    2014-10-18 17:07:53
    算法导论,请给出一个O(n^2)时间的算法,使之能找出n个数的序列中最长的单调递增子序列
  • C++的课程作业,一个简单的程序,用dev就能直接运行,老师应该不会太仔细检查,糊弄一下肯定没事的,不过最好能自己看懂就是了
  • Vue3 最长递增子序列研究 本文初衷 彻底讲清楚 Vue3 源码中实现最长递增子序列的算法。 概念名词 **最长递增子序列:**在一个给定的数值序列中,找到一个子序列,使得这个子序列元素的数值依次递增,并且这个子序列...

    Vue3 最长递增子序列研究

    本文初衷

    彻底讲清楚 Vue3 源码中实现最长递增子序列的算法。

    概念名词

    **最长递增子序列:**在一个给定的数值序列中,找到一个子序列,使得这个子序列元素的数值依次递增,并且这个子序列的长度尽可能地大。最长递增子序列中的元素在原序列中不一定是连续的。

    比如:

    序列 [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18] 的最长递增子序列是 [2, 3, 7, 101][2, 3, 7, 18]

    序列 [3, 2, 8, 9, 5, 6, 7, 11, 15, 4] 的最长递增子序列是 [2, 5, 6, 7, 11, 15]

    Vue3 使用最长递增子序列的背景

    在 《Vue.js 设计与实现》第 11 章我们了解到 Vue3 在进行新子节点和旧子节点 DOM Diff 的方式是,先同步头部节点(处理相同的前置元素),再同步尾部节点(处理相同的后置元素),接下来判断哪些子节点需要移动,并且处理如何移动。

    在处理子节点如何移动的问题上,使用了最长递增子序列。

    为什么要用最长递增子序列?

    (这段描述摘自:黄轶《Vue.js 3.0 核心源码解析》)

    举个简单的例子具体看一下

    var prev = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
    
    var next = [1, 3, 2, 6, 4, 5]
    

    从 prev 变成 next,数组里的一些元素的顺序发生了变化,我们可以把子节点类比为元素,现在问题就简化为我们如何用最少的移动使元素顺序从 prev 变化为 next 。

    一种思路是在 next 中找到一个递增子序列,比如 [1, 3, 6] 、[1, 2, 4, 5]。之后对 next 数组进行倒序遍历,移动所有不在递增序列中的元素即可。

    如果选择了 [1, 3, 6] 作为递增子序列,那么在倒序遍历的过程中,遇到 6、3、1 不动,遇到 5、4、2 移动即可,如下图所示:

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-3TXtDhk2-1648818081393)(https://s3-us-west-2.amazonaws.com/secure.notion-static.com/4ba50123-4734-445e-b7b7-48bdbe112546/Untitled.png)]

    如果选择了 [1, 2, 4, 5] 作为递增子序列,那么在倒序遍历的过程中,遇到 5、4、2、1 不动,遇到 6、3 移动即可,如下图所示:

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-DQosxXrD-1648818081395)(https://s3-us-west-2.amazonaws.com/secure.notion-static.com/2ec300e0-659f-4176-bbdd-2f7cc31b5d96/Untitled.png)]

    可以看到第一种移动了三次,而第二种只移动了两次,递增子序列越长,所需要移动元素的次数越少,所以如何移动的问题就回到了求解最长递增子序列的问题

    实现最长递增子序列

    需要明确的是,我们现在要做的是实现 Vue3 DOM Diff 中的最长递增子序列,这和力扣题库中的 300. 最长递增子序列 有些差别。力扣题求解的是最长递增子序列的长度,我们的 getRequence 函数返回值是一个下标数组。但实现方式上都是采用 贪心 + 二分查找。

    给定数组 [3, 2, 8, 9, 5, 6, 7, 11, 15, 4],求解该数组的最长递增子序列?

