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  • 模糊数学笔记:四、模糊矩阵与模糊关系
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    2020-07-17 00:07:01
    1、模糊矩阵
    • 定义 : 如果对于任意 i = 1 , 2 , ⋯   , m ; j = 1 , 2 , ⋯   , n , i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n, i=1,2,,m;j=1,2,,n, 都有 r i j ∈ [ 0 , 1 ] , r_{i j} \in[0,1], rij[0,1], 则称 R = ( r i , j ) m × n R=(r_{i,j})_{m\times n} R=(ri,j)m×n为模糊矩阵。特别地当 m = n m=n m=n则称 R R R为模糊方阵。

    通俗地理解,即是若矩阵元素均在区间 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]上,则称该矩阵为模糊矩阵。

    • 特殊模糊矩阵(零矩阵、单位矩阵、全称矩阵):

    O = ( 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ) m × n , I = ( 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 0 0 ⋯ 0 1 ) m × n , U = [ 1 1 ⋯ 1 1 1 ⋯ 1 ⋮ ⋮ ⋮ 1 1 ⋯ 1 ] m × n \boldsymbol{O}=\left(\begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{matrix}\right)_{m\times n}, \quad I=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{matrix}\right)_{m \times n}, \quad U=\left[\begin{matrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \end{matrix}\right]_{m \times n} O=000000000m×n,I=100010001m×n,U=111111111m×n

    2、模糊矩阵间的关系
    • 相等: A = B ⇔ a i j = b i j , i = 1 , 2 , ⋯ m ; j = 1 , 2 , ⋯   , n A=B \Leftrightarrow a_{i j}=b_{i j}, \quad i=1,2, \cdots m ; j=1,2, \cdots, n A=Baij=bij,i=1,2,m;j=1,2,,n
    • 包含: A ⩽ B ⇔ a i j ⩽ b i j , i = 1 , 2 , ⋯   , m ; j = 1 , 2 , ⋯   , n A \leqslant B \Leftrightarrow a_{i j} \leqslant b_{i j}, i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n ABaijbij,i=1,2,,m;j=1,2,,n
    3、模糊矩阵的交并余运算
    • 并:相同位置元素取大

    A ∪ B = ( a i j ∨ b i j ) m × n A \cup B =\left(a_{i j} \vee b_{i j}\right)_{m \times n} AB=(aijbij)m×n

    • 交: 相同位置元素取小

    A ∩ B = ( a i j ∧ b i j ) m × n A \cap B =\left(a_{i j} \wedge b_{i j}\right)_{m \times n} AB=(aijbij)m×n

    • 余:1减去所有元素

    A C = ( 1 − a i j ) m × n A^C =\left(1- a_{i j} \right)_{m \times n} AC=(1aij)m×n

    A = ( 1 0.1 0.3 0.5 ) , B = ( 0.7 0 0.4 0.9 ) \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0.1 \\ 0.3 & 0.5 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cc} 0.7 & 0 \\ 0.4 & 0.9 \end{array}\right) A=(10.30.10.5),B=(0.70.400.9)

    A ∪ B = ( 1 ∨ 0.7 0.1 ∨ 0 0.3 ∨ 0.4 0.5 ∨ 0.9 ) = ( 1 0.1 0.1 0.9 ) A ∩ B = ( 1 ∧ 0.7 0.1 ∧ 0 0.3 ∧ 0.4 0.5 ∧ 0.9 ) = ( 0.7 0 0.3 0.5 ) A C = ( 1 − 0.1 1 − 0.1 1 − 0.3 1 − 0.5 ) = ( 0 0.9 0.7 0.5 ) A \cup B=\left(\begin{matrix} 1 \vee 0.7 & 0.1 \vee 0 \\ 0.3 \vee 0.4 & 0.5 \vee 0.9 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 1 & 0.1 \\ 0.1 & 0.9 \end{matrix}\right) \\ A \cap B=\left(\begin{matrix} 1 \wedge 0.7 & 0.1 \wedge 0 \\ 0.3 \wedge 0.4 & 0.5 \wedge 0.9 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 0.7 & 0 \\ 0.3 & 0.5 \end{matrix}\right) \\ \\ A^{C}=\left(\begin{matrix} 1-0.1 & 1-0.1 \\ 1-0.3 & 1-0.5 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 0 & 0.9 \\ 0.7 & 0.5 \end{matrix}\right) AB=(10.70.30.40.100.50.9)=(10.10.10.9)AB=(10.70.30.40.100.50.9)=(0.70.300.5)AC=(10.110.310.110.5)=(00.70.90.5)

