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  • 线性变换 线性变换

    2015-08-17 14:17:17
    线性变换 线性变换线性变换线性变换线性变换线性变换
  • 线性变换

    千次阅读 2019-09-22 03:51:47
    使用矩阵A对向量进行变换称为线性变换。向量X可以分解为n个基向量的和,如果已知矩阵A对n个基向量的变换结果,则可以得到矩阵A对任意向量变换结果,公式如下: 。通过该公式,可以得到求解变换矩阵A的简单方法: ...

    一 概述

       在分析中,函数y=f(x)将输入值x变换到输出值y,同样对向量左乘矩阵A,矩阵A将向量X变换为向量Y。使用矩阵A对向量进行变换称为线性变换。向量X可以分解为n个基向量的和,如果已知矩阵A对n个基向量的变换结果,则可以得到矩阵A对任意向量变换结果,公式如下:

        。通过该公式,可以得到求解变换矩阵A的简单方法:

       1)在向量空间中选择简单单位基向量,如 

       2)对基向量 应用规定的变换(及矩阵A欲实施的变换)得到向量 ,该向量即为矩阵A的第一列值;

       3)依次对其他基向量做应用类似2)的操作,得到矩阵A的其他列的值。

     

    二 二维空间上的基本变换

       旋转变换:根据变换矩阵计算方法,基向量 逆时针旋转  后为 ,基向量 逆时针旋转  后为 ,任意向量X逆时针旋转 的变换矩阵Q为:   

       ,图示如下:

              

       投影变换:根据变换矩阵计算方法,基向量 在线L上投影点为 ,基向量 在线L上投影点为 ,任意向量X在线L上的投影变换矩阵P为:

       ,图示如下:

             

       镜像变换:镜像变换H可以根据投影变换推导出来,根据图形得 , ,图示如下:

            

     

    三 使用内积表示投影变换

       余旋定理:根据下图可得:

       

             

         投影到直线上:根据下图可得:

         其中 为任意点到直线A的投影变换矩阵。

              

     

    四 罗德里格斯公式

        在三维空间中,任意向量X绕特定轴K旋转 可表示特定矩阵Q对X的线性变换,以下根据图示给出罗德里格斯(Rodrigues)公式推导:

        1)向量X沿旋转轴K平行方向和垂直方向分解为:

        2) 为向量X到旋转轴K的投影:

        3)向量W垂直于与K构成的平面,

        4)由图示可知,可由三个相互正交的向量表示:

        5)定义叉乘矩阵为:,则有 

        6)得到变换矩阵为:

                               

     

    参考资料:Linear Algebra And Its Applicaions    Gilbert Strang

    转载于:https://www.cnblogs.com/luofeiju/p/10963384.html

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    前一篇文章讲解了图像灰度化处理及线性变换知识,结合OpenCV调用cv2.cvtColor()函数实现图像灰度操作,本篇文章主要讲解非线性变换,使用自定义方法对图像进行灰度化处理,包括对数变换和伽马变换。本文主要讲解灰度线性变换,基础性知识希望对您有所帮助。

    该系列在github所有源代码:

    PS:请求帮忙点个Star,哈哈,第一次使用Github,以后会分享更多代码,一起加油。

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    Table of Contents

     

    线性变换公式

    C++代码

    程序运行结果

    线性变换实验

    对图片进行分段线性变换


    线性变换公式

    dstImage = alpha * srcImage + beta【类比于数学中的y = ax + b】

    C++代码

    #include <opencv2/opencv.hpp>  //头文件
    #include <iostream>
    using namespace cv;  //包含cv命名空间
    using namespace std;
    
    int main(int argc, char ** argv)
    {
    	Mat srcImage, dstImage;
    	//【1】线性变换实验
    	srcImage = (Mat_<uchar>(2, 2) << 0, 200, 23, 4);	//创建一个2*2的数组,类型为unsigned char
    	//输出数组内容
    	cout << "src: " << endl;
    	for (int r = 0; r < srcImage.rows; r++)
    	{
    		for (int c = 0; c < srcImage.cols; c++){
    			cout << (int)srcImage.at<uchar>(r, c) << ",";	//第r行c列的值
    		}
    		cout << endl;
    	}
    
