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  • 2021-04-22 01:27:45

    Matlab 数学软件包在向量代数—空间解析几何中的应用

    高等数学作为高校理工科的一门重要的数学基础课程,在自然科学和工程技术等诸多领域有着广泛的应用。向量代数-空间解析几何是高等数学的一个重要组成部分,主要包含二阶及三阶行列式、空间直角坐标系、线性方程组、矩阵及其运算、向量的数量积与向量积、平面及其方程、空间直线及其方程和二次曲面与空间曲线等内容,该课程逻辑性强、计算技巧高、具有较强的抽象性。传统的数学教学偏重自身的理论体系,过于强调相关内容的基本定义、定理及其证明,对其方法和应用重视不够,几乎不涉及数值计算,使学生看不到学习的用处,失去主动学习的兴趣和热情。

    Matlab是目前广泛使用的一个数学软件包,且成功地应用于各工程学科的研究领域。它具有强大的(矩阵)数值计算功能、符号运算功能和绘图功能(计算结果的可视化功能)。通过编制简单的程序可以解决大量的数学问题,将其应用到教学中,教师就可以用一种可视的,直观的形式传播新思想,减少抽象性,加强实用性,从而提高学生学习数学的兴趣。

    由于向量代数-空间解析几何的许多知识点如行列式、线性方程组的求解及向量空间等都和矩阵紧密联系,因此MATLAB 是辅助教学的有力工具。下面介绍MATLAB 在向量代数-空间解析几何中应用的几个例子。

    1矩阵求逆、求秩及行列式求解。

    在向量代数-空间解析几何的教学中,矩阵求逆、求秩及行列式计算会比较繁琐的,尤其是对于阶数比较大的矩阵,而借助MATLAB,只需用几个简单的函数命令即可实现:矩阵的求逆实现---函数“inv”;矩阵求秩的实现---函数“rank”;方阵行列式的求解---函数“det”,这大大简化了计算过程。

    2求解线性方程组。

    线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位。求解线性方程组可用矩阵的初等变换,在方程个数及未知数个数较少时,人工计算可以得出结果。在方程个数及未知数个数较大时,人工计算有时很不可行。

    此时,借助MATLAB 软件求解能快捷地得出正解。

    3空间曲线参数方程绘图。

    几何图形为了计算的简便会用代数方法表示,而因此也增加了一定的抽象性。为了研究曲线方程的几何性质往往借助于绘制图形,这也就是所谓的数形结合。二维平面曲线可以手工绘制,而3维的曲线,尤其是超越方程的曲线绘制具有一定困难。而借助于matlab软件这些问题可以轻松解决。下面给出一例。

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    2019-04-28 18:34:45
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  • 空间解析几何 苏步青

    2011-01-09 13:40:03
    空间解析几何 苏步青 华宣积 忻元龙 张国梁 上海科学技术出版社 个人认为是最好的空间解析几何教材,很难找.
  • 空间解析几何与线性代数(第2版)》可作为工科大学本科生的数学课教材,也可供准备报考工科硕士研究生的人员与工程技术人员参考。
  • 说来让人唏嘘,学个空间解析几何快把自己弄没了,空间中有平面及其方程、空间直线及其方程、曲面及其方程、空间曲线及其方程,可唯独就是容不下我,实在令人痛心,所以要下定决心把它们区分清楚!!! 一、平面...


    前言

    空间解析几何中有平面及其方程空间直线及其方程曲面及其方程空间曲线及其方程,有时候就怀疑这个空间的真实性,高维空间中我们是怎样的存在,害,好像有点杞人忧天了,每天吃好、喝好、睡好、学习搞好就阿弥陀佛了,来进入正题吧。


    一、平面及其方程

    平面的点法式方程

    已知平面上一点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) M_0\left( x_0,y_0,z_0 \right) M0(x0,y0,z0)和平面的一个法向量 n ⃗ = ( A , B , C ) \vec{n}=\left( A,B,C \right) n =(A,B,C)
    对于平面上任意一点
    M ( x , y , z ) M\left( x,y,z \right) M(x,y,z)
    三者满足
    n ⃗ ⋅ M 0 M → = 0 \vec{n}\cdot \overrightarrow{M_0M}=0 n M0M =0
    点法式方程为
    A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 A\left( x-x_0 \right) +B\left( y-y_0 \right) +C\left( z-z_0 \right) =0 A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0

