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  • 求一组高达 N 阶勒让德多项式的线性组合的加权系数。 可以使用三种方法(实际上只是为了好玩): 'inv'(默认)直接反转正规方程矩阵,而 'chol' 和 'qr' 分别通过 Cholesky 和 ​​QR 分解找到解。 虽然支持任意大...
  • 论文研究-一种基于熵的线性组合赋权法.pdf, 给出了一种系统评价指标综合赋权方法——线性组合赋权法 .它以优化理论和 Jaynes最大熵原理为依据 ,建立了新的数学模型 ,并...
  • 线性组合与线性相关

    2020-09-25 11:18:42
    下面开始引入本课的主题:线性表示。这个概念其实我们并不陌生,就是小学美术老师教过的调色: 1.1 等比混合 这三种颜色的光线同时作用在这三种感光细胞上,混合在一起,就得到了我们所看到的颜色

    切入本课的主题之前,先科普一下人眼是怎么感知颜色的。人眼的构成是这样的:

    别的医学名词咱们不关心,就说右边的感光细胞。可以看出人眼大致有三种感光细胞:红色、绿色、蓝色的感光细胞。如果通过特定的光线,单独“激活”这三种感光细胞,我们分别看到红色、绿色、蓝色,这些光线也就是红光、绿光、蓝光:


    1 调色板

    下面开始引入本课的主题:线性表示。这个概念其实我们并不陌生,就是小学美术老师教过的调色:

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  • 通过建立二维随机变量(X,Y)的线性组合αX+βY的概率密度函数的推导公式,给出了在可靠性工程中应用最广泛的二维指数分布的线性组合的概率分布.
  • 线性代数的核心就是,基于向量的两种操作。...把这两种操作放在一起,就叫线性组合(linear combination) 版权声明: 文中部分截图来源:Introduction to Linear Algebra-GILBERT STRANG ...

     线性代数的核心是基于向量的两种基本操作

    1,把两个向量(v, w)加在一起。

    2,常量(c)乘以向量(v, w)。

    把这两种操作放在一起,就叫线性组合(linear combination)

    补充:

    下面是自己的笔记:

    鸣谢:

    文中部分截图来源:Introduction to Linear Algebra - GILBERT STRANG

    Linear Combination Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)https://www.mathsisfun.com/definitions/linear-combination.html

    版权声明:所有的笔记,可能来自很多不同的网站和说明,在此没法一一列出,如有侵权,请告知,立即删除。  

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  • 线性代数入门——线性组合与线性表出,线性相关与线性无关线性组合与线性表出线性相关与线性无关 线性组合与线性表出 首先讲解关于线性组合和线性表出的概念 若对于n维向量组 α1,α2,α3,…,αn,β; 存在一组...

    线性组合与线性表出

    首先讲解关于线性组合和线性表出的概念
    若对于n+1维向量组 α1,α2,α3,…,αn,β;
    存在一组数k1,k2,…,kn,使得
    β=α1+α2+α3+···+αn 成立;
    则可以说:

    • 向量β是向量组α1,α2,…,αn的一个线性组合
    • 向量β可由向量组α1,α2,…,αn的线性表出

    相关例题 ——“xxx能否由xxx线性表出”

    相关例题
    验证某个向量是否为一个向量组的线性组合,或者说验证某个向量能否由一个向量组线性表出的关键,即从定义出发
    尝试找出n个实数,使得 β=α1+α2+α3+···+αn 成立;


    线性相关与线性无关

    定义

    • 线性相关:对于n维向量组 α1,α2,α3,…,αn,若存在一组不全为0的实数 k1,k2,…,kn,使得k1α1+k2α2+k3α3+···+knαn = 0 成立,则n维向量组α1,α2,···,αn是线性相关的。
    • 线性无关:对于n维向量组 α1,α2,α3,…,αn,若不存在一组不全为0的实数k1,k2,…,kn,使得k1α1+k2α2+k3α3+···+knαn = 0 成立,则n维向量组α1,α2,···,αn是线性无关的。

    含义

    *** k1α1+k2α2+k3α3+···+knαn = 0 (*)

    • 只要能找到一组不全为0的实数k1,k2,···,kn,能够满足式子成立,就可以说是线性相关的
    • 言外之意,这样的不全为0的一组实数,可能有多组,即不唯一
    • 如果一组都找不到,那就是线性无关的
    • 线性无关,即只有k1,k2,···,kn全为0时,(*)式 才能成立