    肉眼可见,该数组最长递增子序列为 [2, 5, 6, 7, 11, 15],对应下标数组为 [ 1, 4, 5, 6, 7, 8 ]

    再次提醒,我们函数返回值是:下标数组

    function getRequence(arr) {
    
    }
    
    const data = [3, 2, 8, 9, 5, 6, 7, 11, 15, 4];
    const res = getRequence(data);
    
    console.log('下标: ', res); // 期望输出:[ 1, 4, 5, 6, 7, 8 ] 输出的是*最长递增子序列的下标*
    console.log('长度: ', res.length); // 期望输出: 6
    

    这道题是一道中等复杂程度题目,但你不用担心,我们理清思路,其实也很简单。

    1. 构建一个下标数组,保证下标对应的元素在原数组中是递增的

    function getRequence(arr) {
      const length = arr.length;
    
      // 描述最长递增子序列的数组,元素是递增元素对应的下标
      const result = [0];
      // result 最后一个元素
      let resultLast;
    
      for (let i = 0; i < length; i++) {
        const arrI = arr[i];
    
        // 在 Vue 3 Diff 中,0 表示该新节点不在旧节点的中,是需要进行新增的节点
        if (arrI !== 0) {
          resultLast = result[result.length - 1];
    
          if (arrI > arr[resultLast]) {
            result.push(i);
            continue;
          }
        }
      }
    
      return result;
    }
    
    const data = [3, 2, 8, 9, 5, 6, 7, 11, 15, 4];
    
    const res = getRequence(data);
    
    console.log('下标: ', res); 
    console.log('长度: ', res.length);
    
    // 下标:  [ 0, 2, 3, 7, 8 ]
    // 长度:  5
    

    可以看到,首先定义了一个 result 数组,它是用于描述最长递增子序列元素在原数组对应的下标数组。然后定义了一个循环,循环中排除了元素值为 0 的情况,因为 0 在 dom diff 中是需要新增的子节点,此时我们考虑的是元素移动的情况。接下来,将当前元素与子序列最后一个元素对应的原数组的元素进行比较,如果当前元素更大,则将下标 push 进 result。

    这样目前可以保证 result 数组中保存的下标是递增的,[ 0, 2, 3, 7, 8 ],但是所对应的元素值为 [3, 8, 9, 11, 15],长度为 5,很明显,2 比 3更小,可以求解更长的递增子序列 [2, 5, 6, 7, 11, 15],长度为 6

    接下来,我们通过二分查找保证最长递增子序列长度正确

    2. 构建一个正确长度的最长递增子序列,只需要保证数组长度正确即可

    function getRequence(arr) {
      const length = arr.length;
    
      // 描述最长递增子序列的数组,元素是递增元素对应的下标
      const result = [0];
      // result 最后一个元素
      let resultLast;
    
    +  let start;
    +  let end;
    +  let middle;
    
      for (let i = 0; i < length; i++) {
        const arrI = arr[i];
    
        // 在 Vue 3 Diff 中,0 表示该新节点不在旧节点的中,是需要进行新增的节点
        if (arrI !== 0) {
          resultLast = result[result.length - 1];
    
          if (arrI > arr[resultLast]) {
            result.push(i);
            continue;
          }
    
    +      start = 0;
    +      end = result.length - 1;
    +
    +      while (start < end) {
    +        middle = ((start + end) / 2) | 0; // 或者 middle = Math.floor((start + end) / 2);
    +
    +        if (arr[result[middle]] < arrI) {
    +          start = middle + 1;
    +        } else {
    +          end = middle;
    +        }
    +      }
    +
    +      // while 循环结束后,start 和 end 会指向同一个元素
    +      if (arr[result[end]] > arrI) {
    +        result[end] = i;
    +      }
        }
      }
    
      return result;
    }
    
    const data = [3, 2, 8, 9, 5, 6, 7, 11, 15, 4];
    
    const res = getRequence(data);
    
    console.log('下标: ', res);
    console.log('长度: ', res.length);
    
    // 下标:  [ 1, 9, 5, 6, 7, 8 ],对应的arr中元素是 [2, 4, 6, 7, 11, 15]
    // 长度:  6
    

    可以看到,我们定义了 start,end 和 middle 三个指针,不断进行二分查询,中间元素 middle 小于 arrI,说明 arrI 较大,区间换成[middle + 1, end]; 否则说明,中间元素 middle 大于等于 arrI,说明 arrI 较小,区间换成 [start, middle], 如此循环,直至 start ≥ end 为止,二分找到某一项刚好大于当前项,此时 start 和 end 指针应该是指向同一个元素下标,然后用当前元素替换掉二分找到的那一项。

    result 数组下标变化过程(使用 arr 数组元素描述,这样更清晰一点)
    
