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  • 有向图

    千次阅读 2018-10-30 11:25:35
    有向图 1、术语 在有向图中,边是单向的。每条边所连接的两个顶点都是一个有序对,他们的邻接性是单向的。 出度:该顶点指出的边的总数 入度:指向该顶点的边的总数 一条有向边的第一个顶点称为它的头,第二个...

    有向图

    1、术语

    在有向图中,边是单向的。每条边所连接的两个顶点都是一个有序对,他们的邻接性是单向的。

    出度:该顶点指出的边的总数
    入度:指向该顶点的边的总数

    一条有向边的第一个顶点称为它的,第二个顶点称为它的。将有向边画为由头指向尾的一个箭头
    v -> w 表示有向图中一条由v指向w的边。

    有向路径
    有向环
    简单有向环:除了起点和终点必须相同之外,不含有重复的顶点和边的环

    路径或环的长度即为其中所包含的边数

    有向图的可达性:当存在从v到w的路径时,称顶点w能够由顶点v达到。
    无向图的连通性


    2、有向图的数据结构

    有向图的API

    在这里插入图片描述

    reverse() 方法,返回该有向图的一个副本,但将其中所有边的方向反转。这样用例就可以找出指向每个顶点的所有边。

    有向图的表示:邻接表。边 v -> w 表示为顶点v所对应的邻接链表中包含一个w顶点。
    在用邻接表表示无向图时,如果v 在w 的链表中,那么w必然也在v的链表中。但在有向图中这种对称性是不存在的,因为每条边都只会出现一次。


    有向图的数据结构

    Digraph数据类型与Graph数据类型基本相同。区别是 addEdge() 只调用了一次 add(),而且它还有一个 reverse() 方法来返回图的反向图。

    /*DiGraph数据类型*/
    public class DiGraph{
        private final int V;    //顶点数目
        private int E;          //边的数目
        private Bag<Integer>[] adj; //邻接表
    
        public DiGraph(int V){
            this.V = V; this.E = 0;
            adj = (Bag<Integer>[]) new Bag[V];    //创建邻接表
            for(int v = 0; v < V; v++)          //将所有链表初始化为空
                adj[v] = new Bag<Integer>();
        }
    
    	public Graph(In in){
            this(in.readInt());      //读取V并将图初始化
            int E = in.readInt();    //读取E
            for(int i = 0;i < E; i++){
                int v = in.readInt();
                int w = in.readInt();
                addEdge(v, w);       //添加一条由v指向w的边   
            }
        }
    	
        public int V(){ return V; }
        public int E(){ return E; }
    
        public void addEdge(int v, int w){
            adj[v].add(w);    //!!!!与无向图的区别,只调用了一次add()
            E++;
        }
        public Iteralbe<Integer> adj(int v){
            return adj[v];
        }
        
    	public Digraph reverse(){   //!!!!与无向图的区别,有一个 reverse() 方法来返回图的反向图
    		Digraph R = new Digraph(V);
    		for(int v = 0; v < V; v++)
    			for(int w : adj(v))
    				R.addEdge(w, v);
    		return R;
    	}
    }
    
    

    3、有向图的可达性

    深度优先搜索 DFS 解决了单点连通性的问题,使得用例可以判定其他顶点和给定的起点是否连通。

    同样在有向图中,
    单点可达性给定一幅有向图和一个起点s,回答“是否存在一条从s到达给定顶点v的有向路径?”等类似问题。
    多点可达性给定一幅有向图和顶点的集合,回答“是否存在一条从集合中的任意顶点到达给定顶点v的有向路径?”等类似问题。

