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  • 笛卡尔坐标系

    万次阅读 2019-04-10 20:01:41
    笛卡尔坐标系 在数学里,笛卡尔坐标系 (Cartesian coordinate system),亦称直角坐标系,是一种正交坐标系。二维的直角坐标系是由两条相互垂直、相交于原点的数线构成的。在平面内,任何一点的坐标是根据数轴上对应...

    笛卡尔坐标系

    人工智能 - 深度学习 - 知识体系

    在数学里,笛卡尔坐标系 (Cartesian coordinate system),亦称直角坐标系,是一种正交坐标系。二维的直角坐标系是由两条相互垂直、相交于原点的数线构成的。在平面内,任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的。

    直线标准式 ax+by+c=0ax + by + c = 0、斜截式 y=mx+ky = mx + k。一个圆,半径为 rr,圆心位于 (a,b)(a, b)。圆圈以 (xa)2+(yb)2=r2(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} 表示。

    在这里插入图片描述
    图 1 红色的圆圈,半径是 2,圆心位于直角坐标系的原点。圆的方程为 x2+y2=4x^2 + y^2 = 4

    1. 二维坐标系统

    二维的直角坐标系通常由两个互相垂直的坐标轴设定,通常分别称为 x-轴和 y-轴。两个坐标轴的相交点,称为原点,通常标记为 O,既有零的意思,又是英语 Origin 的首字母。每一个轴都指向一个特定的方向。这两个不同线的坐标轴,决定了一个平面,称为 xy-平面,又称为笛卡尔平面。

    通常两个坐标轴只要互相垂直,其指向何方对于分析问题是没有影响的,但习惯性地,x-轴被水平摆放,称为横轴,通常指向右方。y-轴被竖直摆放而称为纵轴,通常指向上方。两个坐标轴这样的位置关系,称为二维的右手坐标系,或右手系。

    如果把这个右手系画在一张透明纸片上,则在平面内无论怎样旋转它,所得到的都叫做右手系;但如果把纸片翻转,其背面看到的坐标系则称为左手系。这和照镜子时左右对调的性质有关。

    在这里插入图片描述
    图 2 直角坐标系。图中四点的坐标分别为,绿点:(2,3)(2, 3),红点:(3,1)( -3, 1),蓝点:(1.5,2.5)(-1.5, -2.5),紫点:(0,0)(0, 0)

    为了要知道坐标轴的任何一点,离原点的距离。我们可以刻画数值于坐标轴。那么,从原点开始,往坐标轴所指的方向,每隔一个单位长度,就刻画数值于坐标轴。这数值是刻画的次数,也是离原点的正值整数距离;同样地,背着坐标轴所指的方向,我们也可以刻画出离原点的负值整数距离。称 x-轴刻画的数值为 x-坐标,又称横坐标,称 y-轴刻画的数值为 y-坐标,又称纵坐标。

    在这里,这两个坐标都是整数,对应于坐标轴特定的点。按照比例,我们可以推广至实数坐标和其所对应的坐标轴的每一个点。这两个坐标就是直角坐标系的直角坐标,标记为 (x,y)(x, y)

    任何一个点 P 在平面的位置,可以用直角坐标来表达。只要从点 P 画一条垂直于 x-轴的直线。从这条直线与 x-轴的相交点,可以找到点 P 的 x-坐标。同样地,可以找到点 P 的 y-坐标。这样,我们可以得到点 P 的直角坐标。图 3,点 P 的直角坐标是 (3,5)(3, 5)

    在这里插入图片描述
    图 3 直角坐标系的四个象限,按照逆时针方向,从象限 II 到象限 IVIV。坐标轴的头部象征着,往所指的方向,无限的延伸。

    图 3 直角坐标系的两个坐标轴将平面分成了四个部分,称为象限,分别用罗马数字编号为 I (+,+)I\ (+, +)II (,+)II\ ( -, +)III(,)III (-, - )IV(+,)IV (+, - )。依照惯例,象限 II 的两个坐标都是正值;象限 IIII 的 x-坐标是负值,y-坐标是正值;象限 IIIIII 的两个坐标都是负值的;象限 IVIV 的 x-坐标是正值,y-坐标是负值。所以象限的编号是按照逆时针方向,从象限 II 编到象限 IVIV

    2. 三维坐标系统

    在原本的二维直角坐标系,再添加一个垂直于 x-轴,y-轴的坐标轴,称为z-轴。这三个坐标轴满足右手定则,则可得到三维的直角坐标系。z-轴与 x-轴,y-轴相互正交于原点。在三维空间的任何一点 P,可以用直角坐标 (x,y,z)(x, y, z) 来表达其位置。参阅图 4,两个点 P 与 Q 的直角坐标分别为 (3,0,5)(3, 0, 5)(5,5,7)( - 5, - 5, 7)