    *** 请务必好好理解,记熟线性相关和线性无关的定义和含义!

    相关例题

    在这里插入图片描述
    典型例题也是非常基础的题型,即讨论向量组是否线性相关。这种题型把握好线性相关与线性无关的定义和含义即可。
    讲解:如题,k1α1+k2α2+k3α3+k4α4 = 0,我们一定能找到
    k1=k2=k3=k4=0 使得式子成立,即这组实数k1,k2,k3,k4全为0时肯定成立。关键在于,能不能找到一组不全为零的k1,k2,k3,k4也使它成立?
    于是解方程组,k4=0,k2=k3,可令k2=k3=-1可以有一组解为
    k1=2,k2=k3=-1,k4=0
    即我们找出了一组不全为零的实数,使得k1α1+k2α2+k3α3+k4α4 = 0成立,那么根据线性相关的定义,它就是线性相关的。

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  • 1.2 二维三维空间向量组的线性组合

    千次阅读 2020-03-19 18:20:53
    二维三维空间向量组的线性组合 向量的基本运算法则,构成了整个线性代数的基础。在物理学中,特别是求系统平衡时,经常碰到这类问题,给定若干矢量,这些矢量和能与某特定矢量平衡吗?这就需要研究向量组的线性组合...

    二维三维空间向量组的线性组合

    向量的基本运算法则,构成了整个线性代数的基础。在物理学中,特别是求系统平衡时,经常碰到这类问题,给定若干矢量,这些矢量和能与某特定矢量平衡吗?这就需要研究向量组的线性组合,本节给出低维空间中的情况,因为低维空间中,向量组的线性组合有几何图像。线性组合是核心概念,希望读者重视背后的几何图像。本章后面内容是对这些情况进行理论提升,并推广到高维空间。

    二维平面线性组合

    考虑两个二维向量 v = ( 1 , 0 ) \mathbf{v}=(1,0) v=(1,0) w = ( 0 , 1 ) \mathbf{w}=(0,1) w=(0,1) ,根据向量数乘和向量加法,向量
    α v + β w = ( α , 0 ) + ( 0 , β ) = ( α , β ) \alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w} = (\alpha,0)+(0,\beta)=(\alpha,\beta) αv+βw=(α,0)+(0,β)=(α,β)
    其几何图像为,分别把向量 v \mathbf{v} v 拉伸为原来的 α \alpha α 倍,向量 w \mathbf{w} w 拉伸为原来的 β \beta β 倍,然后相加,这可以看作广义的矢量合成,线性代数称之为线性组合。

    定义 线性组合 α v + β w \alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w} αv+βw 是向量组 ( v , w ) (\mathbf{v},\mathbf{w}) (v,w) 的线性组合,实数 ( α , β ) (\alpha,\beta) (α,β) 称为表示系数组。

    ( α , β ) (\alpha,\beta) (α,β) 组取不同的值,可表示不同的向量。特别的,如

    1 v + 1 w = ( 1 , 1 ) ; 0 v + 1 w = ( 0 , 1 ) ; 1 v + 0 w = ( 1 , 0 ) ; 0 v + 0 w = ( 0 , 0 ) 1 \mathbf{v} + 1 \mathbf{w} = (1,1);\quad 0 \mathbf{v} + 1 \mathbf{w} = (0,1);\quad 1 \mathbf{v} + 0 \mathbf{w} = (1,0);\quad 0 \mathbf{v} + 0 \mathbf{w} = (0,0) 1v+1w=(1,1);0v+1w=(0,1);1v+0w=(1,0);0v+0w=(0,0)

    定义 线性表示 存在 ( α , β ) (\alpha,\beta) (α,β) 组,向量 u = α v + β w \mathbf{u} = \alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w} uαv+βw ,称向量 u \mathbf{u} u 能被向量组 ( v , w ) (\mathbf{v},\mathbf{w}) (v,w) 线性表示,简称表示。

    强调一下,当表示系数全0时, 0 \mathbf{0} 0 向量被任意向量组表示!

