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  • 算法学习笔记之一阶低通滤波算法

    万次阅读 多人点赞 2016-09-27 11:29:13
    1. 一阶滤波算法的原理 一阶滤波,又叫一阶惯性滤波,或一阶低通滤波。是使用软件编程实现普通硬件RC低通滤波器的功能。 一阶低通滤波的算法公式为: Y(n)=αX(n) (1-α)Y(n-1) 式中:α=滤波系数;X(n)=本次采样...

     

     1. 一阶滤波算法的原理 

    一阶滤波,又叫一阶惯性滤波,或一阶低通滤波。是使用软件编程实现普通硬件RC低通滤波器的功能。 

    一阶低通滤波的算法公式为:

                             Y(n)=αX(n) + (1-α)Y(n-1) 

     

      式中:α=滤波系数;X(n)=本次采样值;Y(n-1)=上次滤波输出值;Y(n)=本次滤波输出值。 

     

    一阶低通滤波法采用本次采样值与上次滤波输出值进行加权,得到有效滤波值,使得输出对输入有反馈作用。

     

     2. 一阶滤波算法的程序(适用于单个采样) 

    #define a   0.01                // 滤波系数a(0-1)
    
    char value;                    //滤波后的值
    char new_value;                 //  新的采样值
    
    char filter() 
    { 
    char new_value; 
    new_value = get_ad(); 
    return 0.01*value + (1-0.01)*new_value;
     }
    </pre><pre>

     

     

     

     

     

    3. 一阶滤波算法的不足 


    1. 关于灵敏度和平稳度的矛盾 

         

          滤波系数越小,滤波结果越平稳,但是灵敏度越低;

          滤波系数越大,灵敏度越高,但是滤波结果越不稳定。


         一阶滤波无法完美地兼顾灵敏度和平稳度。有时,我们只能寻找一个平衡,在可接受的灵敏度范围内取得尽可能好的平稳度。而在一些场合,我们希望拥有这样一种接近理想状态的滤波算法。即:

         当数据快速变化时,滤波结果能及时跟进(灵敏度优先);

         当数据趋于稳定,在一个固定的点上下振荡时,滤波结果能趋于平稳(平稳度优先)。

     

    2. 关于小数舍弃带来的误差 


       一阶滤波算法有一个鲜为人知的问题:小数舍弃带来的误差。 比如: 本次采样值=25,上次滤波结果=24,滤波系数=10, 根据滤波算法:

          本次滤波结果=(25*10+24*(256-10))/256=24.0390625 
       但是,我们在单片机运算中,很少采用浮点数。因此运算后的小数部分要么舍弃,要么进行四舍五入运算。这样一来,本例中的结果24.0390625就变成了24。假如每次采样值都=25,那么滤波结果永远=24。也就是说滤波结果和实际数据一直存在无法消除的误差。
     

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  • 1、算法介绍 中位值滤波算法的实现方法是采集N个周期的数据,去掉N个周期数据中的最大值和最小值,取剩下的数据的平均...优点:相比于平均值滤波算法,中位值滤波算法能够有效滤除偶然的脉冲干扰。 缺点:与平均...

    1、算法介绍

            中位值滤波算法的实现方法是采集N个周期的数据,去掉N个周期数据中的最大值和最小值,取剩下的数据的平均值。中位值滤波算法特别适用于会偶然出现异常值的系统。中位值滤波算法应用比较广泛,比如用于一些比赛的评分,经常是去掉一个最高分去掉一个最低分,将其他评分取平均值作为选手的最终得分。

