精华内容
参与话题
问答
  • 本篇文章将开始讲解树结构。其实树结构是平日里我们常见的一种数据结构,例如家族族谱、公司管理层级结构图等,这样的数据结构的存在一定有一定的道理。因此,在计算机领域中,树结构也是会被广泛用到的,例如数据库...

    本系列文章【数据结构与算法】所有完整代码已上传 github,想要完整代码的小伙伴可以直接去那获取,可以的话欢迎点个Star哦~下面放上跳转链接

    本篇文章将开始讲解树结构。其实树结构是平日里我们常见的一种数据结构,例如家族族谱公司管理层级结构图等,这样的数据结构的存在一定有一定的道理。

    • 家族族谱图

    在这里插入图片描述

    • 公司管理层级结构图

    在这里插入图片描述

    因此,在计算机领域中,树结构也是会被广泛用到的,例如数据库系统中就有用到。那么本文就从零开始学习一下树结构,并且也会封装一个二叉查找树,本文 3万+ 的详细教程,希望大家耐心观看,我是以一个纯小白的角度来写的这篇文章,相信大家认真看一定都能看懂的

    • 公众号:前端印象
    • 不定时有送书活动,记得关注~
    • 关注后回复对应文字领取:【面试题】、【前端必看电子书】、【数据结构与算法完整代码】、【前端技术交流群】

    在这里插入图片描述

    一、什么是树

    树在我们平日应该算是一个低头不见抬头见的东西了。这里我特地找了个比较好看的树放在这里,大家可以观察一下树的特点,如图

    在这里插入图片描述
    第一反应是不是从树根开始往上生长,分出了特别的多分叉?没错,咱们要学习的树结构就是参照着真正的树衍生过来的,只不过是一个倒着的抽象的树,如图
    在这里插入图片描述
    我们把图中第一层的圆圈看成是树根,以下的几层都是由树根延伸出去的分支,这里的每一个圆圈都可以用于存储我们的数据。

    是一种非线性数据结构,它是由一个或多个结点组成的

    二、树结构的优点

    总的来说,树结构是结合了之前我们讲过的数组、链表、哈希表等结构的优缺点,但也不能说哈希表是最好的数据结构,毕竟每种数据结构都有各自突出的优点

    树结构的优点:

    1. 空间利用率比较高
    2. 可以非常快速地查找到最大值和最小值

    三、树结构的术语

    因为本文是从零开始学习树结构,所以我们在这里有必要讲解一下,在我们封装各种树结构的过程中涉及到的术语,方便大家理解。

    术语名 含义
    结点 树中的数据元素
    结点的度 结点拥有的子树个数
    叶子结点 度为0的结点
    分支结点 度大于0的结点
    父节点 衍生出其它结点的结点为这些结点的父结点
    子结点 被某个结点衍生出来的结点为该结点的子结点
    兄弟结点 具有同一个父节点的所有结点为兄弟结点
    结点的层次 设定根结点所在层次为1,其它结点层次为其父节点层次+1
    树的深度 树的所有结点中的最大层次为该树的深度
    路径 从某个结点沿着树的层级关系到达另一个结点之间的路线
    路径长度 路径上的结点个数 -1

    我们来用图讲解一下每个术语的含义
    在这里插入图片描述
    如图,每一个圆圈就是一个结点结点A 延伸出去三个结点,因此 结点A 的度为 3结点B 延伸出去两个结点,因此 结点B 的度为 2结点C 并没有延伸出去的结点,故 结点C 的度为 0

    图中像 结点C 一样的度为 0 的结点还有 结点D结点E结点F,它们都称为叶子结点 ; 那么相对的,结点A结点B 的度都不为 0,它们就称为分支结点

    对于 父结点 、子结点 、兄弟结点,我们把图中的树结构看成族谱就很好理解了,假设 结点B爸妈,其延伸出去两个结点 结点E结点F,那么就是 B 生了 EF,所以 结点B 就是 结点E结点F父结点结点E结点F 就是 结点B子结点结点E结点F 互为兄弟结点

    树结构我们可以进行层次分级,例如统一规定根结点所在层次为 1,接着往下层级逐渐 +1。如图,结点A 所在的层次为 1;那么它的下一层层级就为 2,也就是 结点B结点C结点D 所在的层次为 2 ;再往下一层,结点E结点F 所在的层次为 3,这就是结点的层次。因为该树结构的最大层次为 3,所以该树的深度就为 3

    对于路径,假设我们要找到 结点A结点E 的路径,我们只需要沿着树的层次结构走就可以了,如图红线所标的路线就称为 结点A结点E路径
    在这里插入图片描述
    那么路径的长度为多少呢?因为该路径上经过了 3 个结点,因此,该路径的长度2

    四、什么是二叉树

    在树结构中,我们用到的最多的就是二叉树,因此它也是我们重点学习的对象,并且本文最后是要进行二叉查找树的代码封装,那么我们还是要先来了解一下二叉树的定义

    二叉树的定义: 树结构中每个结点最多只有两个子结点,即任何一个结点的度都小于等于 2

    我自己画了几个图来给大家举例哪些是二叉树,哪些不是

    首先说明,二叉树可以为空,也就是结点个数可以等于 0,此时称之为空二叉树


    在这里插入图片描述
    该树结构只有一个根节点,符合二叉树的定义,因此这一个非空二叉树


    在这里插入图片描述
    该树结构不是二叉树,因为 结点A 有三个子结点,不符合二叉树的定义


    在这里插入图片描述
    该树结构一个非空二叉树


    正是因为二叉树只有两个子结点,因此我们可以简单得把位于左侧和位于右侧的两个子结点分别称作其父节点的 左子结点右子结点

    讲到这里,我再补充个概念,叫做 左子树右子树 。因为我们整个二叉树就像是一棵树嘛,那么当我们以某个结点当作根结点,我们可以把其左边的所有结点组成的结构看成是一颗小一点的树,称之为 左子树 ;同理,其右侧所有结点组成的结构称之为 右子树 。如图

    在这里插入图片描述


    其实在二叉树中,又有两种特殊的二叉树,即 完美二叉树完全二叉树,接下来我们来简单讲解一下这两种类型的二叉树的概念

    五、完美二叉树

    完美二叉树 又叫 满二叉树,顾名思义,就是在一个二叉树中,除了最后一个层级的叶子节点外,其余每个结点都有两个子结点

    如图就是一个满二叉树
    在这里插入图片描述


    再来看一个不是满二叉树的例子,如图
    在这里插入图片描述
    该二叉树就不是一个满二叉树,因为处于倒数第二层的 结点C 只有一个子结点,不满足满二叉树的定义

    六、完全二叉树

    完全二叉树要满足以下两个条件:

    1. 除了最后一层外,其它各层的结点个数都达到最大个数
    2. 最后一层的结点集中在左侧,且结点连续,只有右侧部分可以缺失结点

    光看定义难以理解,我们来用实例了解完全二叉树
    在这里插入图片描述
    不是一个完全二叉树。其满足了完全二叉树的第一个条件,第一层最大结点个数应为 1,它有 1 个结点 ;第二层最大结点个数应为 2,它有 2 个结点 ;第三层最大结点个数应为 4,它有 4 个结点。

    但其不满足完全二叉树的第二个条件,因为最后一层的 结点H结点I结点J 没有连续集中在左侧。


    那么如何才算是连续集中在左侧呢?只需要在此图中给 结点D 添加一个右子结点即可使最后一层的结点连续集中在左侧,如图
    在这里插入图片描述
    这就一个正确的完全二叉树


    再来看一个例子,如图
    在这里插入图片描述
    这就不是一个完全二叉树了,虽然最后一层的结点连续集中在一起,但是它们集中在最后一层的右侧,这并不满足完全二叉树的定义


    其实 满二叉树 是一种特殊的 完全二叉树,不信你可以自己举个简单的例子验证一下

    七、二叉树的特性

    二叉树作为树结构中一种特殊的类型,它是有一些自己的特性的,我们来看一下

    (1)特性一

    一个二叉树第 i 层的最大结点个数为 2i1(i>=1)2^{i-1}(i>=1)

    在二叉树中,结点个数最多的情况就是满二叉树,即除了最后一层的叶子结点外,其余结点都有两个子结点,因此满二叉树每一层的结点个数都达到了最大值,其余类型的二叉树每一层结点个数只会小于或等于它

    我们可以自己来验证一下,下图时一个树的深度为 3 的满二叉树
    在这里插入图片描述
    第一层结点个数最多只有 20=12^0 = 1 个,图中有一个结点
    第二层结点个数最多只有 21=22^1 = 2 个,图中有两个结点
    第三层结点个数最多只有 22=42^2 = 4 个,图中有四个结点

    (2)特性二

    深度为 k 的二叉树拥有的最大结点数为 2k1(k>=1)2^k-1(k>=1)

    同样的,满二叉树是二叉树中结点个数最多的,因此其结点个数公式就为 2k1(k>=1)2^k-1(k>=1)

    我们可以验证一下

    在这里插入图片描述
    这是一个深度为 1 的满二叉树,最大结点个数为 201=12^0-1 = 1


    在这里插入图片描述
    这是一个深度为 2 的满二叉树,最大结点个数为 221=32^2-1 = 3


    在这里插入图片描述
    这是一个深度为 3 的满二叉树,最大结点个数为 231=72^3-1 = 7

    (3)特性三

    在非空二叉树中,n0n_0 表示叶子结点个数,n1n_1 表示分支结点个数,那么它们满足的关系有 n0=n1+1n_0=n_1 + 1

    该特性也是一个总结出来的规律,大家了解一下即可,可以自行验证一下

    八、二叉树的存储

    在使用二叉树存储数据时,我们有两种选择,一种是数组存储,另一种是链表存储

    (1)数组存储

    当使用数组存储时,如图
    在这里插入图片描述

    在按照从上到下,从左到右的顺序给二叉树标上下标以后,我们发现在使用数组存储二叉树的数据时,很难或者说几乎无法分辨结点之间的结点关系

    因此,有一种解决办法就是将二叉树补全成一个满二叉树,然后下标仍是按照从上到下,从左到右的顺序给的,如图
    在这里插入图片描述
    此时,我们就可以看到,各个结点之间就可以分辨得出来了,即父节点的下标值 index * 2 + 1,就等于其左子结点的下标值 ;同样的,父节点的下标值 index * 2 + 2,就等于其右子结点的下标值

    虽然现在结点间的关系可以辨别得出来了,但是有没有发现,这造成了很大的空间浪费,整个数组长度为 15,空着的位置就有 8

    所以我个人认为,用数组来存储二叉树的数据不太合适

    (2)链表存储

    链表存储也是二叉树最常用的一种存储方法。我们可以通过给每个结点封装一个对象,通过 leftright 分别指向其左子结点和右子结点

    来看一下,用链表存储的二叉树的样子,如图
    在这里插入图片描述
    我们只需要调用某结点的 leftright 就可以找到其子结点,这样做既避免了空间的浪费,又能把结点关系理得特别清楚

    九、什么是二叉查找树

    二叉查找树,英文名为 Binary Search Tree,简称BST,又名二叉排序树、二叉搜索树。

    二叉查找树本身就是一棵二叉树,它可以是一棵空树

    当二叉查找树不为空时,必须满足以下三个条件

    1. 非空左子树的结点的 key 小于其根结点的 key
    2. 非空右子树的结点的 key 大于其根结点的 key
    3. 左子树和右子树本身也是个二叉查找树