    注:模糊矩阵的运算性质与模糊集合完全一致。

    4、模糊关系

    对有限论域 U = { u 1 , u 2 , ⋯   , u n } , V = { v 1 , v 2 , ⋯   , v n } , U=\left\{u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}\right\}, V=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\}, U={u1,u2,,un},V={v1,v2,,vn}, 若元标 r i j = R ( u i , v j ) , r_{i j}=R\left(u_{i}, v_{j}\right), rij=R(ui,vj), 则矩阵 R = ( r i j ) n × n R=\left(r_{i j}\right)_{n \times n} R=(rij)n×n,表示从 U U U V V V 的一个模糊关系,或者说一个模糊矩阵确定一个模糊关系.

    • 性质:模糊关系具有对称性和自反性。
    5、 模糊关系的合成
    • 定义: 设 Q , R Q, R Q,R 为模糊关系,所谓 Q Q Q R R R 的合成,就是从 U U U W W W 的一个模糊关系,记作 Q ∘ R Q\circ R QR. 其定义为:

    Q ∘ R = ∨ k = 1 l ( q i k ∧ r k j ) Q \circ R=\vee _{k=1}^{l}(q_{ik} \wedge r_{kj}) \\ QR=k=1l(qikrkj)

    :这里表示 Q Q Q的每行先与 R R R的每列对应对小,再对这一组取大,得到该位置的元素。其操作方式与矩阵乘法类似。

    特别地,记:
    R 2 = R ∘ R , R n = R n − 1 ∘ R R^{2}=R \circ R, \quad R^{n}=R^{n-1} \circ R R2=RR,Rn=Rn1R

    • :设模糊关系

    Q = ( 0.3 0.7 0.2 1 0 0.9 ) , R = ( 0.8 0.3 0.1 0.8 0.5 0.6 ) Q=\left(\begin{matrix} 0.3 & 0.7 & 0.2 \\ 1 & 0 & 0.9 \end{matrix}\right), \quad R=\left(\begin{matrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.1 & 0.8 \\ 0.5 & 0.6 \end{matrix}\right) Q=(0.310.700.20.9),R=0.80.10.50.30.80.6

    记:
    Q ∘ R = ( s 11 s 12 s 21 s 22 ) Q{\circ} R=\left(\begin{matrix} s_{11} & s_{12} \\ s_{21} & s_{22} \end{matrix}\right) QR=(s11s21s12s22)
    由模糊关系合成的定义:
    s 11 = ( 0.3 ∧ 0.8 ) ∨ ( 0.7 ∧ 0.1 ) ∨ ( 0.2 ∧ 0.5 ) = 0.3 s 12 = ( 0.3 ∧ 0.3 ) ∨ ( 0.7 ∧ 0.8 ) ∨ ( 0.2 ∧ 0.6 ) = 0.7 s 21 = ( 1 ∧ 0.8 ) ∨ ( 0 ∧ 0.1 ) ∨ ( 0.9 ∧ 0.5 ) = 0.8 s 22 = ( 1 ∧ 0.3 ) ∨ ( 0 ∧ 0.8 ) ∨ ( 0.9 ∧ 0.5 ) = 0.6 \begin{matrix} s_{11}=(0.3 \wedge 0.8) \vee(0.7 \wedge 0.1) \vee(0.2 \wedge 0.5)=0.3 \\ s_{12}=(0.3 \wedge 0.3) \vee(0.7 \wedge 0.8) \vee(0.2 \wedge 0.6)=0.7 \\ s_{21}=(1 \wedge 0.8) \vee(0 \wedge 0.1) \vee(0.9 \wedge 0.5)=0.8 \\ s_{22}=(1 \wedge 0.3) \vee(0 \wedge 0.8) \vee(0.9 \wedge 0.5)=0.6 \end{matrix} s11=(0.30.8)(0.70.1)(0.20.5)=0.3s12=(0.30.3)(0.70.8)(0.20.6)=0.7s21=(10.8)(00.1)(0.90.5)=0.8s22=(10.3)(00.8)(0.90.5)=0.6
    则:
    Q ∘ R = ( 0.3 0.7 0.8 0.6 ) Q {\circ} R=\left(\begin{array}{ll} 0.3 & 0.7 \\ 0.8 & 0.6 \end{array}\right) QR=(0.30.80.70.6)