    三个平面,xy-平面,yz-平面,xz-平面,将三维空间分成了八个部分,称为卦限 (octant)。与二维空间的四个象限不同,只有一个卦限有编号。第一号卦限的每一个点的三个坐标都是正值的。

    在这里插入图片描述
    图 4 三维直角坐标系。y-轴的方向是远离读者

    3. 二维空间

    直角坐标系的 x-轴与 y-轴必须相互垂直。包含 y-轴的直线为 y-线。在二维空间里,当我们设定了 x-轴的位置与方向的同时,我们也设定了 y-线的方向。可是,我们仍旧必须选择,在 y-线的以原点为共同点的两条半线中,哪一条半线的点的坐标是正值的,哪一条是负值的?任何一种选择决定了 xy-平面的取向。

    图 1 中正值的 x-轴横地指向右方,正值的 y-轴纵地指向上方。这种取向称为正值取向、标准取向或右手取向。

    右手定则是一种常用的记忆方法,专门用来辨认正值取向:将一只半握拳的右手放在平面上,大拇指往上指,其它的手指都从x-轴指向y-轴。

    采用左手定则专门用来辨认负值取向或左手取向:将一只半握拳的左手放在 xy-平面上,大拇指往上指,其它的手指都从y-轴指向x-轴。

    不论坐标轴是何种取向,将坐标系统做任何角度的旋转,取向仍旧会保持不变。

    4. 三维空间

    直角坐标系的 x-轴、y-轴与 z-轴必须相互垂直。包含 z-轴的直线为 z-线。在三维空间里,当我们设定了 x-轴、y-轴的位置与方向的同时,我们也设定了 z-线的方向。可是,我们仍旧必须选择,在 z-线以原点为共同点的两条半线中,哪一条半线的点的坐标是正值的,哪一条是负值的?这两种不同的坐标系统,称为右手坐标系与左手坐标系。右手坐标系又称为标准坐标系或正值坐标系。

    右手坐标系这名词是由右手定则而来的。先将右手的手掌与手指伸直,然后将中指指向往手掌的掌面半空间,与食指呈直角关系。再将大拇指往上指去,与中指、食指都呈直角关系。则大拇指、食指与中指分别表示了右手坐标系的 x-轴、y-轴与 z-轴。同样地,用左手也可以表示出左手坐标系。

    图 5 试着展示出一个左手坐标系与一个右手坐标系。用二维画面来展示三维物体,会造成扭曲或模棱两可的图形。指向下方与右方的轴,也有指向读者的意思;而位置居于中间的轴,也有指向读者正在看的方向的意思。平行于 xy-平面的红色圆形曲箭,其红色箭头从 z-轴前面经过,表示从 x-轴往 y-轴的旋转方向。

    在这里插入图片描述
    图 5 左边是左手取向,右边是右手取向。

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  • matlab编程计算,源代码。可以将笛卡尔坐标系下的坐标转换为大地坐标系下的坐标,大地坐标系的参数可以自己设置,如选择WGS84或是CGCS2000
  • 笛卡尔坐标系和极坐标系

    千次阅读 2019-09-25 08:46:22
    如两条数轴上的度量单位相等,则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系。两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系,称为笛卡尔直角坐标系。 如图: 2.笛卡尔斜坐标系 互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,而...

    前言

    在机器学习中,数据的表示至关重要,而数据在不同坐标系中的表示也对于模式的识别有着巨大的影响,这里总结三种坐标系(都是中学的内容)
    1.笛卡尔直角坐标系
    相交于原点的两条数轴,构成了平面放射坐标系。如两条数轴上的度量单位相等,则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系。两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系,称为笛卡尔直角坐标系。
    如图:
    在这里插入图片描述
    2.笛卡尔斜坐标系
    互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,而如果坐标系中两条坐标轴不垂直,那么这样的坐标系称为“斜坐标系”。
    如图:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    3.极坐标
    极坐标系(polar coordinates)是指在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O,称为极点。从O出发引一条射线Ox,称为极轴。再取定一个单位长度,通常规定角度取逆时针方向为正。这样,平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定,有序数对(ρ,θ)就称为P点的极坐标,记为P(ρ,θ);ρ称为P点的极径,θ称为P点的极角。

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  • type// 笛卡尔坐标系tagCRDCARTESIAN = recordX, Y, z: double;end;CRDCARTESIAN = tagCRDCARTESIAN;// 大地坐标系tagCRDGEODETIC = recordlongitude: double; // 经度latitude: double; // 纬度height: double; // ...