    优点:相比于平均值滤波算法,中位值滤波算法能够有效滤除偶然的脉冲干扰。

    缺点:与平均值滤波算法相同,中位值滤波算法也存在反应速度慢、滞后的问题。

    2、实现代码

            下面的代码是中位值滤波的示例代码。

    float data[10];
    
    float middleFilter(float in_data)
    {
    	float sum = 0;
    	float temp[10];
    	float change;
    	int i,j;
    	//记录数据
    	for(i=0; i<9; i++)
    	{
    		data[i]=data[i+1];
    	}
    	data[9] = in_data;
    	//复制数据
    	for(i=0; i<10; i++)
    		temp[i] = data[i];
    	//冒泡法排序
    	for(i=1; i<10; i++)
    		for(j=0; j<10-i; j++)
    		{
    			if(temp[i] > temp[i+1])
    			{
    				change = temp[i];
    				temp[i] = temp[i+1];
    				temp[i+1] = change;
    			}
    		}
    	//求和
    	for(i=1; i<9; i++)
    		sum = sum + temp[i];
    	//返回平均值
    	return(sum/8);
    
    }
    

            在上面的代码中,分为几个步骤:

    步骤1:读取新数据,并更新数据数组;

    步骤2:复制数据到临时数组,以便保持原始数据的顺序不变;

    步骤3:对临时数组进行排序;

    步骤4:计算中位平均值。

    3、示例

            下面我们通过一个示例来体会中位值滤波的作用,滤波对象为车速信号,滤波效果如下图所示。图中,横轴为时间,单位:秒,纵轴为速度,单位km/h。其中,蓝色为滤波前的数据,红色为滤波后的数据。有图中可以看出,原始数据存在两个异常值,可能是采集过程的数据干扰或数据处理时的异常等原因造成的。采用中位值滤波算法可以有效滤波这种异常值造成的影响。

    相对于中位值滤波算法,平均值滤波算法则无法解决这个问题,如下图所示,为采用平均值滤波算法对相同的原始数据进行处理的效果,可以看到平均值滤波无法滤波异常值,而且异常值影响的时间比较长。

     

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  • 原始卡尔曼滤波算法(KF)、扩展卡尔曼滤波算法(EKF)以及无迹卡尔曼滤波算法(UKF)三者之间的区别? 原文:https://www.zhihu.com/question/22714163/answer/87629897 KF针对于线性高斯的情况,EKF针对于非...

    原始卡尔曼滤波算法(KF)、扩展卡尔曼滤波算法(EKF)以及无迹卡尔曼滤波算法(UKF)三者之间的区别?

    原文:https://www.zhihu.com/question/22714163/answer/87629897

     

    KF针对于线性高斯的情况,EKF针对于非线性高斯,其是将非线性部分进行一阶泰勒展开,因此忽 略了高阶项,误差较大,UKF是将UT变换与KF结合的产物,它的基础理念是接近一个非线性函数的 概率分布非接近其本身更简单。后两种卡尔曼是针对同一问题的不同思路的解决方案,其实UKF的 能力已经跳出了非线性高斯的范围,其也可以解决非高斯问题,只不过在这方面PF能做的更好,运 算量也更大。

     

    1.KF是线性滤波器,不多解释。2.说到非线性卡尔曼滤波器,是由贝叶斯滤波理论得出统一的理论框架:非线性卡尔曼滤波器的状态估计可等效为多维向量积分的计算。积分形式可表示为非线性函数x高斯概率密度函数。但该积分的闭式解很难求解,所以得对高斯加权的多维非线性函数的积分进行近似。近似主要分两大类:非线性函数的近似和高斯概率密度函数的近似。

    非线性函数的近似有基于泰勒级数展开的ekf,基于差分的DDF和多项式卡尔曼(比如 雪夫多项式等)。

    概率密度函数的近似主要有无迹变换(ukf),容积卡尔曼,中心差分卡尔曼,或是把协方差矩阵分解构成基于平方根的卡尔曼滤波器等。所以卡尔曼滤波器都是对后验密度做假设的次优估计。而粒子滤波,高斯混合滤波器,自适应网格点群滤波器等是不对后验概率密度做任何假设的最优估计。不过计算量挺大的。像基于ukf+srcdkf的位置状态估计,在进行时间更新的时候,就需要更新1700多个数据。要是采用粒子滤波计算量就更大……