    我们可以先一个例子来体会一下这三个条件,如图

    在这里插入图片描述
    首先根结点的 key50 ,其左子结点为 10 小于 50,符合第一个条件 ;其右子结点为 70 大于 50,符合第二个条件

    再来看 结点10,其左子结点为 8 小于 10,符合第一个条件 ;其右子结点为 13 大于 10,符合第二个条件

    同理,结点70 也是符合的,因此就符合了第三个条件


    总结一下呢,就是以下几条结论:

    1. 左边的结点永远比根结点以及右边的结点小
    2. 右边的结点永远比根结点已经左边的结点大

    所以,接下来我们再来看几个例子,判断一下哪些时二叉查找树,哪些不是

    在这里插入图片描述
    这不是一个二叉查找树,因为 结点7 在右侧,比其根结点 8 要小,所以不符合条件。正确的位置应该是处于 结点8 的左子树位置


    在这里插入图片描述
    这是一个二叉查找树

    十、树的遍历

    以上给出的树结构的图都是我们布局好的非常美观的样子,但在程序里,树结构是非常抽象的,因此我们可以通过遍历全部结点的方式,将整个树结构展现出来

    树的遍历一共分成三种,分别是 先序遍历中序遍历后序遍历

    (1)先序遍历

    先序遍历: 访问根结点 => 访问左子树 => 访问右子树。在访问左子树或右子树的时候,仍是按照这个规则继续访问。

    我们来看一个简单的例子,如图,对其进行先序遍历

    在这里插入图片描述


    第一步: 先访问根结点 50 ,再访问左子树,最后访问右子树,如图
    在这里插入图片描述

    此时我们记录一下访问的过程,即 50 左子树10 右子树70


    第二步: 左子树10 也需要按照先序遍历的步骤进行,所以先访问 左子树10 中的根节点 10,再遍历其左子树,最后遍历其右子树,如图
    在这里插入图片描述

    因为 结点10 的左右子树都属于叶子结点了,即没有任何的子结点了,所需就无需对其进行遍历了

    我们接着第一步中的结果进行记录,即 50 10 8 13 右子树70


    第三步: 最后还剩个 右子树70 没有遍历了,那么同理,先访问其根结点 70,再遍历其左子树,最后遍历其右子树,如图
    在这里插入图片描述

    因为 结点70 的左右子树也都属于叶子结点了,所以也没有必要对其进行遍历了,直接获取该结点即可

    我们接着第二步的结果进行记录,即 50 10 8 13 70 60 80


    好了,到此位置,一个先序遍历的结果就出来了,我们来总结一下它的全部访问过程,如图
    在这里插入图片描述

    (2)中序遍历

    中序遍历: 访问左子树 => 访问根结点 => 访问右子树。在访问左子树或右子树的时候,仍是按照这个规则继续访问。

    我们来看一个简单的例子,如图,对其进行中序遍历

    在这里插入图片描述


    第一步: 先遍历 左子树10,再访问根结点 50,最后遍历右子树 70,如图

    在这里插入图片描述

    此时我们记录一下访问的过程,即 左子树10 50 右子树70


    第二步: 左子树10 也需要按照中序遍历的步骤进行,所以先遍历 左子树10 中的左子树,再访问其根节点 10,最后遍历其右子树,如图
    在这里插入图片描述

    因为 结点10 的左右子树都属于叶子结点了,即没有任何的子结点了,所需就无需对其进行遍历了

    我们接着第一步中的结果进行记录,即 8 10 13 50 右子树70


    第三步: 最后还剩个 右子树70 没有遍历了,那么同理,先遍历 右子树70 的左子树,再访问其根结点 70,最后遍历其右子树,如图
    在这里插入图片描述

    因为 结点70 的左右子树也都属于叶子结点了,所以也没有必要对其进行遍历了,直接获取该结点即可

    我们接着第二步的结果进行记录,即 8 10 13 50 60 70 80


    好了,到此位置,一个中序遍历的结果就出来了,我们来总结一下它的全部访问过程,如图

    在这里插入图片描述

    (3)后序遍历

    后序遍历: 访问左子树 => 访问右子树 => 访问根结点 。在访问左子树或右子树的时候,仍是按照这个规则继续访问。

    我们来看一个简单的例子,如图,对其进行后序遍历

    在这里插入图片描述


    第一步: 先遍历 左子树10,再遍历右子树 70,最后访问根结点 50,如图

    在这里插入图片描述

    此时我们记录一下访问的过程,即 左子树10 右子树70 50


    第二步: 左子树10 也需要按照后序遍历的步骤进行,所以先遍历 左子树10 中的左子树,再遍历其右子树,最后再访问其根节点 10,如图
    在这里插入图片描述

    因为 结点10 的左右子树都属于叶子结点了,即没有任何的子结点了,所需就无需对其进行遍历了

    我们接着第一步中的结果进行记录,即 8 13 10 右子树70 50


    第三步: 最后还剩个 右子树70 没有遍历了,那么同理,先遍历 右子树70 的左子树,再遍历其右子树,最后访问其根结点 70,如图
    在这里插入图片描述

    因为 结点70 的左右子树也都属于叶子结点了,所以也没有必要对其进行遍历了,直接获取该结点即可

    我们接着第二步的结果进行记录,即 8 13 10 60 80 70 50


    好了,到此位置,一个后序遍历的结果就出来了,我们来总结一下它的全部访问过程,如图
    在这里插入图片描述

    十一、二叉查找树的方法

    在封装二叉查找树之前,我们还是先来看一下二叉查找树常见的方法右哪些吧

    方法 作用
    insert() 向二叉查找树插入数据
    preOrder() 先序遍历二叉查找树,并返回结果
    inOrder() 中序遍历二叉查找树,并返回结果
    postOrder() 后序遍历二叉查找树,并返回结果
    getMax() 返回二叉查找树中的最大值
    getMin() 返回二叉查找树中的最小值
    search() 查找二叉查找树中的某个值
    remove() 移除某个值

    十二、用代码实现二叉查找树

    前提:

    1. 代码中会用到大量的递归思想,请还没了解过递归的小伙伴自行了解一下
    2. 部分方法会通过再封装一个内部函数来实现,请认真理解

    (1)创建一个构造函数

    首先创建一个大的构造函数,用于存放二叉查找树的一些属性和方法。

    function BinarySearchTree() {
        // 属性
        this.root = null
    }
    

    二叉查找树的属性最主要的就是 root ,用于指向树的根节点

    (2)创建结点构造函数

    因为我们准备通过链表来实现二叉查找树,所以我们需要先在内部封装一个结点的构造函数

    function BinarySearchTree() {
        // 属性
        this.root = null
    
    	// 结点构造函数
        function Node(key, value) {
            this.key = key
            this.value = value
            this.right = null
            this.left = null
        }
    }
    

    一个结点包括的内容有 左子结点右子结点,分别对应的 keyvalueleftright

    (3)实现insert()方法

    insert()方法就是将一个数据插入到二叉查找树中合适的位置。该方法接收两个参数,即 keyvalue

    实现思路:

    1. 调用内部结点构造函数,并把参数 keyvalue 传入,生成一个结点对象 node
    2. 判断二叉查找树是否右根结点,即判断是否为空,若为空,则直接将 node 作为二叉查找树的根结点,即将 node 赋值给 root 属性
    3. 若不为空,则遍历整个二叉查找树,用 node.key 与遍历到的结点的 key 值进行比对,最终找到合适的位置进行插入

    思路看着略微复杂,我做了动图方便大家理解,如图

    • 当二叉查找树为空时

    在这里插入图片描述

    • 当二叉查找树不为空时

    在这里插入图片描述
    这里我选择用递归的方式来遍历整个二叉查找树,因此我会再额外封装一个用于递归内部调用的函数 insertNode ,给其传入两个参数,第一个参数是当前遍历到的结点 ; 第二个参数是我们要插入的结点

    先来看下代码吧

    function BinarySearchTree() {
        // 属性
        this.root = null
    
    	// 结点构造函数
        function Node(key, value) {
            this.key = key
            this.value = value
            this.right = null
            this.left = null
        }
    
    	// 插入数据
        BinarySearchTree.prototype.insert = function(key, value = null) {
            // 1. 创建结点
            let node = new Node(key, value)
    
            // 2. 判断根结点是否存在
            // 2.1 不存在
            if(!this.root) {
                this.root = node
                return;
            }
    
            // 2.2 存在
            this.insertNode(this.root, node)
            
        }
    
    	// 插入结点函数(内部)
        BinarySearchTree.prototype.insertNode = function(oldNode, newNode) {
            // 1. 判断我们插入的数据的 key是否大于当前遍历结点的 key
            // 1.1 插入数据的 key 大于当前遍历结点的 key
            if(newNode.key < oldNode.key) {
                // 1.1.1 判断当前遍历结点的左结点是否为空
                // 1.1.1.1 为空
                if(oldNode.left === null) {
                    oldNode.left = newNode
                } 
    			// 1.1.1.2 不为空
    			else {
                    this.insertNode(oldNode.left, newNode)
                }
            } 
    		// 1.2 插入数据的 key 小于当前遍历结点的 key
    		else {
    			// 1.2.1 判断当前遍历结点的右结点是否为空
    			// 1.2.1.1 为空
                if(oldNode.right === null) {
                    oldNode.right = newNode
                } 
    			// 1.2.1.2 不为空
    			else {
                    this.insertNode(oldNode.right, newNode)
                }
            }
        }
    }
    

    insert() 方法中,若二叉查找树不为空,我们就调用 insertNode() 内部方法进行递归调用,并先把 root 和 我们新创建的结点 node 传过去当成参数 , 即表示用需要插入的结点先和根节点进行比较,然后慢慢比对下去,找到属于自己的位置插入

    我在代码上都标注了很详细的注解,大家可以消化消化

    我们来使用一下该方法

    let bst = new BinarySearchTree()
    
    bst.insert(50)
    bst.insert(10)
    bst.insert(70)
    bst.insert(5)
    bst.insert(15)
    
    console.log(bst.root)
    

    因为这里我们还没有封装遍历的函数,因此可以靠浏览器的打印来查看二叉查找树是否正确,结果如下
    在这里插入图片描述
    首先,根节点为 50,然后根节点的左子节点为 10,右子结点为 70
    在这里插入图片描述
    然后看到 结点10 的左子结点是 5,右子结点是 15
    在这里插入图片描述
    最后,结点70 没有自己的左右子结点

    总结一下,当前的二叉树如下图
    在这里插入图片描述
    判断一下,这个结果是正确的,这确实是一个二叉查找树,所以我们的 insert()方法就封装好啦

    (4)实现preOrder()方法

    preOrder()方法就是通过先序遍历的方式遍历整个二叉查找树,并返回遍历结果。该方法接收一个回调函数 handle 作为参数, 用于在遍历过程中执行某些操作

    实现思路:

    1. 从根结点开始,按照 访问根结点 => 访问左子树 => 访问右子树 的顺序对各个结点进行访问
    2. 访问到结点时,执行回调函数 handle ,并将访问到的结点的 key 作为参数传入

    因为上边已经详细将结果先序遍历的全过程了,因此我们直接来看代码

    function BinarySearchTree() {
        // 属性
        this.root = null
    
    	// 结点构造函数
        function Node(key, value) {
            this.key = key
            this.value = value
            this.right = null
            this.left = null
        }
    
    	// 先序遍历并返回结果(外部函数)
        BinarySearchTree.prototype.preOrder = function(handle) {
        
    		// 从整棵二叉查找树的根节点开始遍历
            this.preOrderNodes(this.root, handle)
            