    type

    // 笛卡尔坐标系

    tagCRDCARTESIAN = record

    X, Y, z: double;

    end;

    CRDCARTESIAN = tagCRDCARTESIAN;

    // 大地坐标系

    tagCRDGEODETIC = record

    longitude: double; // 经度

    latitude: double; // 纬度

    height: double; // 大地高,可设为0

    end;

    CRDGEODETIC = tagCRDGEODETIC;

    function GeodeticToCartesian(pcg: CRDGEODETIC): CRDCARTESIAN;

    var

    b: double; // 纬度度数

    L: double; // 经度度数

    L0: double; // 中央经线度数

    L1: double; // L-L0

    t: double; // tanB

    m: double; // ltanB

    N: double; // 卯酉圈曲率半径

    q2: double;

    X: double; // 高斯平面纵坐标

    Y: double; // 高斯平面横坐标

    s: double; // 赤道至纬度B的经线弧长

    f: double; // 参考椭球体扁率

    e2: double; // 椭球第一偏心率

    a: double; // 参考椭球体长半轴

    // b:double; //参考椭球体短半轴

    a1: double;

    a2: double;

    a3: double;

    a4: double;

    b1: double;

    b2: double;

    b3: double;

    b4: double;

    c0: double;

    c1: double;

    c2: double;

    c3: double;

    Datum, prjno, zonewide: Integer;

    IPI: double;

    begin

    Datum := 84; // 投影基准面类型:北京54基准面为54,西安80基准面为80,WGS84基准面为84

    prjno := 0; // 投影带号

    zonewide := 3;

    IPI := 0.0174532925199433333333; // 3.1415926535898/180.0

    b := pcg.latitude; // 纬度

    L := pcg.longitude; // 经度

    if (zonewide = 6) then

    begin

    prjno := trunc(L / zonewide) + 1;

    L0 := prjno * zonewide - 3;

    end

    else

    begin

    prjno := trunc((L - 1.5) / 3) + 1;

    L0 := prjno * 3;

    end;

    if (Datum = 54) then

    begin

    a := 6378245;

    f := 1 / 298.3;

    end

    else if (Datum = 84) then

    begin

    a := 6378137;

    f := 1 / 298.257223563;

    end;

    L0 := L0 * IPI;

    L := L * IPI;

    b := b * IPI;

    e2 := 2 * f - f * f; // (a*a-b*b)/(a*a);

    L1 := L - L0;

    t := Tan(b);

    m := L1 * cos(b);

    N := a / sqrt(1 - e2 * sin(b) * sin(b));

    q2 := e2 / (1 - e2) * cos(b) * cos(b);

    a1 := 1 + 3 / 4 * e2 + 45 / 64 * e2 * e2 + 175 / 256 * e2 * e2 * e2 + 11025 /

    16384 * e2 * e2 * e2 * e2 + 43659 / 65536 * e2 * e2 * e2 * e2 * e2;

    a2 := 3 / 4 * e2 + 15 / 16 * e2 * e2 + 525 / 512 * e2 * e2 * e2 + 2205 /

    2048 * e2 * e2 * e2 * e2 + 72765 / 65536 * e2 * e2 * e2 * e2 * e2;

    a3 := 15 / 64 * e2 * e2 + 105 / 256 * e2 * e2 * e2 + 2205 / 4096 * e2 * e2 *

    e2 * e2 + 10359 / 16384 * e2 * e2 * e2 * e2 * e2;

    a4 := 35 / 512 * e2 * e2 * e2 + 315 / 2048 * e2 * e2 * e2 * e2 + 31185 /

    13072 * e2 * e2 * e2 * e2 * e2;

    b1 := a1 * a * (1 - e2);

    b2 := -1 / 2 * a2 * a * (1 - e2);

    b3 := 1 / 4 * a3 * a * (1 - e2);

    b4 := -1 / 6 * a4 * a * (1 - e2);

    c0 := b1;

    c1 := 2 * b2 + 4 * b3 + 6 * b4;

    c2 := -(8 * b3 + 32 * b4);

    c3 := 32 * b4;

    s := c0 * b + cos(b) * (c1 * sin(b) + c2 * sin(b) * sin(b) * sin(b) + c3 * sin

    (b) * sin(b) * sin(b) * sin(b) * sin(b));

    X := s + 1 / 2 * N * t * m * m + 1 / 24 * (5 - t * t + 9 * q2 + 4 * q2 * q2)

    * N * t * m * m * m * m + 1 / 720 * (61 - 58 * t * t + t * t * t * t)

