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  • 离散傅里叶变换公式理解
    千次阅读
    2020-01-07 15:33:08

    2πu表示角速度w,和连续傅里叶中的w对应

    x/N表示时间

    当x=N的时候,表示走了一个周期;

    在连续傅里叶中,N不存在,x是时间。

     

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    离散傅里叶变换公式推导

    先抛变换公式:
    F m = ∑ n = 0 N − 1 f n e − 2 π i m n / N ↔ f n = 1 N ∑ m = 0 N − 1 F m e 2 π i m n / N F_m=\sum_{n=0}^{N-1}f_ne^{-2\pi imn/N}\leftrightarrow f_n=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1}F_me^{2\pi imn/N} Fm=n=0N1fne2πimn/Nfn=N1m=0N1Fme2πimn/N
    式中的N是数据点个数
    讲道理一开始完全看不懂公式这么来的,一顿百度后我学到了很多,但就是没学到怎么推公式。好吧只能自己推。
    先来看一下DFT的物理意义:DFT示意图
    (图我网上随便下的)
    离散傅里叶变换是把周期性离散信号变换到频域上,大家知道,周期信号变到频域上是离散的。离散就是在个别点 { x n } \{x_n\} {xn}有值。我是学物理的,物理里面离散的可以这么表示:
    f ( x ) = ∑ n = 0 N − 1 f n δ ( x − x n ) f(x)=\sum_{n=0}^{N-1}f_n\delta(x-x_n) f(x)=n=0N1fnδ(xxn)
    δ ( x ) \delta(x) δ(x)是个在 x = 0 x=0 x=0处无穷大,其余位置为0且全空间积分为1的函数 ∫ − ∞ ∞ δ ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)dx=1 δ(x)dx=1

    周期性信号变到频域上,那不就是傅里叶级数吗。自然有公式
    F m = ∫ − T T ∑ n = 0 N − 1 f n δ ( x − x n ) e − i x k m d x = ∑ n = 0 N − 1 ∫ f n δ ( x − x n ) e − i x k m d x = ∑ n = 0 N − 1 f n e − i x n k m \begin{aligned} F_m &= \int_{-T}^{T}\sum_{n=0}^{N-1}f_n\delta(x-x_n)e^{-ixk_m}dx \\&=\sum_{n=0}^{N-1}\int f_n\delta(x-x_n)e^{-ixk_m}dx \\&=\sum_{n=0}^{N-1}f_ne^{-ix_nk_m} \end{aligned} Fm=TTn=0N1fnδ(xxn)eixkmdx=n=0N1fnδ(xxn)eixkmdx=n=0N1fneixnkm
    接下来我们假设 d x , d k dx,dk dx,dk分别是 { x n } \{x_n\} {xn}, { k n } \{k_n\} {kn}的间距,那么:
    x n = n d x , k m = m d k x_n=ndx,\qquad k_m = mdk xn=ndx,km=mdk
    代入上式:
    F m = ∑ n = 0 N − 1 f n e − i x n k m = ∑ n = 0 N − 1 f n e − i m n d x d k \begin{aligned} F_m &=\sum_{n=0}^{N-1}f_ne^{-ix_nk_m} \\&=\sum_{n=0}^{N-1}f_ne^{-imndxdk} \end{aligned} Fm=n=0N1fneixnkm=n=0N1fneimndxdk
    是不是和最上面的式子很接近了?还差最后一步,确定 d x d k dxdk dxdk的值。
    下面我懒得写了,只说一下做法吧

    1. 先写出 F m F_m Fm f n f_n fn的逆变换,
      f n = c ∑ n = 0 N − 1 F m e i m n d x d k f_n = c\sum_{n=0}^{N-1}F_me^{imndxdk} fn=cn=0N1Fmeimndxdk
      c c c是个系数,之后应该能计算出是 1 / N 1/N 1/N
    2. 把上面的 F m F_m Fm表达式带进去,就能得到用 f n ′ f_{n'} fn求和表达的 f n f_n fn,这要求 d x d k dxdk dxdk满足一定关系,其实就是满足 d x d k = 2 π N dxdk = \frac{2\pi}{N} dxdk=N2π
    3. 最后把公式里的 d x d k dxdk dxdk替换就完事了

    这个公式推导倒是不难,主要问题是理解不要出现偏差。所谓离散傅里叶变换是把周期离散信号变换到周期离散频谱,这是真的离散信号。一开始我以为是连续信号在某些给定点采样得到的值呢(没有学过信号相关的内容,在计算物理中遇到了这个离散傅里叶变换)。

