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残差在数理统计中是指实际观察值与估计值(拟合值)之间的差。“残差”蕴含了有关模型基本假设的重要信息。如果回归模型正确的话, 我们可以将残差看作误差的观测值。它应符合模型的假设条件,且具有误差的一些性质。利用残差所提供的信息,来考察模型假设的合理性及数据的可靠性称为残差分析。 展开全文
残差在数理统计中是指实际观察值与估计值(拟合值)之间的差。“残差”蕴含了有关模型基本假设的重要信息。如果回归模型正确的话, 我们可以将残差看作误差的观测值。它应符合模型的假设条件,且具有误差的一些性质。利用残差所提供的信息,来考察模型假设的合理性及数据的可靠性称为残差分析。
信息
学    科
统计学
外文名
residual
用    途
考察模型合理性及数据的可靠性
中文名
残差
残差普通残差
设线性回归模型为 其中Y是由响应变量构成的n维向量,X是 阶设计矩阵,β是p+1维向量,ε是n维随机变量。回归系数的估计值 ,拟合值 为 ,其中 ,称H为帽子矩阵。残差为 。这解释了帽子矩阵与残差的关系,因为残差可以通过帽子矩阵与真实值得出。
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问答
  • 残差

    千次阅读 2018-07-26 00:05:25
    1.下列关于线性回归分析中的残差(Residuals)说法正确的是? A. 残差均值总是为零 B. 残差均值总是小于零 C. 残差均值总是大于零 D. 以上说法都不对 答案:A 解析:线性回归分析中,目标是残差最小化。残差...

    1.下列关于线性回归分析中的残差(Residuals)说法正确的是?

    A. 残差均值总是为零

    B. 残差均值总是小于零

    C. 残差均值总是大于零

    D. 以上说法都不对

    答案:A

    解析:线性回归分析中,目标是残差最小化。残差平方和是关于参数的函数,为了求残差极小值,令残差关于参数的偏导数为零,会得到残差和为零,即残差均值为零。

    2.下面两张图展示了两个拟合回归线(A 和 B),原始数据是随机产生的。现在,我想要计算 A 和 B 各自的残差之和。注意:两种图中的坐标尺度一样。

    关于 A 和 B 各自的残差之和,下列说法正确的是?

    A. A 比 B 高

    B. A 比 B 小

    C. A 与 B 相同

    D. 以上说法都不对

    答案:C

    解析:A 和 B 中各自的残差之和应该是相同的。线性回归模型的损失函数为:

    对损失函数求导,并令 ∇J=0,即可得到 XW-Y=0,即残差之和始终为零。

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  • 残差分析(残差原理与标准化残差分析)

    万次阅读 多人点赞 2018-08-30 10:12:03
    1、残差分析定义 在回归模型 中,假定 的期望值为0,方差相等且服从正态分布的一个随机变量。但是,若关于的假定不成立,此时所做的检验以及估计和预测也许站不住脚。确定有关的假定是否成立的方法之一是进行残差...

    1、残差分析定义

    在回归模型y=\beta _{0}+\beta _{1}x+\varepsilon 中,假定\varepsilon 的期望值为0,方差相等且服从正态分布的一个随机变量。但是,若关于\varepsilon的假定不成立,此时所做的检验以及估计和预测也许站不住脚。确定有关\varepsilon的假定是否成立的方法之一是进行残差分析(residual analysis).

    2、残差与残差图

    残差(residual)是因变量的观测值y_{i}与根据估计的回归方程求出的预测 \hat{y}_{i} 之差,用e表示。反映了用估计的回归方程去预测y_{i}而引起的误差。第i个观察值的残差为: e_{i}=y_{i}-\hat{y}_{i}

    常用残差图:有关x残差图,有关\hat{y}的残差图,标准化残差图

    有关x残差图:用横轴表示自变量x的值,纵轴表示对应残差 e_{i}=y_{i}-\hat{y}_{i},每个x的值与对应的残差用图上的一个点来表示。

    分析残差图,首先考察残差图的形态及其反映的信息。

    分析:

    (a)对所有x值,\varepsilon的方差都相同,且描述变量x和y之间的回归模型是合理的,残差图中的所有点落在一条水平带中间。

    (b)对所有的值,\varepsilon的方差是不同的,对于较大的x值,相应的残差也较大,违背了\varepsilon的方差相等的假设

    (c)表明所选的回归模型不合理,应考虑曲线回归或多元回归模型。

    3、标准化残差

    对于\varepsilon正态性假定的检验,也可通过标准化残差分析完成。

    标准化残差(standardized residual)是残差除以其标准差后得到的数值,也称Pearson残差或半学生化残差(semi-studentized residuals),用z_{e}表示。第i个观察值的标准化残差为:z_{e_{i}}=\frac{e_{i}}{s_{e}}=\frac{y_{i}-\hat{y}_{i}}{s_{e}}   (s_{e}是残差的标准差的估计)

    如果误差项 \varepsilon 服从正态分布的这一假定成立,则标准化残差的分布也服从正态分布。大约有95%的标准化残差在 -2~2 之间。

    从图中可以看出,除了箭头所标识的点外,所有的标准化残差都在 -2~2 之间,所以误差项服从正态分布的假定成立。

     

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  • 残差和laynorm

    2021-04-30 16:49:55
    残差

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    残差
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  • Pearson残差:以及标准化Pearson残差:其实,标准化的Pearson残差就是在Pearson残差的基础上除以sqrt(φ(1-hi)) ,这其实暗含了两个调整:Scaling-将残差的标准差调整至1;De-leveraging-将残差通过杠杆系数hi进行去...