    平面的一般方程

    三元一次方程
    A x + B y + C z + D = 0 Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0
    其图形总是一个平面,称为平面的一般方程
    该平面的法向量为
    n ⃗ = ( A , B , C ) \vec{n}=\left( A,B,C \right) n =(A,B,C)
    通过原点的平面方程: A x + B y + C z = 0 Ax+By+Cz=0 Ax+By+Cz=0
    平行于 x x x轴的平面方程: B y + C z + D = 0 By+Cz+D=0 By+Cz+D=0
    平行于 y y y轴的平面方程: A x + C z + D = 0 Ax+Cz+D=0 Ax+Cz+D=0
    平行于 z z z轴的平面方程: A x + B y + D = 0 Ax+By+D=0 Ax+By+D=0
    平行于 x O y xOy xOy平面的平面方程: C z + D = 0 Cz+D=0 Cz+D=0
    平行于 y O z yOz yOz平面的平面方程: A x + D = 0 Ax+D=0 Ax+D=0
    平行于 x O z xOz xOz平面的平面方程: B y + D = 0 By+D=0 By+D=0

    平面的截距式方程

    一平面与 x x x轴、 y y y轴、 z z z轴的交点依次为 ( a , 0 , 0 ) 、 Q ( 0 , b , 0 ) 、 R ( 0 , 0 , c ) \left( a,0,0 \right) \text{、}Q\left( 0,b,0 \right) \text{、}R\left( 0,0,c \right) (a,0,0)Q(0,b,0)R(0,0,c)
    a ≠ 0 、 b ≠ 0 、 c ≠ 0 a\ne 0\text{、}b\ne 0\text{、}c\ne 0 a=0b=0c=0
    截距式方程为
    x a + y b + z c = 1 \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 ax+by+cz=1
    a a a b b b c c c依次称为平面在 x x x轴、 y y y轴和 z z z轴上的截距

    两平面的夹角

    平面 Π 1 \varPi _1 Π1和平面 Π 2 \varPi _2 Π2的法向量分别为 n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) \overrightarrow{n_1}=\left( A_1,B_1,C_1 \right) n1 =(A1,B1,C1) n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) \overrightarrow{n_2}=\left( A_2,B_2,C_2 \right) n2 =(A2,B2,C2),两平面的夹角为 θ \theta θ 0 ≤ θ ≤ π 2 0\le \theta \le \frac{\pi}{2} 0θ2π
    平面 Π 1 \varPi _1 Π1和平面 Π 2 \varPi _2 Π2夹角的余弦为
    cos ⁡ θ = ∣ A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 ∣ A 1 2 + B 1 2 + C 1 2 A 2 2 + B 2 2 + C 2 2 \cos \theta =\frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}} cosθ=A12+B12+C12 A22+B22+C22 A1A2+B1B2+C1C2

    点到平面的距离公式

    已知点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0\left( x_0,y_0,z_0 \right) P0(x0,y0,z0)和平面 A x + B y + C z + D = 0 Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0
    点到平面的距离
    d = ∣ A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ∣ A 2 + B 2 + C 2 d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} d=A2+B2+C2 Ax0+By0+Cz0+D

    二、空间直线及其方程

    空间直线的一般方程

    两平面的交线即为一条空间直线
    平面 Π 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 \varPi _1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 Π1:A1x+B1y+C1z+D1=0
    平面 Π 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 \varPi _2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 Π2:A2x+B2y+C2z+D2=0
    一般方程为
    { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 \left\{ \begin{array}{l} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\\ \end{array} \right. {A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0

    空间直线的对称式方程(点向式方程)

    已知直线 L L L上任意一点 M ( x , y , z ) M\left( x,y,z \right) M(x,y,z)和点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) M_0\left( x_0,y_0,z_0 \right) M0(x0,y0,z0)
    直线 L L L的方向向量为 s ⃗ = ( m , n , p ) \vec{s}=\left( m,n,p \right) s =(m,n,p)
    则有 M M 0 → = λ s ⃗ \overrightarrow{MM_0}=\lambda \vec{s} MM0 =λs
    点向式方程为
    x − x 0 m = y − y 0 n = z − z 0 p \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} mxx0=nyy0=pzz0

