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  • 矢量叉乘运算的方法是什么?
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    2020-12-21 16:10:00

    关于旋转和矢量的叉乘

    jake 发表于 2009-3-15 23:10:29

    响应东方兄的号召,我最近在攻读理论物理的课程。其中遇到了一些疑问,我也以这种交互式的方式贴出来吧。也许这对于问问题的人和看问题的人都有帮助。

    我的问题是最近对把旋转和矢量的叉乘这两件事儿联系起来感觉非常困惑。觉得矢量叉乘的很多公式似乎很神乎就冒出来了,能不能给出一种更直观的理解呢?

    让我们来回顾一下矢量的叉乘运算的引入过程。

    首先考虑两个力作用在一个杠杆上。比如

    \/---------------------\/

    A

    这里面A这个点就是支点,左右两侧有两个向下的力。它们对A点的力臂是不一样的。这样左边的力会迫使系统逆时针方向转。右边的力会迫使系统顺时针方向转。于是我们看到了两种相反的作用力。他们都起到了旋转的作用。

    于是就有人想到,既然这两种方向的转动就好像两种竞争的力一样,那么我能不能把他就用一个矢量来表示呢。比如逆时针旋转的力我让它用一个向上的箭头,而顺时针是一个向下的箭头。但是因为毕竟旋转这种力和作用在杠杆上的直接的力是不一样的,不能混为一谈的。所以,人们就自然想到旋转的这种矢量箭头是垂直于这个纸面的。也就是垂直于力矢量本身和力臂这个矢量所在的平面突出纸面来了。这样逆时针就是垂直于纸面向外,而顺时针就是垂直纸面向下。进一步,我们还可以定义这两个矢量的大小。这就有了力和力臂两个矢量叉乘的定义。

    我想说的是,这个矢量叉乘运算和旋转的哲学上的涵义。在这里,我们看到如果把两个矢量A,B定义的平面看作已经很好测度的空间,那么A╳B定义的矢量就会超出原来的维度。找出一个垂直于这两个矢量的新的维度。

    推广来看,这种运算本身揭示了一种很奇特的具有哲学含义的东西。它就是我们怎么能够凭空的在普通的空间中创造出一个纬度出来,那就是利用旋转。广义来看,你让矢量A绕着B旋转就能凭空创造一个新的位于新维度空间中的矢量A╳B。进一步,自然界存在着很多奇特的旋转现象,比如电子的自旋,还包括我们关注的周期运动,它们都可以看作是一种广义的转动。而这种广义的转动就对应了新的维度。好玩的是,转动这件事儿在复数里面也有很多论述。这就是虚数起到了一种旋转的作用。所以从广义看,这些东西就都联系到了一起。

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    矢量叉乘,向量外积

    原创不易,路过的各位大佬请点个赞

    在这里插入图片描述

    1. 矢量叉乘定义

    定义两个向量 a \mathbf{a} a b \mathbf{b} b,他们的叉乘可以写为
    a × b \mathbf{a}\times\mathbf{b} a×b

    本质上向量叉乘为向量旋转,满足右手螺旋准则;
    叉乘结果是一个向量,向量模长是向量A,B组成平行四边形的面积;向量方向是垂直于向量A,B组成的平面;也叫向量积
    在这里插入图片描述

    与点乘不同之处是:点乘结果是一个数,表示两个向量的投影关系,也叫数量积
    a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos ⁡ θ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta ab=abcosθ

    2. 模长

    ∣ c ∣ = ∣ a × b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin ⁡ θ |\mathbf{c}|=|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta c=a×b=absinθ
    ∣ c ∣ |\mathbf{c}| c长度在数值上等于以 a \mathbf{a} a b \mathbf{b} b,夹角为θ组成的平行四边形的面积。
    而c的方向垂直于 a \mathbf{a} a b \mathbf{b} b所决定的平面, c \mathbf{c} c的指向按右手定则从a转向b来确定。

    3. 方向

    a \mathbf{a} a向量与 b \mathbf{b} b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直,且遵守右手定则。(一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从 a \mathbf{a} a以不超过180度的转角转向b时,竖起的大拇指指向是 c \mathbf{c} c的方向。)
    在这里插入图片描述

    4. 坐标运算

    向量 a \mathbf{a} a的坐标表示
    a = ( a x , a y , a z ) \mathbf{a}=(a_x, a_y, a_z) a=(ax,ay,az)
    向量 a \mathbf{a} a的坐标轴矢量表示
    a = a x i + a y j + a z k \mathbf{a}=a_xi+a_yj+ a_zk a=axi+ayj+azk