    图说卡尔曼滤波,一份通俗易懂的教程

    原文:https://zhuanlan.zhihu.com/p/39912633

    作者:Bzarg

    编译:Bot

    编者按:卡尔曼滤波(Kalman filter)是一种高效的自回归滤波器,它能在存在诸多不确定性情况的组合信息中估计动态系统的状态,是一种强大的、通用性极强的工具。它的提出者,鲁道夫.E.卡尔曼,在一次访问NASA埃姆斯研究中心时,发现这种方法能帮助解决阿波罗计划的轨道预测问题,后来NASA在阿波罗飞船的导航系统中确实也用到了这个滤波器。最终,飞船正确驶向月球,完成了人类历史上的第一次登月。

    本文是国外博主Bzarg在2015年写的一篇图解。虽然是几年前的文章,但是动态定位、自动导航、时间序列模型、卫星导航——卡尔曼滤波的应用范围依然非常广。那么,作为软件工程师和机器学习工程师,你真的了解卡尔曼滤波吗?

    什么是卡尔曼滤波?

    对于这个滤波器,我们几乎可以下这么一个定论:只要是存在不确定信息的动态系统,卡尔曼滤波就可以对系统下一步要做什么做出有根据的推测。即便有噪声信息干扰,卡尔曼滤波通常也能很好的弄清楚究竟发生了什么,找出现象间不易察觉的相关性。

    因此卡尔曼滤波非常适合不断变化的系统,它的优点还有内存占用较小(只需保留前一个状态)、速度快,是实时问题和嵌入式系统的理想选择。

    如果你曾经Google过卡尔曼滤波的教程(如今有一点点改善),你会发现相关的算法教程非常可怕,而且也没具体说清楚是什么。事实上,卡尔曼滤波很简单,如果我们以正确的方式看它,理解是很水到渠成的事。

    本文会用大量清晰、美观的图片和颜色来解释这个概念,读者只需具备概率论和矩阵的一般基础知识。

    我们能用卡尔曼滤波做什么?

    让我们举个例子:你造了一个可以在树林里四处溜达的小机器人,为了让它实现导航,机器人需要知道自己所处的位置。

    也就是说,机器人有一个包含位置信息和速度信息的状态 [公式] :

    注意,在这个例子中,状态是位置和速度,放进其他问题里,它也可以是水箱里的液体体积、汽车引擎温度、触摸板上指尖的位置,或者其他任何数据。

    我们的小机器人装有GPS传感器,定位精度10米。虽然一般来说这点精度够用了,但我们希望它的定位误差能再小点,毕竟树林里到处都是土坑和陡坡,如果机器人稍稍偏了那么几米,它就有可能滚落山坡。所以GPS提供的信息还不够充分。

    我们也可以预测机器人是怎么移动的:它会把指令发送给控制轮子的马达,如果这一刻它始终朝一个方向前进,没有遇到任何障碍物,那么下一刻它可能会继续坚持这个路线。但是机器人对自己的状态不是全知的:它可能会逆风行驶,轮子打滑,滚落颠簸地形……所以车轮转动次数并不能完全代表实际行驶距离,基于这个距离的预测也不完美。

    这个问题下,GPS为我们提供了一些关于状态的信息,但那是间接的、不准确的;我们的预测提供了关于机器人轨迹的信息,但那也是间接的、不准确的。

    但以上就是我们能够获得的全部信息,在它们的基础上,我们是否能给出一个完整预测,让它的准确度比机器人搜集的单次预测汇总更高?用了卡尔曼滤波,这个问题可以迎刃而解。

    卡尔曼滤波眼里的机器人问题

    还是上面这个问题,我们有一个状态,它和速度、位置有关:

    我们不知道它们的实际值是多少,但掌握着一些速度和位置的可能组合,其中某些组合的可能性更高:

    卡尔曼滤波假设两个变量(在我们的例子里是位置和速度)都应该是随机的,而且符合高斯分布。每个变量都有一个均值 [公式] ,它是随机分布的中心;有一个方差 [公式] ,它衡量组合的不确定性。