    ( α , β ) (\alpha,\beta) (α,β) 可在实数域内任意取值,每一组值对应一个向量,这样所有 ( α , β ) (\alpha,\beta) (α,β) 表示的向量构成一个向量集合。该集合有无穷多个向量,这些向量组成了二维平面,或者说二维平面内任意向量 ( x , y ) {(x,y)} (x,y) 都对应唯一的 ( α , β ) (\alpha,\beta) (α,β) ( α = x , β = y ) (\alpha=x,\beta=y) (α=x,β=y)

    二维向量 v = ( 1 , 1 ) \mathbf{v}=(1,1) v=(1,1) w = ( 2 , 1 ) \mathbf{w}=(2,1) w=(2,1) ,它们的线性组合是否也组成二维平面,答案是肯定的。
    α v + β w = ( α , α ) + ( 2 β , β ) = ( α + 2 β , α + β ) \alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w} = (\alpha,\alpha)+(2\beta,\beta)=(\alpha+2\beta,\alpha+\beta) αv+βw=(α,α)+(2β,β)=(α+2β,α+β)
    二维平面内任意向量 ( x , y ) {(x,y)} (x,y) 都对应唯一的 ( α , β ) (\alpha,\beta) (α,β) 组, ( α = − x + 2 y , β = x − y ) (\alpha=-x+2y,\beta=x-y) (α=x+2y,β=xy)

    是否任意两个二维向量,它们的线性组合都组成二维平面呢?答案是否定的。

    二维向量 v = ( 1 , 2 ) \mathbf{v}=(1,2) v=(1,2) w = ( − 2 , − 4 ) \mathbf{w}=(-2,-4) w=(2,4) ,它们的线性组合
    α v + β w = ( α , 2 α ) + ( − 2 β , − 4 β ) = ( α − 2 β , 2 α − 4 β ) = ( α − 2 β , 2 ( α − 2 β ) ) = ( α − 2 β ) ( 1 , 2 ) \alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w} = (\alpha,2\alpha)+(-2\beta,-4\beta)=(\alpha-2\beta,2\alpha-4\beta)=(\alpha-2\beta,2(\alpha-2\beta))=(\alpha-2\beta)(1,2) αv+βw=(α,2α)+(2β,4β)=(α2β,2α4β)=(α2β,2(α2β))=(α2β)(1,2)
    向量 ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1) 就不能被其表示。向量 ( x , 2 x ) (x,2x) (x,2x) 能被表示,且能被无穷多 ( α = x + 2 β , β = 任 意 ) (\alpha=x+2\beta,\beta=任意) (α=x+2β,β=) 组表示,但该线性组合只能表示向量 λ ( 1 , 2 ) \lambda(1,2) λ(1,2) ,因为向量 w = − 2 v \mathbf{w} = -2\mathbf{v} w2v ,所以
    α v + β w = α v − 2 β v = ( α − 2 β ) v = λ v = λ ( 1 , 2 ) \alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w} = \alpha \mathbf{v} - 2\beta \mathbf{v} = (\alpha-2\beta )\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}=\lambda(1,2) αv+βw=αv2βv=(α2β)v=λvλ(1,2)
    实际上,当两个向量成比例时,即 w = λ v \mathbf{w} = \lambda \mathbf{v} wλv ,此时它们共线,它们的线性组合只能表示向量 α v + β w = ( α + λ β ) v \alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w} = (\alpha + \lambda \beta) \mathbf{v} αv+βw=(α+λβ)v 即该直线,且有无穷多种表示;但不能表示直线外的任意向量。

    重要性质 二维平面内两个向量不共线时,线性组合能表示整个平面,平面内任意向量对应唯一表示;共线时线性组合只能表示该直线,该直线内任意向量对应无穷多表示;不能表示直线外的任意向量。

    进一步考虑3个二维向量的线性组合。

    定义 线性组合 α v + β w + γ u \alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w} + \gamma \mathbf{u} αv+βw+γu 为向量组 ( v , w , u ) (\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{u}) (v,w,u) 的线性组合,实数 ( α , β , γ ) (\alpha,\beta,\gamma) (α,β,γ) 称为表示系数组。

    显然当3个向量中有任意两个向量不共线,线性组合能表示整个平面;只有3个向量均共线时线性组合只能表示该直线。

    3个二维向量和2个二维向量的表示有什么不同呢?差别在于表示的唯一性。当3个向量中有任意两个向量不共线时,平面内任意向量均有无穷多表示。证明如下,假设 v , w \mathbf{v},\mathbf{w} v,w 不共线,任意向量 y \mathbf{y} y 表示为 y = α v + β w + γ u \mathbf{y} =\alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w} + \gamma \mathbf{u} y=αv+βw+γu ,两边加上向量 − γ u -\gamma \mathbf{u} γu ,得 y − γ u = α v + β w \mathbf{y} - \gamma \mathbf{u} =\alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w} yγu=αv+βw ,当 λ \lambda λ 取任意实数时,均存在向量 v , w \mathbf{v},\mathbf{w} v,w 的线性组合能唯一表示向量 y − γ u \mathbf{y} - \gamma \mathbf{u} yγu

