泊松分布

2021-05-24 22:20:39

一、泊松分布 日常生活中，大量事件是有固定频率的。某医院平均每小时出生3个婴儿某公司平均每10分钟接到1个电话某超市平均每天销售4包xx牌奶粉某网站平均每分钟有2次访问它们的特点就是，我们可以预估...

一、泊松分布

日常生活中，大量事件是有固定频率的。

某医院平均每小时出生3个婴儿
某公司平均每10分钟接到1个电话
某超市平均每天销售4包xx牌奶粉
某网站平均每分钟有2次访问

它们的特点就是，我们可以预估这些事件的总数，但是没法知道具体的发生时间。已知平均每小时出生3个婴儿，请问下一个小时，会出生几个？

有可能一下子出生6个，也有可能一个都不出生。这是我们没法知道的。

泊松分布就是描述某段时间内，事件具体的发生概率。

上面就是泊松分布的公式。等号的左边，P 表示概率，N表示某种函数关系，t 表示时间，n 表示数量，1小时内出生3个婴儿的概率，就表示为 P(N(1) = 3) 。等号的右边，λ 表示事件的频率。

接下来两个小时，一个婴儿都不出生的概率是0.25%，基本不可能发生。

接下来一个小时，至少出生两个婴儿的概率是80%。

泊松分布的图形大概是下面的样子。

可以看到，在频率附近，事件的发生概率最高，然后向两边对称下降，即变得越大和越小都不太可能。每小时出生3个婴儿，这是最可能的结果，出生得越多或越少，就越不可能。

二、指数分布

指数分布是事件的时间间隔的概率。下面这些都属于指数分布。

婴儿出生的时间间隔
来电的时间间隔
奶粉销售的时间间隔
网站访问的时间间隔

指数分布的公式可以从泊松分布推断出来。如果下一个婴儿要间隔时间 t ，就等同于 t 之内没有任何婴儿出生。

反过来，事件在时间 t 之内发生的概率，就是1减去上面的值。

接下来15分钟，会有婴儿出生的概率是52.76%。

接下来的15分钟到30分钟，会有婴儿出生的概率是24.92%。

指数分布的图形大概是下面的样子。

可以看到，随着间隔时间变长，事件的发生概率急剧下降，呈指数式衰减。想一想，如果每小时平均出生3个婴儿，上面已经算过了，下一个婴儿间隔2小时才出生的概率是0.25%，那么间隔3小时、间隔4小时的概率，是不是更接近于0？

三、总结

一句话总结：泊松分布是单位时间内独立事件发生次数的概率分布，指数分布是独立事件的时间间隔的概率分布。

请注意是"独立事件"，泊松分布和指数分布的前提是，事件之间不能有关联，否则就不能运用上面的公式。

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指数分布

如何通俗理解泊松分布？

万次阅读 多人点赞 2019-04-12 14:48:40

鉴于二项分布与泊松分布的关系，可以很自然的得到一个推论，当二项分布的很小的时候，两者比较接近： 7 总结这个故事告诉我们，要努力学习啊，要不以后馒头都没得卖。生活中还有很多泊松分布。...

1 甜在心馒头店

公司楼下有家馒头店：

每天早上六点到十点营业，生意挺好，就是发愁一个事情，应该准备多少个馒头才能既不浪费又能充分供应？

老板统计了一周每日卖出的馒头（为了方便计算和讲解，缩小了数据）：

$\begin{array}{c|c} \qquad\qquad&\qquad销售\qquad\\\hline\color{SkyBlue}{周一}& 3 \\ \hline \color{blue}{周二}& 7 \\ \hline \color{orange}{周三}&4\\\hline \color{Goldenrod}{周四}&6\\ \hline \color{green}{周五}&5\\\end{array}\\$

均值为：

$\overline{X}=\frac{3+7+4+6+5}{5}=5\\$

按道理讲均值是不错的选择（参见如何理解最小二乘法？），但是如果每天准备5个馒头的话，从统计表来看，至少有两天不够卖， $40\%$ 的时间不够卖：

$\begin{array}{c|c}\qquad\qquad&\qquad销售\qquad&\quad备货五个\\\hline\color{SkyBlue}{周一}& 3 \\\hline \color{blue}{周二}& 7&\color{red}{不够} \\ \hline \color{orange}{周三}&4\\ \hline \color{Goldenrod}{周四}&6&\color{red}{不够}\\\hline \color{green}{周五}&5\\\end{array}\\$