    // 3
    // 2
    // 2 8 
    // 2 8 9
    // 2 5 9
    // 2 5 6
    // 2 5 6 7
    // 2 5 6 7 11
    // 2 5 6 7 11 15
    // 2 4 6 7 11 15
    

    在我们的例子中,需要在数组 [2, 5, 6, 7, 11, 15] 中找到 4 应该放入的位置,需要对数组进行二分查找, start: 0, end: 6, middle: 3, 然后使用 while 不断二分查询,最终找到替换元素是 5,然后用 4替换掉 5。

    很明显,4 替换 5 明显是错误的,因为最长递增子序列的顺序不能颠倒。

    3. 回溯:使用前驱索引纠正最长递增子序列的偏差

    回溯这个过程需要定义一个与原数组相同长度的数组 p,数组每一项保存应该排在当前元素前面元素的下标。然后经过逆序遍历数组 p,纠正 result 数组的元素。

    可能文字表述有些复杂,我们画个图解释一下:

    在这里插入图片描述

    result 数组下表变化过程(使用 arr 数组元素描述,这样更清晰一点)
    
    // 3
    // 2
    // 2 8 
    // 2 8 9
    // 2 5 9
    // 2 5 6
    // 2 5 6 7
    // 2 5 6 7 11
    // 2 5 6 7 11 15
    

    在数组 result 组建过程中,我们用 p 数组保存当前 result 的前一项的索引。

    function getRequence(arr) {
      const length = arr.length;
    
      // 描述最长递增子序列的数组,元素是递增元素对应的下标
      const result = [0];
      // result 最后一个元素
      let resultLast;
    
      let start;
      let end;
      let middle;
    
    +  let p = arr.slice();
    
      for (let i = 0; i < length; i++) {
        const arrI = arr[i];
    
        // 在 Vue 3 Diff 中,0 表示该新节点不在旧节点的中,是需要进行新增的节点
        if (arrI !== 0) {
          resultLast = result[result.length - 1];
    
          if (arrI > arr[resultLast]) {
            result.push(i);
    +        p[i] = resultLast;
    
            continue;
          }
    
          start = 0;
          end = result.length - 1;
    
          while (start < end) {
            middle = ((start + end) / 2) | 0; // 或者 middle = Math.floor((start + end) / 2);
    
            if (arr[result[middle]] < arrI) {
              start = middle + 1;
            } else {
              end = middle;
            }
          }
    
          // while 循环结束后,start 和 end 会指向同一个元素
          if (arr[result[end]] > arrI) {
            result[end] = i;
    +        p[i] = result[end - 1];
          }
        }
      }
    
    +  let i = result.length;
    +  let last = result[i - 1];
    +
    +  while (i-- > 0) {
    +    result[i] = last;
    +   last = p[last];
    +  }
    
      return result;
    }
    
    const data = [3, 2, 8, 9, 5, 6, 7, 11, 15, 4];
    
    const res = getRequence(data);
    
    console.log('下标: ', res);
    console.log('长度: ', res.length);
    
    // 下标:  [ 1, 4, 5, 6, 7, 8 ]
    // 长度:  6
    

    定义了数组 p 长度与 arr 数组长度保持一致,p[i] 是描述应该在当前元素前面元素的下标,方便回溯时纠正第 2 步生成的有问题的 result 数组。result 数组中最后一项肯定是正确的下标位置,我们通过 p 数组不断迭代,修正 result 中存储下标错误的问题。

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  • 下面小编就为大家带来一篇LIS 最长递增子序列 Java的简单实现。小编觉得挺不错的,现在就分享给大家,也给大家做个参考。一起跟随小编过来看看吧
  • 本篇文章是对c++中求数组中最长递增子序列的方法进行了详细的分析介绍,需要的朋友参考下
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  • L={a1,a2,a3,…,an},是由n个不同的实数组成的序列,求L的最长单调递增子序列的长度(下标可不连续)
  • 最长递增子序列问题 LIS(longest increasing subsequence) 例如给定一个数列,长度为N,求这个数列的最长上升(递增)子数列(LIS)的长度.以1, 7, 2, 8, 3, 4为例。这个数列的最长递增子数列是 1 2 3 4,长度为4;次长...

    最长递增子序列问题 LIS(longest increasing subsequence) 例如

    给定一个数列,长度为N,

    求这个数列的最长上升(递增)子数列(LIS)的长度.

