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  • 李雅普诺夫稳定性分析

    千次阅读 2021-04-18 15:32:42
    1.1、标量函数的定号 定义1-1:若V(0)=0,且对任意非零x,,称标量函数正定(半正定); 定义1-2:若是正定(半正定)的,称标量函数负定(半负定); 定义1-3:正定和半正定(负定和半负定)统称为非负定(非...

    一、基本概念

    1.1、标量函数的定号性

    定义1-1:若V(0)=0,且对任意非零xV(x)>0(V(x) \geq 0),称标量函数V(x)正定(半正定)

    定义1-2:-V(x)是正定(半正定)的,称标量函数V(x)负定(半负定)

    定义1-3:正定和半正定(负定和半负定)统称为非负定非正定),无任何定号性称为不定

    注意:

    (1)V(0)=0是定号性的必要条件。在不引起混淆时,可直接用V(x)>0表示正定,其余类推;

    (2)定号性可以是原点邻域上的局部性质,如:标量函数V(x)=[(x_1^2+x_2^2)-1](x_1^2+x_2^2)在域\left \{ \Omega | x_1^2+x_2^2<1 \right \}上是负定的。

    如:(在二维空间下)

    x_1^2+x_2^2 正定;(x_1+x_2)^2半正定;x_1^2-x_2^2不定

     

    考虑二次函数x^TAx的定号性,A是实对称矩阵

    定理1-1:实对称矩阵A是正定(半正定)的,当且仅当所有特征值均大于(大于等于)零;

    定理1-2:实对称矩阵A是正定(半正定)的,当且仅当所有主子式均大于(大于等于)零;

    实对称矩阵A的各阶顺序主子式:

    \pi_1=a_{11},\pi_2=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix},\pi_n=\left | A \right |

    定理1-3(赛尔维斯特判据):实对称矩阵A

    (1)正定当且仅当 \pi_k>0,k=1,2,\dots,n;

    (2)负定当且仅当(-1)^k\pi_k>0,k=1,2,\dots,n  (顺序主子式是正负相间隔的)

    注意:

    (1)在判断矩阵A的正定性时,可以将主子式简化为顺序主子式

    (2)在判断矩阵A的半正定性时,不可以将主子式简化为顺序主子式

     

    1.2、李雅普诺夫稳定性

    向量的2范数:实数向量z \in R^n,其2范数定义为

    \left \| z \right \|=\sqrt{z_1^2+z_2^2+\dots+z_n^2}

    定义1-4:对于系统\dot{x}=f(x,t),满足f(x_e,t)=0的状态x_e称作系统的平衡状态平衡点;(x_e为常数向量,为状态空间中的一个点)

    定义1-5:若某一点附近足够小的邻域内没有别的平衡点,则称它为孤立平衡点

    例:

    (1)原点为平衡点,且为唯一的平衡点,当然也为孤立平衡点

    (2)原点为其中之一平衡点,平衡点不唯一,但均孤立

    (3)当x_2为0时,x_1为任何值均为平衡点,故平衡点不孤立

    定义1-6:假设x_e是系统\dot{x}=f(x)的孤立平衡状态。如果对于任意给定正实数\varepsilon >0,都存在\delta (\varepsilon )>0,使得满足不等式

    \left \| x_0-x_e \right \| \leq \delta (\varepsilon )

    的任意初始状态出发的系统运动x(t)均成立

    \left \| x(t)-x_e \right \| \leq \varepsilon ,t \geq t_0

    则称平衡状态x_e是(在李雅普诺夫意义下)稳定的

    x_e不满足上述稳定的条件,称平衡状态x_e不稳定

    (通俗来讲就是在一定范围内(\delta (\varepsilon ))出发的状态均能在一定时间后回到平衡状态的一定区域(\varepsilon)内)

    定义1-7:x_e稳定,且存在一个邻域(吸引域),其内出发的运动恒有\lim_{t \to \inf}\left \| x-x_e \right \|=0,称平衡状态x_e渐近稳定