    空间直线的参数方程

    令点向式方程等于 t t t,即
    x − x 0 m = y − y 0 n = z − z 0 p = t \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t mxx0=nyy0=pzz0=t
    则参数方程为
    { x = x 0 + m t y = y 0 + n t z = z 0 + p t \left\{ \begin{array}{l} x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\\ z=z_0+pt\\ \end{array} \right. x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt

    两直线的夹角

    直线 L 1 L_{1} L1的方向向量为 s 1 ⃗ = ( m 1 , n 1 , p 1 ) \vec{s_{1}}=(m_{1},n_{1},p_{1}) s1 =(m1,n1,p1),直线 L 2 L_{2} L2的方向向量为 s 2 ⃗ = ( m 2 , n 2 , p 2 ) \vec{s_{2}}=(m_{2},n_{2},p_{2}) s2 =(m2,n2,p2)
    两直线的夹角为 φ \varphi φ并且 0 ≤ φ ≤ π 2 0\le \varphi \le \frac{\pi}{2} 0φ2π
    两直线夹角的余弦为
    cos ⁡ φ = ∣ m 1 m 2 + n 1 n 2 + p 1 p 2 ∣ m 1 2 + n 1 2 + p 1 2 m 2 2 + n 2 2 + p 2 2 \cos \varphi =\frac{|m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_{2}^{2}+n_{2}^{2}+p_{2}^{2}}} cosφ=m12+n12+p12 m22+n22+p22 m1m2+n1n2+p1p2

    直线与平面的夹角


    其中直线与平面的夹角范围为 0 ≤ φ < π 2 0\le \varphi <\frac{\pi}{2} 0φ<2π
    直线的方向向量为 s ⃗ = ( m , n , p ) \vec{s}=\left( m,n,p \right) s =(m,n,p),平面的法向量为 n ⃗ = ( A , B , C ) \vec{n}=\left( A,B,C \right) n =(A,B,C)
    直线与平面夹角的正弦为
    sin ⁡ φ = ∣ A m + B n + C p ∣ A 2 + B 2 + C 2 m 2 + n 2 + p 2 \sin \varphi =\frac{|Am+Bn+Cp|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{m^2+n^2+p^2}} sinφ=A2+B2+C2 m2+n2+p2 Am+Bn+Cp

    平面束方程

    设直线 L L L由方程组
    { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 \left\{ \begin{array}{l} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\\ \end{array} \right. {A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0确定,其中 A 1 、 B 1 、 C 1 和 A 2 、 B 2 、 C 2 A_1\text{、}B_1\text{、}C_1\text{和}A_2\text{、}B_2\text{、}C_2 A1B1C1A2B2C2不成比例
    通过直线 L L L的所有平面的全体称为平面束
    平面束方程为
    A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + λ ( A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 ) = 0 A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\lambda \left( A_2x+B_2y+C_2z+D_2 \right) =0 A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0

    三、曲面及其方程

    旋转曲面

    以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面,旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。
    譬如:曲线 C : f ( y , z ) = 0 C:f\left( y,z \right) =0 C:f(y,z)=0
    其绕 z z z轴旋转一周得到的的旋转曲面的方程为
    f ( ± x 2 + y 2 , z ) = 0 f\left( \pm \sqrt{x^2+y^2},z \right) =0 f(±x2+y2 ,z)=0
    即在空间直角坐标系中绕 z z z轴旋转,曲线方程中 z z z坐标不变, y y y坐标变为 ± x 2 + y 2 \pm \sqrt{x^2+y^2} ±x2+y2 即可得到旋转曲面的方程。

    图中的黑色实线分别表示 x x x轴、 y y y轴和 z z z

    旋转单叶双曲面

    x O z xOz xOz坐标面上的双曲线
    x 2 a 2 − z 2 c 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2c2z2=1
    z z z轴旋转一周得到
    旋转单叶双曲面方程为
    x 2 + y 2 a 2 − z 2 c 2 = 1 \frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2+y2c2z2=1
    图形
    三 维 视 图 三维视图