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  • 模糊关系与模糊矩阵及其运算。

    模糊关系与模糊矩阵、模糊关系的运算与合成、模糊等价关系

    模糊关系与模糊矩阵

    定义:模糊关系


    如上,我们使用方阵描述“两两之间的相近关系”,其中“全同”记为1,“不全同”(我认为叫做“全不同”更准确一些)记为0。那么,一定有对角线元素为1(自己跟自己全同)。

    如上是 X X X上模糊关系的定义:

    • Y = X Y=X Y=X时,表示从自己到自己上的相似/关系程度
    • 此时,也是方阵

    模糊矩阵的截集

    同样,截集作用后,只截上半段,得到的是普通集合(元素不是0就是1)。

    例题也很直观。

    模糊关系的运算与合成

    模糊关系的运算

    如上运算有这个特点:

    • 矩阵间对应位置元素的两两运算

    模糊矩阵乘积(合成)

    合成运算类似矩阵乘积:

    • 只不过将乘法变为了 ∧ \wedge 合取运算
    • 将加法变成了 ∨ \vee 析取运算

    模糊等价关系

    定义:模糊等价关系(三条性质)

    如上,应注意:

    • 模糊等价关系模糊相似关系的特殊形式
    • 模糊等价关系具有相似性 R 2 = R ⋅ R ⊂ R R^2 = R \cdot R \subset R R2=RRR的特点(对自己平方,更小了),要求更为苛刻

    性质:模糊相似阵与模糊等价阵

    如上,应注意:模糊相似阵总能通过对自己平方,变成模糊等价阵。

    例题:模糊相似阵与模糊等价阵


    分析:

    • 是否为模糊相似阵?是否满足自反性对称性
    • 模糊相似阵是否为模糊等价阵?是否满足传递性
    • 由性质模糊相似阵总能通过对自己平方,变成模糊等价阵我们可以尝试验证 R 2 R^2 R2是不是模糊等价阵,还真的是。于是我们合成后的模糊等价阵即为 R 2 R^2 R2
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    什么是模糊集呢?模糊集相对于普通集合而言,用隶属度用函数表示,普通集合用特征函数表示。当然,他俩都是在论域下的。

    支集( S u p p A = { x ∣ x ∈ U , A ( x ) > 0 SuppA=\{x|x\in U,A(x)>0 SuppA={xxU,A(x)>0)是F集合(模糊集,边界不明显的)中所有大于零的元素组成的集合(毕竟F集也是包含0的)

    核( K e r A = { x ∣ x ∈ U , A ( x ) = 1 KerA=\{x|x\in U,A(x)=1 KerA={xxU,A(x)=1)是F集合中所有等于1的元素组成的集合(普通集了)

    如果支集不为空,则称为正规F集,注意幂集记作 ψ U \psi U ψU(实在打不出来,符号超级复杂)

    特征函数就是在不在, A A A就是代表特征函数(它取值0~1之间)。

    集合数积(乘上一个数 λ \lambda λ),输出0到1,这里 λ \lambda λ就是 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1](0到1之间某一个数),这样 λ A \lambda A λA就会限制到 [ 0 , λ ] [0,\lambda] [0,λ]
    在这里插入图片描述
    曲线是随便乱画的,凡是出现的曲线属于 S u p p A SuppA SuppA K e r A KerA KerA是最高的点。