    	//设定变量
    	float alpha = 2.0;
    	float beta = 0;
    
    	//线性变换,如下三个方法都可行,任选一个
    	//OpenCV对大于255的数字采取的策略是全部设定为255,即400->255, 300->255, 510->255
    	//method#1:
    	//convertTo这个函数的会对结果进行类型转换,将其转为第二个参数所指定的类型
    	//srcImage.convertTo(dstImage, CV_8UC1, alpha, beta);
    
    	//method#2:
    	//这个方法需要编程者自行转换
    	//dstImage = alpha * srcImage + beta;
    
    	//method#3:
    	//convertScaleAbs这个函数会自动转为8-bit
    	convertScaleAbs(srcImage, dstImage, alpha, beta);
    	cout << "************************ " << endl;
    	cout << "dst: " << endl;
    	for (int r = 0; r < dstImage.rows; r++)
    	{
    		for (int c = 0; c < dstImage.cols; c++){
    			//如果不转换为unsigned int,如果结果为空白字符,输出了会看不到,所以作此转换
    			cout << (unsigned int)(dstImage.at<uchar>(r, c)) << ",";	//第r行c列的值
    		}
    		cout << endl;
    	}
    
    	// 【2】读入一张图片,并对图片进行分段线性变换
    	//载入图像,转为灰度图
        //srcImage = imread(argv[1], CV_LOAD_IMAGE_GRAYSCALE);     //从控制台传入图片参数
    	srcImage = imread("F:/images/img7.jpg", CV_LOAD_IMAGE_GRAYSCALE);     //在程序中打开一张图片,灰度图格式
    	if (!srcImage.data)
    	{
    		printf("could not load image...\n");
    	}
    	char input_title[] = "input image";
    	char output_title[] = "output image";
    	namedWindow(input_title, CV_WINDOW_AUTOSIZE);
    	namedWindow(output_title, CV_WINDOW_AUTOSIZE);
    	
    	// 显示载入的图片
    	imshow(input_title, srcImage);
    
    	dstImage = srcImage.clone();	//dstImage与srcImage同样尺寸,内容也一样
    
    	//对dst进行分段线性变换,遵循的公式为dstImage = alpha * srcImage + beta[即y = ax + b]
    	//怕被刷屏,所以此处就不输出srcImage, dstImage的像素值了
    	for (int r = 0; r < srcImage.rows; r++)
    	{
    		for (int c = 0; c < srcImage.cols; c++){
    			uchar temp = srcImage.at<uchar>(r, c);
    			if (temp < 50)
    			{
    				dstImage.at<uchar>(r, c) = saturate_cast<uchar>(temp * 0.5);	//alpha = 0.5, beta = 0
    			}
    			else if (50 <= temp && temp < 150)
    			{
    				dstImage.at<uchar>(r, c) = saturate_cast<uchar>(temp * 3.6 - 310);	//alpha = 3.6, beta = -310
    			}
    			else
    			{
    				dstImage.at<uchar>(r, c) = saturate_cast<uchar>(temp * 0.238 + 194);	//alpha = 0.238, beta = 194
    			}
    		}
    	}
    			
    	//显示效果图 
    	imshow(output_title, dstImage);
    	imwrite("F:/images/img_new.jpg", dstImage);		//将结果图保存起来
    
    	// 【3】等待任意按键按下
    	waitKey(0);
    	return 0;
    }

    程序运行结果

     

    线性变换实验

    src:
    0,200,
    23,4,
    ************************
    dst:
    0,255,
    46,8,

    对图片进行分段线性变换

    左图为原图,右图为分段线性变换后的效果图。

    相比较原图,更清楚些

    展开全文
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