    y O z 视 图 yOz视图 yOz

    x O y 视 图 xOy视图 xOy

    旋转双叶双曲面

    x O z xOz xOz坐标面上的双曲线
    x 2 a 2 − z 2 c 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2c2z2=1
    x x x轴旋转一周得到
    旋转双叶双曲面方程为
    x 2 a 2 − y 2 + z 2 c 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{c^2}=1 a2x2c2y2+z2=1
    图形
    三 维 视 图 三维视图

    y O z 视 图 yOz视图 yOz

    x O y 视 图 xOy视图 xOy

    旋转椭球面

    方程
    x 2 + y 2 a 2 + z 2 c 2 = 1 \frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2+y2+c2z2=1
    图形
    三 维 视 图 三维视图

    y O z 视 图 yOz视图 yOz

    x O y 视 图 xOy视图 xOy

    柱面

    直线 L L L沿定曲线 C C C平行移动形成的轨迹叫做柱面,定曲线 C C C叫做柱面的准线,动直线 L L L叫做柱面的母线
    也可以这样认为:在三维坐标系中某个二维坐标面内的曲线沿另一条坐标轴堆叠起来的图形叫做柱面,所以柱面方程中一定只有两个未知量。
    只有两个未知量的平面方程所表示的图形也是柱面,譬如: x − z = 0 x-z=0 xz=0

    抛物柱面

    譬如: y = x 2 y=x^{2} y=x2
    图形
    三 维 视 图 三维视图

    y O z 视 图 yOz视图 yOz

    x O y 视 图 xOy视图 xOy

    椭圆柱面

    譬如
    x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2+b2y2=1
    图形
    三 维 视 图 三维视图

    y O z 视 图 yOz视图 yOz

    x O y 视 图 xOy视图 xOy

    双曲柱面

    譬如
    x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2b2y2=1
    图形
    三 维 视 图 三维视图

    y O z 视 图 yOz视图 yOz

    x O y 视 图 xOy视图 xOy

    二次曲面

    三元二次方程 F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0所表示的曲面称为二次曲面,把平面称为一次曲面
    以下二次曲面均可以通过 x O y xOy xOy y O z yOz yOz x O z xOz xOz面内的曲线绕某条坐标轴旋转然后伸缩变换得到,称为伸缩变形方法; 还可以通过截痕法来了解曲面形状(自行翻阅书本)

    椭圆锥面

    方程
    x 2 a 2 + y 2 b 2 = z 2 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2 a2x2+b2y2=z2
    图形
    三 维 视 图 三维视图

    y O z 视 图 yOz视图 yOz

    x O y 视 图 xOy视图 xOy

    椭球面

    方程
    x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2+b2y2+c2z2=1
    图形
    三 维 视 图 三维视图

    y O z 视 图 yOz视图 yOz

    x O y 视 图 xOy视图 xOy

    单叶双曲面

    方程
    x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2+b2y2c2z2=1
    图形
    三 维 视 图 三维视图

    y O z 视 图 yOz视图 yOz

    x O y 视 图 xOy视图 xOy

    双叶双曲面

    方程
    x 2 a 2 − y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2b2y2c2z2=1
    图形
    三 维 视 图 三维视图

    y O z 视 图 yOz视图 yOz

    x O y 视 图 xOy视图 xOy

    椭圆抛物面

    方程
    x 2 a 2 + y 2 b 2 = z \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z a2x2+b2y2=z
    图形
    三 维 视 图 三维视图

    y O z 视 图 yOz视图 yOz

    x O y 视 图 xOy视图 xOy

    双曲抛物面

    方程
    x 2 a 2 − y 2 b 2 = z \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z a2x2b2y2=z
    图形
    三 维 视 图 三维视图

    y O z 视 图 yOz视图 yOz

    x O y 视 图 xOy视图 xOy

    四、空间曲线及其方程

    空间曲线的一般方程

    空间曲线可以看作两个曲面的交线
    F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0 G ( x , y , z ) = 0 G(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0是两个曲面的方程
    空间曲线的一般方程为
    { F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0 \left\{ \begin{array}{l} F\left( x,y,z \right) =0\\ G\left( x,y,z \right) =0\\ \end{array} \right. {F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0