    在GLM建模中,我们会遇到两种残差。

    Pearson残差:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    以及标准化Pearson残差:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    其实,标准化的Pearson残差就是在Pearson残差的基础上除以sqrt(φ(1-hi)) ,这其实暗含了两个调整:

    Scaling-将残差的标准差调整至1;

    De-leveraging-将残差通过杠杆系数hi进行去杠杆化。

    比较有趣的是第二个去杠杆化的调整,为什么要这么做呢?

    为方便阐述和理解,我们回到最简单的情形-普通线性回归。先看一个简单的例子,下表中是一个模拟的数据,其中的一些要点如下:

    a,b是真实的截距和斜率;

    x通常在1左右变动,而观测8是一个关于x的异常值;

    y=a+b*x+norm(0,1),在直线附近加上随机扰动生成;

    sigma^2=SSR/(n-p)=残差平方和/(8-2);

    H是帽子矩阵,hi是其第i个对角线元素。

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    我们可以看到,由于是正态分布,V(μ)=1,ω=1,同时φ=sigma^2。那么问题就变得更为简单,我们只需要关注hi对Pearson残差的影响。可以看到,对于异常值观测8来说,其杠杆系数hi要显著大于其他观测,其Pearson残差也要显著小于其他观测,但是经过hi调整至标准化Pearson残差后,残差变得更加均匀可比。

    这就是杠杆系数调整的目的:为了减轻”关于x的异常值”对于残差的扭曲效应。所谓关于x的异常值,也就是自变量取值较为异常,在图像上看可以是x轴最右侧的孤点,具体应用环境上可以是流量三角形某一年异常大的增量赔款。出于模型诊断或者对残差进行Bootstrap重抽样等目的,我们希望将残差的标准差调整至相同的水平,以防止关于x的异常值产生过小的残差,因此才需要进行这种“标准化”调整。当然,当对残差重抽样后,我们会重构模拟数据,这时候会对数据进行Releverage,还原至数据点原本的杠杆水平。

    事实上,在这里我们要区分两个极易混淆的概念:随机误差和残差。随机误差指的是数据本身的不确定性带来的误差,通常我们假设随机误差独立且服从均值为0,方差相同的正态分布。而残差是指预测值与实际值的差,由于残差的计算要用到全部观测,因此残差之间并不是相互独立的,同时,残差的标准差也不完全相同,越是异常值的点,其对应的残差的波动性越小。具体的公式,可以在任何一本回归分析的教材中找到,在这里,我想用一个直观的方法来解释,可以看一下上面的散点图,显然,异常值的位置可以在很大程度上决定回归直线的指向—异常值可以撬动整个直线。

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  • 什么是残差,如何求残差

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  • 经典CNN、残差

    2021-04-23 16:08:40
    残差
  • 残差网络

    2020-07-22 16:14:05
    残差网络
  • 什么是残差残差

    2021-04-02 17:13:19
    在数理统计中,残差是指实际观察值与估计值(拟合值)之间的差。 “残差”蕴含了有关模型基本假设的重要信息。如果回归模型正确的话, 我们可以将残差看作误差的观测值。它应符合模型的假设条件,且具有误差的一些...
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    2021-03-18 16:46:02
    从线性回归与非线性回归说起 均方误差(Mean Squared Error,MSE):... 理想情况下,我们希望残差是正态分布的,这意味着模型在两个方向(高和低)上误差是相同的。 用普通最小二乘法(OLS,ordinary least sq...
  • 残差

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  • 使用Tensorflow实现残差网络ResNet-50

    万次阅读 多人点赞 2018-01-23 15:34:56
    这篇文章讲解的是使用Tensorflow实现残差网络resnet-50. 侧重点不在于理论部分,而是在于代码实现部分。在github上面已经有其他的开源实现,如果希望直接使用代码运行自己的数据,不建议使用本人的代码。但是如果...
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    2018-09-22 15:47:30
    适合学习的ResNet残差网络,适合配合论文一起使用,非常适合初学者阅读的经典代码。
  • 深度学习笔记(七)--ResNet(残差网络)

    万次阅读 多人点赞 2018-07-25 17:54:23
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  • MATLAB 残差分析

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