    其中矢量的x轴、y轴、z轴的单位矢量i、j、k、满足以下关系

    i × j = k = − j × i j × k = i = − k × j k × i = j = − i × k i × i = j × j = k × k = 0 i\times j=k=-j\times i\\j\times k=i=-k\times j\\k\times i=j=-i\times k\\ i\times i=j\times j=k\times k=0 i×j=k=j×ij×k=i=k×jk×i=j=i×ki×i=j×j=k×k=0
    其中的0为零矢量。
    附加点乘的运算规则
    i ⋅ j = k = − j × i j ⋅ k = i = − k ⋅ j k ⋅ i = j = − i ⋅ k i ⋅ i = j ⋅ j = k ⋅ k = 1 i\cdot j=k=-j\times i\\j\cdot k=i=-k\cdot j\\k\cdot i=j=-i\cdot k\\ i\cdot i=j\cdot j=k\cdot k=1 ij=k=j×ijk=i=kjki=j=ikii=jj=kk=1

    a × b = ∣ i j k a x a y a z b x b y b z ∣ = ∣ a y a z b y b z ∣ i − ∣ a x a z b x b z ∣ j + ∣ a x a y b x b y ∣ k = ( a y b z − a z b y ) i + ( a z b x − a x b z ) j + ( a x b y − a y b x ) k \begin{aligned} \mathbf{a}\times\mathbf{b}&=\begin{vmatrix} i&j&k\\ a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix}a_y&a_z\\b_y&b_z\end{vmatrix}i -\begin{vmatrix}a_x&a_z\\b_x&b_z\end{vmatrix}j + \begin{vmatrix}a_x&a_y\\b_x&b_y\end{vmatrix}k \\ &=(a_yb_z-a_zb_y)i + (a_zb_x-a_xb_z)j + (a_xb_y-a_yb_x)k \end{aligned} a×b=iaxbxjaybykazbz=aybyazbziaxbxazbzj+axbxaybyk=(aybzazby)i+(azbxaxbz)j+(axbyaybx)k

    6. 叉乘矩阵(斜对称矩阵)

    每一个矢量都一个对应的斜对称矩阵, a \mathbf{a} a
    [ a × ] = [ 0 − a y a z a y 0 − a x − a z a x 0 ] [\mathbf{a}\times]=\begin{bmatrix}0&-a_y&a_z\\a_y&0&-a_x\\ -a_z &a_x &0\end{bmatrix} [a×]=0ayazay0axazax0

    则两个矢量的叉乘可以写为
    a × b = [ a × ] b = [ 0 − a y a z a y 0 − a x − a z a x 0 ] [ b x b y b z ] \begin{aligned} \mathbf{a}\times\mathbf{b}&=[\mathbf{a}\times]\mathbf{b}\\ &=\begin{bmatrix}0&-a_y&a_z\\a_y&0&-a_x\\ -a_z &a_x &0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_x\\b_y\\ b_z\end{bmatrix} \end{aligned} a×b=[a×]b=0ayazay0axazax0bxbybz

    性质:( A = [ a × ] A=[\mathbf{a}\times] A=[a×]
    1- A T = − A A^T=-A AT=A
    2- A A A B B B为斜对称矩阵,则 A + B A+B A+B为斜对称矩阵
    3- k k k为偶数, A k A^k Ak为对称矩阵; k k k为奇数, A k A^k Ak为斜对称矩阵;

    6. 叉乘运算规则

    1、交换律: a × b = − b × a a\times b=-b\times a a×b=b×a

    2、分配律: a × ( b + c ) = a × b + a × c a\times (b+c)=a\times b +a\times c a×b+c)=a×b+a×c

    3、与标量r相乘: r a × b = r ( a × b ) ra\times b=r(a\times b ) ra×b=r(a×b)

    4、不满足结合律,但满足雅可比恒等式:: a × ( b × c ) + b × ( c × a ) + c × ( a × b ) = 0 a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0 a×b×c+b×c×a+c×a×b=0

    5 、 两个非零向量a和b平行,当且仅当 a × b = 0 a×b=0 a×b=0

    6、 拉格朗日公式
    ( a × b ) × c = b ( a ⋅ c ) − a ( b ⋅ c ) (a×b)×c=b(a·c)-a(b·c) a×b×c=bacabc
    a × ( b × c ) = b ( a ⋅ c ) − c ( a ⋅ b ) a×(b×c)=b(a·c)-c(a·b) a×b×c=baccab
    证明如下图
    在这里插入图片描述
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  • 其中包含一个关于矢量的公式如下: a12a12×S2⋅S1=a12a21×S1⋅S2 a_{12} \bold{a_{12}} \times S_{2} \cdot S_{1}=a_{12} \bold{a_{21}} \times S_{1} \cdot S_{2} a12​a12​×S2​⋅S1​=a12​a21​×S1​⋅S2​...

