结构化概率模型(structured probabilistic model)也称为图模型(graphical model)，是指使用图论中的“图”的概念来描述概率分布的分解。有两种主要的图模型：有向图和无向图。

两种图模型都使用图,其中图的每个节点都对应着一个随机变量，连接两个随机变量的边意味着概率分布可以表示成这两个随机变量之间的直接作用。

有向(directed)模型使用带有有向边的图，它们用条件概率分布来表示分解。特别地，有向模型对于分布中的每一个随机变量都包含着一个影响因子，这个组成条件概率的影响因子被称为的父节点，记为。

                                                                        

无向(undirected)模型使用带有无向边的图，它们将分解表示成一组函数：不像有向模型那样，这些函数通常不是任何类型的概率分布。中任何满足两两之间有边连接的顶点的集合被称为团。无向模型中的每个团都伴随着一个因子。这些因子仅仅是函数并不是概率分布。每个因子的输出都必须是非负的，但是并没有像概率分布中那样要求因子的和或者积分为1。定义一个归一化常数Z（Z被定义为函数乘积的所有状态的求和或积分）。

                                                                           

 

 

 

 

目前的中国游戏市场，最热门的莫过于免费抽卡手游。游戏厂商为了盈利，设计出有不同规则的卡池，让玩家抽卡获取稀有的人物和武器。这一机制吸引了很多玩家，首先因为手游是免费的，入手门槛较低，其次很多人喜欢抽卡获取角色和武器的成就感。为了更吸引玩家，游戏策划就得设计出能够让大部分玩家，无论是欧皇还是非酋满意的抽卡机制。本文将简要分析目前游戏厂商可能使用的抽卡机制（仅属于个人猜想加一些网上的资料）。

文章目录
抽卡机制的大致分类
伪随机模型
十连保底
概率增加模型
参考资料
源代码

抽卡机制的大致分类

最简单的抽卡模型就是每次抽卡的概率都是固定的，也就是说每次抽卡的概率都是$p$,我们可以称之为纯随机。那么玩家第$n$次抽中的随机变量分布就是一个几何分布。这种抽卡模型很明显对于非酋非常不友好，理论上可能存在抽了很多很多次仍然没有抽中的人存在。所以纯随机模型在抽卡游戏中是不会使用的。
对应于纯随机的，我们可以称之为伪随机（注意这里的伪随机和计算机随机数概念中的伪随机不是一个东西）。伪随机就是说每次抽卡的概率都是是会进行改变的。下面就重点介绍几种可能的伪随机模型

伪随机模型


十连保底
十连保底应该是我们在游戏中最常见到的概率模型。如果连抽十次，前九次都没有抽中的话，那么第十次就必定会抽中。这种概率模型会导致很多玩家都是依靠十连保底，并且概率质量函数图像会在第十次突然上升，显得不均匀。
例如，如果我们设定抽到A卡的概率为0.1，那么我们得出的该概率质量函数和累积分布函数的图像就是下图。可以算出数学期望为6.5，并且大约60%的玩家在前9次抽到，而所谓的非酋也就是触发保底的玩家占到了40%。



如果我们用程序模拟10000次在这种概率模型下的抽卡，我们可以得出下面的分布。从图中可以看出，大部分玩家抽100次会得到16-20个想要得到的。


这种十连保底的模型一般用于四星角色或者武器。四星虽然没有五星稀有，但是也是需要一定的保障以确保玩家甚至连四星都抽不到。


概率增加模型
那么对于更加稀有的五星角色和武器来说，十连保底肯定就显得太过容易了。这个时候策划一般希望玩家差不多抽几十发可以抽中一个，所以就需要比如100抽保底这样的机制。但是如果这个时候继续采用以上的前面的概率都不变，那么很容易想到这样子的话大部分玩家都会是100发保底…所以就需要调整该概率。
首先，我们设定一个初始概率$p$，然后如果没有抽中，那么下一次抽卡概率就给他一个增量$\alpha$，如果抽中，那么就回归初始概率。所以，第X次抽中的概率就是$p(x)=p+\alpha\times (x-1)$，概率质量函数

