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树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和,但是每次只能修改一个元素的值;经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改,但是这时只能查询其中一个元素的值(如果加入多个辅助数组则可以实现区间修改与区间查询)。这种数据结构(算法)并没有C++和Java的库支持,需要自己手动实现。在Competitive Programming的竞赛中被广泛的使用。树状数组和线段树很像,但能用树状数组解决的问题,基本上都能用线段树解决,而线段树能解决的树状数组不一定能解决。相比较而言,树状数组效率要高很多。 展开全文
树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和,但是每次只能修改一个元素的值;经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改,但是这时只能查询其中一个元素的值(如果加入多个辅助数组则可以实现区间修改与区间查询)。这种数据结构(算法)并没有C++和Java的库支持,需要自己手动实现。在Competitive Programming的竞赛中被广泛的使用。树状数组和线段树很像,但能用树状数组解决的问题,基本上都能用线段树解决,而线段树能解决的树状数组不一定能解决。相比较而言,树状数组效率要高很多。
信息
应用范围
信息学
时间复杂度
log(n)
中文名
树状数组
功    能
区间和查询、单点修改
树状数组树状图概念
假设数组a[1..n],那么查询a[1]+...+a[n]的时间是log级别的,而且是一个在线的数据结构,支持随时修改某个元素的值,复杂度也为log级别。来观察这个图:令这棵树的结点编号为C1,C2...Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和,那么容易发现:C1 = A1C2 = A1 + A2C3 = A3C4 = A1 + A2 + A3 + A4C5 = A5C6 = A5 + A6C7 = A7C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8...C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16这里有一个有趣的性质:设节点编号为x,那么这个节点管辖的区间为2^k(其中k为x二进制末尾0的个数)个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax,所以很明显:Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An算这个2^k有一个快捷的办法,定义一个函数如下即可:利用机器补码特性,也可以写成:当想要查询一个SUM(n)(求a[n]的和),可以依据如下算法即可:step1: 令sum = 0,转第二步;step2: 假如n <= 0,算法结束,返回sum值,否则sum = sum + Cn,转第三步;step3: 令n = n – lowbit(n),转第二步。可以看出,这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来,为什么是效率是log(n)的呢?以下给出证明:n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1,所以查询效率是log(n)的。那么修改呢,修改一个节点,必须修改其所有祖先,最坏情况下为修改第一个元素,最多有log(n)的祖先。所以修改算法如下(给某个结点i加上x):step1: 当i > n时,算法结束,否则转第二步;step2: Ci = Ci + x, i = i + lowbit(i)转第一步。i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。对于数组求和来说树状数组简直太快了!注:求lowbit(x)的建议公式:lowbit(x):=x and -x;或lowbit(x):=x and (x xor (x - 1));lowbit(x)即为2^k的值。
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  • 夜深人静写算法(十三)- 树状数组

    万次阅读 多人点赞 2017-12-28 15:07:32
    树状数组:经典统计算法,单点更新,成段求和的一种优化数据结构
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  • 树状数组

    2021-05-08 19:40:36
    树状数组 树状数组的性质 树状数组的修改

    树状数组

    树状数组的性质

    树状数组的修改

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  • 树状数组 树状数组 树状数组 树状数组树状数组 树状数组 树状数组 树状数组树状数组 树状数组 树状数组 树状数组
  • 先来看几个问题吧。1.什么是树状数组?顾名思义,就是用数组来模拟树形结构...3.树状数组和线段树的区别在哪里树状数组可以解决的问题都可以用线段树解决,这两者的区别在哪里呢?树状数组的系数要少很多,就比如字...

    先来看几个问题吧。

    1.什么是树状数组?

