精华内容
下载资源
问答
  • 相似矩阵
    2021-11-13 17:18:03



    相似矩阵


    定义

    A , B A,B A,B 都是 n n n 阶方阵,若存在可逆矩阵 T T T ,使
    B = T − 1 A T B=T^{-1}AT B=T1AT
    则称 A A A B B B 相似,称 A A A B B B 的这种变换为相似变换,称这个矩阵 T T T 为相似变换矩阵。

    A A A 与一个对角矩阵 D D D 相似,则称 A A A 可以相似对角化

    性质

    • 自反性
    • 对称性
    • 传递性

    定理

    A A A B B B 相似,则 A A A B B B 的特征多项式相同。

    推论

    • A A A B B B 相似,则 A A A B B B 的特征值相同。反之未必成立,即两个矩阵的特征值相同,他们不一定相似。
    • A A A B B B 相似,则 t r ( A ) = t r ( B ) tr(A) = tr(B) tr(A)=tr(B) ,且 ∣ A ∣ = ∣ B ∣ |A| = |B| A=B
    • n n n 阶方阵 A A A 与对角矩阵 D = d i a g ( λ 1 , λ 2 , … , λ n ) D=diag(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n) D=diag(λ1,λ2,,λn) 相似,则 λ 1 , λ 2 , … , λ n \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n λ1,λ2,,λn A A A n n n 个特征值。


    合同矩阵


    定义

    给定两个 n n n 阶方阵 A A A B B B ,如果存在可逆矩阵 C C C ,使得
    B = C ′ A C B=C'AC B=CAC
    则称 A A A B B B 合同。


    性质

    • 自反性
    • 对称性
    • 传递性

    推论

    对任一实对称矩阵 A A A ,存在正交矩阵 P P P ,使 P − 1 A P = P ′ A P = D P^{-1}AP = P'AP = D P1AP=PAP=D 为对角矩阵,因此,任一实对称矩阵都与对角矩阵合同



    更多相关内容
  • 基于L_(2,1)-范数距离的约束相似矩阵的聚类算法.pdf
  • 相似矩阵与二次型PPT学习教案.PPTx
  • 基于自相似矩阵的协同过滤推荐算法.pdf
  • i求模糊相似矩阵的 MATLAB 程序 a=[276.2 324.5 158.6 412.5 292.8 258.4 334.1 303.2 292.9 243.2 159.7 331.2 251.5 287.3 349.5 297.4 227.8 453.6 321.5 451.0 466.2 307.5 421.1 455.1 192.7 433.2 289.9 366.3...
  • 相似矩阵

    2019-08-25 15:48:04
    二、相似矩阵 2.1、相似概念 2.2、性质

    二、相似矩阵

    2.1、相似概念

    在这里插入图片描述

    2.2、性质

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 线性代数【10】 相似矩阵

    千次阅读 2021-11-23 14:06:58
    前言: 提前说明一下,这一节有一点晦涩难懂,我也是看了好多遍。 所以一定要有耐心,我把视频老师讲的地方重新演说了一遍,...P是A的相似矩阵运算定义的一个可逆方阵,∧是A的相似矩阵,他们是互为相似,也...

    前言:

    提前说明一下,这一节有一点晦涩难懂,我也是看了好多遍。

    所以一定要有耐心,我把视频老师讲的地方重新演说了一遍,希望能够协助你理解。


     

    1 相似变换:

    研究的是方阵,

     

     

    相似变化的目的是简化。

    2 矩阵的对角化

    方阵简单形式,

     

    也就是一个方阵能不能和一个对角阵相似

     

    【注意,我们的根本目的还是简化计算】也就是找到对角化矩阵是最终目的,相似矩阵是手段。

    下面的式子,也就是,

    P是A的相似矩阵运算定义的一个可逆方阵,∧是A的相似矩阵,他们是互为相似,也就是下面的第三行,

    我们做一个假设,就是下面第四行,

    下面就这个假设展开,

     P1为第一列,这里分别是一个对角阵和一个由列向量组成的矩阵:

    我们进行矩阵运算,进行变形,

     

    到这里,我们上面的假设推出的结论如上,第四行,这个不就是特征值和特征向量的定义吗?

    我们回顾一下,

    (7条消息) 线性代数【9】 - 特征值和特征向量_山云的专栏-CSDN博客

    Pi不就是X,于是有如下结论: 


     下面这题是,反之亦然的引用:

    就是假如我们知道是特征向量,我们可以把矩阵 ,通过一对可逆的同阶方阵,搞成他的特征向量和特征值组成的一个对角矩阵的关系式子了。

    也就是我们实现了根本目标,化简了!!!