    * N * t * m * m * m * m * m * m;

    Y := N * m + 1 / 6 * (1 - t * t + q2) * N * m * m * m + 1 / 120 *

    (5 - 18 * t * t + t * t * t * t - 14 * q2 - 58 * q2 * t * t)

    * N * m * m * m * m * m;

    Y := Y + 1000000 * prjno + 500000;

    Result.X := X;

    Result.Y := Y - 38000000;

    Result.z := 0;

    end;

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  • 笛卡尔坐标系 笛卡尔坐标系通常表示为直角坐标系,基坐标相互正交。 基坐标: 点: 向量: 内积: 叉积: 旋转矩阵: 旋转矩阵满足(单位正交矩阵): 旋转和平移: 3 齐次坐标系 笛卡尔坐标系转线性坐标系...

    笛卡尔坐标系

    笛卡尔坐标系通常表示为直角坐标系,基坐标相互正交。

    基坐标:

    xfcyMHz.png

    点:

    KaXGfys.png

    向量:

    4rPdtTv.pngy8SNgKS.png

    内积:

    yNQWxTt.png

    叉积:

    svLBokg.pnghjsrHbL.png

    旋转矩阵:

    ebvvafr.pngLImqQpk.png

    旋转矩阵满足(单位正交矩阵):

    dwGRfP0.png

    旋转和平移:

    yWaht6v.png

    3 齐次坐标系

    笛卡尔坐标系转线性坐标系:

    • 线:

      IfXHgYy.png

    • 点(多添加1维为1的元素):

      qHmQSoa.png

    线性坐标转笛卡尔坐标:

    • GMHAnOf.png
      GIkF2ty.png

    • 具有尺度不变性:

      对齐次坐标进行放缩,笛卡尔坐标不变
      C7mqjjb.png

    线性坐标系下运算:

    • 两点所在直线:

      sLTunr3.png

    • 两直线的交点:

      RdolwHK.png

    转载于:https://www.cnblogs.com/cold-city/p/10010420.html

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    笛卡尔坐标系
  • 大地坐标系(WGS84)转空间直角坐标系(笛卡尔坐标系XYZ) 以Unity为例 float[] get_coordinate( float lat, float lon,float H1) { //H指的就是距离海平面的大地高,N+H也就是当前测点与地心的矢径 float f = 1f / 298...
  • 屏幕坐标系转为笛卡尔坐标系

    千次阅读 2019-05-27 10:52:29
    屏幕坐标系为以顶点为坐标向下 笛卡尔坐标原点为(a,b); 输入坐标(x,y) 则转换为笛卡尔坐标为(a+x,b-y)
  • 这段时间推导圆膜振动方程的时候,需要将振动方程从笛卡尔坐标系转换到圆柱坐标系。虽然这个结果书上都有了,但是不满足于直接给出的结果,想自己推导一下。于是就有了下面的内容。总结起来:就是将笛卡尔坐标系下的...
  • 在学些 OpenGL 的 Shader 绘图时,有两个坐标体系是绕不开的,而传统的二维坐标系(笛卡尔坐标系)并不能承载「环绕闭环」的图形(如星星、花朵、雪花等),它们最大的特点就是围绕一个中心点做图形循环,这就是极...
  • 1,正常的笛卡尔右手坐标系,以屏幕右方为+X轴,屏幕上方为+Y轴,垂直屏幕向外为+Z轴,如下图,xy轴组成的平面为屏幕面但由于THREE里的相机并不总是从屏幕正前方视角,还可以设置坐标系任意一个轴为正上方(类似于...
  • 经纬度与地心笛卡尔坐标系转换

    千次阅读 2019-08-02 23:47:44
    经纬度与笛卡尔坐标系转换,转换的几何计算并不复杂,不过不推理一遍的话,始终是理解的不够透彻。所以借整理思路的机会,把推理过程理一遍。 笛卡尔球心坐标系: 首先:明确缺省采用的WGS84坐标系所使用的地球半径
  • 笛卡尔坐标系与测量平面坐标系之间的仿射变换.
  • Python处理图像—将笛卡尔坐标系转换为极坐标系 首先讲一下思路: 根据想要输出的目标图像划分好矩阵再去用插值算法寻找原图的像素值 import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from skimage import io,...
  • 笛卡尔坐标系下的zernike多项式。 大多文献和资料里zernike多项式都是极坐标下的,想用笛卡尔坐标系下的但又没找到好的,最后就自己推导了一份,记录+分享。
  • 统一规则:拇指指向X正方向,食指指向Y正方向,则其余自然指向Z正方向

空空如也

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笛卡尔坐标系