    定义1-8:x_e渐进稳定,且吸引域充满整个状态空间,称平衡状态x_e全局渐近稳定(大范围渐近稳定)

    注意:平衡状态唯一是全局渐近稳定的必要条件。

    李雅普诺夫稳定性的示意性说明:(平衡点为原点x_e

    (1)稳定

    任意给定一个\varepsilon圆,圆心为x_e,半径为\varepsilon;那么均存在一个\delta (\varepsilon )圆,圆心为x_e,半径为\delta (\varepsilon )\delta (\varepsilon )圆内,任意点出发的运动,都维持在\varepsilon圆内,则称其为稳定的(李雅普诺夫稳定);

    (2)渐进稳定

    若平衡状态x_e,不仅为李雅普诺夫稳定,还存在一个邻域,从邻域内出发的运动,都会渐进的收敛到平衡点x_e,这时称其为渐进稳定;

    若平衡状态不满足上述所说的条件,存在某个\varepsilon,我们无论选取怎样的\delta (\varepsilon ),均存在从某个出发的状态都运动到\varepsilon圆之外,称为不稳定。

    二、李雅普诺夫稳定性分析方法

    2.1、第一方法(间接法)(将系统的描述在x_e平衡点附近进行线性化,针对线性化模型进行稳定性判断,判断A的特征值的实部)

    x_e是系统\dot{x}=f(x)的平衡状态。该系统在x_e处的线性化模型为:

    \dot{y}=Ay, A= \frac{\partial f}{\partial x^T}|_{x=x_e}=\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \dots &\frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} &\frac{\partial f_2}{\partial x_2} & &\frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1} &\frac{\partial f_n}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n} \end{bmatrix}

    其中,y=x-x_e。(矩阵A为雅克比矩阵)

     

    根据A的特征值,有如下稳定性判别定理:

    定理2-1:A的特征值均具有实部,x_e渐进稳定的;若存在特征值具有正实部x_e不稳定的;其它情况,则不能判定

    例:判断下列系统在原点处的稳定性。

    \left\{\begin{matrix} \dot{x_1}=x_2cosx_1\\ \dot{x_2}=-sinx_1-x_2 \end{matrix}\right.

    解:可知f_1=x_2cosx_1,f_2=-sinx_1-x_2,故可求得原点处的雅克比矩阵为:

    A=\begin{bmatrix} -x_2 sin x_1 & cos x_1 \\ -cos x_1 & -1 \end{bmatrix}|_{x=0}=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1 & -1 \end{bmatrix}

    特征根均在左半开平面内,因此原点是该系统的渐近稳定平衡点。(该例中的系统有多个平衡点,因此原点不是其渐近稳定平衡点)。

    注意:线性化方法不能给出全局稳定性的判断。

    例:判断下述系统在原点处的稳定性

    \left\{\begin{matrix} \dot{x_1}=-3 x_1^3\\ \dot{x_2}=3 x_1 - x_1x_2 \end{matrix}\right.

    解:原点是系统的平衡点,在原点处线性化可得:

    A=\begin{bmatrix} -3x_1^2 & -4 \\ 3- x_2 & -x_1 \end{bmatrix}|_{x=0}=\begin{bmatrix} 0 & -4\\ 3 & 0 \end{bmatrix}

    特征根均在虚轴上,间接法失效。

    2.2、第二方法(直接法)

    设原点是系统\dot{x}=f(x)的平衡状态。V(x)是正定的标量函数(能量函数)它沿系统状态轨线对时间t的导数为:

    \dot{V}(x)=\frac{\partial V(x)}{\partial x^T}f(x)

    李雅普诺夫第二方法是根据V(x)\dot{V}(x)的定号性,判别系统平衡状态的稳定性。(上式中,\dot{x}f(x)代替)

    定理2-2:V(x)正定\dot{V}(x)负定,则原点是渐近稳定的;进而,若\left \| x \right \|\to\infty时,V(x) \to \infty,则原点是全局渐近稳定