    经典集合的凸集
    在这里插入图片描述
    就是任意两点之间的连线上的所有点都在集合内,这就是凸集。
    凸F集的定义是任何中间的隶属度( A ( x 3 ) ≥ m i n ( A ( x 1 ) , A ( x 2 ) ) , A ( x 3 ) = A ( x 1 ) ∧ A ( x 2 ) A(x_3)\ge min(A(x_1),A(x_2)),A(x_3)=A(x_1)\wedge A(x_2) A(x3)min(A(x1),A(x2)),A(x3)=A(x1)A(x2)),都要大于两边元素的隶属度中的小者(对就是小者),反应在曲线上是一个单峰A(x)函数
    在这里插入图片描述
    把实数域上的正规的,凸F集称为正规实模糊数,简称模糊数,即把以某个实数值为核的,凸F集称为F数(F数的本质是凸F集)。F数是一类特殊的F集合,是实数域上的F集合,它的性质和一般F集合完全相同,例如”20岁左右“(20就是A的核,20岁上下的隶属度都小于20岁的1,这是没问题的,这就是凸F集),”1.8m上下“,既可以用F集合表示,也可以用F数表示(例如F数2,F数3,F数20)。靠近程度用隶属度函数表示。隶属度函数输出的是隶属度,一个事实一般有多个隶属函数,这些隶属函数有一部分相交(例如青年,中年,老年)。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    模糊集的扩充,例如基本概念扩充法(实际上也是隶属函数集的建立过程),例如: μ 极 大 ( u ) = μ 大 2 ( u ) \mu_{极大}(u)=\mu^2_{大}(u) μ(u)=μ2(u)(这实际上是另一个隶属函数了)。这个非常非常好用(老师说的)。注意这是小数,平方后变小了(保留两位就可以了,老师要求就这样) 。最后的隶属值会变小(用离散值举例)。至今为止,确定隶属函数的具体方法大多停留在经验,实践和实验数据上,经常使用的经验方法有以下几种:模糊统计法,二元对比排序法,专家经验法(教授还是吃香的。。。),神经网络法。无论哪种方法,都离不开人的主管参与和客观实际的检验。F集合完全由隶属函数所描述。

    模糊函数(向量)的组合
    设论域为 U U U,如果任何一个 x x x,有 A ( x ) = 1 A(x)=1 A(x)=1,则称A为论域 U U U上的全集(把年龄想象成离散的,一共1-100岁,这个隶属函数全是1,说明它表示全年龄,这就是这样的全集, A ( x ) ≡ 1 A(x)\equiv 1 A(x)1),同理,模糊空集为( A ( x ) ≡ 0 A(x)\equiv 0 A(x)0),F全集与F空集都属于经典集合。

    模糊集合还有相等,
    包含(均有 A ( x ) ≤ B ( x ) A(x)\le B(x) A(x)B(x)),
    并集( C ( x ) = m a x [ A ( x ) , B ( x ) ] = A ( x ) ∨ B ( x ) C(x)=max[A(x),B(x)]=A(x)\vee B(x) C(x)=max[A(x),B(x)]=A(x)B(x)),
    交集( C ( x ) = m i n [ A ( x ) , B ( x ) ] = A ( x ) ∧ B ( x ) C(x)=min[A(x),B(x)]=A(x)\wedge B(x) C(x)=min[A(x),B(x)]=A(x)B(x)),
    补集( B ( x ) = 1 − A ( x ) B(x)=1-A(x) B(x)=1A(x))(实际上是函数(映射关系)的组合)
    在这里插入图片描述
    模糊关系就是两个模糊集之间的关系,也就是两个隶属函数之间的关系。模糊关系可以想象成不同厨师对一道菜色香味的评分。例如好吃与高分的关系,好吃与低分的关系。

    模糊关系脱离模糊集而存在。是论域 U , V U,V U,V的关系,其实也是 U × V U\times V U×V的一个子集,即 R ⊆ U × V R\subseteq U\times V RU×V,对于其中的元素,如果 ( u , v ) ∈ R (u,v)\in R (u,v)R则称 u u u v v v R R R关系,否则称没有关系。
    U → R V U\rightarrow^R V URV

    所谓直积,就是这个:
    A × B = { ( a , b ) ∣ a ∈ A , b ∈ B } A\times B=\{(a,b)|a\in A,b\in B\} A×B={(a,b)aA,bB}

    A A A B B B有关系 R R R,那也是 A × B A\times B A×B的子集了。序偶 ( a , b ) (a,b) (a,b)也会有隶属度为 μ R ( a , b ) \mu_R(a,b) μR(a,b)。它是一种新的模糊集。

    序偶隶属度与普通隶属度的联系在于:
    下面是一条模糊规则:
    A → B 或 I F A ( u ) T H E N B ( v ) R = A × B = ∫ U × V m i n ( μ A ( u ) , μ B ( v ) ) / ( u , v ) A\rightarrow B\quad 或\quad IF\quad A(u) \quad THEN\quad B(v)\\ R=A\times B=\int_{U\times V}min(\mu_A(u),\mu_B(v))/(u,v) ABIFA(u)THENB(v)R=A×B=U×Vmin(μA(u),μB(v))/(u,v)