    顾名思义,就是用数组来模拟树形结构呗。那么衍生出一个问题,为什么不直接建树?答案是没必要,因为树状数组能处理的问题就没必要建树。和Trie树的构造方式有类似之处。

    2.树状数组可以解决什么问题

    可以解决大部分基于区间上的更新以及求和问题。

    3.树状数组和线段树的区别在哪里

    树状数组可以解决的问题都可以用线段树解决,这两者的区别在哪里呢?树状数组的系数要少很多,就比如字符串模拟大数可以解决大数问题,也可以解决1+1的问题,但没人会在1+1的问题上用大数模拟。

    4.树状数组的优点和缺点

    修改和查询的复杂度都是O(logN),而且相比线段树系数要少很多,比传统数组要快,而且容易写。

    缺点是遇到复杂的区间问题还是不能解决,功能还是有限。

    一、树状数组介绍

    二叉树大家一定都知道,如下图

    ce5dad13f549f280c72264e37c5bd898.png

    如果每个父亲都存的是两个儿子的值,是不是就可以解决这类区间问题了呢。是的没错,但是这样的树形结构,叫做线段树。

    那真的的树形结构是怎样的,和上图类似,但省去了一些节点,以达到用数组建树。

    49db648c9802aaeccd09df0895f3c8ae.png

    黑色数组代表原来的数组(下面用A[i]代替),红色结构代表我们的树状数组(下面用C[i]代替),发现没有,每个位置只有一个方框,令每个位置存的就是子节点的值的和,则有

    C[1] = A[1];

    C[2] = A[1] + A[2];

    C[3] = A[3];

    C[4] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4];

    C[5] = A[5];

    C[6] = A[5] + A[6];

    C[7] = A[7];

    C[8] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4] + A[5] + A[6] + A[7] + A[8];

    可以发现,这颗树是有规律的

    C[i] = A[i - 2k+1] + A[i - 2k+2] + ... + A[i];   //k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度

    例如i = 8(1000)时候,k = 3,可自行验证。

    这个怎么实现求和呢,比如我们要找前7项和,那么应该是SUM = C[7] + C[6] + C[4];

    而根据上面的式子,容易的出SUMi = C[i] + C[i-2k1] + C[(i - 2k1) - 2k2] + .....;

    其实树状数组就是一个二进制上面的应用。

    现在新的问题来了2^k该怎么求呢,不难得出2^k = i&(i^(i-1));但这个还是不好求出呀,前辈的智慧就出来了,2^k = i&(-i);

    为什么呢?

    这里利用的负数的存储特性,负数是以补码存储的,对于整数运算 x&(-x)有

    ● 当x为0时,即 0 & 0,结果为0;

    ●当x为奇数时,最后一个比特位为1,取反加1没有进位,故x和-x除最后一位外前面的位正好相反,按位与结果为0。结果为1。

    ●当x为偶数,且为2的m次方时,x的二进制表示中只有一位是1(从右往左的第m+1位),其右边有m位0,故x取反加1后,从右到左第有m个0,第m+1位及其左边全是1。这样,x& (-x) 得到的就是x。

    ●当x为偶数,却不为2的m次方的形式时,可以写作x= y * (2^k)。其中,y的最低位为1。实际上就是把x用一个奇数左移k位来表示。这时,x的二进制表示最右边有k个0,从右往左第k+1位为1。当对x取反时,最右边的k位0变成1,第k+1位变为0;再加1,最右边的k位就又变成了0,第k+1位因为进位的关系变成了1。左边的位因为没有进位,正好和x原来对应的位上的值相反。二者按位与,得到:第k+1位上为1,左边右边都为0。结果为2^k。

    总结一下:x&(-x),当x为0时结果为0;x为奇数时,结果为1;x为偶数时,结果为x中2的最大次方的因子。

    而且这个有一个专门的称呼,叫做lowbit,即取2^k。

    二、如何建立树状数组

    上面已经解释了如何用树状数组求区间和,那么如果我们要更新某一个点的值呢,还是一样的,上面说了C[i] = A[i - 2k+1] + A[i - 2k+2] + ... + A[i],那么如果我们更新某个A[i]的值,则会影响到所有包含有A[i]位置。如果求A[i]包含哪些位置里呢,同理有