    定理2-3:V(x)正定,\dot{V}(x)负定,则原点是稳定的;此外,若\dot{V}(x)除原点外沿状态线不恒为零,则原点是渐近稳定的;再进一步,若\left \| x \right \|\to\infty时,V(x) \to \infty,则原点是全局渐近稳定;

    定理2-4:V(x)正定\dot{V}(x)正定,则原点是不稳定的。

    注意:

    (1)以上均为充分条件。某V(x)不满足定理条件时,不能下结论;

    (2)若V(x)代表广义能量,则\dot{V}(x)代表广义功率。\dot{V}(x)<0,说明沿状态轨线运动是消耗能量的。

    例:判断下述系统在原点处的稳定性

    \left\{\begin{matrix} \dot{x_1}=-\frac{2x_1}{(1+x_1^2)^2}+2x_2\\ \dot{x_2}=-\frac{2x_1+2x_2}{(1+x_1^2)^2} \end{matrix}\right.

    解:令\dot{x_1}\dot{x_2}为0,可知原点为系统唯一的平衡点,利用第一方法也可判定其渐近稳定性,它是渐近稳定的。

    考虑V(x)=\frac{x_1^2}{1+x_1^2}+x_2^2>0

    将状态方程\dot{x_1}\dot{x_2}带入,则\dot{V}(x)=-\frac{4x_1^2}{(1+x_1^2)^4}-\frac{4x_2^2}{(1+x_1^2)^2}<0

    所以原点是渐近稳定的。但当x_1\to \inftyx_2 \to \infty时,V(x) \to 1,即\left \| x \right \| \to \infty时,V(x) \to \infty不成立,不能保证全局渐近稳定。

    例:判断下述系统在原点处的稳定性

    \dot{x}=\begin{bmatrix} 0 &1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}x

    解:(1)取V(x)=2x_1^2+x_2^2>0\dot{V}(x)=2x_1x_2-2x_2^2,不定,不能判定;

    (2)取V(x)=x_1^2+x_2^2>0\dot{V}(x)=-2x_2^2半负定,故原点稳定。

    \dot{V}(x)\equiv 0,则x_2=\dot{x}_2\equiv 0,带入原方程\dot{x}_2=-x_1-x_2x_1\equiv 0;因而\dot{V}(x)\equiv 0仅发生在原点处。当\left \| x \right \| \to \infty时,V(x) \to \infty,所以原点全局渐进稳定。

    (3)取V(x)=1.5x_1^2+x_2^2+x_1x_2>0\dot{V}(x)=-x_1^2-x_2^2<0,当\left \| x \right \| \to \infty时,V(x) \to \infty,所以原点全局渐进稳定。

    注意:选择不同的V函数,可能得到不同的结果,但得到的结论是不矛盾的。找到“好”的V函数,需要经验和运气。

    例:判断下述系统在原点处的稳定性

    \left\{\begin{matrix} \dot{x_1}=- x_1^3+x_2^4\\ \dot{x_2}=- x_2^3 + x_1^4 \end{matrix}\right.

    解:原点是平衡点但不唯一(点(1,1)同为平衡点)。线性化方法失效(A矩阵为零)。

    V(x)=0.5(x_1^2+x_2^2)>0,则\dot{V}(x)=-x_1^4(1-x_2)-x_2^4(1-x_1)

    x_1<1x_2<1的区域内(原点是该区域的内点),\dot{V}(x)<0,该系统在原点处是渐近稳定的。(虽然当\left \| x \right \| \to \infty时,V(x) \to \infty,当\dot{V}(x)<0限制了区域都并非大范围渐进稳定)。

     

    三、李雅普诺夫函数的构造方法

    对于非线性系统,没有一种构造李雅普诺夫函数的通用方法。人们通常凭经验和技巧选取李雅普诺夫函数,最常见的是二次型函数,有些方法适用于一些特定情形,如克拉索夫斯基方法变量梯度法偶函数法等方法。

    3.1、克拉索夫斯基方法(Krasovskii)

    考虑如下非线性系统\dot{x}=f(x),其中f(x)存在连续偏导数。定义雅克比矩阵:

    F(x)= \frac{\partial f}{\partial x}=\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \vdots\\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n} \end{bmatrix}

     

    待续》》》

     

     

     

     

     

     

     

     

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  • MATLABsimulink稳定性分析时域分析

    千次阅读 2021-04-30 03:48:18
    1、1,7.1,控制系统的稳定性分析,1,利用极点判断系统的稳定性,判断一个线性系统稳定性的一种最有效的,方法是直接求出系统所有的极点,然后根据极,点的分布情况来确定系统的稳定性,2,系统特征方程的一般形式为,对于...