    那么 R R R就是一个模糊矩阵。这时候算法就跟矩阵乘积一样了。笛卡尔乘积就是可以形成序偶。
    接下来就是模糊关系与模糊关系的关系,合成:
    R 1 ∘ R 2 μ R 1 ∘ R 2 ( u , w ) = ∨ { μ R 1 ( u , v ) ∧ μ R 2 ( v , w ) } R_1\circ R_2\\ \mu_{R_1\circ R_2}(u,w)=\vee\{\mu_{R_1}(u,v)\wedge \mu_{R_2}(v,w)\} R1R2μR1R2(u,w)={μR1(u,v)μR2(v,w)}

    什么意思呢?这是正常的矩阵操作,取大取小跟矩阵一模一样。
    R ( x , z ) = ( P ∘ Q ) ( x , z ) = { ( x , z ) ∣ ∃ y , ( x , y ) ∈ P , ( y , z ) ∈ Q } R(x,z)=(P\circ Q)(x,z)=\{(x,z)|\exists y,(x,y)\in P,(y,z)\in Q\} R(x,z)=(PQ)(x,z)={(x,z)y,(x,y)P,(y,z)Q}
    什么叫模糊变换呢?就是一个模糊集(向量)跟一个序偶模糊集(矩阵)相乘,的出来一个向量,这是模糊变换(也是模糊合成的一种)。
    A ∘ R = B A\circ R=B AR=B

    但在色香味例子中, A A A只是一个权重, R R R是评价矩阵, B B B为总和评价矩阵,反正也是从一个关系转移到另一个关系了。另外最后还需要归一化。

    下面说明几种清晰化方案:

    1. 模糊集合的截集,说白了,就是绩点。当然,如果连续的模糊集合无限分层,或者大量相差很小的经典集合求并,会成为模糊集合,反之,F集合的截集合可以使F集合转化为经典集合。截集的定义为:
      A λ = { x ∣ x ∈ U , A ( x ) ≥ λ } A_\lambda=\{x|x\in U,A(x)\ge\lambda\} Aλ={xxU,A(x)λ}
      A λ A_\lambda Aλ为A的一个 λ \lambda λ-截集, λ \lambda λ为阙值或置信水平。
      称集合 A λ = { x ∣ x ∈ U , A ( x ) > λ } A_\lambda=\{x|x\in U,A(x)>\lambda\} Aλ={xxU,A(x)>λ}为F集A的一个 λ \lambda λ-强截集。
      λ \lambda λ-截集与 λ \lambda λ-强截集都属于经典集合,利用数积的概念,任何一个模糊集合A可以看作无限多截集 A λ A_\lambda Aλ的并( A = ∪ λ ∈ [ 0 , 1 ] ( λ A λ ) A=\cup_{\lambda\in[0,1]}(\lambda A_\lambda) A=λ[0,1](λAλ)),这就是模糊集合的分解定理。该定理反映了F集合与经典集合的相互转化的关系。

    2. 模糊关系矩阵的截矩阵
      关于一个哨兵 λ \lambda λ,超过它就是1,没超过就是0,就这样。

    模糊集合转化为数值,挺重要的。这种转换也称为模糊集合的清晰化或反模糊化。

    1. 面积中心(重心)法,面积中心法直观合理,言之有据,但计算略显复杂。
    2. 面积平分法,将隶属函数曲线面积平均分成两半,找这条线,用该值代表该模糊集合。直观合理,计算简便,在模糊控制器中使用较多。
    3. 最大隶属度法,通常模糊集合并非都是正规的和凸的,隶属函数也并非一条连续直线。因此,用隶属度最大点对应的元素值,代表这个模糊集合是一种简便方法,称为最大隶属度法。但往往有以偏概全之嫌。说不定在多处隶属度都取最大值。这样还要用最大隶属度平均值法,最大隶属度最大值法,最小值法,这就是清晰化。
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  • 模糊数学学习笔记 4:模糊关系

    千次阅读 2020-03-01 17:37:19
    个人博客地址 Glooow,欢迎光临~~~ 文章目录1. 模糊关系2. 模糊矩阵2.1 定义2.2 运算性质2.3 截矩阵...定义:模糊关系 RRR 的隶属函数 μR:U×V→[0,1]\mu_R:U\times V\to[0,1]μR​:U×V→[0,1],其中 μR(x,y)\m...