        }
    
        // 以先序遍历的方式遍历整个树(内部函数)
        BinarySearchTree.prototype.preOrderNodes = function(node, handle) {
            if(node !== null) {
                // 将根结点的 key传给回调函数处理
                handle(node.key)
    			// 遍历左子树
                this.preOrderNodes(node.left, handle)
    			// 遍历右子树
                this.preOrderNodes(node.right, handle)
            }
            
        }
    }
    

    我们来使用一下该方法,并详细体会一下递归调用的过程是不是跟我们前面分析的先序遍历的思想一样

    let bst = new BinarySearchTree()
    
    bst.insert(50)
    bst.insert(10)
    bst.insert(70)
    bst.insert(5)
    bst.insert(15)
    
    let str = ''
    bst.preOrder(function(key) {
    	str += `${key} `
    })   
    
    console.log(str)             // 50 10 5 15 70
    

    首先二叉查找树是这样的
    在这里插入图片描述

    1. 刚开始我们从整棵树的根节点 root 开始遍历,先记录 rootkey值,即 50 ;然后遍历 root 的左子树,因此把 root.left 作为下一次调用 preOrderNodes() 方法的根结点

    2. 然后记录一下 结点10,即 50 10,然后我们又要继续遍历 结点10 的左子树,所以就把 结点10.left 作为下一次调用 preOrderNodes() 方法的根结点

    3. 此时访问到了 结点5,并记录一下 50 10 5,再下一次就是遍历 结点5 的左右子树,但因为 结点5 的左右子树都为 null,所以在调用preOrderNodes() 方法时不进行任何操作。到此为止, 结点10 的左子树已经全部遍历完毕,接着就要遍历其右子树,因此把 结点10.right 作为下一次调用 preOrderNodes() 方法的根结点

    4. 此时就访问到了 结点15,并记录一下 50 10 5 15,再下一次就是遍历 结点15 的左右子树,但因为 结点15 的左右子树都为 null,所以在调用preOrderNodes() 方法时不进行任何操作。到此为止,结点50 的左子树已经全部遍历完毕了,接着就要遍历其右子树,因此把 结点50.right 作为下一次调用 preOrderNodes() 方法的根结点

    5. 此时就访问到了 结点70,并记录一下 50 10 5 15 70,再下一次就是遍历 结点15 的左右子树,但因为 结点15 的左右子树都为 null,所以在调用preOrderNodes() 方法时不进行任何操作。到此为止,结点50 的右子树也全部遍历完毕了。

    6. 因为整棵树的根节点的左右子树都遍历完了,所以先序遍历的操作也就完成了,最终结果就为 50 10 5 15 70

    (5)实现inOrder()方法

    inOrder()方法就是通过中序遍历的方式遍历整个二叉查找树,并返回遍历结果。该方法无需传入参数

    实现思路:

    1. 从根结点开始,按照 访问左子树 => 访问根节点 => 访问右子树 的顺序对各个结点进行访问
    2. 访问到结点时,执行回调函数 handle ,并将访问到的结点的 key 作为参数传入

    因为上边已经详细将结果中序遍历的全过程了,因此我们直接来看代码

    function BinarySearchTree() {
        // 属性
        this.root = null
    
    	// 结点构造函数
        function Node(key, value) {
            this.key = key
            this.value = value
            this.right = null
            this.left = null
        }
    
    	// 中序遍历并返回结果(外部函数)
        BinarySearchTree.prototype.inOrder = function(handle) {
    
            // 从二叉查找树的根结点开始遍历
            this.inOrderNodes(this.root, handle)
            
        }
    
        // 以中序遍历的方式遍历整个树(内部函数)
        BinarySearchTree.prototype.inOrderNodes = function(node, handle) {
            if(node !== null) {
            	// 遍历左子树
                this.inOrderNodes(node.left, handle)
                // 将根结点的 key传给回调函数处理
                handle(node.key)
                // 遍历右子树
                this.inOrderNodes(node.right, handle)
            }
        }
    }
    

    因为树结构的三种遍历方式思想都一样,只不过是遍历的顺序有所差别,这里我就不再花大篇幅来讲解整个遍历过程了,直接来使用一下代码,核对一下结果是否准确

    let bst = new BinarySearchTree()
    
    bst.insert(50)
    bst.insert(10)
    bst.insert(70)
    bst.insert(5)
    bst.insert(15)
    
    let str = ''
    bst.inOrder(function(key) {
    	str += `${key} `
    })   
    
    console.log(str)                 // 5 10 15 50 70
    

    验证了一下,结果是正确的

    (6)实现postOrder()方法

    postOrder()方法就是通过后序遍历的方式遍历整个二叉查找树,并返回遍历结果。该方法无需传入参数

    实现思路:

    1. 从根结点开始,按照 访问左子树 => 访问右子树 => 访问根结点 的顺序对各个结点进行访问
    2. 访问到结点时,执行回调函数 handle ,并将访问到的结点的 key 作为参数传入

    因为上边已经详细将结果后序遍历的全过程了,因此我们直接来看代码

    function BinarySearchTree() {
        // 属性
        this.root = null
    
    	// 结点构造函数
        function Node(key, value) {
            this.key = key
            this.value = value
            this.right = null
            this.left = null
        }
    
    	// 后序遍历并返回结果(外部函数)
        BinarySearchTree.prototype.postOrder = function(handle) {
    
            // 从二叉查找树的根结点开始遍历
            this.postOrderNodes(this.root, handle)
            
        }
    
        // 以后序遍历的方式遍历整个树(内部函数)
        BinarySearchTree.prototype.postOrderNodes = function(node, handle) {
            if(node !== null) {
            	// 访问左子树
                this.postOrderNodes(node.left, handle)
                // 访问右子树
                this.postOrderNodes(node.right, handle)
                // 将根结点的 key传给回调函数处理
                handle(node.key)
            }
        }
    }
    

    因为树结构的三种遍历方式思想都一样,只不过是遍历的顺序有所差别,这里我就不再花大篇幅来讲解整个遍历过程了,直接来使用一下代码,核对一下结果是否准确

    let bst = new BinarySearchTree()
    
    bst.insert(50)
    bst.insert(10)
    bst.insert(70)
    bst.insert(5)
    bst.insert(15)
    
    let str = ''
    bst.postOrder(function(key) {
    	str += `${key} `
    })   
    
    console.log(str)               // 5 15 10 70 50
    

    验证了一下,结果是正确的

    (7)实现getMax()方法

    getMax()方法就是找到二叉查找树中 key 值最大的结点,并返回该结点对象

    实现思路: 该方法思路比较简单,因为二叉查找树越大的值都是往右走的,即 key值较大的结点都是其父结点的右子结点,因此我们可以从整个二叉查找树的根节点开始,一直向右查找,即 node.right,直到 node.right === null,该结点就为这个二叉查找树中 key值最大的结点

    我们来直接看一下代码吧

    function BinarySearchTree() {
        // 属性
        this.root = null
    
    	// 结点构造函数
        function Node(key, value) {
            this.key = key
            this.value = value
            this.right = null
            this.left = null
        }
    
    	// 获取二叉树中的最大值
        BinarySearchTree.prototype.getMax = function() {
        	// 从根结点开始遍历
            let node = this.root
    
    		// 一直向二叉查找树的的右边遍历,直到结点没有右子结点
            while(node.right !== null) {
                node = node.right
            }
    
    		// 返回 key值最大的结点对象
            return node
        }
    }
    

    我们来使用一下该方法

    let bst = new BinarySearchTree()
    
    bst.insert(50)
    bst.insert(10)
    bst.insert(70)
    bst.insert(5)
    bst.insert(15)
    bst.insert(60)
    bst.insert(80)
    bst.insert(13)
    bst.insert(12)
    bst.insert(14)
    bst.insert(19)
    bst.insert(20)
    bst.insert(16)
    bst.insert(17)
    
    console.log(bst.getMax())
    // Node { key: 80, value: null, right: null, left: null }
    

    可以看到,最终结果确实返回了 key值最大的结点,为 结点80

    (8)实现getMin()方法

    getMin()方法就是找到二叉查找树中 key 值最小的结点,并返回该结点对象

    实现思路: 该方法思路比较简单,因为二叉查找树越小的值都是往左走的,即 key值较小的结点都是其父结点的左子结点,因此我们可以从整个二叉查找树的根节点开始,一直向左查找,即 node.left,直到 node.left === null,该结点就为这个二叉查找树中 key值最小的结点

    我们来直接看一下代码吧

    function BinarySearchTree() {
        // 属性
        this.root = null
    
    	// 结点构造函数
        function Node(key, value) {
            this.key = key
            this.value = value
            this.right = null
            this.left = null
        }
    
    	// 获取二叉树中的最小值
        BinarySearchTree.prototype.getMin = function() {
        	// 从二叉查找树的根结点开始遍历
            let node = this.root
            // 一直向二叉查找树的左边遍历,直到结点没有左子结点
            while(node.left !== null) {
                node = node.left
            }
            // 返回 key值最小的结点对象
            return node
        }
    }
    

    我们来使用一下该方法

    let bst = new BinarySearchTree()
    
    bst.insert(50)
    bst.insert(10)
    bst.insert(70)
    bst.insert(5)
    bst.insert(15)
    bst.insert(60)
    bst.insert(80)
    bst.insert(13)
    bst.insert(12)
    bst.insert(14)
    bst.insert(19)
    bst.insert(20)
    bst.insert(16)
    bst.insert(17)
    
    console.log(bst.getMin())
    // Node { key: 5, value: null, right: null, left: null }
    

    可以看到,最终结果确实返回了 key值最小的结点,为 结点5

    (9)实现search()方法

    search()方法就是查找二叉查找树中指定的 key对应的结点的 value 值。该方法接收一个参数,即需要查找的结点的 key

    实现思路: 从二叉查找树的根节点 root 开始遍历,用我们的参数 key1 与遍历到的结点的 key2 进行比较,若 key1 > key2,则向右继续遍历 ;若 key1 < key2,则向左继续遍历 ;若 key1 === key2,则返回该结点的 value 值 ;若遍历到最后,找不到任何结点了,则返回 false

    我们来看一下实现代码

    function BinarySearchTree() {
        // 属性
        this.root = null
    
    	// 结点构造函数
        function Node(key, value) {
            this.key = key
            this.value = value
            this.right = null
            this.left = null
        }
    
    	// 查找指定的 key对应的数据
        BinarySearchTree.prototype.search = function(key) {
    		// 1. 从二叉查找树的根结点开始遍历
            let node = this.root
    		
    		// 2. 一直与遍历到的结点的 key值进行比较
            while(node !== null) {
            	// 查找的 key值大于当前结点 key值
                if(key > node.key) {
                    node = node.right
                }
                // 查找的 key值小于当前结点 key值 
                else if(key < node.key) {
                    node = node.left
                }
                // 查找到对应 key值的结点 
                else {
                    return node.value
                }
            }
    		// 未找到对应 key值的结点
            return false
        }
    }
    

    因为这个方法要返回结点的 value 值,因此这里我们就给每个结点赋值一定的 value

    let bst = new BinarySearchTree()
    
    bst.insert(50, '我是结点50')
    bst.insert(10, '我是结点10')
    bst.insert(70, '我是结点70')
    bst.insert(5, '我是结点5')
    bst.insert(15, '我是结点15')
    bst.insert(60, '我是结点60')
    bst.insert(80, '我是结点80')
    bst.insert(13, '我是结点13')
    bst.insert(12, '我是结点12')
    bst.insert(14, '我是结点14')
    bst.insert(19, '我是结点19')
    bst.insert(20, '我是结点20')
    bst.insert(16, '我是结点16')
    bst.insert(17, '我是结点17')
    
    console.log(bst.search(13))   // 我是结点13
    console.log(bst.search(50))   // 我是结点50
    console.log(bst.search(99))   // false
    

