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Poisson分布,是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布,由法国数学家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-Denis Poisson)在1838年时发表。 展开全文
Poisson分布,是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布,由法国数学家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-Denis Poisson)在1838年时发表。
信息
外文名
poisson distribution
时    间
1838年
分    类
数学
期望E(x)
λ
台    译
卜瓦松分布
方差D(x)
λ
中文名
泊松分布
提    出
西莫恩·德尼·泊松
泊松分布命名原因
泊松分布(Poisson distribution),台译卜瓦松分布(法语:loi de Poisson,英语:Poisson distribution,译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等),是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布(discrete probability distribution)。泊松分布是以18~19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-Denis Poisson)命名的,他在1838年时发表。这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。
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  • 泊松分布

    2019-12-08 11:26:15
    泊松分布:     历史上泊松分布式作为二项分布的近似,由法国数学家泊松引入。在实际中许多现象都服从泊松分布。从意义上说解决的问题是:“在特定时间内发生n个事件的概率”   &...

    泊松分布:
        历史上泊松分布式作为二项分布的近似,由法国数学家泊松引入。在实际中许多现象都服从泊松分布。从意义上说解决的问题是:“在特定时间内发生n个事件的概率”
        泊松分布满足如下公式:

    P(N(t)=n)=(λt)neλtn! P(N(t) = n) = { ( \lambda t)^ne^{-\lambda t} \over n!}

        等号左边P表示概率、N表示事件符合的函数关系、t表示为事件、n为数量、λ\lambda表示为频率。

        举例:接下来两个小时,一个婴儿都不出生的概率

    P(N(2)=0)=(3×2)0e3×20!0.25 P(N(2) = 0) = {(3 \times 2)^0e^{-3 \times 2} \over 0!} \approx 0.25

                   接下来一个小时,至少出生两个婴儿的概率

    P(N(1)2)=1P(N(1)=1)P(N(1)=0)=1(3×1)1e3×11!(3×1)0e3×10!=13e3e3=14e30.8009 \begin{array}{l} P(N(1) \geq 2) = 1-P(N(1)=1)-P(N(1)=0) \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad = 1-{(3 \times 1)^1e^{-3 \times 1} \over 1!}-{(3 \times 1)^0e^{-3 \times 1} \over 0!} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad = 1-3e^{-3}-e^{-3} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad =1-4e^{-3} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \approx 0.8009 \end{array}

        泊松分布的图形
    泊松分布图形

        可以看到,在频率附近,事件的发生概率最高,然后向两边对称下降,即变得越大和越小都不太可能。每小时出生3个婴儿,这是最可能的结果,出生得越多或越少,就越不可能。

    泊松分布产生的一般条件:
        在自然界和人们的现实生活中,经常要遇到在随机时刻出现的某种事件.我们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列,叫做随机事件流。若事件流具有平稳性、无后效性、普通性,则称该事件流为泊松事件流(泊松流)

    1. 平稳性:在任意时间区间内,事件发生k次(k≥0)的概率只依赖于区间长度而与区间端点无关.
    2. 无后效性:在不相重叠的时间段内,事件的发生是相互独立的.
    3. 普通型:如果时间区间充分小,事件出现两次或两次以上的概率可忽略不计.
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  • 如何通俗理解泊松分布

    万次阅读 多人点赞 2019-04-12 14:48:40
    1 甜在心馒头店 公司楼下有家馒头店: 每天早上六点到十点营业,生意挺好,就是发愁一个事情,应该准备多少个馒头才能既不浪费又能充分供应? 老板统计了一周每日卖出的馒头(为了方便计算和讲解,缩小了数据)...

    1 甜在心馒头店

    公司楼下有家馒头店:

    每天早上六点到十点营业,生意挺好,就是发愁一个事情,应该准备多少个馒头才能既不浪费又能充分供应?

    老板统计了一周每日卖出的馒头(为了方便计算和讲解,缩小了数据):

    \begin{array}{c|c} \qquad\qquad&\qquad销售\qquad\\\hline\color{SkyBlue}{周一}& 3 \\ \hline \color{blue}{周二}& 7 \\ \hline \color{orange}{周三}&4\\\hline \color{Goldenrod}{周四}&6\\ \hline \color{green}{周五}&5\\\end{array}\\

    均值为:

    \overline{X}=\frac{3+7+4+6+5}{5}=5\\

    按道理讲均值是不错的选择(参见如何理解最小二乘法?),但是如果每天准备5个馒头的话,从统计表来看,至少有两天不够卖,40\% 的时间不够卖:

    \begin{array}{c|c}\qquad\qquad&\qquad销售\qquad&\quad备货五个\\\hline\color{SkyBlue}{周一}& 3 \\\hline \color{blue}{周二}& 7&\color{red}{不够} \\ \hline \color{orange}{周三}&4\\ \hline \color{Goldenrod}{周四}&6&\color{red}{不够}\\\hline \color{green}{周五}&5\\\end{array}\\

    你“甜在心馒头店”又不是小米,搞什么饥饿营销啊?老板当然也知道这一点,就拿起纸笔来开始思考。

    2 老板的思考

    老板尝试把营业时间抽象为一根线段,把这段时间用 T 来表示:

    然后把周一的三个馒头(“甜在心馒头”,有褶子的馒头)按照销售时间放在线段上:

    把 T 均分为四个时间段:

    此时,在每一个时间段上,要不卖出了(一个)馒头,要不没有卖出:

    在每个时间段,就有点像抛硬币,要不是正面(卖出),要不是反面(没有卖出):

    T 内卖出3个馒头的概率,就和抛了4次硬币(4个时间段),其中3次正面(卖出3个)的概率一样了。

    这样的概率通过二项分布来计算就是:

    \binom{4}{3}p^3(1-p)^1\\

    但是,如果把周二的七个馒头放在线段上,分成四段就不够了:

    从图中看,每个时间段,有卖出3个的,有卖出2个的,有卖出1个的,就不再是单纯的“卖出、没卖出”了。不能套用二项分布了。

    解决这个问题也很简单,把 T 分为20个时间段,那么每个时间段就又变为了抛硬币:

    这样,T 内卖出7个馒头的概率就是(相当于抛了20次硬币,出现7次正面):

    \binom{20}{7}p^7(1-p)^{13}\\

    为了保证在一个时间段内只会发生“卖出、没卖出”,干脆把时间切成 n 份:

    \binom{n}{7}p^7(1-p)^{n-7}\\

    越细越好,用极限来表示:

    \lim_{n\to\infty}\binom{n}{7}p^7(1-p)^{n-7}\\

    更抽象一点,T 时刻内卖出 k 个馒头的概率为:

    \lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\\

    3 p 的计算

    “那么”,老板用笔敲了敲桌子,“只剩下一个问题,概率 p 怎么求?”

    在上面的假设下,问题已经被转为了二项分布。二项分布的期望为:

    E(X)=np=\mu\\

    那么:

    p=\frac{\mu}{n}\\

    4 泊松分布

    有了 p=\frac{\mu}{n}了之后,就有:

    \lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=\lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}\left(\frac{\mu}{n}\right)^k(1-\frac{\mu}{n})^{n-k}\\

    我们来算一下这个极限:

    \begin{align}\lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}\left(\frac{\mu}{n}\right)^k(1-\frac{\mu}{n})^{n-k}&= \lim_{n\to\infty}\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}\frac{\mu^k}{n^k}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{n-k}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{\mu^k}{k!}\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{-k}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^n\end{align}\\

    其中:

    \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^{-k}=1\\

     

    \lim_{n \to \infty}\left(1-\frac{\mu}{n}\right)^n = e^{-\mu}\\

    所以:

    \lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}\left(\frac{\mu}{n}\right)^k(1-\frac{\mu}{n})^{n-k}=\frac{\mu^k}{k!}e^{-\mu}\\

    上面就是泊松分布的概率密度函数,也就是说,在 T 时间内卖出 k 个馒头的概率为:

    P(X=k)=\frac{\mu^k}{k!}e^{-\mu}\\

    一般来说,我们会换一个符号,让 \mu=\lambda ,所以:

    P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\\

    这就是教科书中的泊松分布的概率密度函数。

    5 馒头店的问题的解决

    老板依然蹙眉,不知道 \mu 啊?

    没关系,刚才不是计算了样本均值:

    \overline{X}=5\\

    可以用它来近似:

    \overline{X}\approx\mu\\

    于是:

    P(X=k)=\frac{5^k}{k!}e^{-5}\\

    画出概率密度函数的曲线就是:

    可以看到,如果每天准备8个馒头的话,那么足够卖的概率就是把前8个的概率加起来:

    这样 93\% 的情况够用,偶尔卖缺货也有助于品牌形象。

    老板算出一脑门的汗,“那就这么定了!”

