泊松分布:

    历史上泊松分布式作为二项分布的近似，由法国数学家泊松引入。在实际中许多现象都服从泊松分布。从意义上说解决的问题是：“在特定时间内发生n个事件的概率”

    泊松分布满足如下公式：
$P(N(t) = n) = { ( \lambda t)^ne^{-\lambda t} \over n!}$
    等号左边P表示概率、N表示事件符合的函数关系、t表示为事件、n为数量、$\lambda$表示为频率。
    举例：接下来两个小时，一个婴儿都不出生的概率
$P(N(2) = 0) = {(3 \times 2)^0e^{-3 \times 2} \over 0!} \approx 0.25$
               接下来一个小时，至少出生两个婴儿的概率

$\begin{array}{l}
P(N(1) \geq 2) = 1-P(N(1)=1)-P(N(1)=0) \\ 
\quad \quad \quad \quad \quad \quad = 1-{(3 \times 1)^1e^{-3 \times 1} \over 1!}-{(3 \times 1)^0e^{-3 \times 1} \over 0!} \\
\quad \quad \quad \quad \quad \quad = 1-3e^{-3}-e^{-3}   \\
\quad \quad \quad \quad \quad \quad =1-4e^{-3}  \\
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \approx 0.8009
\end{array}$

    泊松分布的图形



    可以看到，在频率附近，事件的发生概率最高，然后向两边对称下降，即变得越大和越小都不太可能。每小时出生3个婴儿，这是最可能的结果，出生得越多或越少，就越不可能。
泊松分布产生的一般条件：

    在自然界和人们的现实生活中,经常要遇到在随机时刻出现的某种事件.我们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列,叫做随机事件流。若事件流具有平稳性、无后效性、普通性，则称该事件流为泊松事件流（泊松流）

平稳性：在任意时间区间内，事件发生k次(k≥0)的概率只依赖于区间长度而与区间端点无关.
无后效性：在不相重叠的时间段内，事件的发生是相互独立的.
普通型：如果时间区间充分小，事件出现两次或两次以上的概率可忽略不计.

1 甜在心馒头店

公司楼下有家馒头店：



每天早上六点到十点营业，生意挺好，就是发愁一个事情，应该准备多少个馒头才能既不浪费又能充分供应？

老板统计了一周每日卖出的馒头（为了方便计算和讲解，缩小了数据）：



均值为：



按道理讲均值是不错的选择（参见如何理解最小二乘法？），但是如果每天准备5个馒头的话，从统计表来看，至少有两天不够卖， 的时间不够卖：



你“甜在心馒头店”又不是小米，搞什么饥饿营销啊？老板当然也知道这一点，就拿起纸笔来开始思考。

2 老板的思考

老板尝试把营业时间抽象为一根线段，把这段时间用  来表示：



然后把周一的三个馒头（“甜在心馒头”，有褶子的馒头）按照销售时间放在线段上：



把  均分为四个时间段：



此时，在每一个时间段上，要不卖出了（一个）馒头，要不没有卖出：



在每个时间段，就有点像抛硬币，要不是正面（卖出），要不是反面（没有卖出）：



 内卖出3个馒头的概率，就和抛了4次硬币（4个时间段），其中3次正面（卖出3个）的概率一样了。

这样的概率通过二项分布来计算就是：



但是，如果把周二的七个馒头放在线段上，分成四段就不够了：



从图中看，每个时间段，有卖出3个的，有卖出2个的，有卖出1个的，就不再是单纯的“卖出、没卖出”了。不能套用二项分布了。

解决这个问题也很简单，把  分为20个时间段，那么每个时间段就又变为了抛硬币：



这样， 内卖出7个馒头的概率就是（相当于抛了20次硬币，出现7次正面）：



为了保证在一个时间段内只会发生“卖出、没卖出”，干脆把时间切成  份：



越细越好，用极限来表示：



更抽象一点， 时刻内卖出  个馒头的概率为：



3  的计算

“那么”，老板用笔敲了敲桌子，“只剩下一个问题，概率  怎么求？”

在上面的假设下，问题已经被转为了二项分布。二项分布的期望为：



那么：



4 泊松分布

有了 了之后，就有：



我们来算一下这个极限：



其中：



 



