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Poisson分布,是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布,由法国数学家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-Denis Poisson)在1838年时发表。 展开全文
Poisson分布,是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布,由法国数学家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-Denis Poisson)在1838年时发表。
信息
外文名
poisson distribution
时    间
1838年
分    类
数学
期望E(x)
λ
台    译
卜瓦松分布
方差D(x)
λ
中文名
泊松分布
提    出
西莫恩·德尼·泊松
泊松分布命名原因
泊松分布(Poisson distribution),台译卜瓦松分布(法语:loi de Poisson,英语:Poisson distribution,译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等),是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布(discrete probability distribution)。泊松分布是以18~19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-Denis Poisson)命名的,他在1838年时发表。这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。
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问答
  • 泊松分布

    2021-05-24 22:20:39
    一、泊松分布 日常生活中,大量事件是有固定频率的。 某医院平均每小时出生3个婴儿 某公司平均每10分钟接到1个电话 某超市平均每天销售4包xx牌奶粉 某网站平均每分钟有2次访问 它们的特点就是,我们可以预估...

    一、泊松分布

    日常生活中,大量事件是有固定频率的。

    • 某医院平均每小时出生3个婴儿
    • 某公司平均每10分钟接到1个电话
    • 某超市平均每天销售4包xx牌奶粉
    • 某网站平均每分钟有2次访问

    它们的特点就是,我们可以预估这些事件的总数,但是没法知道具体的发生时间。已知平均每小时出生3个婴儿,请问下一个小时,会出生几个?

    0

    有可能一下子出生6个,也有可能一个都不出生。这是我们没法知道的。

    泊松分布就是描述某段时间内,事件具体的发生概率。

    0

    上面就是泊松分布的公式。等号的左边,P 表示概率,N表示某种函数关系,t 表示时间,n 表示数量,1小时内出生3个婴儿的概率,就表示为 P(N(1) = 3) 。等号的右边,λ 表示事件的频率。

    接下来两个小时,一个婴儿都不出生的概率是0.25%,基本不可能发生。

    0

    接下来一个小时,至少出生两个婴儿的概率是80%。

    0

    泊松分布的图形大概是下面的样子。

    0

    可以看到,在频率附近,事件的发生概率最高,然后向两边对称下降,即变得越大和越小都不太可能。每小时出生3个婴儿,这是最可能的结果,出生得越多或越少,就越不可能。

    二、指数分布

    指数分布是事件的时间间隔的概率。下面这些都属于指数分布。

    • 婴儿出生的时间间隔
    • 来电的时间间隔
    • 奶粉销售的时间间隔
    • 网站访问的时间间隔

    指数分布的公式可以从泊松分布推断出来。如果下一个婴儿要间隔时间 t ,就等同于 t 之内没有任何婴儿出生。

    0

    反过来,事件在时间 t 之内发生的概率,就是1减去上面的值。

    0

    接下来15分钟,会有婴儿出生的概率是52.76%。

    0

    接下来的15分钟到30分钟,会有婴儿出生的概率是24.92%。

    0

    指数分布的图形大概是下面的样子。

    0

    可以看到,随着间隔时间变长,事件的发生概率急剧下降,呈指数式衰减。想一想,如果每小时平均出生3个婴儿,上面已经算过了,下一个婴儿间隔2小时才出生的概率是0.25%,那么间隔3小时、间隔4小时的概率,是不是更接近于0?

    三、总结

    一句话总结:泊松分布是单位时间内独立事件发生次数的概率分布,指数分布是独立事件的时间间隔的概率分布。

    请注意是"独立事件",泊松分布和指数分布的前提是,事件之间不能有关联,否则就不能运用上面的公式。

    展开全文
  • 如何通俗理解泊松分布

    万次阅读 多人点赞 2019-04-12 14:48:40
    鉴于二项分布与泊松分布的关系,可以很自然的得到一个推论,当二项分布的   很小的时候,两者比较接近: 7 总结 这个故事告诉我们,要努力学习啊,要不以后馒头都没得卖。 生活中还有很多泊松分布。...

    1 甜在心馒头店

    公司楼下有家馒头店:

    每天早上六点到十点营业,生意挺好,就是发愁一个事情,应该准备多少个馒头才能既不浪费又能充分供应?