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    连续傅里叶变换

    X ( f ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j 2 π f t   d t X(f) = \int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-j2 \pi ft}\,dt X(f)=x(t)ej2πftdt

    离散傅里叶变换

    指数形式:
    X ( m ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) e − j 2 π n m / N X(m)=\sum_{n=0}^{N-1}{x(n)e^{-j2 \pi nm / N}} X(m)=n=0N1x(n)ej2πnm/N

    直角坐标形式:
    X ( m ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) [ c o s ( 2 π n m / N ) − j s i n ( 2 π n m / N ) ] X(m)=\sum_{n=0}^{N-1}{x(n)[cos(2 \pi nm /N) - jsin(2 \pi nm /N)]} X(m)=n=0N1x(n)[cos(2πnm/N)jsin(2πnm/N)]

    X ( m ) = X r e a l ( m ) + j X i m a g ( m ) X(m) = X_{real}(m) + jX_{imag}(m) X(m)=Xreal(m)+jXimag(m)

    X(m)的分析频率:
    f a n a l y s i s ( m ) = m f s N f_{analysis}(m) = \frac {mf_s}{N} fanalysis(m)=Nmfs

    X(m)的幅度:
    X m a g ( m ) = ∣ X ( m ) ∣ = X r e a l ( m ) 2 + X i m a g ( m ) 2 X_{mag}(m)=|X(m)|= \sqrt {X_{real}(m)^2 + X_{imag}(m)^2} Xmag(m)=X(m)=Xreal(m)2+Ximag(m)2

    X(m)的相位角:
    X ϕ ( m ) = t a n − 1 ( X i m a g ( m ) X r e a l ( m ) ) X_{\phi}(m) = tan^{-1}(\frac{X_{imag}(m)}{X_{real}(m)}) Xϕ(m)=tan1(Xreal(m)Ximag(m))

    X(m)实部虚部三角关系:
    在这里插入图片描述

    欧拉公式

    指数形式变换为直角坐标形式,借助于欧拉公式:

    e − j ϕ = c o s ( ϕ ) − j s i n ( ϕ ) e^{-j \phi } = cos( \phi ) - jsin( \phi ) ejϕ=cos(ϕ)jsin(ϕ)

    欧拉公式:
    e j ϕ = c o s ( ϕ ) + j s i n ( ϕ ) e^{j \phi } = cos( \phi ) + jsin( \phi ) ejϕ=cos(ϕ)+jsin(ϕ)

    欧拉公式:
    e π j + 1 = 0 e^{ \pi j} + 1 = 0 eπj+1=0

    自然常数

    e = lim ⁡ x − > ∞ ( 1 + 1 x ) x ≈ 2.71828 e = \lim_{x-> \infty }({1 + \frac{1}{x}})^x ≈ 2.71828 e=x>lim(1+x1)x2.71828

    圆周率

    π ≈ 3.14159 \pi ≈ 3.14159 π3.14159

    三角函数

    在这里插入图片描述

    函数英文名缩写定义语言描述
    正弦函数sinesina/c∠A的对边比斜边
    余弦函数cosinecosb/c∠A的邻边比斜边
    正切函数tangenttana/b∠A的对边比邻边
    反正切函数arc tangentatan、tan⁻¹正切函数y=tan(x)在开区间(x∈(-π/2,π/2))的反函数

    参考文献

    在这里插入图片描述

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  • 本文档中包含了常用的傅里叶变换公式,在学习时可供查阅
  • 以下内容参考《复变函数与积分变换》,如果对积分变换有所了解,完全可以跳过忽略 复数的三角表达式如下 Z=r(cosθ+isinθ) Z=r(cos\theta+isin\theta) Z=r(cosθ+isinθ) 欧拉公式如下 eiθ=cosθ+isinθ e^{i\...
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    1、介绍。

            DFT:(Discrete Fourier Transform)离散傅里叶变换是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式,将信号的时域采样变换为其DTFT的频域采样。在形式上,变换两端(时域和频域上)的序列是有限长的,而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT,也应当将其看作其周期延拓的变换。实际应用的时候,都是使用快速傅里叶变换的,因为运算速度快。


    1)、欧拉公式:

    \LARGE \dpi{100} \LARGE e^{\theta i}=cos \theta +(sin \theta )i,其中i是虚数,即i的平方为-1。

     

    2)、一维离散傅里叶变换DFT公式:

            

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  • IDFT函数的计算结果与matlab的ifft(X)函数计算结果完全相同,运行速度超级快,文件包含使用示例代码和说明,写的很详细了,保证你看了就会用。
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