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    1、1,7.1,控制系统的稳定性分析,1,利用极点判断系统的稳定性,判断一个线性系统稳定性的一种最有效的,方法是直接求出系统所有的极点,然后根据极,点的分布情况来确定系统的稳定性,2,系统特征方程的一般形式为,对于连续时间系统,如果闭环极点全部在,S,平面左,半平面,则系统是稳定的;否则系统是不稳定的,对于离散时间系统,如果系统全部极点都位于,Z,平,面的单位圆内,则系统是稳定的;否则系统是不稳定,的,系统稳定性分析,n,i,i,n,i,n,n,n,n,o,s,a,a,s,a,s,a,s,a,s,D,0,1,1,1,0,n,i,p,i,2,1,0,Re,n,i,p,i,2,1,1,3,直接判定方法。

    2、,对于传递函数模型,tf(num,den,利用求根,函数,roots(den,来求极点。对于状态空间模型,SS(A,B,C,D,利用求特征值函数,eig(A,来求特征,值。这样根据极点或特征值即可直接判定系统,的稳定性,4,例,1,已知单位负反馈系统的开环传递函数为,试判断系统的稳定性,解,MATLAB,程序如下,k=100;z=-2;p=0;-1;-20,n1,d1=zp2tf(z,p,k,n,d=feedback(n1,d1,1,1,roots(d,运行结果显示,ans,12.8990,5.0000,3.1010,20,1,2,100,S,S,S,S,S,G,5,例,7-1,已知闭环系统的。

    3、传递函数为,试判断系统的稳定性,并给出不稳定极点,解,MATLAB,程序如下,ex7_1.m,num=3 2 1 4 2;den=3 5 1 2 2 1,z,p=tf2zp(num,den,ii=find(real(p)0);n1=length(ii,if(n10,disp(The Unstable Poles are:,disp(p(ii,else disp(System is stable,end,pzmap(num,den,title(Zero-Pole Map,1,2,2,5,3,2,4,2,3,2,3,4,5,2,3,4,s,s,s,s,s,s,s,s,s,s,G,find,功能:查。

    4、找非零元素的值,格式,k=find(X,6,运行结果显示,The Unstable Poles are,0.4103 + 0.6801i,0.4103,0.6801i,7,2,利用特征值判断系统的稳定性,系统的特征方程,s,I,A,s,n,a,1,s,n,1,a,n,1,s,a,n,0,的根称为系统的特征值,即系统的闭环极点,当然判断系统的稳定性同样可利用特征值来判,断,p=poly(A,求,A,的特征多项式,r=roots(p,求特征多项式的根,r=eig(A,求,A,的特征值,8,例,7-3,已知系统的状态方程为,判断系统的稳定性,解,MATLAB,程序如下,ex7_3.m,A=2.25 。

    5、-5 -1.25 -0.5;2.25 -4.25 -1.25 -0.25,0.25 -0.5 -1.25 -1;1.25 -1.75 -0.25 -0.75,P=poly(A);r=roots(P);ii=find(real(r)0,n=length(ii,if(n0,disp(System is Unstable,else disp(System is Stable,end,u,x,x,02,22,24,46,75,0,25,0,75,1,25,1,1,25,1,5,0,25,0,25,0,25,1,25,4,25,2,5,0,25,1,5,25,2,运行结果显示,System is Sta。