    在这里插入图片描述

    DirectedDFS 算法实现
    /*
     * 有向图的可达性。用例能够判断从给定的一个或者一组顶点能到达哪些其他顶点。
     */
    public class DirectedDFS{
        private boolen[] marked;    //使用一个boolean数组来记录和起点s连通的所有顶点
       
        public DirectedDFS(Digraph G, int s){
            marked = new boolen[G.V()];
            dfs(G, s);    
        }
        public DirectedDFS(Digraph G, Iterable<Integer> sources){
            marked = new boolen[G.V()];
            for(int s: sources)
            	if(!marked[s])	
            		dfs(G, s);    
        }
        
        private void dfs(Graph G, int v){
            marked[v] = true;
            for (int w : G.adj(v)){
                if (!marked[w])
                    dfs(G, w);
            }
        }
    
        public boolen marked(int v){ return marked[v]; }
    }
    
    

    下图显示了这个算法在处理有向图的操作轨迹。这份轨迹比相应的无向图算法的轨迹稍稍简单些,因为深度优先搜索本质上是一种适用于处理有向图的算法,每条边都只会被表示一次。
    在这里插入图片描述

    有向图路径问题

    单点路径 DepthFirstPaths
    单点最短路径 BreadFirstPaths
    在这里插入图片描述



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  • 有向图和无向图

    万次阅读 多人点赞 2019-04-13 18:51:19
    有向图、无向图 有向图和无向图是我们常用到的术语,本文属于简单的科普帖。 全部由无向边构成图称为无向图(Undirected Graph),全部由有向边构成图称为无向图(Directed Graph)。有向,顾名思义,有方向。本文...

    有向图、无向图

    有向图和无向图是我们常用到的术语,本文属于简单的科普帖。

    全部由无向边构成图称为无向图(Undirected Graph),全部由有向边构成图称为有向图(Directed Graph)。有向,顾名思义,有方向。本文中顶点Vertex(V),边Edge(E)

    (1)出度和入度:如图D,以点A为例子,在所有与A关联的边中,以A为起点的边的条数称为出度。而入度则刚好相反,以A为终点的边的条数则称为入读。其中,入度+出度,我们称为A的度。注意特殊情况:如图:A有一个自环,起点和终点都是自己,此时出度算一度,入度也算一度。如图:A的出度为3,入度也为2,A的度的5。

    在这里插入图片描述
    (2)描述图的邻接矩阵和关联矩阵
    【邻接矩阵】

    定义:
    设无向图G=(V,E),其中顶点集V=v1,v2,…,vn,边集 E=e1,e2,…,eε。用aij表示顶点vi与顶点vj之间的边数,可能取值为0,1,2,…,称所得矩阵A=A(G)=(aij)n×n为图G的邻接矩阵。邻接矩阵可以描述有向图和无向图。

    示例,求图所示简单图的邻接矩阵?
    在这里插入图片描述
    解:根据定义,可求得该无向图的邻接矩阵为
    在这里插入图片描述

    邻接矩阵的存储特点:
    (a)无向图的邻接矩阵一定是一个对称矩阵,有向图不一定是。
    *(b)邻接矩阵所需的存储空间值域只与顶点数有关系。
    (c)用邻接矩阵存储图,容易判断两个点之间是否有边。
    (d)如果一个有向图的邻接矩阵为三角矩阵(主对角线为0),则它的拓扑排序一定存在。
    *(e)小技巧:
    无向图:邻接矩阵的第i行或者第i列的非零元素的个数正好是第i个顶点Vi的度;
    有向图:邻接矩阵的第i行的非零元素个数正好是第i个顶点Vi的出度,第i列非零元素的个数正好是第i个顶点Vi的入度。

    【关联矩阵】

    定义:
    设任意图G=(V,E),其中顶点集V=v1,v2,…,vn,边集E=e1,e2,…,eε。用mij表示顶点vi与边ej关联的关系,可能取值为0,1,-1,称所得矩阵M(G)=(mij)n×ε为图G的关联矩阵。
    在这里插入图片描述
    mij 表示i行j列,探究顶点Vi和边Ej之间的关系,形成下列的关联矩阵
    示例:
    在这里插入图片描述
    关联矩阵
    在这里插入图片描述