    (10)实现remove()方法

    remove()方法就是用来移除二叉查找树中指定 key 值的结点。该方法需要接收一个参数 key

    总的来说,在二叉查找树的封装中,我认为 remove() 方法应该算是需要考虑情况最最最最最多的,并且需要一定技巧的方法,因此我们先不着急封装,先来观察二叉查找树,如图

    在这里插入图片描述

    放眼望去,我们可以把结点先总的分成三种类型

    1. 叶子结点(没有子结点)
    2. 只有一个子结点(左子结点或右子结点)
    3. 有两个子结点

    同时,这三种情况就是我们在封装 remove() 方法时要考虑的三种情况,我们来分别研究一下

    • 删除的结点为叶子结点

    假设我们要删除 结点14 ,因为该结点为叶子结点,后面没有其它结点,所以直接删除它不会对后续结点造成影响,即将 结点14 的父节点 结点13 的右子结点设置为 null ,如图

    在这里插入图片描述

    • 删除的结点只有一个子结点

    假设我们要删除的结点为 结点5 ,该结点只有一个右子结点,那么我们只需要用 结点5 的右子结点来代替 结点5 原本的位置,因为 结点5 下面的所有结点肯定都小于 结点10,因此我们只需要将 结点10 的左子结点设置成 结点7 ,如图

    在这里插入图片描述
    同样的,如果我们要删除 结点15 ,也是只需要用其子结点来代替其原来的位置即可,如图
    在这里插入图片描述

    • 删除的结点有两个子结点

    假设我们要删除的结点为 结点10 ,它有两个子结点,且子结点后面还有好多结点。当 结点10 被移除以后,该位置上应该有一个比其左子结点 结点5 以及后面所有结点还要大,同时比其右子结点 结点15 以及后面所有结点还要小的结点,这样的结点怎么找呢?

    这里我给大家一个思路,此时我们有两种选择

    1. 第一种选择就是去 结点10 的左子树里找,找到左子树里 key 值最大的一个结点,在本例中,最大的结点肯定就是 结点7 了,然后我们用 结点7 代替 结点10 的位置,这样就能保证该位置上结点的 key 值大于左子树里所有结点的 key 值,又能保证小于右子树里所有结点的 key 值了。同时我们不能忘记了,结点7 也有它自己的子结点,但能保证的是它一定没有右子结点,因为如果 结点7 还有右子结点,那么 结点7 就不是最大的结点了,所以我们只需要考虑它有无左子结点即可。
      在这里插入图片描述

    2. 第二种选择自然就是去 结点10 的右子树里去找了,找到右子树里 key 值最小的一个结点,在本例中,最小的结点肯定是 结点13 了,然后我们也一样的用 结点13 代替 结点10 的位置,这样就能保证该位置上结点的 key 值大于左子树里所有结点的 key 值,又能保证小于右子树里所有结点的 key 值了。至于 结点13 的子结点如何处理,想必应该不用我再过多重复了吧
      在这里插入图片描述

    这就是 remove() 方法要考虑的三种情况了,接下来我们来讲解一下整个方法的实现思路

    实现思路:

    1. 先遍历整个二叉查找树,找到我们要删除的结点 node ,同时创建变量 parentdirection 分别记录结点 node 的父节点 以及结点node 属于其父节点的左结点还是右结点。若没有遍历到我们要删除的结点,则返回 false
    2. 若遍历到了要删除的结点 node ,则按上面提到三种情况分析结点 node 的类型,然后做出相应的处理,需要注意的是,无论分析哪种类型结点,我们还需要多做一步判断,那就是被删除结点是否为根节点 root

    好了,前面铺垫了那么多,现在我们来写一下代码吧,这里先申明一下,在面对被删除结点右两个子结点时,我选用的是我上面提到的第二种选择

    function BinarySearchTree() {
        // 属性
        this.root = null
    
    	// 结点构造函数
        function Node(key, value) {
            this.key = key
            this.value = value
            this.right = null
            this.left = null
        }
    
    	// 删除指定 key的数据
        BinarySearchTree.prototype.remove = function(key) {
            let node = this.root
            let parent = null
            let direction = ''
    
            // 1. 找到需要被删除的节点
            while(node !== null) {
                if(key < node.key) {
                    parent = node
                    direction = 'left'
                    node = node.left
                } else if(key > node.key) {
                    parent = node
                    direction = 'right'
                    node = node.right
                } else {
                    break;
                }
            }
    
            // 1.1 未找到对应节点,删除失败
            if(node === null) return false;
    
            // 1.2 找到对应节点
            // 2. 判断节点类型(叶子节点、只有一个子节点、有两个子节点)
    
            // 2.1 节点类型为叶子节点
            if(node.left === null && node.right === null) {
    
                if(node === this.root) {
                    this.root = null
                } else {
                    parent[direction] = null
                }
    
            } 
            
            // 2.2.1 节点只有一个右子节点
            else if(node.left === null) {
                if(node === this.root) {
                    this.root = this.root.right
                } else {
                    parent[direction] = node.right
                }
            } 
    
            // 2.2.2 节点只有一个左子节点
            else if(node.right === null) {
                if(node === this.root) {
                    this.root = this.root.left
                } else {
                    parent[direction] = node.left
                }
            } 
    
            // 2.3 节点有两个子节点
            else {
                let minNode = node.right
                let minNode_parent = node
                // 2.3.1 找到被删除节点右子节点的子孙节点中最小的节点
                while(minNode.left !== null) {
                    minNode_parent = minNode
                    minNode = minNode.left
                }
                
                // 2.3.2 判断 minNode是否有右子节点
                // 2.3.2.1 无右子节点
                if(minNode.right === null) {
                    if(node === this.root) {
                        this.root = minNode                 
                    } else {
                        parent[direction] = minNode      
                    }
                    minNode.left = node.left
                    minNode.right = node.right
                    minNode_parent.left = null      
                }
    
                // 2.3.2.2 有右子节点
                else {
                    if(node === this.root) {
                        this.root = minNode                
                    } else {
                        parent[direction] = minNode
                    }
                    minNode_parent.left = minNode.right
                    minNode.left = node.left
                    minNode.right = node.right      
                }
            }
            
        }    
    }
    

    这里我们仍然用上面提到的那个例子,因此先用 insert() 方法插入相应的结点

    let bst = new BinarySearchTree()
    
    bst.insert(50)
    bst.insert(10)
    bst.insert(70)
    bst.insert(5)
    bst.insert(15)
    bst.insert(7)
    bst.insert(6)
    bst.insert(13)
    bst.insert(14)
    bst.insert(60)
    bst.insert(80)
    
    let str = ''
    bst.preOrder(function(key) {
    	str += `${key} `
    })   
    
    console.log(str)         // 50 10 5 7 6 15 13 14 70 60 80
    

    我们采用先序遍历的方式,先验证二叉查找树的初始状态,此时的二叉树查找树如下图

    在这里插入图片描述

    • 删除结点6(叶子节点)
    bst.remove(6)
    
    let str = ''
    bst.preOrder(function(key) {
    	str += `${key} `
    })   
    
    console.log(str)         // 50 10 5 7 15 13 14 70 60 80
    

    在删除了 结点6 以后,先序遍历输出的结果为 50 10 5 7 15 13 14 70 60 80 ,还原成二叉查找树如下图

    在这里插入图片描述

    • 删除结点15(只有一个子结点)
    bst.remove(15)
    
    let str = ''
    bst.preOrder(function(key) {
    	str += `${key} `
    })   
    
    console.log(str)        // 50 10 5 7 6 13 14 70 60 80
    

    在删除了 结点15 以后,先序遍历输出的结果为 50 10 5 7 6 13 14 70 60 80 ,还原成二叉查找树如下图

    在这里插入图片描述

    • 删除结点10(有两个子结点)
    bst.remove(10)
    
    let str = ''
    bst.preOrder(function(key) {
    	str += `${key} `
    })   
    
    console.log(str)         // 50 13 5 7 6 15 14 70 60 80
    

    在删除了 结点10 以后,先序遍历输出的结果为 50 13 5 7 6 15 14 70 60 80 ,还原成二叉查找树如下图

    在这里插入图片描述

    • 删除根节点50(有两个子结点)
    bst.remove(50)
    
    let str = ''
    bst.preOrder(function(key) {
    	str += `${key} `
    })   
    
    console.log(str)         // 60 10 5 7 6 15 13 14 70 80
    

    在删除了 结点50 以后,先序遍历输出的结果为 60 10 5 7 6 15 13 14 70 80 ,还原成二叉查找树如下图

    在这里插入图片描述

    十三、结束语

    二叉查找树的讲解就到这里了,希望大家对二叉查找树有了更深一层的理解。下一篇文章我将讲解一下红黑树

    大家可以关注我,之后我还会一直更新别的数据结构与算法的文章来供大家学习,并且我会把这些文章放到【数据结构与算法】这个专栏里,供大家学习使用。

    然后大家可以关注一下我的微信公众号:前端印象,等这个专栏的文章完结以后,我会把每种数据结构和算法的笔记放到公众号上,大家可以去那获取。

    或者也可以去我的github上获取完整代码,欢迎大家点个Star

    我是Lpyexplore,创作不易,喜欢的加个关注,点个收藏,给个赞~ 带你们在Python爬虫的过程中学习Web前端

    展开全文
  • js树结构转数组 扁平化 树结构平铺

    tree数据扁平化

    /**
    * tree数据扁平化
    * 添加深度
    * 添加父级节点(不能添加,只能使用父节点ID,添加echart会爆栈)
    */
    flatTree(data, treeMap = [], depth = 0) {
     if (!(data && data.length)) return;
     depth++;
     return data.reduce((acc, cur) => {
       cur.depth = depth;
       acc.push(cur);
       if (cur.children && cur.children.length) {
         this.flatTree(cur.children, treeMap, depth);
       }
       return acc;
     }, treeMap);
    }
    

    tree 铺平方法

    // tree 铺平方法
    const getNodeMap = (node, parentNode) => {
      node.parentNode = parentNode;
      const nodeMap = [node];
      if (node.children && node.children.length) {
        node.children.forEach(item => nodeMap.push(...getNodeMap(item, node)));
      }
      return nodeMap;
    };
    
    export const getTreeMap = tree => {
      if (!(tree instanceof Array)) return;
      const treeMap = [];
      tree.forEach(node => {
        treeMap.push(...getNodeMap(node, tree));
      });
      return treeMap;
    };
    

    获取树结构下某个字段的集合

    const getProvilegeCode = data => {
      return data.reduce((acc, { resourceCode, children }) => {
        acc.push(resourceCode);
        if (children && children.length) acc.push(...getProvilegeCode(children));
        return acc;
      }, []);
    };
    const mutations = {
      updatePrivilege(state, data) {
        if (!(data.privilegeList && data.privilegeList.length)) return;
        state.privilegeCode = getProvilegeCode(data.privilegeList);
      }
    };
    

    倒序数据

    let list = [];
    for (let i = 0; i < chartsDaLi.length; i += 1) {
    	list[i] = chartsDaLi[chartsDaLi.length - i - 1];
    }
    
    展开全文
  • 树结构概述

    千次阅读 2020-04-06 10:26:50
    文章目录什么是树结构?简介为什么要使用树结构?树的基本概念根节点双亲节点路径节点的度节点的权叶子节点子树层树的高度森林 什么是树结构? 树是一种重要的非线性数据结构,直观地看,它是数据元素(在树中称为...