    A[i] 包含于 C[i + 2k]、C[(i + 2k) + 2k]...;

    好,现在已经搞清楚了更新和求和,就可以来建树状数组了。如果上面的求和、更新或者lowbit步骤还没搞懂的化,建议再思考弄懂再往下看。

    那么构造一个树状数组则为

    1 intn;2 int a[1005],c[1005]; //对应原数组和树状数组

    3

    4 int lowbit(intx){5 return x&(-x);6 }7

    8 void updata(int i,int k){ //在i位置加上k

    9 while(i <=n){10 c[i] +=k;11 i +=lowbit(i);12 }13 }14

    15 int getsum(int i){ //求A[1 - i]的和

    16 int res = 0;17 while(i > 0){18 res +=c[i];19 i -=lowbit(i);20 }21 returnres;22 }

    这样就构造了一个树状数组。下面看一道模板题目吧。

    直接看代码吧

    1 #include

    2 using namespacestd;3

    4 intn,m;5 int a[50005],c[50005]; //对应原数组和树状数组

    6

    7 int lowbit(intx){8 return x&(-x);9 }10

    11 void updata(int i,int k){ //在i位置加上k

    12 while(i <=n){13 c[i] +=k;14 i +=lowbit(i);15 }16 }17

    18 int getsum(int i){ //求A[1 - i]的和

    19 int res = 0;20 while(i > 0){21 res +=c[i];22 i -=lowbit(i);23 }24 returnres;25 }26

    27 intmain(){28 intt;29 cin>>t;30 for(int tot = 1; tot <= t; tot++){31 cout << "Case" << tot << ":" <>n;35 for(int i = 1; i <= n; i++){36 cin>>a[i];37 updata(i,a[i]); //输入初值的时候,也相当于更新了值

    38 }39

    40 strings;41 intx,y;42 while(cin>>s && s[0] != 'E'){43 cin>>x>>y;44 if(s[0] == 'Q'){ //求和操作

    45 int sum = getsum(y) - getsum(x-1); //x-y区间和也就等于1-y区间和减去1-(x-1)区间和

    46 cout << sum <

    53 }54 }55

    56 }57 return 0;58 }

    这就是最简单的点更新区间求和了。

    三、树状数组的几种变式(区间更新,区间查询)

    上面介绍的是最普通的单点更新,区间查询,但如果有些时候是区间更新,单点求和怎么半,又或是区间更新,区间求和怎么办。这里将介绍各种情况该怎么写。

    如果上面的单点更新,区间查询还没看懂,建议再思考再往下看。

    1.单点更新、单点查询

    传统数组可做

    2.单点更新、区间查询

    已讲解,详细看上面

    3.区间更新、单点查询

    这就是第一个问题,如果题目是让你把x-y区间内的所有值全部加上k或者减去k,然后查询操作是问某个点的值,这种时候该怎么做呢。如果是像上面的树状数组来说,就必须把x-y区间内每个值都更新,这样的复杂度肯定是不行的,这个时候,就不能再用数据的值建树了,这里我们引入差分,利用差分建树。

    假设我们规定A[0] = 0;

    则有 A[i] = Σij = 1D[j];(D[j] = A[j] - A[j-1]),即前面i项的差值和,这个有什么用呢?例如对于下面这个数组

    A[] = 1 2 3 5 6 9

    D[] = 1 1 1 2 1 3

    如果我们把[2,5]区间内值加上2,则变成了

    A[] = 1 4 5 7 8 9

    D[] = 1 3 1 2 1 1

    发现了没有,当某个区间[x,y]值改变了,区间内的差值是不变的,只有D[x]和D[y+1]的值发生改变,至于为什么我想我就不用解释了吧。

    所以我们就可以利用这个性质对D[]数组建立树状数组,代码为:

    1 intn,m;2 int a[50005] = {0},c[50005]; //对应原数组和树状数组

    3

    4 int lowbit(intx){5 return x&(-x);6 }7

    8 void updata(int i,int k){ //在i位置加上k

    9 while(i <=n){10 c[i] +=k;11 i +=lowbit(i);12 }13 }14

    15 int getsum(int i){ //求D[1 - i]的和,即A[i]值

    16 int res = 0;17 while(i > 0){18 res +=c[i];19 i -=lowbit(i);20 }21 returnres;22 }23

    24 intmain(){25 cin>>n;27 for(int i = 1; i <= n; i++){28 cin>>a[i];29 updata(i,a[i] - a[i-1]); //输入初值的时候,也相当于更新了值

    31 }32

    33 //[x,y]区间内加上k

    34 updata(x,k); //A[x] - A[x-1]增加k

    35 updata(y+1,-k); //A[y+1] - A[y]减少k36

    37 //查询i位置的值

    38 int sum =getsum(i);39

    40 return 0;41 }

    这样就把,原来要更新一个区间的值变成了只需要更新两个点。也很容易理解吧。

    4.区间更新、区间查询

    上面我们说的差值建树状数组,得到的是某个点的值,那如果我既要区间更新,又要区间查询怎么办。这里我们还是利用差分,由上面可知

    ∑ni = 1A[i] = ∑ni = 1 ∑ij = 1D[j];

    则A[1]+A[2]+...+A[n]

    = (D[1]) + (D[1]+D[2]) + ... + (D[1]+D[2]+...+D[n])

    = n*D[1] + (n-1)*D[2] +... +D[n]

    = n * (D[1]+D[2]+...+D[n]) - (0*D[1]+1*D[2]+...+(n-1)*D[n])

    所以上式可以变为∑ni = 1A[i] = n*∑ni = 1D[i] -  ∑ni = 1( D[i]*(i-1) );

    如果你理解前面的都比较轻松的话,这里也就知道要干嘛了,维护两个数状数组,sum1[i] = D[i],sum2[i] = D[i]*(i-1);

    1 intn,m;2 int a[50005] = {0};3 int sum1[50005]; //(D[1] + D[2] + ... + D[n])

    4 int sum2[50005]; //(1*D[1] + 2*D[2] + ... + n*D[n])

    5

    6 int lowbit(intx){7 return x&(-x);8 }9

    10 void updata(int i,intk){11 int x = i; //因为x不变,所以得先保存i值

    12 while(i <=n){13 sum1[i] +=k;14 sum2[i] += k * (x-1);15 i +=lowbit(i);16 }17 }18

    19 int getsum(int i){ //求前缀和

    20 int res = 0, x =i;21 while(i > 0){22 res += x * sum1[i] -sum2[i];23 i -=lowbit(i);24 }25 returnres;26 }27

    28 intmain(){29 cin>>n;30 for(int i = 1; i <= n; i++){31 cin>>a[i];32 updata(i,a[i] - a[i-1]); //输入初值的时候,也相当于更新了值

    33 }34

    35 //[x,y]区间内加上k

    36 updata(x,k); //A[x] - A[x-1]增加k

    37 updata(y+1,-k); //A[y+1] - A[y]减少k38

    39 //求[x,y]区间和

    40 int sum = getsum(y) - getsum(x-1);41

    42 return 0;43 }

    再附赠两道模板题目,可以自行写一下以便理解

    区间修改、单点查询模板题目:https://www.luogu.org/problem/show?pid=3368

    区间修改、区间查询模板题目:https://vjudge.net/problem/POJ-3468

    PS:这里大致归纳了一维树状数组的所有要使用到的东西,二维建树以及更多变式就不说了,具体问题再具体分析。

    后记:自己看了一下写的不是很好,特别是公式和图,都是用简单的画图和直接写的,没有用编辑器,也不能说我懒吧,毕竟精力有限啦,以后有空还是会去学的,带给大家更好的博客。手敲也不易,希望大家理解,多多支持。

    不懂问我噢= =

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空空如也

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