    空间曲线的参数方程

    将空间曲线 C C C上动点坐标 x x x y y y z z z表示为参数 t t t的函数得到空间曲线的参数方程
    { x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) \left\{ \begin{array}{l} x=x\left( t \right)\\ y=y\left( t \right)\\ z=z\left( t \right)\\ \end{array} \right. x=x(t)y=y(t)z=z(t)
    譬如: { x 2 + y 2 + z 2 = 9 y = x \left\{ \begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=9\\y=x\\\end{array} \right. {x2+y2+z2=9y=x的参数方程为 { x = 3 2 cos ⁡ θ y = 3 2 cos ⁡ θ z = 3 sin ⁡ θ ( 0 ≤ θ ≤ 2 π ) \left\{ \begin{array}{l}x=\frac{3}{\sqrt{2}}\cos \theta\\y=\frac{3}{\sqrt{2}}\cos \theta\\ z=3\sin \theta\\ \end{array}\left( 0\le \theta \le 2\pi \right) \right. x=2 3cosθy=2 3cosθz=3sinθ(0θ2π)

    空间曲线在坐标面上的投影

    x O y xOy xOy坐标面为例
    将空间曲线 C C C的一般方程消去变量 z z z后得到方程 H ( x , y ) = 0 H(x,y)=0 H(x,y)=0,该方程表示的是曲线 C C C关于 x O y xOy xOy面的投影柱面,而该投影柱面与 x O y xOy xOy面的交线叫做空间曲线 C C C x O y xOy xOy面上的投影曲线,简称投影。
    投影的方程为
    { H ( x , y ) = 0 z = 0 \left\{ \begin{array}{l} H\left( x,y \right) =0\\ z=0\\ \end{array} \right. {H(x,y)=0z=0
    其他坐标面与该坐标面的做法相同


    总结

    以上三维图形的绘制均是借助 m a t l a b matlab matlab软件实现的,相关代码请参考博客:空间中常见曲面图形的绘制(matlab)
    文章中绘制的三维图形在这里可以找到
    链接:https://pan.baidu.com/s/1-VgPeuLABTe91_LPlCG4eg
    提取码:zjmd

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  • 复旦大学解析几何2020期末考试试卷A
  • 高数1.空间解析几何

    2013-07-09 00:10:30
    空间解析几何,高数复习资料。注册考试可以用。
  • 线性空间的概念 注意: 这里没有很理解线性空间和向量空间之间的区别。 7.2.线性空间的基和维数 7.3.线性变换(重要) 7.3.1.线性变换的定义 7.3.2.线性变换的性质 7.3.3.线性变换的矩阵表示(重要) 7.3.3.1. 线性...

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    1.行列式

    1.1.行列式性质

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    在这里插入图片描述注意

    • 性质1.3 注意和矩阵的数乘区分,这里是只乘在了一行上,而矩阵数乘是乘在每一个元素上。
    • 性质1.5.是可以使用高斯消元法计算行列式的重要原因。

    1.2.行列式计算——行列式展开定理

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    注意

    • 代数余子式是有符号的!
    • 一种特殊的行列式——范德蒙行列式在这里插入图片描述

    2.矩阵

    2.1.数域

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    2.2.方阵

    2.2.1.方阵的幂

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    2.2.2.方阵的行列式乘法公式

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    2.3.伴随矩阵

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    2.4.矩阵的初等变换

    2.4.1.矩阵的等价

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    2.4.2.矩阵的标准形

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    2.5.矩阵的秩

    2.5.1子式和秩

    在这里插入图片描述注意:只有零矩阵的秩才是0.

    2.5.2.初等变换法求矩阵的秩

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    2.6.初等矩阵

    2.6.1.矩阵等价的充要条件

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    在这里插入图片描述注意

    • 推论2.2说明乘以一个可逆矩阵不改变当前矩阵的秩

    2.6.2.初等变换法求矩阵的逆

    高斯消元

    2.7.分块矩阵

    2.7.1.分块矩阵求幂

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    2.7.2.分块矩阵求行列式

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    2.7.3.分块矩阵求逆

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    2.8.分块矩阵的初等变换

    3.几何向量

    3.1.数量积、向量积和混合积

    • 数量积几何意义是投影
    • 向量积是有向平行四边形的面积
    • 混合积是有向平行六面体的体积,是先算向量积得到平行四边形的面积,再算向量积得投影(也就是六面体的高)