    什么是树结构?

    树是一种重要的非线性数据结构,直观地看,它是数据元素(在树中称为结点)按分支关系组织起来的结构,很象自然界中的树那样

    简介

    树结构在客观世界中广泛存在,如人类社会的族谱和各种社会组织机构都可用树形象表示。树在计算机领域中也得到广泛应用,如在编译源程序如下时,可用树表示源源程序如下的语法结构。又如在数据库系统中,树型结构也是信息的重要组织形式之一。一切具有层次关系的问题都可用树来描述

    比如下图就是一颗树结构,这张图倒过来看就会跟树一样
    在这里插入图片描述

    为什么要使用树结构?

    • 查找性能好
    • 插入性能好

    树的基本概念

    根节点

    这一个就是树的一个根节点,看树结构的时候一般都是从上往下看的
    在这里插入图片描述

    双亲节点

    在这里插入图片描述
    比如这样一幅图,A 是 C 和 D 的双亲节点,C 和 D 是 A 的子节点。同样地,B 是 E 和 F 的双亲节点,E 和 F 是 B 的子节点,下面的也是一样,以此类推

    路径

    在这里插入图片描述
    比如说我们查找 C 的话,那路径就是 A ——> B ——> C

    节点的度

    节点的度就是说看下这个节点有多少个子节点或者说子树,对于一个节点有多少个子节点我们就认为它的度是多少
    在这里插入图片描述
    在这幅图中

    • 对于 C 来说的话它的度就是 0,因为它没有子节点
    • 对于 A 节点来说它的度就是 3,因为 A 节点有三个子节点,分别是 B C D
    • 对于 B 节点来说它的度就是 2,因为 B 节点有两个子节点,分别是 E F
    • 对于 D 节点来说它的度也是 2,因为 D 节点有两个子节点,分别是 G H

    以此类推

    节点的权

    节点的权指的是我们往这个节点上面赋予的数值内容,简单地说就是这个节点里面存的数字
    在这里插入图片描述
    比如黄色框住的权是1,蓝色框住的权是2,灰色框住的权是3

    叶子节点

    叶子节点就是没有子节点的节点
    在这里插入图片描述
    比如这幅图,圈出来的都是叶子节点,因为他们没有子节点。就好比树的叶子一样,叶子怎么长出叶子呢对吧

    子树

    在这里插入图片描述
    比如这幅图,把黄色一块单独拿出来也可以作为一棵树,但是这黄色部分这棵树本身是在这一整棵树里边的,所以称为子树

    在这里插入图片描述
    比如这幅图里边的树就可以划分为四层

    树的高度

    树的高度也就是树的最大层数
    在这里插入图片描述

    森林

    比如我们把上面图中的树拆分,如下图所示
    在这里插入图片描述
    拆分之后就变成三棵树了,那么这三棵树就可以称为森林

    展开全文
  • 树结构大全

    千次阅读 多人点赞 2018-11-10 10:58:38
    文章目录说明树结构的一些基本定义树结构的性质二叉树二叉树的定义满二叉树与完全二叉树二叉树的性质结点定义二叉树的创建二叉树的遍历基于深度遍历二叉树基于层次遍历二叉树(方法一)基于层次遍历二叉树(方法二)...

    说明


    • 主要讲解二叉树及其相关内容
    • 次要说明其他树结构
    • 以后会进行不定期更新

    主要参考以下书籍

    • 程序员面试笔记
    • 慕课网:数据算法与结构
    • 其他…

    树结构的一些基本定义


    示意图

    树

    • 结点的度:结点拥有的子树的数目。eg:结点 A 的度为3
    • 树的度:树种各结点度的最大值。eg:树的度为3
    • 叶子结点:度为 0 的结点。g:E、F、C、G 为叶子结点
    • 孩子结点:一个结点的子树的根节点。eg:B、C、D 为 A 的子结点
    • 双亲结点:B 为 A 的子结点,那么 A 为 B 的双亲结点
    • 兄弟结点:一个双亲结点结点的孩子互为兄弟结点。eg:B、C、D 为兄弟结点
    • 结点的层次:根节点为第一层,子结点为第二层,依次向下递推…eg:E、F、G 的层次均为 3
    • 树的深度:树种结点的最大深度。eg:该树的深度为 3
    • 森林:m 棵互不相交的树称为森林

    树结构的性质


    1. 非空树的结点总数等于树种所有结点的度之和加 1
    2. 度为 K 的非空树的第 i 层最多有 ki-1 个结点(i >= 1)
    3. 深度为 h 的 k 叉树最多有(kh - 1)/(k - 1)个结点
    4. 具有 n 个结点的 k 叉树的最小深度为 logk(n(k-1)+1))

    二叉树(Binary-Tree)


    二叉树的定义

    二叉树是一种特殊的树:它或者为空,或者由一个根节点加上根节点的左子树和右子树组成,这里要求左子树和右子树互不相交,且同为二叉树,很显然,这个定义是递归形式的。

    满二叉树与完全二叉树

    满二叉树: 如果一棵二叉树的任意一个结点或者是叶子结点,或者有两棵子树,同时叶子结点都集中在二叉树的最下面一层上,这样的二叉树称为满二叉树

    完全二叉树: 若二叉树中最多只有最下面两层结点的度小于 2 ,并且最下面一层的结点(叶子结点)都依次排列在该层最左边的位置上,具有这样结构特点的树结构称为完全二叉树。

    在这里插入图片描述

    二叉树的性质

    1. 在二叉树中第 i 层上至多有 2i-1 个结点(i >=1)
    2. 深度为 k 的二叉树至多有 2k-1 个结点(k >=1)
    3. 对于任何一棵二叉树,如果其叶子结点数为 n0 ,度为 2 的结点数为 n2 ,那么 n0 = n2 + 1
    4. 具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 log2n + 1

    结点定义

    typedef struct BiTNode{
    	ElemType data;
    	struct BiTNode * lchild, * rchild;
    } BiTNode, *BiTree;
    

    二叉树的创建

    /*创建一棵二叉树*/
    void CreatBiTree(BiTree *T) {
        char c;
        scanf("%c", &c);
        if(c == ' ') *T = NULL;
        else {
            *T = (BiTNode * )malloc(sizeof(BiTNode));  /*创建根结点*/
            (*T)->data = c;    /*向根结点中输入数据*/
            CreatBiTree(&((*T)->lchild));  /*递归地创建左子树*/
            CreatBiTree(&((*T)->rchild));  /*递归地创建右子树*/
        }
    }
    

    二叉树的遍历

    基于深度遍历二叉树

    分为先序(DLR)、中序(LDR)、后序遍历(LRD)

    #include "stdio.h"
    #include "malloc.h"
    
    typedef struct BiTNode {
        char data;   /*结点的数据域*/
        struct BiTNode *lchild, *rchild;   /*指向左孩子和右孩子*/
    } BiTNode, *BiTree;
    
    /*创建一棵二叉树*/
    void CreatBiTree(BiTree *T) {
        char c;
        scanf("%c", &c);
        if(c == ' ') *T = NULL;
        else {
            *T = (BiTNode * )malloc(sizeof(BiTNode));  /*创建根结点*/
            (*T)->data = c;    /*向根结点中输入数据*/
            CreatBiTree(&((*T)->lchild));  /*递归地创建左子树*/
            CreatBiTree(&((*T)->rchild));  /*递归地创建右子树*/
        }
    }
    
    /*前序遍历二叉树*/
    void PreOrderTraverse(BiTree T ) {
        if(T) {  /*递归结束条件,T为空*/
            printf("%3c", T->data); /*访问根结点,将根结点内容输出*/
            PreOrderTraverse(T->lchild);  /*先序遍历T的左子树*/
            PreOrderTraverse(T->rchild);  /*先序遍历T的右子数*/
        }
    }
    
    /*中序遍历二叉树*/
    void InOrderTraverse(BiTree T) {
        if(T) {  /*如果二叉树为空,递归遍历结束*/
            InOrderTraverse(T->lchild);  /*中序遍历T的左子树*/
            printf("%3c", T->data);      /*访问根结点*/
            InOrderTraverse(T->rchild);  /*中序遍历T的右子数*/
        }
    }
    
    /*后序遍历二叉树*/
    void PosOrderTraverse(BiTree T) {
        if(T) {  /*如果二叉树为空,递归遍历结束*/
            PosOrderTraverse(T->lchild);  /*后序遍历T的左子树*/
            PosOrderTraverse(T->rchild);  /*后序遍历T的右子数*/
            printf("%3c", T->data);       /*访问根结点*/
        }
    }
    
    
    int main() {
        BiTree T = NULL;  /*最开始T指向空*/
        printf("Input some characters to create a binary tree\n");
        CreatBiTree(&T);  /*创建二叉树*/
        printf("The squence of preorder traversaling binary tree\n");
        PreOrderTraverse(T); /*先序遍历二叉树*/
        printf("\nThe squence of inorder traversaling binary tree\n");
        InOrderTraverse(T);  /*中序遍历二叉树*/
        printf("\nThe squence of posorder traversaling binary tree\n");
        PosOrderTraverse(T); /*后序遍历二叉树*/
        getchar();
        getchar();
    }
    

    基于层次遍历二叉树

    方法一

    #include "stdio.h"
    
    typedef struct BiTNode {
       char data;   /*结点的数据域*/
       struct BiTNode *lchild, *rchild;   /*指向左孩子和右孩子*/
    } BiTNode, *BiTree;
    
    /*创建一棵二叉树*/
    void CreatBiTree(BiTree *T) {
       char c;
       scanf("%c", &c);
       if(c == ' ') *T = NULL;
       else {
          *T = (BiTNode * )malloc(sizeof(BiTNode));  /*创建根结点*/
          (*T)->data = c;    /*向根结点中输入数据*/
          CreatBiTree(&((*T)->lchild));  /*递归地创建左子树*/
          CreatBiTree(&((*T)->rchild));  /*递归地创建右子树*/
       }
    }
    
    /*遍历二叉树*/
    void PreOrderTraverse(BiTree T ) {
       if(T) {  /*递归结束条件,T为空*/
          printf("%3c", T->data); /*访问根结点,将根结点内容输出*/
          PreOrderTraverse(T->lchild);  /*先序遍历T的左子树*/
          PreOrderTraverse(T->rchild);  /*先序遍历T的右子数*/
       }
    }
    
    void visit(BiTree p) {
       printf("%3c", p->data);
    }
    
    void layerOrderTraverse(BiTree T) {
       BiTree queue[20], p;
       int front, rear;
       if(T != NULL) {
          queue[0] = T;       /*将根结点的指针(地址)入队列*/
          front = -1;
          rear = 0;
          while(front < rear) {   /*当队列不为空时进入循环*/
             p = queue[++front]; /*取出队头元素*/
             visit(p);       /*访问p指向的结点元素*/
             if(p->lchild != NULL) /*将p结点的左孩子结点指针入队列*/
                queue[++rear] = p->lchild;
             if(p->rchild != NULL) /*将p结点的右孩子结点指针入队列*/
                queue[++rear] = p->rchild;
          }
       }
    }
    
    main() {
       BiTree T = NULL;  /*最开始T指向空*/
       printf("Input some characters to create a binary tree\n");
       CreatBiTree(&T);  /*创建二叉树*/
    
       printf("\nThe squence of layerorder traversaling binary tree\n");
       layerOrderTraverse(T);
       getchar();
       getchar();
    }
    