所以：



上面就是泊松分布的概率密度函数，也就是说，在  时间内卖出  个馒头的概率为：



一般来说，我们会换一个符号，让  ，所以：



这就是教科书中的泊松分布的概率密度函数。

5 馒头店的问题的解决

老板依然蹙眉，不知道  啊？

没关系，刚才不是计算了样本均值：



可以用它来近似：



于是：



画出概率密度函数的曲线就是：



可以看到，如果每天准备8个馒头的话，那么足够卖的概率就是把前8个的概率加起来：



这样  的情况够用，偶尔卖缺货也有助于品牌形象。

老板算出一脑门的汗，“那就这么定了！”

6 二项分布与泊松分布

鉴于二项分布与泊松分布的关系，可以很自然的得到一个推论，当二项分布的  很小的时候，两者比较接近：



7 总结

这个故事告诉我们，要努力学习啊，要不以后馒头都没得卖。

生活中还有很多泊松分布。比如物理中的半衰期，我们只知道物质衰变一半的时间期望是多少，但是因为不确定性原理，我们没有办法知道具体哪个原子会在什么时候衰变？所以可以用泊松分布来计算。

还有比如交通规划等等问题。

顺着这个故事我们还可以讲解：如何理解指数分布？

文章最新版本在（有可能会有后续更新）：如何理解泊松分布？

泊松分布 python
 Python-泊松分布 (Python - Poisson Distribution)
A Poisson distribution is a distribution which shows the likely number of times that an event will occur within a pre-determined period of time. It is used for independent events which occur at a constant rate within a given interval of time. The Poisson distribution is a discrete function, meaning that the event can only be measured as occurring or not as occurring, meaning the variable can only be measured in whole numbers.
 泊松分布是显示事件在预定时间段内可能发生的次数的分布。 它用于独立事件，这些事件在给定的时间间隔内以恒定的速率发生。 泊松分布是一个离散函数，意味着该事件只能按发生或不发生的方式进行度量，这意味着该变量只能按整数进行度量。 
We use the seaborn python library which has in-built functions to create such probability distribution graphs. Also the scipy package helps is creating the binomial distribution.
 我们使用具有内置功能的seaborn python库来创建此类概率分布图。 scipy软件包还有助于创建二项式分布。 

from scipy.stats import poisson
import seaborn as sb

data_binom = poisson.rvs(mu=4, size=10000)
ax = sb.distplot(data_binom,
                  kde=True,
                  color='green',
                  hist_kws={"linewidth": 25,'alpha':1})
ax.set(xlabel='Poisson', ylabel='Frequency')

Its output is as follows −
 其输出如下- 

翻译自: https://www.tutorialspoint.com/python_data_science/python_poisson_distribution.htm
泊松分布 python

一、功能
产生泊松分布的随机数。
二、方法简介
泊松分布的概率密度函数为
\[f(x)=\frac{\lambda ^{x}e^{-\lambda }}{x!} \qquad x\in \left \{ 0,1,...,\lambda  \right \}
\]
用\(P(\lambda)\)表示。泊松分布的均值为\(\lambda\)，方差为\(\lambda\)。
定理  若\(\lambda > 0\)，\(x\)是整数，\(u_i\)是(0，1)区间上均匀分布的随机数，即\(u_{i} \sim U(0, 1)\)，且有
\[\prod_{i=0}^{x}u_{i}\geqslant e^{-\lambda }> \prod_{i=0}^{x+1}u_{i}
\]
那么\(x\)是一个以\(\lambda\)为均值的泊松分布的随机变量。
产生泊松分布随机变量\(x\)的具体算法如下：
设\(b = 1,i=0\)；
产生均匀分布的随机数\(u_i\)，即\(u_{i} \sim U(0, 1)\)；
计算\(b\leftarrow bu_{i}\)；
如果\(b\geqslant e^{-\lambda }\)，那么\(i\leftarrow i+1\)，返回到2；
取\(x = i\)。
三、使用说明
是用C语言实现产生二项分布随机数的方法如下：
/************************************
lambda  ---泊松分布均值lambda
s       ---随机数种子
************************************/
#include "math.h"
#include "uniform.c"
int poisson(double lambda, long int *s)
{
int i;
int x;
double a;
double b;
double u;
a = exp(-lambda);
i = 0;
b = 1.0;
do{
u = uniform(0.0, 1.0, s);
b *= u;
i++;
}while(b >= a);
x = i - 1;
return(x);
}
uniform.c文件参见均匀分布的随机数