    更进一步考虑 n n n 个二维向量的线性组合。

    定义 线性组合 α 1 v 1 + ⋯ + α n v n \alpha_1 \mathbf{v_1} + \cdots + \alpha_n \mathbf{v_n} α1v1++αnvn 为向量组 ( v 1 , ⋯   , v n ) (\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_n}) (v1,,vn) 的线性组合,实数 ( α 1 , ⋯   , α n ) (\alpha_1,\cdots,\alpha_n) (α1,,αn) 称为表示系数组。

    显然有如下结论,

    重要性质 n ≥ 3 n \ge 3 n3 个二维向量的线性组合,如果有任意两个向量不共线,线性组合能表示整个平面,且表示有无穷多个;只有所有向量均共线时线性组合只能表示该直线且表示有无穷多个。

    三维空间线性组合

    考虑两个三维向量 v = ( 1 , 0 , 0 ) \mathbf{v}=(1,0,0) v=(1,0,0) w = ( 0 , 1 , 0 ) \mathbf{w}=(0,1,0) w=(0,1,0) ,根据向量数乘和向量加法,它们线性组合为
    α v + β w = ( α , 0 , 0 ) + ( 0 , β , 0 ) = ( α , β , 0 ) \alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w} = (\alpha,0,0)+(0,\beta,0)=(\alpha,\beta,0) αv+βw=(α,0,0)+(0,β,0)=(α,β,0)
    能唯一表示二维平面 ( x , y , 0 ) (x,y,0) x,y,0 内的任意向量,但不能表示该平面外任意向量 ( x , y , z ) ∀ z ≠ 0 (x,y,z)\forall z \ne 0 x,y,zz=0

    根据立体几何知识,不共线的两条直线确定一个平面。

    重要性质 任意两个不共线的向量的线性组合能唯一表示由这两个向量确定的平面内的任意向量。如果向量不位于该平面内,则线性组合不能表示该向量。

    如果有3个三维向量呢?

    考虑3个三维向量 v = ( 1 , 0 , 0 ) \mathbf{v}=(1,0,0) v=(1,0,0) w = ( 0 , 1 , 0 ) \mathbf{w}=(0,1,0) w=(0,1,0) u = ( 0 , 0 , 1 ) \mathbf{u}=(0,0,1) u=(0,0,1) ,根据向量数乘和向量加法,它们线性组合为
    α v + β w + + γ u = ( α , 0 , 0 ) + ( 0 , β , 0 ) + + ( 0 , 0 , γ ) = ( α , β , γ ) \alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w} + + \gamma \mathbf{u} = (\alpha,0,0)+(0,\beta,0) + +(0,0,\gamma)=(\alpha,\beta,\gamma) αv+βw++γu=(α,0,0)+(0,β,0)++(0,0,γ)=(α,β,γ)
    能唯一表示三维空间内的任意点,或者说三维空间内任意点 ( x , y , z ) {(x,y,z)} (x,y,z) 都对应唯一的 ( α , β , γ ) (\alpha,\beta,\gamma) (α,β,γ) ( α = x , β = y , γ = z ) (\alpha=x,\beta=y,\gamma=z) (α=x,β=y,γ=z)

    重要性质 3个向量不共面时,它们线性组合能唯一表示三维空间内的任意向量。

    重要性质 3个向量共面时,它们线性组合能表示由这3个向量确定的平面内的任意向量,且表示有无穷多个。如果向量不位于该平面内,则线性组合不能表示该向量。

    如果有 n ≥ 4 n \ge 4 n4 个三维向量呢?

    重要性质 n ≥ 4 n \ge 4 n4 个三维向量中有任意3个向量不共面时,它们线性组合能表示三维空间的任意向量,且表示有无穷多个。

    重要性质 n ≥ 4 n \ge 4 n4 个三维向量中如果不存在任意3个向量不共面,它们线性组合不能表示三维空间的任意向量。这 n n n 个三维向量如果确定一个平面,则它们线性组合能表示该平面内的任意向量,且表示有无穷多个。

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  • 文章目录 1 测定预测精度的方法 2 组合模型 2.1 模式一:线性组合模型 2.2 模式二:最优线性组合模型 2.3 模式三:贝叶斯组合模型 1 测定预测精度的方法 平均误差 ME=∑i=1n(yi−y^i)n ME=\frac{\sum\limits_{i=1}^n...
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  • 线性代数系列(一)--线性组合

    千次阅读 2019-03-18 21:39:14
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    千次阅读 2019-06-13 19:53:08
    转自:GPS观测值的线性组合
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  • 向量组及其线性组合

    2019-08-10 14:14:38
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空空如也

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