    方法二

    void layerOrderTraverse(BiTree T){
    	BiTree p;
    	queue<BiTree> q;
    	if(T != NULL){
    		q.push(T);
    		while(!q.empty()){
    			p = q.front();
    			q.pop();
    			visit(p);  // 自定义访问操作
    			if(p->lchild != NULL)
    				q.push(p->lchild);
    			if(p->rchild != NULL)
    				q.push(p->rchild);
    		}
    	}
    }
    

    二叉树的深度

    方法一

    #include "stdio.h"
    #include "malloc.h"
    
    typedef struct BiTNode{
        char data;   /*结点的数据域*/
        struct BiTNode *lchild , *rchild;  /*指向左孩子和右孩子*/
    } BiTNode , *BiTree;
    
    /*创建一棵二叉树*/
    void CreatBiTree(BiTree *T)
    {
        char c;
        scanf("%c",&c);
        if(c == ' ') *T = NULL;
        else{
           *T = (BiTNode * )malloc(sizeof(BiTNode));  /*创建根结点*/
            (*T)->data = c;    /*向根结点中输入数据*/
            CreatBiTree(&((*T)->lchild));  /*递归地创建左子树*/
            CreatBiTree(&((*T)->rchild));  /*递归地创建右子树*/
        }
    }
    
    /*计算二叉树的深度*/
    void getDepth(BiTree T,int n,int *level)
    {
       if(T!=NULL)
       {
            if(n> *level)
            {
                *level = n;
            }
            getDepth(T->lchild,n+1,level);
            getDepth(T->rchild,n+1,level);
       }
    }
    
    int getBitreeDepth(BiTree T)
    {
        int level = 0;
        int n = 1;
        getDepth(T,n,&level);
        return level ;
    }
    
    main()
    {
        BiTree T = NULL;    /*最开始T指向空*/
        printf("Input some characters to create a binary tree \n");
        CreatBiTree(&T);    /*创建二叉树*/
        printf("\nThe depth of the binary tree is %d\n",getBitreeDepth(T));
        getchar() ;
    	getchar() ;
    }
    

    方法二

    int getBitreeDepth(BiTree T){
    	int leftHeight, rightHeight, maxHeight;
    	if(T != NULL){
    		leftHeight = getBitreeDepth(T->lchild);  // 计算左子树的深度
    		rightHeight = getBitreeDepth(T->rchild);  // 计算右子树的深度
    		maxHeight = leftHeight > rightHeight ? leftHeight : rightHeight;  // 比较左右子树的深度
    		return maxHeight + 1;  // 返回二叉树的深度
    	else{
    		return 0;
    	}
    }
    

    二叉树叶子结点个数

    #include "string.h" 
    #include "stdio.h" 
    #include "malloc.h"
    
    typedef struct BiTNode{
        char data;   /*结点的数据域*/
        struct BiTNode *lchild , *rchild;  /*指向左孩子和右孩子*/
    } BiTNode , *BiTree;
    
    void CreatBiTree(BiTree *T){
        char c;
        scanf("%c",&c);
        if(c == ' ') *T = NULL;
        else{
           *T = (BiTNode * )malloc(sizeof(BiTNode));  /*创建根结点*/
            (*T)->data = c;    /*向根结点中输入数据*/
            CreatBiTree(&((*T)->lchild));  /*递归地创建左子树*/
            CreatBiTree(&((*T)->rchild));  /*递归地创建右子树*/
        }
    }
    
    void getLeavesConut (BiTree T,int *count){
        if(T!=NULL && T->lchild==NULL && T->rchild==NULL){   /*访问到叶结点*/
            *count = *count + 1;
        }
        if(T){
            getLeavesConut (T->lchild,count);  /*先序遍历T的左子树*/
            getLeavesConut (T->rchild,count);  /*先序遍历T的右子数*/
        }
    }
    
    int getBiTreeLeavesCount(BiTree T) {
    	int count = 0;				/*在主调函数中定义变量count,初始值为0*/
    	getLeavesConut(T, &count);	/*调用递归函数getLeavesConut计算叶子结点个数*/
    	return count;				/*返回叶子结点个数*/
    }
    
    main()
    {
       BiTree T = NULL;				/*初始化T */
       int count = 0;
       printf("Input some characters to create a binary tree \n");
       CreatBiTree(&T);				/*创建一棵二叉树*/
       getLeavesConut (T,&count);	/*计算二叉树中叶子结点的个数 */
       printf("The number of leaves of BTree are %d\n",count);
       getchar();
       getchar();
    }
    

    二叉排序树(Binary-Sort-Tree)


    什么是二叉排序树

    二又排序树或者为一棵空树,或者是具有下列性质的二又树:

    1. 若它的左子树不为空,则左子树上的所有结点的值均小于根结点的值
    2. 若它的右子树不为空,则右子树上的所有结点的值均大于根节点的值
    3. 二叉排序树的左右子树也都是二叉排序树

    在这里插入图片描述

    二叉排序树的查找

    BiTree SearchBST(BiTree T, dataTYpe){
    	if(T == NULL)
    		return NULL;
    	if(T->data == key)
    		return T;
    	if(key < T->data)
    		return SearchBST(T-> lchild, key);
    	else
    		return SearchBST(T-> rchild, key);
    }
    

    最低公共祖先

    在这里插入图片描述

    分析

    从整棵二又排序树的根结点出发,
    当访间的当前结点同时大于给定的两个结点时、沿左指前进;
    当访间的当前结点同时小于給定的两个结点时,沿右指针前进;
    当第一次访问到介于给定的两个结点值之间的那个结点时即是它们的最低公共祖先结点

    然鹅,这个算法并不完善,因为这个算法适用的前提是给定的两个结点分别位于二叉排序树中某个结点的左右子树上

    假设给定的两个结点分别为a和b,并且 a 是 b 的祖先,那么结点 a 和 b 的最低公共祖先就是 a 的父结点,因为 a 的父结点一定也是 b 的祖先,同时该结点也必然是 a 和 b 的最低公共祖先。

    另外,如果给定的 a 或 b 其中一个为根结点的值,那么这种情况是不存在公共最低祖先的,因为根结点没有祖先,所以也应把这种情况考虑进去。

    #include "stdio.h"
    #include "malloc.h"
    #include "string.h"
    
    typedef struct BiTNode{
        int data;   /*结点的数据域*/
        struct BiTNode *lchild;
        struct BiTNode *rchild;  /*指向左孩子和右孩子*/
    } BiTNode , *BiTree;
    
    int findLowestCommonAncestor(BiTree T,int value1, int value2) {
    	BiTree curNode = T;  /*curNode为当前访问结点,初始化为T*/
    	if(T->data == value1 || T->data == value2) {
    		return -1;    /*value1和value2有一个为根结点,因此没有公共祖先,返回-1*/
    	}
    	while(curNode != NULL){
    		if (curNode->data > value1 &&
    			curNode->data > value2 && curNode->lchild->data != value1 &&
    			curNode->lchild->data != value2) {
    /*当前结点的值同时大于value1和value2,且不是value1和value2的父结点*/
    				curNode = curNode->lchild;  
    		} else if (curNode->data < value1 &&
    			curNode->data < value2 && curNode->rchild->data != value1 &&
    			curNode->rchild->data != value2) {
    /*当前结点的值同时小于value1和value2,且不是value1和value2的父结点*/
    				curNode = curNode->rchild;
    		} else {
    			return curNode->data;	/*找到最低公共祖先*/
    		}
    	}
    }
    
    void CreatBiTree(BiTree *T){
        int d;
        scanf("%d",&d);
        if(d == 0) *T = NULL;
        else{
           *T = (BiTNode * )malloc(sizeof(BiTNode));  /*创建根结点*/
            (*T)->data = d;    /*向根结点中输入数据*/
            CreatBiTree(&((*T)->lchild));  /*递归地创建左子树*/
            CreatBiTree(&((*T)->rchild));  /*递归地创建右子树*/
        }
    }
    
    main()
    {
    	BiTree T;
    	int value1,value2;
    	int ancestorValue;
    	printf("Please create a binary sort tree\n");
    	CreatBiTree(&T);
    	printf("Input two values for searching lowest common ancestor\n");
    	scanf("%d,%d",&value1,&value2);
    	ancestorValue = findLowestCommonAncestor(T,value1,value2);
    	if (ancestorValue != -1) {
    		printf("The  lowest common ancestor is %d\n", ancestorValue);
    	} else {
    		printf("There is no ancestor\n");
    	}
    	getchar();
    }
    

    二叉排序树 VS 二叉堆(Binary-Heap)


    在这里插入图片描述

    两者的相同点与不同点

    相同点

    二叉堆也是一种树结构

    不同点

    1. 任何一个结点都不大于父亲节点(亦即左右结点均不大于父节点)
    2. 必须是一棵完全二叉树(结点必须集中在最左侧),亦即最大堆
    3. 用数组存储二叉堆,原因在于满二叉树的结点索引存在倍数关系

    在这里插入图片描述

    关系描述为:左结点是父节点的 2 倍,右结点为父节点的 2 倍 加 1(根结点的序列为 1)

    二叉堆主要表现为最大堆(Max-Heap),主要涉及以下内容

    最大堆的一些基本操作(Max-Heap)

    • 创建
    • 删除
    • 元素个数
    • 插入
    • 堆顶元素
    • 最大元素
    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    
    using namespace std;
    
    template<typename Item>
    class MaxHeap{
    
    private:
        Item *data;
        int count;
        int capacity;
    
        void shiftUp(int k){
            while( k > 1 && data[k/2] < data[k] ){
                swap( data[k/2], data[k] );
                k /= 2;
            }
        }
    
        void shiftDown(int k){
            while( 2*k <= count ){
                int j = 2*k;
                if( j+1 <= count && data[j+1] > data[j] ) j ++;
                if( data[k] >= data[j] ) break;
                swap( data[k] , data[j] );
                k = j;
            }
        }
    
    public:
    
        // 构造函数, 构造一个空堆, 可容纳capacity个元素
        MaxHeap(int capacity){
            data = new Item[capacity+1];
            count = 0;
            this->capacity = capacity;
        }
    
        // 构造函数, 通过一个给定数组创建一个最大堆
        // 该构造堆的过程, 时间复杂度为O(n)
        MaxHeap(Item arr[], int n){
            data = new Item[n+1];
            capacity = n;
    
            for( int i = 0 ; i < n ; i ++ )
                data[i+1] = arr[i];
            count = n;
    
            for( int i = count/2 ; i >= 1 ; i -- )
                shiftDown(i);
        }
    
        ~MaxHeap(){
            delete[] data;
        }
    
        // 返回堆中的元素个数
        int size(){
            return count;
        }
    
        // 返回一个布尔值, 表示堆中是否为空
        bool isEmpty(){
            return count == 0;
        }
    
        // 像最大堆中插入一个新的元素 item
        void insert(Item item){
            assert( count + 1 <= capacity );
            data[count+1] = item;
            shiftUp(count+1);
            count ++;
        }
    
        // 从最大堆中取出堆顶元素, 即堆中所存储的最大数据
        Item extractMax(){
            assert( count > 0 );
            Item ret = data[1];
            swap( data[1] , data[count] );
            count --;
            shiftDown(1);
            return ret;
        }
    
        // 获取最大堆中的堆顶元素
        Item getMax(){
            assert( count > 0 );
            return data[1];
        }
    };
    