    个人博客地址 Glooow,欢迎光临~~~

    1. 模糊关系

    定义:模糊关系 R R R 的隶属函数 μ R : U × V → [ 0 , 1 ] \mu_R:U\times V\to[0,1] μR:U×V[0,1],其中 μ R ( x , y ) \mu_R(x,y) μR(x,y) 表示 ( x , y ) (x,y) (x,y) 具有关系 R R R 的程度

    Remarks:实际上模糊关系 R R R 就是定义在一个笛卡尔积的论域 U × V U\times V U×V 上的模糊关系,与之前介绍的普通的模糊关系并无太大差别。

    基本运算定义为:

    • μ R ∪ S ( x , y ) = μ R ( x , y ) ∨ μ S ( x , y ) \boldsymbol{\mu}_{R \cup S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\boldsymbol{\mu}_{R}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \vee \boldsymbol{\mu}_{S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) μRS(x,y)=μR(x,y)μS(x,y)
    • μ R ∩ S ( x , y ) = μ R ( x , y ) ∧ μ S ( x , y ) \boldsymbol{\mu}_{R \cap S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\boldsymbol{\mu}_{R}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \wedge \boldsymbol{\mu}_{S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) μRS(x,y)=μR(x,y)μS(x,y)
    • μ R ˉ ( x , y ) = 1 − μ R ( x , y ) \mu_{\bar{R}}(x,y)=1-\mu_R(x,y) μRˉ(x,y)=1μR(x,y)
    • 包含 R ⊆ S ⇒ μ R ( x , y ) ≤ μ S ( x , y ) \boldsymbol{R} \subseteq \boldsymbol{S} \Rightarrow \boldsymbol{\mu}_{R}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \leq \boldsymbol{\mu}_{S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) RSμR(x,y)μS(x,y)
    • 相等 R = S ⇒ μ R ( x , y ) = μ S ( x , y ) \boldsymbol{R} = \boldsymbol{S} \Rightarrow \boldsymbol{\mu}_{R}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = \boldsymbol{\mu}_{S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) R=SμR(x,y)=μS(x,y)

    一些模糊关系有:

    • 恒等模糊关系 R ( x , y ) = I x = y R(x,y)=\mathbb{I}_{x=y} R(x,y)=Ix=y
    • 零模糊关系 O ( x , y ) = 0 O(x,y)=0 O(x,y)=0
    • 全称模糊关系 E ( x , y ) = 1 E(x,y)=1 E(x,y)=1

    2. 模糊矩阵

    2.1 定义

    对于有限论域 U , V U,V U,V,模糊矩阵的定义很容易可以获得 R i j = μ R ( x i , y j ) R_{ij}=\mu_R(x_i,y_j) Rij=μR(xi,yj)

    R R R 的对角元素全部为 1 时,称为模糊自反矩阵

    模糊矩阵对应于集合的运算定义为:

    • R ∪ S ⇔ R ∪ S = ( r i j ∨ s i j ) \boldsymbol{R} \cup \boldsymbol{S} \Leftrightarrow \boldsymbol{R} \cup \boldsymbol{S}=\left(\boldsymbol{r}_{i j} \vee \boldsymbol{s}_{i j}\right) RSRS=(rijsij)
    • R ∩ S ⇔ R ∪ S = ( r i j ∧ s i j ) \boldsymbol{R} \cap \boldsymbol{S} \Leftrightarrow \boldsymbol{R} \cup \boldsymbol{S}=\left(\boldsymbol{r}_{i j} \wedge \boldsymbol{s}_{i j}\right) RSRS=(rijsij)
    • R c = ( 1 − r i j ) R^c=(1-r_{ij}) Rc=(1rij)
    • 包含 R ⊆ S ⇔ ( r i j ) ≤ ( s i j ) \boldsymbol{R} \subseteq \boldsymbol{S} \Leftrightarrow\left(\boldsymbol{r}_{i j}\right) \leq\left(\boldsymbol{s}_{i j}\right) RS(rij)(sij)
    • 相等 R = S ⇔ ( r i j ) = ( s i j ) \boldsymbol{R} = \boldsymbol{S} \Leftrightarrow\left(\boldsymbol{r}_{i j}\right) =\left(\boldsymbol{s}_{i j}\right) R=S(rij)=(sij)

