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前言

空间解析几何中有平面及其方程、空间直线及其方程、曲面及其方程、空间曲线及其方程，有时候就怀疑这个空间的真实性，高维空间中我们是怎样的存在，害，好像有点杞人忧天了，每天吃好、喝好、睡好、学习搞好就阿弥陀佛了，来进入正题吧。

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一、平面及其方程

平面的点法式方程

已知平面上一点$M_0\left(x_0,y_0,z_0\right)$和平面的一个法向量$\vec{n}=\left(A,B,C\right)$
对于平面上任意一点
$$M\left(x,y,z\right)$$
三者满足
$$\vec{n}\cdot \overrightarrow{M_{0}M}=0$$
点法式方程为
$$A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0$$

平面的一般方程

三元一次方程
$$Ax+By+Cz+D=0$$
其图形总是一个平面，称为平面的一般方程
该平面的法向量为
$$\vec{n}=\left(A,B,C\right)$$
通过原点的平面方程：$Ax+By+Cz=0$
平行于$x$轴的平面方程：$By+Cz+D=0$
平行于$y$轴的平面方程：$Ax+Cz+D=0$
平行于$z$轴的平面方程：$Ax+By+D=0$
平行于$xOy$平面的平面方程：$Cz+D=0$
平行于$yOz$平面的平面方程：$Ax+D=0$
平行于$xOz$平面的平面方程：$By+D=0$

平面的截距式方程

一平面与$x$轴、$y$轴、$z$轴的交点依次为$\left(a,0,0\right)\text{、}Q\left(0,b,0\right)\text{、}R\left(0,0,c\right)$
且$a\ne 0\text{、}b\ne 0\text{、}c\ne 0$
截距式方程为
$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$
$a$、$b$、$c$依次称为平面在$x$轴、$y$轴和$z$轴上的截距

两平面的夹角

平面${\Pi }_1$和平面${\Pi }_2$的法向量分别为$\overrightarrow{n_1}=\left(A_1,B_1,C_1\right)$和$\overrightarrow{n_2}=\left(A_2,B_2,C_2\right)$，两平面的夹角为$\theta$且$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$
平面${\Pi }_1$和平面${\Pi }_2$夹角的余弦为
$$\cos \theta =\frac{|A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$$

点到平面的距离公式

已知点$P_0\left(x_0,y_0,z_0\right)$和平面$Ax+By+Cz+D=0$
点到平面的距离
$$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

二、空间直线及其方程

空间直线的一般方程

两平面的交线即为一条空间直线
平面${\Pi }_1:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0$
平面${\Pi }_2:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$
一般方程为
$$\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$$

空间直线的对称式方程（点向式方程）

已知直线$L$上任意一点$M\left(x,y,z\right)$和点$M_0\left(x_0,y_0,z_0\right)$
直线$L$的方向向量为$\vec{s}=\left(m,n,p\right)$
则有$\overrightarrow{M{M}_0}=\lambda \vec{s}$
点向式方程为
$$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$$

空间直线的参数方程

令点向式方程等于$t$，即
$$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t$$
则参数方程为
$$\{\begin{array}{l}x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\\ z=z_0+pt\end{array}$$

两直线的夹角

直线$L_1$的方向向量为$\overrightarrow{s_1}=(m_1,n_1,p_1)$，直线$L_2$的方向向量为$\overrightarrow{s_2}=(m_2,n_2,p_2)$
两直线的夹角为$\phi$并且$0\le \phi \le \frac{\pi }{2}$
两直线夹角的余弦为
$$\cos \phi =\frac{|m_1{m}_2+n_1{n}_2+p_1{p}_2|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}$$

直线与平面的夹角

其中直线与平面的夹角范围为$0\le \phi <\frac{\pi }{2}$
直线的方向向量为$\vec{s}=\left(m,n,p\right)$，平面的法向量为$\vec{n}=\left(A,B,C\right)$
直线与平面夹角的正弦为
$$\sin \phi =\frac{|Am+Bn+Cp|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{m^2+n^2+p^2}}$$

平面束方程

设直线$L$由方程组
$$\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$$确定，其中$A_1\text{、}{B}_1\text{、}{C}_1\text{和}{A}_2\text{、}{B}_2\text{、}{C}_2$不成比例
通过直线$L$的所有平面的全体称为平面束
平面束方程为
$$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1+\lambda \left(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2\right)=0$$

三、曲面及其方程

旋转曲面

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。
譬如：曲线$C:f\left(y,z\right)=0$
其绕$z$轴旋转一周得到的的旋转曲面的方程为
$$f\left(\pm \sqrt{x^2+y^2},z\right)=0$$
即在空间直角坐标系中绕$z$轴旋转，曲线方程中$z$坐标不变，$y$坐标变为$\pm \sqrt{x^2+y^2}$即可得到旋转曲面的方程。