    在上图中,位置和速度是不相关的,这意味着我们不能从一个变量推测另一个变量。

    那么如果位置和速度相关呢?如下图所示,机器人前往特定位置的可能性取决于它拥有的速度。

    这不难理解,如果基于旧位置估计新位置,我们会产生这两个结论:如果速度很快,机器人可能移动得更远,所以得到的位置会更远;如果速度很慢,机器人就走不了那么远。

    这种关系对目标跟踪来说非常重要,因为它提供了更多信息:一个可以衡量可能性的标准。这就是卡尔曼滤波的目标:从不确定信息中挤出尽可能多的信息!

    为了捕获这种相关性,我们用的是协方差矩阵。简而言之,矩阵的每个值是第 [公式] 个变量和第 [公式] 个变量之间的相关程度(由于矩阵是对称的, [公式] 和 [公式] 的位置可以随便交换)。我们用 [公式] 表示协方差矩阵,在这个例子中,就是 [公式] 。

    用矩阵描述问题

    为了把以上关于状态的信息建模为高斯分布(图中色块),我们还需要 [公式] 时的两个信息:最佳估计 [公式] (均值,也就是 [公式] ),协方差矩阵 [公式] 。(虽然还是用了位置和速度两个变量,但只要和问题相关,卡尔曼滤波可以包含任意数量的变量)

    接下来,我们要通过查看当前状态(k-1时)来预测下一个状态(k时)。这里我们查看的状态不是真值,但预测函数无视真假,可以给出新分布:

    我们可以用矩阵 [公式] 表示这个预测步骤:

    它从原始预测中取每一点,并将其移动到新的预测位置。如果原始预测是正确的,系统就会移动到新位置。

    这是怎么做到的?为什么我们可以用矩阵来预测机器人下一刻的位置和速度?下面是个简单公式:

    换成矩阵形式:

    这是一个预测矩阵,它能给出机器人的下一个状态,但目前我们还不知道协方差矩阵的更新方法。这也是我们要引出下面这个等式的原因:如果我们将分布中的每个点乘以矩阵A,那么它的协方差矩阵会发生什么变化

    把这个式子和上面的最佳估计 [公式] 结合,可得:

    外部影响

    但是,除了速度和位置,外因也会对系统造成影响。比如模拟火车运动,除了列车自驾系统,列车操作员可能会手动调速。在我们的机器人示例中,导航软件也可以发出停止指令。对于这些信息,我们把它作为一个向量 [公式] ,纳入预测系统作为修正。

    假设油门设置和控制命令是已知的,我们知道火车的预期加速度 [公式] 。根据运动学基本定理,我们可得:

    把它转成矩阵形式:

    [公式] 是控制矩阵, [公式] 是控制向量。如果外部环境异常简单,我们可以忽略这部分内容,但是如果添加了外部影响后,模型的准确率还是上不去,这又是为什么呢?

    外部不确定性

    当一个国家只按照自己的步子发展时,它会自生自灭。当一个国家开始依赖外部力量发展时,只要这些外部力量是已知的,我们也能预测它的存亡。

    但是,如果存在我们不知道的力量呢?当我们监控无人机时,它可能会受到风的影响;当我们跟踪轮式机器人时,它的轮胎可能会打滑,或者粗糙地面会降低它的移速。这些因素是难以掌握的,如果出现其中的任意一种情况,预测结果就难以保障。

    这要求我们在每个预测步骤后再加上一些新的不确定性,来模拟和“世界”相关的所有不确定性:

    如上图所示,加上外部不确定性后, [公式] 的每个预测状态都可能会移动到另一点,也就是蓝色的高斯分布会移动到紫色高斯分布的位置,并且具有协方差 [公式] 。换句话说,我们把这些不确定影响视为协方差 [公式] 的噪声。

    这个紫色的高斯分布拥有和原分布相同的均值,但协方差不同。

    我们在原式上加入 [公式] :

    简而言之,这里:

    [公式] 是基于 [公式] 和 [公式] 校正后得到的预测。

    [公式] 是基于 [公式] 和 [公式] 得到的预测。

    现在,有了这些概念介绍,我们可以把传感器数据输入其中。

    通过测量来细化估计值

    我们可能有好几个传感器,它们一起提供有关系统状态的信息。传感器的作用不是我们关心的重点,它可以读取位置,可以读取速度,重点是,它能告诉我们关于状态的间接信息——它是状态下产生的一组读数。

    请注意,读数的规模和状态的规模不一定相同,所以我们把传感器读数矩阵设为 [公式] 。

    把这些分布转换为一般形式:

    卡尔曼滤波的一大优点是擅长处理传感器噪声。换句话说,由于种种因素,传感器记录的信息其实是不准的,一个状态事实上可以产生多种读数。

    我们将这种不确定性(即传感器噪声)的协方差设为 [公式] ,读数的分布均值设为 [公式] 。

    现在我们得到了两块高斯分布,一块围绕预测的均值,另一块围绕传感器读数。

    如果要生成靠谱预测,模型必须调和这两个信息。也就是说,对于任何可能的读数 [公式] ,这两种方法预测的状态都有可能是准的,也都有可能是不准的。重点是我们怎么找到这两个准确率。

    最简单的方法是两者相乘:

    两块高斯分布相乘后,我们可以得到它们的重叠部分,这也是会出现最佳估计的区域。换个角度看,它看起来也符合高斯分布:

    事实证明,当你把两个高斯分布和它们各自的均值和协方差矩阵相乘时,你会得到一个拥有独立均值和协方差矩阵的新高斯分布。最后剩下的问题就不难解决了:我们必须有一个公式来从旧的参数中获取这些新参数!

    结合高斯

    让我们从一维看起,设方差为 [公式] ,均值为 [公式] ,一个标准一维高斯钟形曲线方程如下所示:

    那么两条高斯曲线相乘呢?

    把这个式子按照一维方程进行扩展,可得:

    如果有些太复杂,我们用k简化一下:

     

    以上是一维的内容,如果是多维空间,把这个式子转成矩阵格式:

    这个矩阵 [公式] 就是我们说的卡尔曼增益,easy!

    把它们结合在一起

    截至目前,我们有用矩阵 [公式] 预测的分布,有用传感器读数 [公式] 预测的分布。把它们代入上节的矩阵等式中:

    相应的,卡尔曼增益就是:

    考虑到 [公式] 里还包含着一个 [公式] ,我们再精简一下上式:

    最后, [公式] 是我们的最佳估计值,我们可以把它继续放进去做另一轮预测:

    希望这篇文章能对你有用!

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    1、算法介绍

            一阶滤波算法是比较常用的滤波算法,它的滤波结果=a*本次采样值+(1-a)*上次滤波结果,其中,a为0~1之间的数。一阶滤波相当于是将新的采样值与上次的滤波结果计算一个加权平均值。a的取值决定了算法的灵敏度,a越大,新采集的值占的权重越大,算法越灵敏,但平顺性差;相反,a越小,新采集的值占的权重越小,灵敏度差,但平顺性好。

    优点:对周期干扰有良好的抑制作用,适用于波动频率比较高的场合,它不用记录历史数据。

    缺点:滞后、灵敏度低。

    2、实现代码

            下面的代码是一阶滤波的示例代码。

    float final=0;
    float a=0.25;
    
    float firstOrderFilter(float in_data)
    {
    	final = a*in_data + (1-a)*final;	
    	return(final);
    }

            代码实现比较简单,与算法介绍中一致,在这里,a取值为0.25。

    3、示例

            下面我们通过一个示例来体会一阶滤波的作用,滤波对象为车速信号,滤波效果如下图所示。图中,横轴为时间,单位:秒,纵轴为速度,单位km/h。其中,蓝色为滤波前的数据,红色为滤波后的数据。有图中可以看出,滤波算法使原始信号变得平滑,但是带来了滞后。

     

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