$P(X)=\Pi^{x-1}_{i=1}\lbrack(1-p(i))\rbrack\times p(x)=\Pi^{x-1}_{i=1}[(1-p-\alpha\times(i-1))]\times(p+\alpha\times(x-1))$
我们设定$p=0.01, \alpha=0.01$，然后画出图像之后发现，这个图像居然很像是一个正态分布的图像，所以顺便把正态分布的图像画了出来对比，虽然也不知道为什么这两张图这么像。




在这个概率模型下，由于100次的时候$p(100)=0.01+99\times0.1=1$，所以实现了一个100抽保底的效果。但是策划希望的是100抽保底，并且大部分人应该是在五六十抽的时候抽到的，而在这个模型中，超过90%的人在前二十抽就抽到了，这显然不符合预期。所以在这个模型的基础上，我们需要进行相应的调整，让模型的最高点向右偏移。我们由此可以使用一下模型：前50次抽卡概率固定，后50次抽卡使用上面的模型，每次抽卡概率增加。这样我们得出的该概率质量函数就是

$p(x)=
  \begin{cases}
  p, & x<50 \\
  p+\alpha(x-50), &x>=50
  \end{cases}$

和上面一样，如果需要满足100抽保底的话，让$p=0.02,\alpha=0.02$。其概率质量函数和累积分布函数图像如下：

这张图我认为说可以用作五星的概率模型了。70发之前大部分人都能够抽到，并且集中在40发到70发，占了43.69%。这也可以视作游戏玩家口中的“低保”。
我们使用上面的模型模拟10000次100连抽，得到的结果如下：



这个结果个人认为就非常像真实游戏中的结果了，大部分人都只能够抽到1-2发，并且很多人都是依靠低保的（这很真实）

最后还写了一个模拟原神中抽卡的程序，并没有使用概率增加，仅仅只是用保底的跳跃性的概率变化来实现保底的功能，以后可能在优化一下。这是一次100抽的结果



四星角色三次触发十连保底，五星角色一次在43抽抽中，一次在47次抽中，一共抽到了2个五星，9个四星。感觉这个概率貌似比真实中更高一些，以后再优化优化…
参考资料
明日方舟抽卡概率和保底机制研

游戏抽奖概率模型
源代码
概率模型GitHub

原神模拟GitHub

本文主要想罗列出游戏中常见的一些抽奖概率模型，并对其做简要的分析和讨论。

 

游戏的设计经常会有一些含有随机性质的抽奖设计。比如说卡牌抽奖、购买随机物品等等。它们都可以分为下面这两大类：

    1、纯随机概率计算：

纯随机是指：随机结果不受外界影响并且随机的值一直没有变化。比如说大多数购买随机物品的情况。随机物品商店里面获得各种商品的几率都是一样的，不会因为你多次购买不中哪一件商品就会将那间商品的获得概率变大。

    2、伪随机概率计算：

伪随机是指：玩家的相关操作或其操作结果会对之后的随机结果造成影响。比如说10 连抽保底的概率模型。

 

 

关于纯随机的例子就不多举了，下面说一下我遇到的一些比较典型的伪随机概率模型。

     1、10 连抽保底概率模型。

这个模型看《10 连抽保底的概率模型》这篇文章

     2、全服根据抽奖人数固定比例数量奖品概率模型1。

假设某件物品A是100个人才能有1个人拥有，并且这个比例必须要得到保证。使用的方法：后端记录总抽奖人数，玩家一抽奖就马上计算出服务器此时总的抽奖次数，如果算上他这次的抽奖，抽奖次数恰好可以被101整除，那么他就是抽中。对于大并发的解决方案就是——中奖、领奖流程与抢数流程分离。用户线程抢数（AtomicInteger），自己判断是否中奖。

     3、抽奖不中概率逐渐加大模型。

和模型1（10 连抽保底的概率模型）不一样，这不单单是一个保底的方案。比如说有一类稀有物品：A类物品、普通类型物品：B类物品。保证每抽5次必须是有且仅有1次中A类物品，第1、2、3、4、5次抽中A类概率分别为10%、30%、50%、70%、100%，并且5次之内只要中了A类物品，这五次内后面的几次再中A类物品概率为0。每五次进行一个新的轮回。