    6 二项分布与泊松分布

    鉴于二项分布与泊松分布的关系,可以很自然的得到一个推论,当二项分布的 p 很小的时候,两者比较接近:

    7 总结

    这个故事告诉我们,要努力学习啊,要不以后馒头都没得卖。

    生活中还有很多泊松分布。比如物理中的半衰期,我们只知道物质衰变一半的时间期望是多少,但是因为不确定性原理,我们没有办法知道具体哪个原子会在什么时候衰变?所以可以用泊松分布来计算。

    还有比如交通规划等等问题。

    顺着这个故事我们还可以讲解:如何理解指数分布?

    文章最新版本在(有可能会有后续更新):如何理解泊松分布?

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    泊松分布 python

    泊松分布 python

    Python-泊松分布 (Python - Poisson Distribution)

    A Poisson distribution is a distribution which shows the likely number of times that an event will occur within a pre-determined period of time. It is used for independent events which occur at a constant rate within a given interval of time. The Poisson distribution is a discrete function, meaning that the event can only be measured as occurring or not as occurring, meaning the variable can only be measured in whole numbers.

    泊松分布是显示事件在预定时间段内可能发生的次数的分布。 它用于独立事件,这些事件在给定的时间间隔内以恒定的速率发生。 泊松分布是一个离散函数,意味着该事件只能按发生或不发生的方式进行度量,这意味着该变量只能按整数进行度量。

    We use the seaborn python library which has in-built functions to create such probability distribution graphs. Also the scipy package helps is creating the binomial distribution.

    我们使用具有内置功能的seaborn python库来创建此类概率分布图。 scipy软件包还有助于创建二项式分布。

    
    from scipy.stats import poisson
    import seaborn as sb
    
    data_binom = poisson.rvs(mu=4, size=10000)
    ax = sb.distplot(data_binom,
                      kde=True,
                      color='green',
                      hist_kws={"linewidth": 25,'alpha':1})
    ax.set(xlabel='Poisson', ylabel='Frequency')
    
    

    Its output is as follows −

    输出如下-

    poissondist.png.png

    翻译自: https://www.tutorialspoint.com/python_data_science/python_poisson_distribution.htm

    泊松分布 python

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  • 一、功能产生泊松分布的随机数。二、方法简介泊松分布的概率密度函数为\[f(x)=\frac{\lambda ^{x}e^{-\lambda }}{x!} \qquad x\in \left \{ 0,1,...,\lambda \right \}\]用\(P(\lambda)\)表示。泊松分布的均值为\(\...

    一、功能

    产生泊松分布的随机数。

    二、方法简介

    泊松分布的概率密度函数为

    \[f(x)=\frac{\lambda ^{x}e^{-\lambda }}{x!} \qquad x\in \left \{ 0,1,...,\lambda \right \}

    \]

    用\(P(\lambda)\)表示。泊松分布的均值为\(\lambda\),方差为\(\lambda\)。

    定理 若\(\lambda > 0\),\(x\)是整数,\(u_i\)是(0,1)区间上均匀分布的随机数,即\(u_{i} \sim U(0, 1)\),且有

    \[\prod_{i=0}^{x}u_{i}\geqslant e^{-\lambda }> \prod_{i=0}^{x+1}u_{i}

    \]

    那么\(x\)是一个以\(\lambda\)为均值的泊松分布的随机变量。

    产生泊松分布随机变量\(x\)的具体算法如下:

    设\(b = 1,i=0\);

    产生均匀分布的随机数\(u_i\),即\(u_{i} \sim U(0, 1)\);

    计算\(b\leftarrow bu_{i}\);

    如果\(b\geqslant e^{-\lambda }\),那么\(i\leftarrow i+1\),返回到2;

    取\(x = i\)。

    三、使用说明

    是用C语言实现产生二项分布随机数的方法如下:

    /************************************

    lambda ---泊松分布均值lambda

    s ---随机数种子

    ************************************/

    #include "math.h"

    #include "uniform.c"

    int poisson(double lambda, long int *s)

    {

    int i;

    int x;

    double a;

    double b;

    double u;

    a = exp(-lambda);

    i = 0;

    b = 1.0;

    do{

    u = uniform(0.0, 1.0, s);

    b *= u;

    i++;

    }while(b >= a);

    x = i - 1;

    return(x);

    }

    uniform.c文件参见均匀分布的随机数

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  • 一、泊松分布问题:假设我每天接到骚扰电话的次数服从泊松分布,并且经统计平均每天我会接到20个骚扰电话。请问:1、我明天接到15个骚扰电话的概率?2、我明天接到24个骚扰电话以下的概率(包含24)?二、泊松分布公式...

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