    3.2.空间中的平面与直线

    4.n维向量

    4.1.向量组的线性相关性

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    4.2.向量组的秩

    4.2.1.向量组的等价

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    4.2.2.极大无关组和向量组的秩

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    4.2.3.矩阵的秩和向量组的秩的关系

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    4.3.向量空间

    4.3.1.基和维数

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    4.3.2.坐标变换(重要)

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    注意

    • 坐标变换和后面的线性变换有相关性,注意和后面的对比和区分。
    • 理解这里的基变换公式中的过渡矩阵的位置。根据上面的公式可知,从一组基 α i \alpha_i αi到另一组基 β i \beta_i βi的过渡矩阵P,P的每一列实际上就是 β i \beta_i βi α i \alpha_i αi下的表示,也就是 β i \beta_i βi α i \alpha_i αi下的坐标。
    • 理解坐标变换公式:一个向量在基 β i \beta_i βi下表示的坐标是 x ′ x' x,转换到基 α i \alpha_i αi下表示为 x x x,所以就是 x = P ∗ x ′ x=P*x' x=Px。可以这样记忆,假设 x ′ = ( 1 , 0 , 0...0 ) T x'=(1, 0, 0 ... 0)^T x=(1,0,0...0)T,那么 P ∗ x ′ 得 到 矩 阵 P 的 第 一 列 , P*x'得到矩阵P的第一列, PxP实际上就是 β 1 \beta_1 β1在基 α \alpha α下的表示。

    4.3.3.规范正交基

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    4.3.4.Schmidt正交化方法

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    4.4.正交矩阵

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    5.线性方程组

    5.1.方程组有解的充要条件

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    注意

    • 齐次线性方程组总有解,因为零向量始终是它的解
    • 非齐次线性方程组有解的充要条件是R(A)=R(B),由于矩阵的秩等于高斯消元之后得到的行阶梯形矩阵中非零行的个数,所以这里R(A)=R(B)就等价于最后A和B消元后非零行的个数是相等的,就相当于左边是0右边也要是0,这样非齐次线性方程组就有解。

    5.2.线性方程组解的结构

    5.2.1.齐次线性方程组解的结构

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述注意:这里求通解的时候,就是把自由变量依次取为1,然后求得一个解空间的基。

    5.2.2.非齐次线性方程组解的结构

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述注意

    • 这里求特解的时候,就是把所有的自由变量都置为0,求得的解向量就是特解。因为如果自由变量不是0的话,实际上此时得到的解向量中就包含 A x = 0 Ax=0 Ax=0的通解向量中的成分,答案是没问题的,只不过不是“纯净”的特解。
    • 在求通解的时候就是正常按照 A x = 0 Ax=0 Ax=0的求解方式进行求解,也就是对各个自由变量分别赋值为1,然后求得解空间的一个基向量。

    6.特征值、特征向量和相似矩阵

    6.1.特征值的性质

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    6.2.实对称矩阵的特征值和特征向量

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    6.3.相似矩阵

    6.3.1.相似矩阵的定义

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    6.3.2.方阵相似对角化的条件及方法

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    6.3.3.几何重数和代数重数

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    6.3.4.实对称矩阵的正交相似对角化

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    注意

    • 实对称矩阵的一个性质就是属于不同特征值的特征向量必定正交,并且所有特征值的几何重数等于代数重数,所以实对称矩阵一定可以相似对角化。
    • 所以在求实对称矩阵的正交相似对角化矩阵的时候,只需要把属于同一个特征值的特征向量进行施密特正交化,让这些“类内”特征向量正交,而“类外”特征向量本来就正交,所以最后得到的特征向量组就全都是正交的。

    7.线性空间与线性变换

    7.1.线性空间的概念

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    注意

    • 这里没有很理解线性空间和向量空间之间的区别。

    7.2.线性空间的基和维数

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    7.3.线性变换(重要)

    7.3.1.线性变换的定义

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    7.3.2.线性变换的性质

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    7.3.3.线性变换的矩阵表示(重要)

    7.3.3.1. 线性变换在某个基下的矩阵A

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    7.3.3.2. 使用线性变换的矩阵A对坐标进行变化

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    注意:

    • 理解这里的线性变换在某个基下的矩阵A:这里的矩阵A和前面向量坐标变换时的矩阵P是一样的。实际上,对基 ϵ i \epsilon_i ϵi进行线性变换得到的 A ( ϵ i ) \mathcal{A}(\epsilon_i) A(ϵi)就相当于是向量坐标变换中的另一组基 β i \beta_i βi,也就是基 β i \beta_i βi在基 α i \alpha_i αi(也就是这里的 ϵ \epsilon ϵ)下的表示。
    • 但是这里的 A \mathcal{A} A的矩阵对向量 x x x进行线性变换后的坐标和前面的向量坐标的变换是相反的,原因在于这里的线性变换是把一个向量进行线性变换(旋转缩放等),然后新的坐标就是变换后的新的向量仍然在原来的基 ϵ i \epsilon_i ϵi下的表示。可以这样记忆,假设原来的向量 x = ( 1 , 0 , 0...0 ) T x=(1, 0, 0 ... 0)^T x=(1,0,0...0)T,那么 A ∗ x A*x Ax得到矩阵A的第一列,实际上就是 ϵ 1 \epsilon_1 ϵ1经过线性变换后仍然在基 α i \alpha_i αi下表示的坐标。

    7.3.3.3. 同一个线性变换在不同的基下的矩阵之间的关系

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    8.二次型与二次曲面

    8.1.二次型的定义及其矩阵

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    8.2.合同矩阵

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    8.3.实二次型的标准型

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    8.4.使用正交变换化为标准二次型

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    8.5.正定矩阵和正定二次型(重要)

    在这里插入图片描述注意:根据上面的两个推论可以知道正定矩阵的几个性质:

    • 正定矩阵一定是对称矩阵(这是定义前提决定的)
    • 正定矩阵的特征值全部大于0
    • 正定矩阵可以分解为一个可逆矩阵的转置和这个可逆矩阵的乘积
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  • 高等数学-空间解析几何与向量代数

    千次阅读 2019-07-11 16:51:27
    3.1 在空间解析几何中,任何曲面都可以看做点的几何轨迹。在这样的意义下,如果曲面S与三元方程: F(x,y,z)=0有下述关系: (1),曲面S上任一点的坐标都满足方程(1); (2),不在曲面S上的点的坐标都不满足...

    1,向量的概念

    1.1 一般在数学上只研究与起点无关的向量(自由向量),即只考虑向量的大小和方向。
    1.2 向量的大小叫做向量的模。
    1.3 非 零 向 量 r ⃗ 与 三 条 坐 标 轴 的 夹 角 α , β , γ 称 为 向 量 r ⃗ 的 方 向 角 。 非零向量\vec r与三条坐标轴的夹角\alpha,\beta,\gamma称为向量\vec r的方向角。 r α,β,γr
    1.4 cos ⁡ α , cos ⁡ β , cos ⁡ γ 称 为 向 量 r ⃗ 的 方 向 余 弦 。 \cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma称为向量\vec r的方向余弦。 cosα,cosβ,cosγr
    以 向 量 r ⃗ 的 方 向 余 弦 为 坐 标 的 向 量 就 是 与 r ⃗ 同 方 向 的 单 位 向 量 e ⃗ . 以向量\vec r的方向余弦为坐标的向量就是与\vec r同方向的单位向量\vec e. r r e .

    2,基本运算

    2.1 数量积(结果为一个数值)
    a ⃗ × b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ × ∣ b ⃗ ∣ × cos ⁡ θ \vec a \times\vec b=|\vec a|\times|\vec b|\times\cos\theta a ×b =a ×b ×cosθ
    2.2 向量积(结果为一个向量)
    a ⃗ × b ⃗ = c ⃗ , \vec a \times\vec b=\vec c, a ×b =c
    其中 c ⃗ 的 模 为 ∣ c ⃗ ∣ = ∣ a ⃗ ∣ × ∣ b ⃗ ∣ × sin ⁡ θ . \vec c的模为|\vec c|=|\vec a|\times|\vec b|\times\sin\theta. c c =a ×b ×sinθ.
    方向判断方法如下:
    在这里插入图片描述
    向量积与数量积不同点在于它不满足交换律:
    a ⃗ × b ⃗ = − b ⃗ × a ⃗ \vec a \times\vec b=-\vec b \times\vec a a ×b =b ×a .
    (向量积除了不满足交换律,其它的性质和数量积一样,包括进行极限运算时。)
    向量积可以写成行列式的形式:
    a ⃗ = ( a x , a y , a z ) , b ⃗ = ( b x , b y , b z ) \vec a=(a_x,a_y,a_z), \vec b=(b_x,b_y,b_z) a =(ax,ay,az),b =(bx,by,bz),则