    2.2 运算性质

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    2.3 截矩阵

    截矩阵的定义为 R λ = ( r i j ( λ ) ) R_\lambda=(r_{ij}(\lambda)) Rλ=(rij(λ)),其中 r i j ( λ ) = I r i j ≥ λ r_{ij}(\lambda)=\mathbb{I}_{r_{ij}\ge\lambda} rij(λ)=Irijλ

    Remarks:截矩阵的定义对应着截集的概念,截集得到的是普通集合,响应的截矩阵也是布尔矩阵,完全没有不确定度。

    2.4 模糊关系合成

    转置:略

    模糊乘积:设 Q = ( q i j ) n × m , R = ( r i j ) m × t Q=(q_{ij})_{n\times m},R=(r_{ij})_{m\times t} Q=(qij)n×m,R=(rij)m×t,定义 S = Q R ∈ F n × t S=QR\in\mathcal{F}_{n\times t} S=QRFn×t,有 S i k = ∨ j = 1 m ( q i j ∧ r j k ) S_{ik}=\vee_{j=1}^m(q_{ij}\wedge r_{jk}) Sik=j=1m(qijrjk)

    Remarks:模糊乘积实际上表示了两个模糊关系的复合,即 Q ∈ F ( U × V ) , R ∈ F ( V × W ) Q\in\mathcal{F}(U\times V),R\in\mathcal{F}(V\times W) QF(U×V),RF(V×W),最后合成了模糊关系 S ∈ F ( U × W ) S\in\mathcal{F}(U\times W) SF(U×W)。从公式上来看,模糊矩阵的乘积跟普通矩阵的乘积很像,只不过乘法换成了 ∧ \wedge ,加法换成了 ∨ \vee

    模糊关系的合成具有以下性质:

    在这里插入图片描述

    3. 模糊关系性质

    3.1 自反性、对称性、传递性

    就像普通集合的关系一样,模糊集合有三个重要性质:自反性、对称性、传递性。

    自反性:若 ∀ x ∈ U , μ R ( x , x ) = 1 \forall x\in U,\mu_R(x,x)=1 xU,μR(x,x)=1,则称 R R R 满足自反性,相应的有模糊矩阵 I ⊆ R I\subseteq R IR

    定理 1:若 A A A 为自反矩阵,则有
    I ⊆ A ⊆ A 2 ⊆ ⋯ ⊆ A n ⊆ ⋯ I\subseteq A \subseteq A^2 \subseteq \cdots \subseteq A^n \subseteq \cdots IAA2An
    对称性:若 ∀ x , y ∈ U , μ R ( x , y ) = μ R ( y , x ) \forall x,y\in U,\mu_R(x,y)=\mu_R(y,x) x,yU,μR(x,y)=μR(y,x),则称 R R R 满足对称性,相应的有模糊矩阵 R T = R R^T=R RT=R

    传递性 μ R ( x , z ) ≥ ∨ y ( μ R ( x , y ) ∧ μ R ( y , z ) ) \mu_R(x,z)\ge\vee_y (\mu_R(x,y)\wedge\mu_R(y,z)) μR(x,z)y(μR(x,y)μR(y,z)),则称 R R R 满足传递性,相应的有模糊矩阵 R 2 ⊆ R R^2\subseteq R R2R

    定理 2:若 Q Q Q 为传递矩阵,则有
    Q ⊇ Q 2 ⊇ Q 3 ⊇ ⋯ ⊇ Q n − 1 ⊇ Q n ⊇ ⋯ Q \supseteq Q^{2} \supseteq Q^{3} \supseteq \cdots \supseteq Q^{\mathbf{n}-1} \supseteq Q^{\mathbf{n}} \supseteq \cdots QQ2Q3Qn1Qn

    3.2 模糊相似关系与等价关系

    模糊相似关系 R ∈ F ( U × U ) R\in F(U\times U) RF(U×U),满足自反性和对称性 ⟹ I ⊆ R ⊆ R 2 ⊆ ⋯ ⊆ R n ⊆ ⋯ \Longrightarrow I\subseteq R\subseteq R^2\subseteq \cdots\subseteq R^n\subseteq \cdots IRR2Rn