你“甜在心馒头店”又不是小米，搞什么饥饿营销啊？老板当然也知道这一点，就拿起纸笔来开始思考。

2 老板的思考

老板尝试把营业时间抽象为一根线段，把这段时间用 $T$ 来表示：

然后把周一的三个馒头（“甜在心馒头”，有褶子的馒头）按照销售时间放在线段上：

把 $T$ 均分为四个时间段：

此时，在每一个时间段上，要不卖出了（一个）馒头，要不没有卖出：

在每个时间段，就有点像抛硬币，要不是正面（卖出），要不是反面（没有卖出）：

$T$ 内卖出3个馒头的概率，就和抛了4次硬币（4个时间段），其中3次正面（卖出3个）的概率一样了。

这样的概率通过二项分布来计算就是：

$\binom{4}{3}p^3(1-p)^1\\$

但是，如果把周二的七个馒头放在线段上，分成四段就不够了：

从图中看，每个时间段，有卖出3个的，有卖出2个的，有卖出1个的，就不再是单纯的“卖出、没卖出”了。不能套用二项分布了。

解决这个问题也很简单，把 $T$ 分为20个时间段，那么每个时间段就又变为了抛硬币：

这样， $T$ 内卖出7个馒头的概率就是（相当于抛了20次硬币，出现7次正面）：

$\binom{20}{7}p^7(1-p)^{13}\\$

为了保证在一个时间段内只会发生“卖出、没卖出”，干脆把时间切成 $n$ 份：

$\binom{n}{7}p^7(1-p)^{n-7}\\$

越细越好，用极限来表示：

$\lim_{n\to\infty}\binom{n}{7}p^7(1-p)^{n-7}\\$

更抽象一点， $T$ 时刻内卖出 $k$ 个馒头的概率为：

$\lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\\$

3 $p$ 的计算

“那么”，老板用笔敲了敲桌子，“只剩下一个问题，概率 $p$ 怎么求？”

在上面的假设下，问题已经被转为了二项分布。二项分布的期望为：

$E(X)=np=\mu\\$

那么：

$p=\frac{\mu}{n}\\$

4 泊松分布

有了 $p=\frac{\mu}{n}$ 了之后，就有：

$\lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=\lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}\left(\frac{\mu}{n}\right)^k(1-\frac{\mu}{n})^{n-k}\\$

我们来算一下这个极限：

$\begin{align}\lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}\left(\frac{\mu}{n}\right)^k(1-\frac{\mu}{n})^{n-k}&= \lim_{n\to\infty}\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}\frac{\mu^k}{n^k}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{n-k}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{\mu^k}{k!}\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{-k}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^n\end{align}\\$

其中：

$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{-k}=1\\$

$\lim_{n \to \infty}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^n = e^{-\mu}\\$

所以：

$\lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}\left(\frac{\mu}{n}\right)^k(1-\frac{\mu}{n})^{n-k}=\frac{\mu^k}{k!}e^{-\mu}\\$

上面就是泊松分布的概率密度函数，也就是说，在 $T$ 时间内卖出 $k$ 个馒头的概率为：

$P(X=k)=\frac{\mu^k}{k!}e^{-\mu}\\$

一般来说，我们会换一个符号，让 $\mu=\lambda$ ，所以：

$P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\\$

这就是教科书中的泊松分布的概率密度函数。

5 馒头店的问题的解决

老板依然蹙眉，不知道 $\mu$ 啊？

没关系，刚才不是计算了样本均值：

$\overline{X}=5\\$

可以用它来近似：

$\overline{X}\approx\mu\\$

于是：

$P(X=k)=\frac{5^k}{k!}e^{-5}\\$

画出概率密度函数的曲线就是：

可以看到，如果每天准备8个馒头的话，那么足够卖的概率就是把前8个的概率加起来：

这样 $93\%$ 的情况够用，偶尔卖缺货也有助于品牌形象。

老板算出一脑门的汗，“那就这么定了！”

6 二项分布与泊松分布

鉴于二项分布与泊松分布的关系，可以很自然的得到一个推论，当二项分布的 $p$ 很小的时候，两者比较接近：

7 总结

这个故事告诉我们，要努力学习啊，要不以后馒头都没得卖。

生活中还有很多泊松分布。比如物理中的半衰期，我们只知道物质衰变一半的时间期望是多少，但是因为不确定性原理，我们没有办法知道具体哪个原子会在什么时候衰变？所以可以用泊松分布来计算。

还有比如交通规划等等问题。

顺着这个故事我们还可以讲解：如何理解指数分布？

文章最新版本在（有可能会有后续更新）：如何理解泊松分布？

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matlab泊松分布图,matlab画泊松分布图

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