    6、ble,9,3,利用李雅普诺夫第二法来判断系统的稳定性,线性定常连续系统,在平衡状态,x,e,0,处渐近稳定的充要条件是:对任给的,一个正定对称矩阵,Q,存在一个正定的对称矩阵,P,且满足李雅普诺夫方程,A,T,P+PA,Q,而标量函数,V(x)=x,T,Px,是这个系统的一个二次型李雅,普诺夫函数,MATLAB,提供了李雅普诺夫方程的求解函数,lyap(,其调用格式为,P,lyap,A ,Q,Ax,x,10,例,7-4,设系统的状态方程为,其平衡状态在坐标原点处,试判断该系统的稳定性,解,MATLAB,程序如下,ex7_4.m,A=0 1;-1 -1;Q=eye(size(A);P=lyap。

    7、(A,Q,if(P(1,1)019 -21 20;40 -40 -40,b=0;1;2,c=1 0 2,d=0,y,x,t=step(a,b,c,d,figure(1,plot(t,y,title(the step responce,xlabel(time-sec,figure(2,绘制状态变量的轨迹,plot(t,x,0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,0,0.05,0.1,0.15,0.2,0.25,0.3,0.35,the step responce,time-sec,0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,0.05,0,0.05,0.1,0.15,0.2,0.25,0.3,x1,x。

    8、2,x3,17,ex_step2.m,系统传递函数,G(s)=1/(s2+0.1s+5)(s3+2s2+3s+4,num=1,den=conv(1 0.1 5,1 2 3 4,绘制系统的阶跃响应曲线,t=0:0.1:40,y=step(num,den,t,t1=0:1:40,y1=step(num,den,t1,plot(t,y,r,t1,y1,0,5,10,15,20,25,30,35,40,0.02,0,0.02,0.04,0.06,0.08,0.1,0.12,18,例,7-6,设系统的开环传递函数为,试求该系统在单位负反馈下的阶跃响应曲线和最大超调量,解,MATLAB,程序如下,num0。

    9、=20; den0=1 8 36 40 0,numc,denc=cloop(num0,den0,t=0:0.1:10,y,x,t=step(numc,denc,t,plot(t,y,M=(max(y)-1)/1)*100,disp,最大超调量,M= num2str(M) ,运行结果显示,最大超调量,M=2.5546,s,s,s,s,s,G,40,36,8,20,2,3,4,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.2,1.4,19,例,7-7,对于典型二阶系统,试绘制出无阻尼自然振荡频率,n,6,阻尼比,分别为,0.2,0.4,1.0,2.0,时。

    10、系统的单位阶跃响,应曲线,2,2,2,2,n,n,n,s,s,s,G,20,解,MATLAB,程序如下,ex7_7.m,wn=6,zeta=0.2:0.2:1.0,2.0,hold,on,for,I=zeta,num=wn.2,den=1,2*I*wn,wn.2,step(num,den,end,title,Step,Response,hold,off,结论:阻尼系数越小,超调,量越大,上升时间越短,通,常取,0.40.8,为宜,超调量适,度,调节时间较短,21,例,7-8,对例,7-7,中的典型二阶系统,绘制出,0.7,n,取,2,4,6,8,10,12,时的单位阶跃响应,解,MATLAB,。

    11、程序如下,ex7_8.m,w=2:2:12;zeta=0.7,figure(1);hold on,for wn=w,num=wn.2,den=1,2*zeta*wn,wn.2,step(num,den,end,title(Step Respone,hold off,结论,n,越大,响应速度越快,0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.2,1.4,2,4,12,6,8,10,Step Respone,Time (sec,A,m,p,l,i,t,u,d,e,22,3,离散系统的单位阶跃响应,离散系统的单位阶跃响应函数,dstep,的调,用格式。

    12、为,y,x=dstep(num,den,n,y,x=dstep(G,H,C,D,iu,n,23,例,7-9,已知二阶离散系统,试求其单位阶跃响应,解,MATLAB,程序如下,ex7_9.m,num=2,3.4,1.5,den=1,1.6,0.8,dstep(num,den,title,Discrete,Step,Response,8,0,6,1,5,1,4,3,2,2,2,z,z,z,z,z,G,0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,0.5,0,0.5,1,1.5,2,Discrete Step Response,Time (sec,A,m,p,l,i,t,u,d,e,。