     4、保证稀有物品最后抽到模型。

 

如上图所示，玩家只能进行8次抽奖。奖品分为 普通类:普通符文礼盒、金装类:金装符文礼盒、稀有类：圣龙/奥丁英雄。为提高玩家的付费率，策划设计了一种伪随机抽奖方式：

稀有类两种奖品会安排到最后才会被抽取（其中必定有一个是最后一次抽到，另外一个则可能是第6次或第7次）。
	
金装符文礼包在前四次抽到的几率权重为普通符文礼盒的十分一。
	
8次抽奖所得组成必须是——4个普通符文礼盒、2个金装符文礼盒、2个稀有类英雄。
下表表示：抽奖次数与所得奖品的权重关系（如果玩家该类奖品已达上限，则权重将改为0）

 

 

相关概率模型实现：

对于纯随机概率模型，有很多实现的方案。这里介绍一下MutexRandomUtil，其利用了TreeMap的floorEntry这个方法实现纯随机概率抽取（代码见文末）

对于伪随机概率模型1,3,4这种抽过即无法再中第二次的情况，借鉴MutexRandomUtil，我的实现是将所有将会抽到的物品及其抽取概率值都封装到一个类中。每次从该类随机抽取物品，抽到的物品都进行移除，这样既可以保证概率的延续性，也能保证抽中奖品不重复。（代码见文末）

public class MutexRandomUtil<T> {
	private TreeMap<Double, T> map = new TreeMap<Double, T>();
	private double endRate = 0;

	public MutexRandomUtil() {
	}

	public void registerData(double rate, T t) {
		if (rate <= 0) {
			return;
		}
		map.put(endRate, t);
		endRate += rate;
	}

	public T random() {
		double r = RandomUtil.avgRandom(0, endRate);
		Map.Entry<Double, T> e = map.floorEntry(r);
		return e != null ? e.getValue() : null;
	}
}

public class MutexRemoveRandom<T> {
	private TreeMap<Double, Entry<T>> map = new TreeMap<Double, Entry<T>>();
	private double endRate = 0;
	private static Random r = new Random();

	public void registerData(double rate, T t) {
		if (rate <= 0) 
			return;
		map.put(endRate, new Entry<T>(t, rate));
		endRate += rate;
	}

	public T randomAndRemove() {
		double r = avgRandom(0, endRate);
		Double key = map.floorKey(r);
		if (key != null) {
			T t = map.get(key).t;
			reorganizeMap(key);
			return t;
		} else {
			return null;
		}
	}

	private void reorganizeMap(Double key) {
		TreeMap<Double, Entry<T>> tempMap = new TreeMap<>();
		map.remove(key);
		double tempEndRate = 0;
		for (Map.Entry<Double, Entry<T>> entry : map.entrySet()) {
			tempMap.put(tempEndRate, entry.getValue());
			tempEndRate += entry.getValue().rate;
		}
		this.endRate = tempEndRate;
		this.map = tempMap;
	}

	public static double avgRandom(double min, double max) {
		if (min > max) {
			double temp = max;
			max = min;
			min = temp;
		}
		double rNum = r.nextDouble() * (max - min);
		return rNum + min;
	}

	private static class Entry<T> {
		final T t;
		final double rate;

		Entry(T t, double rate) {
			this.t = t;
			this.rate = rate;
		}
	}
}

 

概率模型： 由$（\Omega,F,P）$组成，其中$\Omega$为随机变量X的采样空间、$F$为分布律，$P$为$F$上的概率测度。

$f(x)=P(X \le x)=P(\omega \in \Omega,X(\omega) \le x)=\displaystyle \int^{x}_{-\infty}{F(x)dx}$

其中$f$为累计分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）。通常分布律F是确定的，如高斯分布（正态分布）$Normal(\mu,\sigma)$。

统计模型： 是概率模型的集合（为多个分布律F集合）。参数组成。如多个高斯分布参数$Normal(\hat{\mu},\Sigma)$。统计模型一般需要训练数据来对分布律进行估计，从而产生分布律集合。
参考：

Differences between a statistical model and a probability model? [stackchange论坛]

统计模型和概率模型的区别是什么呢? [知乎]