    最大索引堆(Max-Heap-Index)

    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    
    using namespace std;
    
    // 最大索引堆
    template<typename Item>
    class IndexMaxHeap{
    
    private:
        Item *data;     // 最大索引堆中的数据
        int *indexes;   // 最大索引堆中的索引, indexes[x] = i 表示索引i在x的位置
        int *reverse;   // 最大索引堆中的反向索引, reverse[i] = x 表示索引i在x的位置
    
        int count;
        int capacity;
    
        // 索引堆中, 数据之间的比较根据data的大小进行比较, 但实际操作的是索引
        void shiftUp( int k ){
    
            while( k > 1 && data[indexes[k/2]] < data[indexes[k]] ){
                swap( indexes[k/2] , indexes[k] );
                reverse[indexes[k/2]] = k/2;
                reverse[indexes[k]] = k;
                k /= 2;
            }
        }
    
        // 索引堆中, 数据之间的比较根据data的大小进行比较, 但实际操作的是索引
        void shiftDown( int k ){
    
            while( 2*k <= count ){
                int j = 2*k;
                if( j + 1 <= count && data[indexes[j+1]] > data[indexes[j]] )
                    j += 1;
    
                if( data[indexes[k]] >= data[indexes[j]] )
                    break;
    
                swap( indexes[k] , indexes[j] );
                reverse[indexes[k]] = k;
                reverse[indexes[j]] = j;
                k = j;
            }
        }
    
    public:
        // 构造函数, 构造一个空的索引堆, 可容纳capacity个元素
        IndexMaxHeap(int capacity){
    
            data = new Item[capacity+1];
            indexes = new int[capacity+1];
            reverse = new int[capacity+1];
            for( int i = 0 ; i <= capacity ; i ++ )
                reverse[i] = 0;
    
            count = 0;
            this->capacity = capacity;
        }
    
        ~IndexMaxHeap(){
            delete[] data;
            delete[] indexes;
            delete[] reverse;
        }
    
        // 返回索引堆中的元素个数
        int size(){
            return count;
        }
    
        // 返回一个布尔值, 表示索引堆中是否为空
        bool isEmpty(){
            return count == 0;
        }
    
        // 向最大索引堆中插入一个新的元素, 新元素的索引为i, 元素为item
        // 传入的i对用户而言,是从0索引的
        void insert(int i, Item item){
            assert( count + 1 <= capacity );
            assert( i + 1 >= 1 && i + 1 <= capacity );
    
            // 再插入一个新元素前,还需要保证索引i所在的位置是没有元素的。
            assert( !contain(i) );
    
            i += 1;
            data[i] = item;
            indexes[count+1] = i;
            reverse[i] = count+1;
            count++;
    
            shiftUp(count);
        }
    
        // 从最大索引堆中取出堆顶元素, 即索引堆中所存储的最大数据
        Item extractMax(){
            assert( count > 0 );
    
            Item ret = data[indexes[1]];
            swap( indexes[1] , indexes[count] );
            reverse[indexes[count]] = 0;
            reverse[indexes[1]] = 1;
            count--;
            shiftDown(1);
            return ret;
        }
    
        // 从最大索引堆中取出堆顶元素的索引
        int extractMaxIndex(){
            assert( count > 0 );
    
            int ret = indexes[1] - 1;
            swap( indexes[1] , indexes[count] );
            reverse[indexes[count]] = 0;
            reverse[indexes[1]] = 1;
            count--;
            shiftDown(1);
            return ret;
        }
    
        // 获取最大索引堆中的堆顶元素
        Item getMax(){
            assert( count > 0 );
            return data[indexes[1]];
        }
    
        // 获取最大索引堆中的堆顶元素的索引
        int getMaxIndex(){
            assert( count > 0 );
            return indexes[1]-1;
        }
    
        // 看索引i所在的位置是否存在元素
        bool contain( int i ){
            assert( i + 1 >= 1 && i + 1 <= capacity );
            return reverse[i+1] != 0;
        }
    
        // 获取最大索引堆中索引为i的元素
        Item getItem( int i ){
            assert( contain(i) );
            return data[i+1];
        }
    
        // 将最大索引堆中索引为i的元素修改为newItem
        void change( int i , Item newItem ){
    
            assert( contain(i) );
            i += 1;
            data[i] = newItem;
    
            // 找到indexes[j] = i, j表示data[i]在堆中的位置
            // 之后shiftUp(j), 再shiftDown(j)
    //        for( int j = 1 ; j <= count ; j ++ )
    //            if( indexes[j] == i ){
    //                shiftUp(j);
    //                shiftDown(j);
    //                return;
    //            }
    
            // 有了 reverse 之后,
            // 我们可以非常简单的通过reverse直接定位索引i在indexes中的位置
            shiftUp( reverse[i] );
            shiftDown( reverse[i] );
        }
    };
    

    堆排序

    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    
    // 优化的shiftDown过程, 使用赋值的方式取代不断的swap,
    // 该优化思想和我们之前对插入排序进行优化的思路是一致的
    template<typename T>
    void __shiftDown(T arr[], int n, int k){
    
        T e = arr[k];
        while( 2*k+1 < n ){
            int j = 2*k+1;
            if( j+1 < n && arr[j+1] > arr[j] )
                j += 1;
    
            if( e >= arr[j] ) break;
    
            arr[k] = arr[j];
            k = j;
        }
    
        arr[k] = e;
    }
    
    // 不使用一个额外的最大堆, 直接在原数组上进行原地的堆排序
    template<typename T>
    void heapSort(T arr[], int n){
    
        // 注意,此时我们的堆是从0开始索引的
        // 从(最后一个元素的索引-1)/2开始
        // 最后一个元素的索引 = n-1
        for( int i = (n-1-1)/2 ; i >= 0 ; i -- )
            __shiftDown2(arr, n, i);
    
        for( int i = n-1; i > 0 ; i-- ){
            swap( arr[0] , arr[i] );
            __shiftDown(arr, i, 0);
        }
    }
    

    二分搜索树(Binary-Search-Tree)


    什么是二分搜索树

    二分搜索树具有以下特点

    • 依然是一棵二叉树
    • 每个结点大与左孩子
    • 每个结点大于右孩子
    • 以左右孩子为根的子树仍然是二分搜索树
    • 不存在相同的结点
    • 不一定是完全二叉树
    • 用 Node 结点来表示

    二分搜索树的一些基本操作

    • 创建
    • 删除
    • 结点个数
    • 插入
    • 判断是否存在一个元素
    • 前序遍历
    • 中序遍历
    • 后序遍历
    • 删除最大值
    • 删除最小值
    • 删除指定值
    #include <iostream>
    #include <queue>
    #include <cassert>
    
    using namespace std;
    
    // 二分搜索树
    template <typename Key, typename Value>
    class BST{
    
    private:
        // 树中的节点为私有的结构体, 外界不需要了解二分搜索树节点的具体实现
        struct Node{
            Key key;
            Value value;
            Node *left;
            Node *right;
    
            Node(Key key, Value value){
                this->key = key;
                this->value = value;
                this->left = this->right = NULL;
            }
    
            Node(Node *node){
                this->key = node->key;
                this->value = node->value;
                this->left = node->left;
                this->right = node->right;
            }
        };
    
        Node *root; // 根节点
        int count;  // 树中的节点个数
    
    public:
        // 构造函数, 默认构造一棵空二分搜索树
        BST(){
            root = NULL;
            count = 0;
        }
    
        // 析构函数, 释放二分搜索树的所有空间
        ~BST(){
            destroy( root );
        }
    
        // 返回二分搜索树的节点个数
        int size(){
            return count;
        }
    
        // 返回二分搜索树是否为空
        bool isEmpty(){
            return count == 0;
        }
    
        // 向二分搜索树中插入一个新的(key, value)数据对
        void insert(Key key, Value value){
            root = insert(root, key, value);
        }
    
        // 查看二分搜索树中是否存在键key
        bool contain(Key key){
            return contain(root, key);
        }
    
        // 在二分搜索树中搜索键key所对应的值。如果这个值不存在, 则返回NULL
        Value* search(Key key){
            return search( root , key );
        }
    
        // 二分搜索树的前序遍历
        void preOrder(){
            preOrder(root);
        }
    
        // 二分搜索树的中序遍历
        void inOrder(){
            inOrder(root);
        }
    
        // 二分搜索树的后序遍历
        void postOrder(){
            postOrder(root);
        }
    
        // 二分搜索树的层序遍历
        void levelOrder(){
    
            queue<Node*> q;
            q.push(root);
            while( !q.empty() ){
    
                Node *node = q.front();
                q.pop();
    
                cout<<node->key<<endl;
    
                if( node->left )
                    q.push( node->left );
                if( node->right )
                    q.push( node->right );
            }
        }
    
        // 寻找二分搜索树的最小的键值
        Key minimum(){
            assert( count != 0 );
            Node* minNode = minimum( root );
            return minNode->key;
        }
    
        // 寻找二分搜索树的最大的键值
        Key maximum(){
            assert( count != 0 );
            Node* maxNode = maximum(root);
            return maxNode->key;
        }
    
        // 从二分搜索树中删除最小值所在节点
        void removeMin(){
            if( root )
                root = removeMin( root );
        }
    
        // 从二分搜索树中删除最大值所在节点
        void removeMax(){
            if( root )
                root = removeMax( root );
        }
    
        // 从二分搜索树中删除键值为key的节点
        void remove(Key key){
            root = remove(root, key);
        }
    
    private:
        // 向以node为根的二分搜索树中, 插入节点(key, value), 使用递归算法
        // 返回插入新节点后的二分搜索树的根
        Node* insert(Node *node, Key key, Value value){
    
            if( node == NULL ){
                count ++;
                return new Node(key, value);
            }
    
            if( key == node->key )
                node->value = value;
            else if( key < node->key )
                node->left = insert( node->left , key, value);
            else    // key > node->key
                node->right = insert( node->right, key, value);
    
            return node;
        }
    
        // 查看以node为根的二分搜索树中是否包含键值为key的节点, 使用递归算法
        bool contain(Node* node, Key key){
    
            if( node == NULL )
                return false;
    
            if( key == node->key )
                return true;
            else if( key < node->key )
                return contain( node->left , key );
            else // key > node->key
                return contain( node->right , key );
        }
    
        // 在以node为根的二分搜索树中查找key所对应的value, 递归算法
        // 若value不存在, 则返回NULL
        Value* search(Node* node, Key key){
    
            if( node == NULL )
                return NULL;
    
            if( key == node->key )
                return &(node->value);
            else if( key < node->key )
                return search( node->left , key );
            else // key > node->key
                return search( node->right, key );
        }
    
        // 对以node为根的二分搜索树进行前序遍历, 递归算法
        void preOrder(Node* node){
    
            if( node != NULL ){
                cout<<node->key<<endl;
                preOrder(node->left);
                preOrder(node->right);
            }
        }
    
        // 对以node为根的二分搜索树进行中序遍历, 递归算法
        void inOrder(Node* node){
    
            if( node != NULL ){
                inOrder(node->left);
                cout<<node->key<<endl;
                inOrder(node->right);
            }
        }
    
        // 对以node为根的二分搜索树进行后序遍历, 递归算法
        void postOrder(Node* node){
    
            if( node != NULL ){
                postOrder(node->left);
                postOrder(node->right);
                cout<<node->key<<endl;
            }
        }
    