    13、24,例,7-10,对于多输入多输出系统求单位阶跃响应曲线,解,MATLAB,程序如下,ex7_10.m,A=2.25 -5 -1.25 -0.5;2.25 -4.25 -1.25 -0.25,0.25 -0.5 -1.25 -1;1.25 -1.75 -0.25 -0.75,B=4 6;2 4;2 2;0 2,C=0 0 0 1;0 2 0 2,D=zeros(2,2,step(A,B,C,D,25,0,0.5,1,1.5,2,From: In(1,T,o,O,u,t,1,0,2,4,6,8,10,12,0,2,4,6,8,10,T,o,O,u,t,2,From: In(2,0,2,4,6,8,10,12,Step Response,Time (sec,A,m,p,l,i,t,u,d,e,26,4,单位脉冲响应,单,位,脉,冲,响,应,函,数,impulse,和,dimpulse,与单位阶跃函数,step,和,dstep,的调用格式完全一致。

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  • 系统响应及系统稳定性

    千次阅读 2021-04-24 14:56:22
    3、分析、观察及检验系统的稳定性。二、实验原理与方法在时域中,描写系统特性的方法是差分方程和单位脉冲响应,在频域可以用系统函数描述系统特性。已知输入信号可以由差分方程、单位脉冲响应或系统函数求出系统...

    一、实验目的:

    1、掌握求系统响应的方法。 2、掌握时域离散系统的时域特性。 3、分析、观察及检验系统的稳定性。

    二、实验原理与方法

    在时域中,描写系统特性的方法是差分方程和单位脉冲响应,在频域可以用系统函数描述系统特性。已知输入信号可以由差分方程、单位脉冲响应或系统函数求出系统对于该输入信号的响应,本实验仅在时域求解。在计算机上适合用递推法求差分方程的解,最简单的方法是采用MA TLAB 语言的工具箱函数filter 函数。也可以用MA TLAB 语言的工具箱函数conv 函数计算输入信号和系统的单位脉冲响应的线性卷积,求出系统的响应。

    系统的时域特性指的是系统的线性时不变性质、因果性和稳定性。重点分析实验系统的稳定性,包括观察系统的暂态响应和稳定响应。

    系统的稳定性是指对任意有界的输入信号,系统都能得到有界的系统响应。或者系统的单位脉冲响应满足绝对可和的条件。系统的稳定性由其差分方程的系数决定。

    实际中检查系统是否稳定,不可能检查系统对所有有界的输入信号,输出是否都是有界输出,或者检查系统的单位脉冲响应满足绝对可和的条件。可行的方法是在系统的输入端加入单位阶跃序列,如果系统的输出趋近一个常数(包括零),就可以断定系统是稳定的[19]。系统的稳态输出是指当n →∞时,系统的输出。如果系统稳定,信号加入系统后,系统输出的开始一段称为暂态效应,随n 的加大,幅度趋于稳定,达到稳态输出。

    注意在以下实验中均假设系统的初始状态为零。

    三、实验内容及步骤

    1、编制程序,包括产生输入信号、单位脉冲响应序列的子程序,用filter 函数或conv 函数求解系统输出响应的主程序。程序中要有绘制信号波形的功能。

    2、给定一个低通滤波器的差分方程为

    y (n ) =0. 05x (n ) +0. 05x (n -1) +0. 9y (n -1) 输入信号 x 1(n ) =R 8(n ) x 2(n ) =u (n )

    a) 分别求出系统对x 1(n ) =R 8(n ) 和x 2(n ) =u (n ) 的响应序列,并画出其波形。 b) 求出系统的单位冲响应,画出其波形。 3、给定系统的单位脉冲响应为 h 1(n ) =R 10(n )

    h 2(n ) =δ(n ) +2. 5δ(n -1) +2. 5δ(n -2) +δ(n -3)