图中的黑色实线分别表示$x$轴、$y$轴和$z$轴

旋转单叶双曲面

将$xOz$坐标面上的双曲线
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$
绕$z$轴旋转一周得到
旋转单叶双曲面方程为
$$\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$
图形
$三维视图$

$yOz视图$

$xOy视图$

旋转双叶双曲面

将$xOz$坐标面上的双曲线
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$
绕$x$轴旋转一周得到
旋转双叶双曲面方程为
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{c^2}=1$$
图形
$三维视图$

$yOz视图$

$xOy视图$

旋转椭球面

方程
$$\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$
图形
$三维视图$

$yOz视图$

$xOy视图$

柱面

直线$L$沿定曲线$C$平行移动形成的轨迹叫做柱面，定曲线$C$叫做柱面的准线，动直线$L$叫做柱面的母线
也可以这样认为：在三维坐标系中某个二维坐标面内的曲线沿另一条坐标轴堆叠起来的图形叫做柱面，所以柱面方程中一定只有两个未知量。
只有两个未知量的平面方程所表示的图形也是柱面，譬如：$x-z=0$

抛物柱面

譬如：$y=x^2$
图形
$三维视图$

$yOz视图$

$xOy视图$

椭圆柱面

譬如
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
图形
$三维视图$

$yOz视图$

$xOy视图$

双曲柱面

譬如
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$
图形
$三维视图$

$yOz视图$

$xOy视图$

二次曲面

三元二次方程$F(x,y,z)=0$所表示的曲面称为二次曲面，把平面称为一次曲面
以下二次曲面均可以通过$xOy$、$yOz$或$xOz$面内的曲线绕某条坐标轴旋转然后伸缩变换得到，称为伸缩变形方法； 还可以通过截痕法来了解曲面形状（自行翻阅书本）

椭圆锥面

方程
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2$$
图形
$三维视图$

$yOz视图$

$xOy视图$

椭球面

方程
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$
图形
$三维视图$

$yOz视图$

$xOy视图$

单叶双曲面

方程
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$
图形
$三维视图$

$yOz视图$

$xOy视图$

双叶双曲面

方程
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$
图形
$三维视图$

$yOz视图$

$xOy视图$

椭圆抛物面

方程
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$$
图形
$三维视图$

$yOz视图$

$xOy视图$

双曲抛物面

方程
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$$
图形
$三维视图$

$yOz视图$

$xOy视图$

四、空间曲线及其方程

空间曲线的一般方程

空间曲线可以看作两个曲面的交线
设$F(x,y,z)=0$和$G(x,y,z)=0$是两个曲面的方程
空间曲线的一般方程为
$$\{\begin{array}{l}F\left(x,y,z\right)=0\\ G\left(x,y,z\right)=0\end{array}$$

空间曲线的参数方程

将空间曲线$C$上动点坐标$x$、$y$和$z$表示为参数$t$的函数得到空间曲线的参数方程
$$\{\begin{array}{l}x=x\left(t\right)\\ y=y\left(t\right)\\ z=z\left(t\right)\end{array}$$
譬如：$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=9\\ y=x\end{array}$的参数方程为$\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{\sqrt{2}}\cos \theta \\ y=\frac{3}{\sqrt{2}}\cos \theta \\ z=3\sin \theta \end{array}\left(0\le \theta \le 2\pi \right)$

空间曲线在坐标面上的投影

以$xOy$坐标面为例
将空间曲线$C$的一般方程消去变量$z$后得到方程$H(x,y)=0$，该方程表示的是曲线$C$关于$xOy$面的投影柱面，而该投影柱面与$xOy$面的交线叫做空间曲线$C$在$xOy$面上的投影曲线，简称投影。
投影的方程为
$$\{\begin{array}{l}H\left(x,y\right)=0\\ z=0\end{array}$$
其他坐标面与该坐标面的做法相同

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总结

以上三维图形的绘制均是借助$matlab$软件实现的，相关代码请参考博客：空间中常见曲面图形的绘制(matlab)
文章中绘制的三维图形在这里可以找到
链接：https://pan.baidu.com/s/1-VgPeuLABTe91_LPlCG4eg
提取码：zjmd

1.行列式

1.1.行列式性质

注意：

• 性质1.3 注意和矩阵的数乘区分，这里是只乘在了一行上，而矩阵数乘是乘在每一个元素上。
• 性质1.5.是可以使用高斯消元法计算行列式的重要原因。

1.2.行列式计算——行列式展开定理

注意：

• 代数余子式是有符号的！
• 一种特殊的行列式——范德蒙行列式

2.矩阵

2.1.数域

2.2.方阵

2.2.1.方阵的幂

2.2.2.方阵的行列式乘法公式

2.3.伴随矩阵

2.4.矩阵的初等变换

2.4.1.矩阵的等价

2.4.2.矩阵的标准形

2.5.矩阵的秩

2.5.1子式和秩

注意：只有零矩阵的秩才是0.