    今天在看螺旋理论的时候看到了关于互矩的定义如下:
    在这里插入图片描述
    其中包含一个关于矢量的公式如下:

    a 12 a 12 × S 2 ⋅ S 1 = a 12 a 21 × S 1 ⋅ S 2 a_{12} \bold{a_{12}} \times S_{2} \cdot S_{1}=a_{12} \bold{a_{21}} \times S_{1} \cdot S_{2} a12a12×S2S1=a12a21×S1S2
    文中说这个式子是显然成立的,但是对于数学基础比较差的小白的来说,这个式子其实需要证明一下的。其实,这个式子等价于证明一下矢量计算的等式:
    c ⃗ ⋅ ( a ⃗ × b ⃗ ) = − b ⃗ ⋅ ( a ⃗ × c ⃗ ) \vec{c} \cdot(\vec{a}\times\vec{b})=-\vec{b} \cdot(\vec{a} \times \vec{c}) c (a ×b )=b (a ×c )
    我们可以使用矢量叉乘的定义公式来进行计算并且证明,如下:
    在这里插入图片描述
    当然我们也可以使用python程序来计算证明这个式子的正确性,代码如下:

    import numpy as np
    vector_A = (np.random.random(3)-0.5)*2
    vector_B = (np.random.random(3)-0.5)*2
    vector_C = (np.random.random(3)-0.5)*2
    AcrossB = np.cross(vector_A, vector_B)
    AcrossC = np.cross(vector_A, vector_C)
    print(vector_A)
    print(vector_B)
    print(vector_C)
    left = np.dot(AcrossB,vector_C)
    right = np.dot(AcrossC,vector_B)
    print(left,right)
    

    代码非常简单,大致的意思就是使用了python的numpy库随机生成了三个三维的矢量,然后我们调用了numpy中的cross和dot函数进行了矢量的叉积和标积的计算,得到了待证明的式子的左边和右边,我们观察一下左边和右边的数值就可以来判断这个式子是否成立。运行之后,我们可以得到以下运行结果:
    在这里插入图片描述
    我们看到,随机生成的三个矢量完全不具有关联性,得到最后left和right的变量在精度范围之内是相等的,这样就完成了上述公式的证明。

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  • (\vec{b} \cdot \vec{c}) \cdot \vec{a}\tag{8} (a ×b )×c =(a ⋅cb​ ​)⋅b −(b ⋅ca​ ​)⋅a =(a ⋅c )⋅b −(b ⋅c )⋅a (8) 2 三个三维矢量连续叉乘的矩阵公式 2.1 叉乘的矩阵表示   后文将不再涉及未知...

    0 简单情况

      先从简单的情况开始推导,考虑三个向量 a ⃗ , b ⃗ , c ⃗ \vec{a},\vec{b},\vec{c} a ,b ,c 在同一个平面,其中 c ⃗ ⊥ a ⃗ \vec{c} \perp \vec{a} c a ,如下图所示,求取 ( a ⃗ × b ⃗ ) × c ⃗ (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} (a ×b )×c
    在这里插入图片描述
      易得 ( a ⃗ × b ⃗ ) × c ⃗ (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} (a ×b )×c a ⃗ \vec{a} a 反向,我们设:
    ( a ⃗ × b ⃗ ) × c ⃗ = k ⋅ a ⃗ (1) (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=k \cdot \vec{a} \tag{1} (a ×b )×c =ka (1)
      其中 k k k为常数,利用长度的性质:
    ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ ∣ c ⃗ ∣ s i n ( < a , b > ) = ∣ k ∣ ∣ a ⃗ ∣ (2) |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|sin(<a,b>)=|k||\vec{a}| \tag{2} a b c sin(<a,b>)=ka (2)
      其中 < a , b > <a,b> <a,b>表示向量 a ⃗ , b ⃗ \vec{a},\vec{b} a ,b 的夹角,根据几何关系可以得到:
    ∣ b ⃗ ∣ ∣ c ⃗ ∣ s i n ( π 2 ± < b , c > ) = ∣ k ∣ (3) |\vec{b}||\vec{c}|sin(\frac{\pi}{2} \pm <b,c>)=|k|\tag{3} b c sin(2π±<b,c>)=k(3)
      进而:
    ∣ k ∣ = ∣ b ⃗ ∣ ∣ c ⃗ ∣ c o s ( < b , c > ) = b ⃗ ⋅ c ⃗ (4) |k|=|\vec{b}||\vec{c}|cos(<b,c>)=\vec{b} \cdot \vec{c}\tag{4} k=b c cos(<b,c>)=b c (4)
      得出结论此时,根据几何关系可得正负号:
    ( a ⃗ × b ⃗ ) × c ⃗ = − ( b ⃗ ⋅ c ⃗ ) ⋅ a ⃗ (5) (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=-(\vec{b} \cdot \vec{c}) \cdot \vec{a}\tag{5} (a ×b )×c =(b c )a (5)
      同理假设 c ⃗ ⊥ b ⃗ \vec{c} \perp \vec{b} c b ,此时结果向量与 b ⃗ \vec{b} b 同向,可以得出结论
    ( a ⃗ × b ⃗ ) × c ⃗ = ( a ⃗ ⋅ c ⃗ ) ⋅ b ⃗ (6) (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=(\vec{a} \cdot \vec{c}) \cdot \vec{b}\tag{6} (a ×b )×c =(a c )b (6)