    用线性卷积法分别求系统h 1(n)和h 2(n)对x 1(n ) =R 8(n ) 的输出响应,并画出波形。

    4、给定一谐振器的差分方程为

    y (n ) =1. 8237y (n -1) -0. 9801y (n -2) +b 0x (n ) -b 0x (n -2) 令 b 0=1/100. 49,谐振器的谐振频率为0.4rad 。

    a) 用实验方法检查系统是否稳定。输入信号为u (n ) 时,画出系统输出波形。 b) 给定输入信号为

    x (n ) =sin(0. 014n ) +s i n 0(. 4n ) 求出系统的输出响应,并画出其波形。

    四、程序清单

    %实验1:系统响应及系统稳定性

    close all;clear all

    %======内容1:调用filter 解差分方程,由系统对u(n)的响应判断稳定性====== A=[1,-0.9];B=[0.05,0.05]; %系统差分方程系数向量B 和A x1n=[1 1 1 1 1 1 1 1 zeros(1,50)]; %产生信号x1(n)=R8(n) x2n=ones(1,128);

    %产生信号x2(n)=u(n) hn=impz(B,A,58); %求系统单位脉冲响应h(n)

    subplot(2,2,1);y='h(n)';tstem(hn,y); %调用函数tstem 绘图 title('(a) 系统单位脉冲响应h(n)');box on

    y1n=filter(B,A,x1n); %求系统对x1(n)的响应y1(n) subplot(2,2,2);y='y1(n)';tstem(y1n,y);

    title('(b) 系统对R8(n)的响应y1(n)');box on

    y2n=filter(B,A,x2n); %求系统对x2(n)的响应y2(n)

    subplot(2,2,4);y='y2(n)';tstem(y2n,y);

    title('(c) 系统对u(n)的响应y2(n)');box on

    %===内容2:调用conv 函数计算卷积============================ x1n=[1 1 1 1 1 1 1 1 ]; %产生信号x1(n)=R8(n) h1n=[ones(1,10) zeros(1,10)]; h2n=[1 2.5 2.5 1 zeros(1,10)]; y21n=conv(h1n,x1n);

    y22n=conv(h2n,x1n); figure(2)

    subplot(2,2,1);y='h1(n)';tstem(h1n,y); %调用函数tstem 绘图 title('(d) 系统单位脉冲响应h1(n)');box on subplot(2,2,2);y='y21(n)';tstem(y21n,y);

    title('(e) h1(n)与R8(n)的卷积y21(n)');box on

    subplot(2,2,3);y='h2(n)';tstem(h2n,y); %调用函数tstem 绘图 title('(f) 系统单位脉冲响应h2(n)');box on subplot(2,2,4);y='y22(n)';tstem(y22n,y);

    title('(g) h2(n)与R8(n)的卷积y22(n)');box on

    %=========内容3:谐振器分析======================== un=ones(1,256); %产生信号u(n)

    n=0:255;

    xsin=sin(0.014*n)+sin(0.4*n); %产生正弦信号

    A=[1,-1.8237,0.9801];B=[1/100.49,0,-1/100.49]; %系统差分方程系数向量B 和A y31n=filter(B,A,un); %谐振器对u(n)的响应y31(n) y32n=filter(B,A,xsin); %谐振器对u(n)的响应y31(n) figure(3)

    subplot(2,1,1);y='y31(n)';tstem(y31n,y);

    title('(h) 谐振器对u(n)的响应y31(n)');box on subplot(2,1,2);y='y32(n)';tstem(y32n,y);

    title('(i) 谐振器对正弦信号的响应y32(n)');box on

    五、实验结果与波形

    六、分析与简述

    1、求系统响应的方法有两种,一种是通过解差分方程求得系统输出;一种是已知系统的单位脉冲响应,通过求输入信号和系统单位脉冲响应的线性卷积求得系统输出。

    2、要检验系统稳定性,需在输入端加入阶跃序列,观测输出波形,如果波形稳定,则系统稳定,反之则不稳定。

    3、谐振器具有对某一频率进行谐振的性质。实验中谐振频率为4rad ,因此稳定波形为sin (0.4n )。

    4、倘若输入信号为无限长序列,系统的单位脉冲响应是有限长序列,可用分段线性卷积法求系统响应。

    5、如果信号经过低通滤波器,把信号的高频分量滤掉,时域信号的剧烈变化将被平滑,由实验内容(1)结果图10.1.1(a)、(b)和(c)可见,经过系统低通滤波使输入信号δ(n ) 、