2.5.2.初等变换法求矩阵的秩

2.6.初等矩阵

2.6.1.矩阵等价的充要条件

注意：

• 推论2.2说明乘以一个可逆矩阵不改变当前矩阵的秩

2.6.2.初等变换法求矩阵的逆

高斯消元。

2.7.分块矩阵

2.7.1.分块矩阵求幂

2.7.2.分块矩阵求行列式

2.7.3.分块矩阵求逆

2.8.分块矩阵的初等变换

3.几何向量

3.1.数量积、向量积和混合积

• 数量积几何意义是投影
• 向量积是有向平行四边形的面积
• 混合积是有向平行六面体的体积，是先算向量积得到平行四边形的面积，再算向量积得投影（也就是六面体的高）

3.2.空间中的平面与直线

4.n维向量

4.1.向量组的线性相关性

4.2.向量组的秩

4.2.1.向量组的等价

4.2.2.极大无关组和向量组的秩

4.2.3.矩阵的秩和向量组的秩的关系

4.3.向量空间

4.3.1.基和维数

4.3.2.坐标变换（重要）

注意：

• 坐标变换和后面的线性变换有相关性，注意和后面的对比和区分。
• 理解这里的基变换公式中的过渡矩阵的位置。根据上面的公式可知，从一组基${\alpha }_i$到另一组基${\beta }_i$的过渡矩阵P，P的每一列实际上就是${\beta }_i$在${\alpha }_i$下的表示，也就是${\beta }_i$在${\alpha }_i$下的坐标。
• 理解坐标变换公式：一个向量在基${\beta }_i$下表示的坐标是$x^{\prime }$，转换到基${\alpha }_i$下表示为$x$，所以就是$x=P\ast x^{\prime }$。可以这样记忆，假设$x^{\prime }=(1,0,0...0{)}^T$，那么$P\ast x^{\prime }得到矩阵P的第一列，$实际上就是${\beta }_1$在基$\alpha$下的表示。

4.3.3.规范正交基

4.3.4.Schmidt正交化方法

4.4.正交矩阵

5.线性方程组

5.1.方程组有解的充要条件

注意：

• 齐次线性方程组总有解，因为零向量始终是它的解
• 非齐次线性方程组有解的充要条件是R(A)=R(B)，由于矩阵的秩等于高斯消元之后得到的行阶梯形矩阵中非零行的个数，所以这里R(A)=R(B)就等价于最后A和B消元后非零行的个数是相等的，就相当于左边是0右边也要是0，这样非齐次线性方程组就有解。

5.2.线性方程组解的结构

5.2.1.齐次线性方程组解的结构

注意：这里求通解的时候，就是把自由变量依次取为1，然后求得一个解空间的基。

5.2.2.非齐次线性方程组解的结构

注意：

• 这里求特解的时候，就是把所有的自由变量都置为0，求得的解向量就是特解。因为如果自由变量不是0的话，实际上此时得到的解向量中就包含$Ax=0$的通解向量中的成分，答案是没问题的，只不过不是“纯净”的特解。
• 在求通解的时候就是正常按照$Ax=0$的求解方式进行求解，也就是对各个自由变量分别赋值为1，然后求得解空间的一个基向量。

6.特征值、特征向量和相似矩阵

6.1.特征值的性质

6.2.实对称矩阵的特征值和特征向量

6.3.相似矩阵

6.3.1.相似矩阵的定义

6.3.2.方阵相似对角化的条件及方法

6.3.3.几何重数和代数重数

6.3.4.实对称矩阵的正交相似对角化

注意：

• 实对称矩阵的一个性质就是属于不同特征值的特征向量必定正交，并且所有特征值的几何重数等于代数重数，所以实对称矩阵一定可以相似对角化。
• 所以在求实对称矩阵的正交相似对角化矩阵的时候，只需要把属于同一个特征值的特征向量进行施密特正交化，让这些“类内”特征向量正交，而“类外”特征向量本来就正交，所以最后得到的特征向量组就全都是正交的。