        // 释放以node为根的二分搜索树的所有节点
        // 采用后续遍历的递归算法
        void destroy(Node* node){
    
            if( node != NULL ){
                destroy( node->left );
                destroy( node->right );
    
                delete node;
                count --;
            }
        }
    
        // 返回以node为根的二分搜索树的最小键值所在的节点, 递归算法
        Node* minimum(Node* node){
            if( node->left == NULL )
                return node;
    
            return minimum(node->left);
        }
    
        // 返回以node为根的二分搜索树的最大键值所在的节点, 递归算法
        Node* maximum(Node* node){
            if( node->right == NULL )
                return node;
    
            return maximum(node->right);
        }
    
        // 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点, 递归算法
        // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
        Node* removeMin(Node* node){
    
            if( node->left == NULL ){
    
                Node* rightNode = node->right;
                delete node;
                count --;
                return rightNode;
            }
    
            node->left = removeMin(node->left);
            return node;
        }
    
        // 删除掉以node为根的二分搜索树中的最大节点, 递归算法
        // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
        Node* removeMax(Node* node){
    
            if( node->right == NULL ){
    
                Node* leftNode = node->left;
                delete node;
                count --;
                return leftNode;
            }
    
            node->right = removeMax(node->right);
            return node;
        }
    
        // 删除掉以node为根的二分搜索树中键值为key的节点, 递归算法
        // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
        Node* remove(Node* node, Key key){
    
            if( node == NULL )
                return NULL;
    
            if( key < node->key ){
                node->left = remove( node->left , key );
                return node;
            }
            else if( key > node->key ){
                node->right = remove( node->right, key );
                return node;
            }
            else{   // key == node->key
    
                if( node->left == NULL ){
                    Node *rightNode = node->right;
                    delete node;
                    count --;
                    return rightNode;
                }
    
                if( node->right == NULL ){
                    Node *leftNode = node->left;
                    delete node;
                    count--;
                    return leftNode;
                }
    
                // node->left != NULL && node->right != NULL
                Node *successor = new Node(minimum(node->right));
                count ++;
    
                successor->right = removeMin(node->right);
                successor->left = node->left;
    
                delete node;
                count --;
    
                return successor;
            }
        }
    };
    

    四叉树(Quad-Tree)


    什么是四叉树

    参考博客:四叉树空间索引原理及其实现

    四叉树索引的基本思想是将地理空间递归划分为不同层次的树结构。它将已知范围的空间等分成四个相等的子空间,如此递归下去,直至树的层次达到一定深度或者满足某种要求后停止分割。

    四叉树的结构比较简单,并且当空间数据对象分布比较均匀时,具有比较高的空间数据插入和查询效率,因此四叉树是GIS中常用的空间索引之一。

    常规四叉树的结构如图所示,地理空间对象都存储在叶子节点上,中间节点以及根节点不存储地理空间对象。

    在这里插入图片描述

    四叉树的一些应用

    参考博客:一个四叉树的简单实现

    参考博客:四叉树Quadtrees在游戏领域应用

    八叉树(Octree)


    参考博客:八叉树(Octree)

    参考博客:八叉树

    参考博客:八叉树及K-D树的应用和实现

    参考博客:图像量化法——八叉树算法

    kd 树(Kd-Tree)


    参考博客:Kd-Tree算法原理简析

    参考博客:KDTree

    参考博客:KD tree

    参考博客:详解 KDTree

    红黑树(Red-Black-Tree)


    参考博客:红黑树(一)之 原理和算法详细介绍

    参考博客:红黑树(二)之 C语言的实现

    参考博客:红黑树(三)之 Linux内核中红黑树的经典实现

    参考博客:红黑树(四)之 C++的实现

    参考博客:红黑树(六)之 参考资料

    哈夫曼树(Huffman-Tree)


    定义

    具有最小带权路径长度的二叉树称为哈夫曼树。

    参考博客:哈夫曼树

    参考博客:哈夫曼树与哈夫曼编码

    参考博客:哈夫曼树

    参考博客:哈夫曼树

    展开全文
  • 文章目录关于数据结构中树结构的相关分享一、传统的数据结构中的树结构1.1 二叉查找树1.2 平衡二叉树1.3 平衡二叉树之红黑树1.4 B 树1.5 B+树1.6 B* 树二、字典树 ( Trie树 )三、决策树(利用信息论的熵依靠决策树做...
  • MySQL 查询 树结构

    千次阅读 2019-06-28 16:25:15
    1. 关于树结构 此类结构的数据,通常需要表结构中含有id 、parentId等自关联字段,有时为了提高查询效率还可增加更多冗余字段,如index,index的值为所有父级目录的id字符串集合。 关于树结构数据的组装,常见的...
  • DOM树结构

    千次阅读 2017-11-12 11:26:49
    DOM树结构 1.所谓的DOM操作,操作是什么? 操作的是DOM树,进行增删改查。 (jq操作选择器获得节点) 2. 一般DOM树结构 父节点 兄弟节点 当前节点 属性节点 子节点 兄弟节点 3.绘制DOM树:childNodes,...
  • redis存储树结构数据

    千次阅读 2019-10-03 08:00:51
    本文主要讲解两方面内容:1.redis如何存储树结构数据。2.java操作redis时选取哪种序列化器。 redis如何存储树结构数据 先抛出结论,树结构数据在redis中的存储顺序如下: ...
  • MySQL 查询树结构

    千次阅读 2018-12-21 16:25:08
    MySQL 查询树结构 在 oracle 数据库中,通过 start with connect by prior 递归可以直接查出树结构,但是在 mysql 当中如何解决树查询问题呢? 思路: 我们可以通过自定义函数,遍历找出某一节点的所有子节点 (或者...
  • java处理树结构数据,操作csv文件

    万次阅读 2020-08-04 18:21:23
    CSV文件简介 Comma Separated Values,简称CSV,即逗号分隔值,是一种纯文本格式,用来存储数据。在CSV中,数据的字段由逗号分开。CSV文件是一个计算机...图2 树结构图 图3 处理后的树 现在树只有3、6、10、12、14
  • NLP中的树结构

    千次阅读 2017-08-26 14:07:24
    NLP中的树结构树结构的分类
  • * 向树结构中添加数据 * * @param object elements 元素信息 * ps: elements 是元素的element类整个对象 * * @returns bool */ setChildren (elements) { let isOk = false let catalog = this.elem...
  • Python 实现树结构

    万次阅读 多人点赞 2018-03-23 16:57:36
    自然界中的和计算机科学中的之间的区别在于数据结构的根在顶部,其叶在底部。 1 的相关定义 节点:的基本部分。它可以有一个名称,我们称之为“键”。节点也可以有附加信息。我们将这个附加信息称为...
  • 树结构的应用之基于树的索引结构介绍 转眼又七月份了。6月份后来就变成考试月了。因为图论要求写阅读报告,某天看数据库的空间索引时,又正好看到关于基于树的一些索引技术,于是产生了以此为主题写份阅读报告的...
  • go语言菜单树结构

    千次阅读 2018-07-26 11:29:08
    GO语言菜单树结构实现,Menu是数据库表映射。MenuTree是树结构菜单,目前只考虑2级菜单。后面附源码,亲测可用 package models import ( "github.com/astaxie/beego/orm" "time" ) ...
  • 最近项目用到了菜单树,想想菜单树等树结构在实际中应用还是挺广的,所以分析总结下。除了菜单树,还有权限树,商品分类列表也是树结构。 实际应用中的树结构树结构分析要说树结构中最具美感的应该是二叉树了,但是...
  • 使用递归方式过滤树结构

    千次阅读 2018-11-10 22:09:04
    使用递归方式过滤树结构 本文介绍使用递归方法过滤树数据结构。 需求 给定叶子节点,过滤树。下面通过示例说明。 示例数据结构: 0 / | \ 1 2 3 / \ | / \ 4 5 6 7 8 给定条件为:4 和 6,如果所有...
  • 红黑树结构完整实现与详解

    千次阅读 多人点赞 2018-06-27 00:01:08
    红黑树结构以平衡、高效的随机访问著称。实际使用过程中,其效率超出想象(节点数量越多,效率越高),大部分情况下查找的节点数量小于节点总量的二分之一,最长的查询路径也才是总量的二分之一加一个节点的距离。 ...
  • 总体就是图所表示所表示的转换,由数据库 => Java对象转换,代码比较简单 提供了两个查询方法: No.1 :Map<String,List<Tree>...arrMap= queryGroupToMap();//No.1(不推荐使用,运行时间较长) ...
  • 树结构性质简介

    千次阅读 2013-03-05 16:24:33
    不过我们平常用树结构时都是树的倒序结构,就是根在上,分支和叶子在下面.这符合我们从简单到复杂,从少到多的习惯性认知思维. 我们平常看到的书的目录是树结构,windows上文件系统是以树形结构展示的.面向对...
  • 树结构工具-TreeUtil(注解的方式实现) 将有树结构的集合封装为树结构 使用步骤: 1. 添加依赖 <dependency> <groupId>com.github.appundefined</groupId> <artifactId>treeUtils</...
  • python 实现树结构的七种遍历

    千次阅读 2018-06-03 07:58:21
    很好的复习树结构知识 python 实现树结构的七种遍历
  • react-native实现树结构选择组件

    千次阅读 热门讨论 2018-06-18 02:39:26
    react-native-tree-select,树结构选择组件 项目结构 --components: treeSelect组件 --treeSelectExample: 组件演示代码 --.gitignore:git忽略文件 --README.md:说明文档 Example usage: 1.基本用法 ...
  • 【实验】构造医院的树结构

    千次阅读 2019-12-09 19:28:11
    【实验】构造医院的树结构——Experiment 3 Calculating “The Sum of Its Parts”(4 hours)
  • 树结构 —— 二叉树的概述

    千次阅读 2020-04-07 10:17:04
    在计算机科学中,二叉树(英语:Binary tree)是每个节点最多只有两个分支(即不存在分支度大于2的节点)的树结构。通常分支被称作“左子树”或“右子树”。二叉树的分支具有左右次序,不能随意颠倒 二叉树的定义 ...
  • linux 查看文件树结构

    千次阅读 2018-09-14 08:56:33
    在linux下使用tree命令可以方便的查看指定目录下的文件树结构,但有些系统并未安装该命令,需要手动安装一下,下面以在Ubuntu的安装为例,其他linux系统类似。 在ubuntu下安装: 在接网络的情况下,在命令行中输入...
  • LigerUI 树结构代码示例

    千次阅读 2016-05-09 19:12:59
    LigerUI 树结构代码示例
  • js数组和树结构数据相互转换

    千次阅读 2019-07-10 17:06:04
    数组转树结构采取递归和非递归两种方式,树结构转扁平化数组采取深度优先遍历(递归和非递归两种方式)和广度优先遍历实现。 let arr =[ {id:2,name:'部门B',parentId:0}, {id:3,name:'部门C',parentId:1}, {id:1...
  • 需求:将具备树结构的线性表遍历出来,得到树形结构的对象 解决思路: 要不查询整条记录,要不查询具备树结构的部分数据。再通过具备树结构的部分数据,将整条记录封装到对象中 怎么查询具备树结构的部分数据 首先...
  • element解决树结构默认选中踩坑记录

    千次阅读 2019-07-22 17:04:17
    element解决树结构默认选中踩坑记录 碰到的一个离奇问题 tree这个组件子数据明明没有全部选中结果树结构的子节点,却显示全部选中了节点,后来发现是因为父节点的id出现了就默认子节点全部选中,所以就不能再用...

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 140,686
精华内容 56,274
关键字:

树结构