    模糊等价关系 R ∈ F ( U × U ) R\in F(U\times U) RF(U×U),满足自反性、对称性和传递性 ⟹ R = R 2 = ⋯ = R n = ⋯ \Longrightarrow R=R^2=\cdots=R^n=\cdots R=R2==Rn=

    定理 R R R 为等价关系    ⟺    R λ \iff R_\lambda Rλ 为等价关系 ∀ λ ∈ [ 0 , 1 ] \forall \lambda\in[0,1] λ[0,1]

    Proof:若 R λ R_\lambda Rλ 为等价关系,则意味着 ∀ i , j , k \forall i,j,k i,j,k,若 r i j ( λ ) = 1 , r j k ( λ ) = 1 ⟹ r i k ( λ ) = 1 r_{ij}(\lambda)=1,r_{jk}(\lambda)=1 \Longrightarrow r_{ik}(\lambda)=1 rij(λ)=1,rjk(λ)=1rik(λ)=1。因此对于模糊矩阵来说,应有 r i j ≥ λ , r j k ≥ λ ⟹ r i k ≥ λ r_{ij}\ge\lambda,r_{jk}\ge\lambda \Longrightarrow r_{ik}\ge\lambda rijλ,rjkλrikλ。在此基础上易证充分必要性。

    Remarks:这个定理将模糊等价关系转化为普通等价关系,而普通等价关系可以很容易分类。

    3.3 对称闭包与传递闭包

    对称闭包:设 A , A ^ , B ∈ F ( U × U ) A,\hat{A},B\in\mathcal{F}(U\times U) A,A^,BF(U×U),若 A ⊆ A ^ , A T ⊆ A ^ A\subseteq\hat{A},A^T\subseteq\hat{A} AA^,ATA^,且对任意包含 A A A 的对称关系 B B B,都有 A ^ ⊆ B \hat{A}\subseteq B A^B,则 A ^ \hat{A} A^ A A A 的对称闭包,记为 s ( A ) = A ^ s(A)=\hat{A} s(A)=A^

    实际上对称闭包就是包含 A A A最小的对称关系,很容易的有 s ( A ) = A ∪ A T s(A)=A\cup A^T s(A)=AAT

    传递闭包 A ⊆ A ^ , A 2 ⊆ A ^ A\subseteq\hat{A},A^2\subseteq\hat{A} AA^,A2A^,且任意包含 A A A 的传递关系 B B B 都有 A ^ ⊆ B \hat{A}\subseteq B A^B,则 A ^ \hat{A} A^ A A A 的传递闭包,记为 t ( A ) = A ^ t(A)=\hat{A} t(A)=A^

    传递闭包定理 1 t ( A ) = A ∪ A 2 ∪ ⋯ ∪ A n ∪ ⋯ = ⋃ k = 1 ∞ A k t(A)=A\cup A^2 \cup\cdots\cup A^n\cup\cdots=\bigcup_{k=1}^\infty A^k t(A)=AA2An=k=1Ak

    传递闭包定理 2 t ( A ) = ⋃ k = 1 n A k t(A)=\bigcup_{k=1}^n A^k t(A)=k=1nAk (可以使用鸽巢原理,证明 A n + 1 ⊆ A m , m ≤ n A^{n+1}\subseteq A^m,m\le n An+1Am,mn

    传递闭包定理 3:相似矩阵 R ∈ U n × n R\in U_{n\times n} RUn×n 的传递闭包是等价矩阵,且 t ( R ) = R n t(R)=R^n t(R)=Rn

    传递闭包定理 4:相似矩阵 R ∈ U n × n R\in U_{n\times n} RUn×n,则 ∀ m ≥ n , t ( R ) = R m \forall m\ge n,t(R)=R^m mn,t(R)=Rm

    传递闭包定理 5:相似矩阵 R ∈ U n × n R\in U_{n\times n} RUn×n,则 ∃ k ≤ n , t ( R ) = R k \exist k\le n,t(R)=R^k kn,t(R)=Rk

    Remarks

    • 定理 2 证明了传递闭包在实际中是可计算的
    • 定理 3-5 中对相似矩阵求传递闭包就得到了等价矩阵,对后面的模糊据类很有用,因为模糊等价矩阵可以与普通等价矩阵联系起来,而若想进行分类,则必须依托于等价关系。
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