    1 由简单情况到一般情况.

      对于任意三维空间向量 c ⃗ \vec{c} c 可以分解为垂直 a ⃗ , b ⃗ \vec{a},\vec{b} a ,b 所在平面的分量 c ⃗ a b \vec{c}_{ab} c ab,与 a ⃗ \vec{a} a 垂直的分量 c ⃗ a \vec{c}_{a} c a,与 b ⃗ \vec{b} b 垂直的分量 c ⃗ b \vec{c}_{b} c b
    ( a ⃗ × b ⃗ ) × c ⃗ = ( a ⃗ × b ⃗ ) × ( c ⃗ a + c ⃗ b + c ⃗ a b ) (7) (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{c}_{a}+\vec{c}_{b}+\vec{c}_{ab})\tag{7} (a ×b )×c =(a ×b )×(c a+c b+c ab)(7)
      于是根据式(5)(6)以及垂直关系:
    ( a ⃗ × b ⃗ ) × c ⃗ = ( a ⃗ ⋅ c b ⃗ ) ⋅ b ⃗ − ( b ⃗ ⋅ c a ⃗ ) ⋅ a ⃗ = ( a ⃗ ⋅ c ⃗ ) ⋅ b ⃗ − ( b ⃗ ⋅ c ⃗ ) ⋅ a ⃗ (8) (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=(\vec{a} \cdot \vec{c_b}) \cdot \vec{b}-(\vec{b} \cdot \vec{c_a}) \cdot \vec{a}=(\vec{a} \cdot \vec{c}) \cdot \vec{b}-(\vec{b} \cdot \vec{c}) \cdot \vec{a}\tag{8} (a ×b )×c =(a cb )b (b ca )a =(a c )b (b c )a (8)

    2 三个三维矢量连续叉乘的矩阵公式

    2.1 叉乘的矩阵表示

      后文将不再涉及未知数,字母将直接表示矢量。对于一个矢量 w w w其叉乘任意矢量 v v v,等价于一个矩阵乘 v v v,该矩阵记为 w × w_{\times} w×,其值如下:
    w × v = w × v = [ 0 − w z w y w z 0 − w x − w y w x 0 ] v (9) w \times v=w_{\times}v=\begin{bmatrix} 0 & -w_z & w_y \\ w_z & 0 & -w_x \\ -w_y & w_x & 0 \end{bmatrix}v\tag{9} w×v=w×v=0wzwywz0wxwywx0v(9)
      该矩阵的性质如下图,本文只针对连续叉乘的性质(下图性质(7)(8))进行证明,其余的性质比较简单:
    在这里插入图片描述
      先看倒数第二条性质(8),根据式8:
    ( a × b ) × c = b a T c − a b T c = ( b a T − a b T ) c (10) (a \times b) \times c=ba^Tc-ab^Tc=(ba^T-ab^T)c\tag{10} (a×b)×c=baTcabTc=(baTabT)c(10)
      从而得:
    ( a × b ) × = b a T − a b T (11) (a\times b)_{\times}=ba^T-ab^T\tag{11} (a×b)×=baTabT(11)
      性质(9)很容易验证,那么结合性质(8)可以轻易推出性质(7)

    展开全文
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空空如也

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