    a ⃗ × b ⃗ = ∣ i ⃗ j ⃗ k ⃗ a x a y a z b x b y b z ∣ \vec a \times\vec b= \begin{vmatrix} \vec i&amp;\vec j&amp;\vec k \\ a_x&amp;a_y&amp;a_z \\ b_x&amp;b_y&amp;b_z \\ \end{vmatrix} a ×b =i axbxj aybyk azbz
    2.3 混合积
    先 把 向 量 a ⃗ 和 b ⃗ 作 向 量 积 , 再 与 向 量 c ⃗ 作 数 量 积 。 先把向量\vec a 和\vec b作向量积,再与向量\vec c作数量积。 a b c
    [ a ⃗ b ⃗ c ⃗ ] = ( a ⃗ × b ⃗ ) c ⃗ = ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ [\vec a\vec b\vec c]=(\vec a \times\vec b) \vec c= \begin{vmatrix} a_x&amp;a_y&amp;a_z \\ b_x&amp;b_y&amp;b_z \\ c_x&amp;c_y&amp;c_z \\ \end{vmatrix} [a b c ]=(a ×b )c =axbxcxaybycyazbzcz
    混合积的几何意义: 它 是 这 样 一 个 数 , 它 的 绝 对 值 表 示 以 向 量 a ⃗ , b ⃗ , c ⃗ 为 棱 的 平 行 六 面 体 的 体 积 。 它是这样一个数,它的绝对值表示以向量\vec a,\vec b,\vec c为棱的平行六面体的体积。 a ,b ,c

    3,曲面及其方程

    3.1 在空间解析几何中,任何曲面都可以看做点的几何轨迹。在这样的意义下,如果曲面S与三元方程:
    F(x,y,z)=0有下述关系:
    (1),曲面S上任一点的坐标都满足方程(1);
    (2),不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1);
    那么,方程(1)就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程(1)的图形。

    3.2 空间曲面的参数方程。
    通常是含有两个参数的方程,形式如下:
    { x = x ( s , t ) , y = y ( s , t ) , z = z ( s , t ) . \begin{cases} x=x(s,t), \\ y=y(s,t), \\ z=z(s,t). \\ \end{cases} x=x(s,t),y=y(s,t),z=z(s,t).

    4,平面及其方程

    4.1 点法式方程
    已 知 平 面 的 法 向 量 n ⃗ = ( A , B , C ) 和 平 面 上 一 点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , 则 平 面 的 方 程 为 已知平面的法向量\vec n=(A,B,C)和平面上一点M_0(x_0,y_0,z_0),则平面的方程为 n =(A,B,C)M0(x0,y0,z0)
    A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0
    4.2 一般方程
    三元一次方程对应着一个平面:
    A x + B y + C z + D = 0 Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0

    5,空间直线及其方程

    5.1 一般方程
    可以理解为两个平面相交得到的直线
    { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0, \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0. \\ \end{cases} {A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0.
    5.2 点向式方程(对称式方程)
    已 知 直 线 的 方 向 向 量 s ⃗ = ( m , n , p ) 和 平 面 上 一 点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , 则 直 线 的 方 程 为 已知直线的方向向量\vec s=(m,n,p)和平面上一点M_0(x_0,y_0,z_0),则直线的方程为 线s =(m,n,p)M0(x0,y0,z0)线
    x − x 0 m = y − y 0 n = z − z 0 p \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} mxx0=nyy0=pzz0(如果两向量平行,那么它们的各个坐标之比相等)。
    5.3 参数方程
    如果令 x − x 0 m = y − y 0 n = z − z 0 p = t \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t mxx0=nyy0=pzz0=t,则
    { x = x 0 + m t , y = y 0 + n t , z = z 0 + p t . \begin{cases} x=x_0+mt, \\ y=y_0+nt, \\ z=z_0+pt. \\ \end{cases} x=x0+mt,y=y0+nt,z=z0+pt.

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  • 高等数学复习之空间解析几何

    千次阅读 2021-06-02 22:25:41
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