    x 1(n ) =R 8(n ) 和x 2(n ) =u (n ) 的阶跃变化变得缓慢上升与下降。

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  • 简单区分从事故、稳定方面简单理解如下:名词简单理解可靠性不出事故可用性不出事故 出事故后,快速止损ddd--稳定性解决故障问题基础上 服务持续稳定、性能稳定总体对比可用性可靠性稳定性英文...系统在给定时间内总体...

    简单区分

    从事故、稳定方面简单理解如下:

    名词

    简单理解

    可靠性

    不出事故

    可用性

    不出事故 出事故后,快速止损

    ddd-

    -

    稳定性

    解决故障问题基础上 服务持续稳定、性能稳定

    总体对比

    可用性

    可靠性

    稳定性

    英文

    Availability

    Reliability

    Stability

    关注点

    关注的是服务总体的持续时间。

    系统在给定时间内总体的运行时间越长,可用性越高。

    关注系统可以无故障地持续运行的概率,关注的是故障率。

    故障的频率越高,可靠性越低。

    影响可靠性的因素就是能够引起故障的所有因素,包括软件设计错误,编码错误,硬件故障等等。

    指软件在一个运行周期内、在一定的压力条件下,在持续操作时间内出错的概率,性能劣化趋势等等。

    如果一个系统的性能时好时坏,它一定是不稳定的,而不一定是不可靠的。

    稳定性更关注系统在给定条件下的响应是否一致,行为是否稳定。

    可靠是可用的前提,稳定是可靠的进一步提升。

    对比

    在《分布式系统原理与范型》中提到的下面例子中比较准确的解释了两者的区别:

    如果系统在每小时崩溃1ms,那么它的可用性就超过99.9999%,但是它还是高度不可靠。

    与之类似,如果一个系统从来不崩溃,但是每年要停机两星期,那么它是高度可靠的,但是可用性只有96%。

    作为系统的响应,首要目标是先降低故障的次数,频率要低,从而提高可靠性;

    同时在故障出现后,要提高故障的恢复时间,速度要快,从而提高业务的可用性。

    对比

    对于电力系统而言,

    稳定性就是“人民用电不要忽明忽暗忽快忽慢”,可靠性就是”不要用着用着突然没有啦“。

    -知乎盛夏白日梦

    故障与出错的差别

    可用性

    可用性指系统在给定时间内可以正常工作的概率,通常用SLA(服务等级协议,service level agreement)指标来表示。

    这是这段时间的总体的可用性指标。

    通俗叫法

    可用性级别

    年度宕机时间

    每天宕机时间

    1个9

    90%

    36.5天

    2.4小时

    2个9

    99%

    87.6小时

    14分钟

    3个9

    99.9%

    8.76小时

    86秒

    4个9

    99.99%

    52.6分钟

    8.6秒

    5个9

    99.999%

    5.26分钟,315.36秒

    0.86秒

    可靠性

    可靠性相关的几个指标如下:

    MTBF(Mean Time Between Failure)

    即平均无故障时间,是指从新的产品在规定的工作环境条件下开始工作到出现第一个故障的时间的平均值。

    MTBF越长表示可靠性越高,正确工作能力越强 。

    MTTR(Mean Time To Repair)

    即平均修复时间,是指可修复产品的平均修复时间,就是从出现故障到修复中间的这段时间。

    MTTR越短表示易恢复性越好。

    MTTF(Mean Time To Failure)

    即平均失效时间。系统平均能够正常运行多长时间,才发生一次故障。

    系统的可靠性越高,平均无故障时间越长。

    这些指标跟可用性关系

    稳定性

    Stackoverflow 看到这样一段代码来表示稳定性和可靠性的区别,甚为有趣:

    参考:

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空空如也

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