    1, 7, 2, 8, 3, 4

    为例。

    这个数列的最长递增子数列是 1 2 3 4,长度为4;

    次长的长度为3, 包括 1 7 8; 1 2 3 等.

    设数组为:arr

    设 foo(k) 为:以数列中第k项 (为了与java数组逻辑一致,这里的k从0开始计算) 结尾的最长递增子序列的长度

    则:

    foo(0) == 1

    foo(k) == max(arr[k]>arr[0]?foo(0)+1:foo(0),

    arr[k]>arr[1]?foo(1)+1:foo(1) ,

    ... ,

    arr[k]>arr[k-1]?foo(k-1)+1:foo(k-1))

    java代码

    public class LISDemo {

    public static void main(String[] args){

    int[] arr = new int[10];

    Random random = new Random();

    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {

    arr[i] = random.nextInt(100);

    }

    System.out.println("数组"+Arrays.toString(arr));

    long time = System.currentTimeMillis();

    System.out.println("结果: "+foo(arr, arr.length-1));

    System.out.println("耗时: "+(System.currentTimeMillis()-time));

    }

    private static int foo(int[] arr,int end){

    if (end==0) {

    return 1;

    }

    int len = 0;

    for (int i = 0; i < end; i++) {

    int temp = foo(arr,i);

    len = Math.max(len,arr[end]>arr[i]?temp+1:temp);

    }

    return len;

    }

    }

    这段代码能计算出正确的结果,但是存在问题:

    要计算 foo(n)必须先得到 foo(0)~foo(n-1)的值

    要计算 foo(n-1)必须先得到 foo(0)~foo(n-2)的值

    ...

    以此类推,可以把他画成一颗多叉树,时间复杂度达到O(2^n)

    运行这段代码就会发现 每当数组长度+1 运行耗时大致翻倍,数组长度为几十的时候,运行时间已经无法容忍的长了。

    以foo(3)为例,可以画成下面这棵树

    f89dbd0539d4

    可以发现,相同参数的方法被重复计算了多遍,我们可以建立一个hashmap把参数和对应的值存入其中,当结果已经计算过,就直接从hashmap中取出结果不再计算,修改代码为如下,保留了原来的方法做个对比,执行效率天差地别:

    public class LISDemo {

    public static void main(String[] args){

    int[] arr = new int[31];

    Random random = new Random();

    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {

    arr[i] = random.nextInt(100);

    }

    System.out.println("数组"+Arrays.toString(arr));

    LIS lis = new LIS(arr);

    long time = System.currentTimeMillis();

    System.out.println("结果1: "+lis.foo());

    System.out.println("耗时1: "+(System.currentTimeMillis()-time));

    time = System.currentTimeMillis();

    System.out.println("结果2: "+foo(arr, arr.length-1));

    System.out.println("耗时2: "+(System.currentTimeMillis()-time));

    }

    // 最长递增子序列 longest increasing subsequence

    private static class LIS{

    int[] arr;

    HashMap values = new HashMap<>();

    LIS(int[]arr){

    this.arr = arr;

    }

    int foo(){

    return foo(arr,arr.length-1);

    }

    private int foo(int[] arr,int end){

    Integer value = values.get(end);

    if (value != null) {

    return value;

    }

    if (end==0) {

    values.put(0,1);

    return 1;

    }

    int len = 0;

    for (int i = 0; i < end; i++) {

    int temp = foo(arr,i);

    len = Math.max(len,arr[end]>arr[i]?temp+1:temp);

    }

    values.put(end,len);

    return len;

    }

    }

    private static int foo(int[] arr,int end){

    if (end==0) {

    return 1;

    }

    int len = 0;

    for (int i = 0; i < end; i++) {

    int temp = foo(arr,i);

    len = Math.max(len,arr[end]>arr[i]?temp+1:temp);

    }

    return len;

    }

    }

    展开全文
  • 输出最长递增子序列

    2022-03-21 11:10:17
    给定数组arr,设长度为n,输出arr的最长递增子序列。(如果有多个答案,请输出其中字典序最小的)

    目录

    题目:

    输入描述:

    输出描述:

    示例1

    输入

    输出

    示例2

    输入

    输出

    说明

    备注:

    思路分析:

    改进:

    得到最长子序列:

    易错点:

    代码展示:


    题目:

    给定数组arr,设长度为n,输出arr的最长递增子序列。(如果有多个答案,请输出其中字典序最小的)

    输入描述:

    输出两行,第一行包括一个正整数n(n<=100000),代表数组长度。第二行包括n个整数,代表数组arr 。 (1 ≤ arr[i] ≤ 1e9)

    输出描述:

    输出一行。代表你求出的最长的递增子序列。

    示例1

    输入

    9 2 1 5 3 6 4 8 9 7

    输出

    1 3 4 8 9

    示例2

    输入

    5 1 2 8 6 4

    输出

    1 2 4

    说明

    其最长递增子序列有3个,(1,2,8)、(1,2,6)、(1,2,4)其中第三个字典序最小,故答案为(1,2,4)

    备注:

    时间复杂度O(NlogN),空间复杂度O(N)。

    思路分析:

    1. 由递增子序列,可以知道该序列是依赖与前面序列,且连续性要求较高
      1. 所以dp[i]存储的值是以array[i]元素结尾时的最优解,即最长递增子序列
    2. dp[i]点最长子序列依赖于所有array[小于i的值]的dp[]值中的最大值
      1. 比如array = {1,3,5,4,6,5,7}
      2. dp[]的前三位是{1,2,3} 则第dp[3],
      3. 查到array[0]
      4. 而dp[1]>dp[0] 所以将dp[3]赋值为dp[1]+1,因为前三位中有个长度为2的序列的结尾数比array[3]小
    3. 依次更新dp,找到dp的最大值,即为最长递增子序列的长度

    改进:

    1. 每次求dp都要遍历一次array的前面部分,导致时间复杂度时O(N^2)
    2. 但是之前的array与dp已经遍历过了,现在我们要做的是将其中重要的信息存储起来
      1. 重要信息:长度为0/1/2/3的子序列,最小要以什么array结尾
      2. 每次dp的更新就不需要去遍历所有array,
        1. 需要查找到合适的结尾数,在其基础上将序列长度加一。并根据当前dp,array更新“重要信息”
      3. 序列长度,与结尾数的映射一定是单调递增的,所以,查找时,可以用二分查找,或者用有序表来组织(ceilingKey()方法)

    得到最长子序列:

    1. 根据dp,dp存储的是以dp[i]结尾时的最长子序列长度,
    2. 那么倒序遍历dp,当dp[i]的值等于len,len-1,len-2....时说明是最长子序列的最小字典序

    易错点:

    1. 在用有序表TreeMap时,如果要将(键1,值1)替换成(键2,值1),不能单纯使用replace,put方法,要先remove(键1,值1),再put(键2,值1)

    代码展示:

    import java.io.*;
    import java.util.TreeMap;
    
    public class Main{
        public static void main(String[] args)throws IOException{
            BufferedReader read = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
            int n = Integer.parseInt(read.readLine());
            String[] str = read.readLine().split(" ");
            int dp[] = new int[n];//以array[i]结尾的序列的最长长度
            int array[] = new int[n];
    
            for(int i=0;i<n;i++){
                array[i] = Integer.parseInt(str[i]);
                dp[i] = 0;
            }
            
            int max = 0;//最长子序列长度
            int flag = 0;//当前最长序列
            TreeMap<Integer,Integer> map = new  TreeMap<Integer,Integer>();//(长度为i的最小结尾数, 序列长度i)
            for(int i=0;i<n;i++){
                Integer key = map.ceilingKey(array[i]);
                if(key == null){//没找到ceiling,说明当前array是最大的,添加一个键值对,序列长度加1
                    map.put(array[i],++flag);
                    dp[i] = flag;
                }else{//找了,更新,(键1,值1)替换成(键2,值1)
                    dp[i] = map.get(key);
                    map.remove(key);
                    map.put(array[i],dp[i]);
                }
                max = Math.max(max, dp[i]);
    
            }
            //System.out.println(max);
            
            String sout = "";
            for(int j = n-1;j>=0;j--){//倒序遍历,遇到len,len-1,len-1...将其加入字符串
                if(dp[j] == max){
                    sout =  array[j]+" "+sout ;
                    max--;
                }
            }
            
            System.out.print(sout);
            
        }
    }

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最长递增子序列

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