    连通图、连通分量

    连通图:无向图中,若从顶点u到顶点v有路径,称为u,v是连通的。若图中任意两个顶点均是连通的,则称为连通图。
    连通分量:无向图中极大连通子图称为连通分量。

    强连通图、强连通分量

    强连通图:有向图中,若从顶点u到顶点v有路径,称为u,v是连通的。若图中任意两个顶点均是连通的,则称为强连通图。
    连通分量:无向图中极大连通子图称为强连通分量。特:强连通图只有强连通分量(本身),非强连通图有多个强连通分量。

    另外,本文参考路了下面两位作者的优秀博客
    https://blog.csdn.net/Hanging_Gardens/article/details/55670356
    https://blog.csdn.net/legendaryhaha/article/details/83049101

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  • 二:有向图 1.定义 2.图形化解释 3.结合​表达式介绍 有向图和无向图区别: 三:简单图 1.定义 2.图形化解释 四:完全无向图 1.定义 2.图形化解释 五:有向完全图 1.定义 2.图形化解释 一:无向图 1....

    目录:

    一:无向图

    1.定义

    2.图形化解释

    3.结合​表达式介绍

    二:有向图

    1.定义

    2.图形化解释

    3.结合​表达式介绍

    有向图和无向图区别: 

    三:简单图

    1.定义

    2.图形化解释

    四:完全无向图

    1.定义

    2.图形化解释

    五: 有向完全图

    1.定义

    2.图形化解释


    一:无向图

    1.定义

    若顶点 之间的边没有方向,则称这条边为 无向边(Edge)

    用无序偶对 表示

    如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边,则称该图为 无向图

     

    无向图顶点的边数叫做 度

    2.图形化解释

    下图所示即为无向图:

    3.结合表达式介绍

    由于无向图是无方向的,连接顶点的边

    可以表示成无序对

    也可以写成

    对于上图中的无向图 来说

    其中顶点集合

    边集合

     

    二:有向图

    1.定义

    若从顶点  到  的边有方向,则称这条边为 有向边,也称为 弧(Arc)

    用有序偶 来表示称为弧尾(Tail),称为弧头(Head)

    如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边,则称该图为 有向图(Directed graphs)

     

    有向图顶点分为 入度(箭头朝自己) 和 出度(箭头朝外)

    2.图形化解释

    如下图所示即为一个有向图:

    3.结合表达式介绍

    连接到顶点的有向边就是

    弧尾

     是弧头

    表示弧,注意不能写成

     

    对于上图的有向图

    其中顶点集合 

    弧集合 

    有向图和无向图区别: 

    :看清楚了,无向边用小括号表示

    有向边则是使用尖括号表示

     

    三:简单图

    1.定义

    在图中,若不存在顶点到其自身的边,且同一条边不重复出现,则称这样的图为简单图

    2.图形化解释

    如下所示的两个图就不属于简单图:

     

    四:完全无向图

    1.定义

    在无向图中,如果任意两个顶点之间都存在边,则称该图为 无向完全图

    2.图形化解释

    如下图所示即为一个无向完全图:

     

    五: 有向完全图

    1.定义

    在有向图中,如果任意两个顶点之间都存在 方向互为相反 的两条弧,则称该图为 有向完全图

    2.图形化解释

    如下图所示即为一个有向完全图:

     

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  • 23.有向图和无向图

    千次阅读 2017-09-04 20:29:24
    无向图的邻接表 有向图的邻接表 无向图的邻接矩阵 有向图的邻接矩阵

    无向图的邻接表



    有向图的邻接表


    无向图的邻接矩阵


    有向图的邻接矩阵


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  • 有向图与无向图判断有环

    万次阅读 多人点赞 2015-11-17 12:38:59
    最近开始认真学习算法,用的是...而判断环问题又分为有向图与无向图,我会分别对无向图和有向图判断环问题进行阐述,然后比较他们之间的不同. 首先介绍一下无向图,无向图的边没有方向,或者说每一条无向图的边都是双
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