    以上是结论,

    逆阵的求法,老师视频省略了,方法可以看到之前博客:

    ​​​​​​(7条消息) 线性代数【6】- 初等行变换和矩阵的秩_山云的专栏-CSDN博客

    第2节,

    这里我演算了一下,

     

     

     

    这个例子,我们就是证明了,

    一个普通的方阵,

    被一对可逆的方阵,

     

    搞成了一个具备大致性质的对角阵,

     


     

     要对角化,就是要实现我们刚才得出的结论,找到他的特征。。。

    对角化的充分必要条件,就是找到两个线性无关的特征向量。

    上面,第一行,我们用特征向量的定义代入,求出特征值。

     

    然后,依据这个特征值解特征向量。我们求出他的特征向量和基础解系。

    【案,我详细写了一下】

     我们由特征向量的一般式得出特征值后,代入这个系数行列式里面,得出系数行列式。

    然后,用前面的方法,求他的基础解系。

     

     这里只有一个线性无关的特征向量,

     

    可逆 = 线性无关。

     


     

     既然有相似的对角阵,则必有特征值和特征向量对,我们代入特征方程求解行列式,

     用代数余子式展开

     

     依据,定义就把A的对角阵相识矩阵,安装特征值写成来了。至于可逆矩阵,这个是工具我们不考虑了。


     

     

    由上节知识:迹的概念,

     

     

     

    只需要依次求出P的列向量,而列向量和对角阵(特征值)B的相应的特征向量对于。

    第一列,应该对应B的“2”的特征值的特征向量,

    第2列,应对于“Y”的特征值的特征向量

    第3列,对于B的“-1”列的特征向量

    求齐次线性方程的基础解系,

    首先有,特征向量2,利用λ=2,代入特征方程的公式,计算行列式的系数,然后,化为阶梯阵,将非阶梯点的变量设定为自由变量,进行求解。

     

    同理,Y=1,那么就是对应1的 

     

    同理,

     

    这样,我们求出了3个“列”特征向量,然后,依据对应关系,我们将列向量合成一个特征值向量。


     

    检测,向量的线性相关性,3个向量是线性无关的。那么,对角化的充分必要条件,就是要有3个线性无关的特征向量,我们现在有3个,那么,一定可以对角化。,

     

     

     

     

     

    展开全文
  • 相似矩阵(Similar Matrixces) 关于下面提到式子的几何解释请参考本人博客:矩阵对角化(Diagonalizing a Matrix) 基变换的几何解释请参考本人博客:3Blue1Brown系列:基变换 相似矩阵是同一个线性变换在不同...

    相似矩阵(Similar Matrixces)

    关于下面提到式子的几何解释请参考本人博客:矩阵对角化(Diagonalizing a Matrix)

    基变换的几何解释请参考本人博客:3Blue1Brown系列:基变换

    相似矩阵是同一个线性变换在不同基/坐标系下的的不同描述,表达同一个几何空间,使得在这组基下有比较容易处理的形式(摘自线性代数再回首之——第五章 相似矩阵及二次型

    对于可对角化的矩阵 A A A
    特征值矩阵 Λ \Lambda Λ,特征向量矩阵 X X X
    A = X Λ X − 1 A=X\Lambda X^{-1} A=XΛX1
    矩阵 A A A Λ \Lambda Λ 之间是相似的,记作 A ∼ Λ A\sim \Lambda AΛ
    矩阵 X X X叫做 矩阵 A A A Λ \Lambda Λ 之间的相似变换矩阵

    对于不可对角化的矩阵 A A A
    常数矩阵 C C C(不一定是 Λ \Lambda Λ
    矩阵 B B B的列向量可以不是特征向量,但必须是可逆的
    A = B C B − 1 A=BCB^{-1} A=BCB1
    矩阵 A A A 和矩阵 C C C 是相似,记作 A ∼ C A\sim C AC
    矩阵 B B B叫做 矩阵 A A A C C C 之间的相似变换矩阵
    矩阵 C C C 通过相似变换矩阵B得到的矩阵 A A A

    判断两个矩阵是否相似的方法:

    1. 判断特征值是否相等
    2. 判断行列式是否相等
    3. 判断迹是否相等
    4. 判断秩是否相等

    以上条件可以作为判断矩阵是否相似的必要条件,而非充分条件

    展开全文
  • 彻底理解相似矩阵

    2021-08-29 19:26:34
    大家都知道相似矩阵的定义: 看着只是感觉有巧妙之处,但其实我们并不能理解这背后的道理,以及知道它的由来是什么。 今天受知乎“马同学”一篇回答的启发,并结合一本说人话的线代教材中的内容明白了不少,决定...
  • 相似矩阵及二次型

    千次阅读 2021-06-10 20:02:41
    七、相似矩阵 设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使P-1 A P=B 则称B就是A的相似矩阵 =>定理:若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值相同 =>推论:若n阶矩阵A与对角矩阵相似,则对角线上的...
  • 依据样本数据点分布的局部和全局一致性特征,提出了一种基于局部密度构造相似矩阵的谱聚类算法。首先通过分析样本数据点的分布特性给出了局部密度定义,根据样本点的局部密度对样本点集由密到疏排序,并按照设计的连接...
  • 利用MATLAB代码,可以求矩阵A的正交矩阵,如下: Q=orth(A) 例题5 (1)求矩阵A的正交矩阵,并分析其误差 (2)求矩阵A的相似矩阵,并验证它们的秩、迹、行列式和特征值保持一致 解: (1) MATLAB代码如下: clc;...
  • 相似矩阵的性质