    老板统计了一周每日卖出的馒头(为了方便计算和讲解,缩小了数据):

    \begin{array}{c|c} \qquad\qquad&\qquad销售\qquad\\\hline\color{SkyBlue}{周一}& 3 \\ \hline \color{blue}{周二}& 7 \\ \hline \color{orange}{周三}&4\\\hline \color{Goldenrod}{周四}&6\\ \hline \color{green}{周五}&5\\\end{array}\\

    均值为:

    \overline{X}=\frac{3+7+4+6+5}{5}=5\\

    按道理讲均值是不错的选择(参见如何理解最小二乘法?),但是如果每天准备5个馒头的话,从统计表来看,至少有两天不够卖,40\% 的时间不够卖:

    \begin{array}{c|c}\qquad\qquad&\qquad销售\qquad&\quad备货五个\\\hline\color{SkyBlue}{周一}& 3 \\\hline \color{blue}{周二}& 7&\color{red}{不够} \\ \hline \color{orange}{周三}&4\\ \hline \color{Goldenrod}{周四}&6&\color{red}{不够}\\\hline \color{green}{周五}&5\\\end{array}\\

    你“甜在心馒头店”又不是小米,搞什么饥饿营销啊?老板当然也知道这一点,就拿起纸笔来开始思考。

    2 老板的思考

    老板尝试把营业时间抽象为一根线段,把这段时间用 T 来表示:

    然后把周一的三个馒头(“甜在心馒头”,有褶子的馒头)按照销售时间放在线段上:

    把 T 均分为四个时间段:

    此时,在每一个时间段上,要不卖出了(一个)馒头,要不没有卖出:

    在每个时间段,就有点像抛硬币,要不是正面(卖出),要不是反面(没有卖出):

    T 内卖出3个馒头的概率,就和抛了4次硬币(4个时间段),其中3次正面(卖出3个)的概率一样了。

    这样的概率通过二项分布来计算就是:

    \binom{4}{3}p^3(1-p)^1\\

    但是,如果把周二的七个馒头放在线段上,分成四段就不够了:

    从图中看,每个时间段,有卖出3个的,有卖出2个的,有卖出1个的,就不再是单纯的“卖出、没卖出”了。不能套用二项分布了。

    解决这个问题也很简单,把 T 分为20个时间段,那么每个时间段就又变为了抛硬币:

    这样,T 内卖出7个馒头的概率就是(相当于抛了20次硬币,出现7次正面):

    \binom{20}{7}p^7(1-p)^{13}\\

    为了保证在一个时间段内只会发生“卖出、没卖出”,干脆把时间切成 n 份:

    \binom{n}{7}p^7(1-p)^{n-7}\\

    越细越好,用极限来表示:

    \lim_{n\to\infty}\binom{n}{7}p^7(1-p)^{n-7}\\

    更抽象一点,T 时刻内卖出 k 个馒头的概率为:

    \lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\\

    3 p 的计算

    “那么”,老板用笔敲了敲桌子,“只剩下一个问题,概率 p 怎么求?”

    在上面的假设下,问题已经被转为了二项分布。二项分布的期望为:

    E(X)=np=\mu\\

    那么:

    p=\frac{\mu}{n}\\

    4 泊松分布

    有了 p=\frac{\mu}{n}了之后,就有:

    \lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=\lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}\left(\frac{\mu}{n}\right)^k(1-\frac{\mu}{n})^{n-k}\\

    我们来算一下这个极限:

    \begin{align}\lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}\left(\frac{\mu}{n}\right)^k(1-\frac{\mu}{n})^{n-k}&= \lim_{n\to\infty}\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}\frac{\mu^k}{n^k}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{n-k}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{\mu^k}{k!}\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{-k}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^n\end{align}\\

    其中:

    \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{-k}=1\\

     

    \lim_{n \to \infty}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^n = e^{-\mu}\\

    所以:

    \lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}\left(\frac{\mu}{n}\right)^k(1-\frac{\mu}{n})^{n-k}=\frac{\mu^k}{k!}e^{-\mu}\\

    上面就是泊松分布的概率密度函数,也就是说,在 T 时间内卖出 k 个馒头的概率为:

    P(X=k)=\frac{\mu^k}{k!}e^{-\mu}\\

    一般来说,我们会换一个符号,让 \mu=\lambda ,所以:

    P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\\

    这就是教科书中的泊松分布的概率密度函数。

    5 馒头店的问题的解决

    老板依然蹙眉,不知道 \mu 啊?

    没关系,刚才不是计算了样本均值:

    \overline{X}=5\\

    可以用它来近似:

    \overline{X}\approx\mu\\

    于是:

    P(X=k)=\frac{5^k}{k!}e^{-5}\\

    画出概率密度函数的曲线就是:

    可以看到,如果每天准备8个馒头的话,那么足够卖的概率就是把前8个的概率加起来:

    这样 93\% 的情况够用,偶尔卖缺货也有助于品牌形象。

    老板算出一脑门的汗,“那就这么定了!”

    6 二项分布与泊松分布

    鉴于二项分布与泊松分布的关系,可以很自然的得到一个推论,当二项分布的 p 很小的时候,两者比较接近:

    7 总结

    这个故事告诉我们,要努力学习啊,要不以后馒头都没得卖。

    生活中还有很多泊松分布。比如物理中的半衰期,我们只知道物质衰变一半的时间期望是多少,但是因为不确定性原理,我们没有办法知道具体哪个原子会在什么时候衰变?所以可以用泊松分布来计算。

    还有比如交通规划等等问题。

    顺着这个故事我们还可以讲解:如何理解指数分布?

    文章最新版本在(有可能会有后续更新):如何理解泊松分布?

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