7.线性空间与线性变换

7.1.线性空间的概念

注意：

• 这里没有很理解线性空间和向量空间之间的区别。

7.2.线性空间的基和维数

7.3.线性变换（重要）

7.3.1.线性变换的定义

7.3.2.线性变换的性质

7.3.3.线性变换的矩阵表示（重要）

7.3.3.1. 线性变换在某个基下的矩阵A

7.3.3.2. 使用线性变换的矩阵A对坐标进行变化

注意：

• 理解这里的线性变换在某个基下的矩阵A：这里的矩阵A和前面向量坐标变换时的矩阵P是一样的。实际上，对基${ϵ}_i$进行线性变换得到的$\mathcal{A}({ϵ}_i)$就相当于是向量坐标变换中的另一组基${\beta }_i$，也就是基${\beta }_i$在基${\alpha }_i$（也就是这里的$ϵ$）下的表示。
• 但是这里的$\mathcal{A}$的矩阵对向量$x$进行线性变换后的坐标和前面的向量坐标的变换是相反的，原因在于这里的线性变换是把一个向量进行线性变换（旋转缩放等），然后新的坐标就是变换后的新的向量仍然在原来的基${ϵ}_i$下的表示。可以这样记忆，假设原来的向量$x=(1,0,0...0{)}^T$，那么$A\ast x$得到矩阵A的第一列，实际上就是${ϵ}_1$经过线性变换后仍然在基${\alpha }_i$下表示的坐标。

7.3.3.3. 同一个线性变换在不同的基下的矩阵之间的关系

8.二次型与二次曲面

8.1.二次型的定义及其矩阵

8.2.合同矩阵

8.3.实二次型的标准型

8.4.使用正交变换化为标准二次型

8.5.正定矩阵和正定二次型（重要）

注意：根据上面的两个推论可以知道正定矩阵的几个性质：

• 正定矩阵一定是对称矩阵（这是定义前提决定的）
• 正定矩阵的特征值全部大于0
• 正定矩阵可以分解为一个可逆矩阵的转置和这个可逆矩阵的乘积

1，向量的概念

1.1 一般在数学上只研究与起点无关的向量（自由向量），即只考虑向量的大小和方向。
1.2 向量的大小叫做向量的模。
1.3 $非零向量\vec{r}与三条坐标轴的夹角\alpha ,\beta ,\gamma 称为向量\vec{r}的方向角。$
1.4 $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma 称为向量\vec{r}的方向余弦。$
$以向量\vec{r}的方向余弦为坐标的向量就是与\vec{r}同方向的单位向量\vec{e}.$

2，基本运算

2.1 数量积（结果为一个数值）
$\vec{a}\times \vec{b}=|\vec{a}|\times |\vec{b}|\times \cos \theta$
2.2 向量积（结果为一个向量）
$\vec{a}\times \vec{b}=\vec{c}，$
其中$\vec{c}的模为|\vec{c}|=|\vec{a}|\times |\vec{b}|\times \sin \theta .$
方向判断方法如下：

向量积与数量积不同点在于它不满足交换律：
$\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}$.
（向量积除了不满足交换律，其它的性质和数量积一样，包括进行极限运算时。）
向量积可以写成行列式的形式：
$\vec{a}=(a_x,a_y,a_z),\vec{b}=(b_x,b_y,b_z)$，则

$$\vec{a}\times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|$$
2.3 混合积
$先把向量\vec{a}和\vec{b}作向量积，再与向量\vec{c}作数量积。$
$$[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=(\vec{a}\times \vec{b})\vec{c}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}\right|$$
混合积的几何意义：$它是这样一个数，它的绝对值表示以向量\vec{a},\vec{b},\vec{c}为棱的平行六面体的体积。$

3，曲面及其方程

3.1 在空间解析几何中，任何曲面都可以看做点的几何轨迹。在这样的意义下，如果曲面S与三元方程:
F(x,y,z)=0有下述关系：
（1），曲面S上任一点的坐标都满足方程（1）；
（2），不在曲面S上的点的坐标都不满足方程（1）；
那么，方程（1）就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程(1)的图形。

3.2 空间曲面的参数方程。
通常是含有两个参数的方程，形式如下：
$$\{\begin{array}{l}x=x(s,t),\\ y=y(s,t),\\ z=z(s,t).\end{array}$$

4，平面及其方程

4.1 点法式方程
$已知平面的法向量\vec{n}=(A,B,C)和平面上一点M_0(x_0,y_0,z_0)，则平面的方程为$
$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$。
4.2 一般方程
三元一次方程对应着一个平面：
$Ax+By+Cz+D=0$。

5，空间直线及其方程

5.1 一般方程
可以理解为两个平面相交得到的直线
$$\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0,\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0.\end{array}$$
5.2 点向式方程（对称式方程）
$已知直线的方向向量\vec{s}=(m,n,p)和平面上一点M_0(x_0,y_0,z_0)，则直线的方程为$
$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$（如果两向量平行，那么它们的各个坐标之比相等）。
5.3 参数方程
如果令$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t$，则
$$\{\begin{array}{l}x=x_0+mt,\\ y=y_0+nt,\\ z=z_0+pt.\end{array}$$