    千次阅读 2021-10-10 20:40:16
    AAA,BBB 是两个 nnn 阶方阵,如果可存在 nnn 阶可逆矩阵 PPP,使得P−1AP=BP^{-1}AP=BP−1AP=B则 AAA 和 BBB 相似,即 A∼BA \sim BA∼B。 注:矩阵之间有三大关系:矩阵等价(AAA 经过初等变换可以得到 BBB);矩阵...
  • 相似矩阵相似矩阵的性质PPT学习教案.pptx
  • 20211104 为什么相似矩阵的迹相同

    千次阅读 2021-11-04 22:17:14
    设 A = ( a i j ) m × n , B = ( b i j ) n × m \boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}, \boldsymbol{B}=\left(b_{...相似矩阵的特征值相同 https://www.zhihu.com/question/437714477/answer/1658995521
  • 线性代数之——相似矩阵

    千次阅读 2019-11-24 10:11:05
    在这部分,SSS 仍然是最好的选择,但现在我们允许任意可逆矩阵 MMM,矩阵 AAA 和 M−1AMM^{-1}AMM−1AM 称为相似矩阵,并且不管选择哪个 MMM,特征值都保持不变。 1. 相似矩阵 假设 MMM 是任意的可逆矩阵,那么 B=M...
  • 第二节 相似矩阵与矩阵可对角化条件=先 看 例 子 : 已 知试 求1 0-1 13 81 4-1 94 6-4 91 3 0-6 51 4=尝 试 :计 算
  • 研究了一种基于用户移动网络接入位置的高效分布式相似矩阵计算方法,利用Hadoop生态系统中的MapReduce 计算框架,依据地理位置信息对用户进行划分并进行相似度计算。实验结果表明,该方法在计算效率上相较于现有相似...
  • 1. 正定矩阵性质 1. 正定矩阵 2. 任意矩阵 3. 正定矩阵 1. 主元都大于 0 2. 特征值都大于 0 3. n 个主子式都大于 0 2. 相似矩阵
  • 理解相似矩阵

    2019-10-05 14:22:42
    相似矩阵(similar matrices) 定义 设\(A,B\)都是\(n\)阶矩阵,若有可逆矩阵\(P\),使得\(P^{-1}AP=B\),则称\(B\)是\(A\)的相似矩阵。 两个相似矩阵的特征值相同,也就是说如果一个矩阵和一个对角矩阵\(\Lambda\) \...
  • (1)反身性 对任意的方阵 A , A 与 A 相似 (2)对称性 若 A 与 B 相似,则 B 与 A 相似 (3)传递性 若 A 与 B 相似, B 与C
  • 特征值、特征向量及相似矩阵

    千次阅读 2020-09-20 17:31:51
    设A是n阶矩阵,α是n维非零列向量,满足:Aα=λα,(1)Aα=λα,\tag1Aα=λα,(1)则称λ是A的一个特征值。非零列向量是A的属于λ的一个特征空间。 式(1)可以写成 (λEn−A)X=0(λE_n-A)X=0 (λEn​−A)X=0 它...
  • 相似矩阵和等价矩阵

    万次阅读 2020-04-23 16:00:59
    二、相似矩阵 定义:对同型方阵A、B,存在可逆阵P,使得B=P−1AP 相似矩阵的性质: 1.B,A的特征值相等 2.r(A)=r(B) 3.|A|=|B| **三、两者关系 ** 等价(只有秩相同)->相似(秩,特征值均相同),矩阵亲密关系的...
  • 文章目录相似矩阵矩阵的对角化对称矩阵的对角化对称阵A对角化的步骤 相似矩阵 设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使 P−1AP=B,P^{-1}AP=B,P−1AP=B,则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似,对A进行运算P−1APP^{-1...
  • 相似矩阵、过渡矩阵

    万次阅读 多人点赞 2018-02-26 11:21:42
    一、相似矩阵 P−1AP=BP−1AP=B{P}^{-1}AP=B P−1APx⃗ =Bx⃗ P−1APx→=Bx→{P}^{-1}AP\vec{x}=B\vec{x} x⃗ x→\vec{x}是新空间的一个向量,Px⃗ Px→P\vec{x}表示将新...
  • 相似矩阵及其若干证明。
  • 针对利用相似矩阵进行聚类分析的分类问题,定义了相似矩阵及其性质,并给出相似矩阵的一些常见构造方法.针对现有构造方法缺少含义的问题,尤其是针对模糊问题,提出了一种基于最小信息熵值聚类构造相似矩阵的方法....
  • 相似矩阵的判断(必看)

    万次阅读 多人点赞 2021-09-17 17:06:24
    设A,B都是n阶矩阵,如存在矩阵P使P^(-1)AP=B,就称矩阵A相似矩阵B,记成A~B。 与几何的相似不同,矩阵相似是比等价还要强的条件。 相似的性质(必要条件): 1.特征值相等。这个结论是由特征多项式相等推出来的。...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 127,809
精华内容 51,123
关键字:

相似矩阵