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  • 线性规划模型

    2020-08-26 20:25:51
    线性规划模型简介 】 线性规划研究的问题 在一定条件下,合理安排人力物力等资源,使经济效果达到最好。 线性规划问题 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题。 可行解 满足线性约束条件的...

    【 1. 线性规划模型简介 】

    线性规划研究的问题
    在一定条件下,合理安排人力物力等资源,使经济效果达到最好。
    线性规划问题
    一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题。
    可行解
    满足线性约束条件的解。
    可行域
    由所有可行解组成的集合。
    线性规划的三要素
    决策变量、约束条件、目标函数是。

    【 2. 范例 】

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    【 3. LINGO求解 】

    max=2*x1+3*x2; !LINGO默认变量值≥0
    x1+2*x2<=8;
    4*x1<=16;
    4*x2<=12;
    

    在这里插入图片描述
    X1=4X2=214X_1=4,X_2=2时,利润最大为14

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  • 优化模型一:线性规划模型
  • 数学建模-线性规划模型
  • 接上三篇文章: 数学规划模型(一):数学规划模型的基本知识 数学规划模型(二):线性规划模型 数学规划模型(三):整数规划模型 ...一般说来,求解非线性规划模型要比求解线性规划模型困难得多...

    接上三篇文章:
    数学规划模型(一):数学规划模型的基本知识
    数学规划模型(二):线性规划模型
    数学规划模型(三):整数规划模型

    非线性规划模型的基本知识

    在数学规划模型
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    中,如果目标函数或约束条件、中包含非线性函数,就称这种规划模型为非线性规划模型
    在这里插入图片描述
    为非线性规划模型的可行域。

    非线性规划模型的全局最优解

    在这里插入图片描述

    非线性规划模型的局部最优解

    在这里插入图片描述
    一般说来,求解非线性规划模型要比求解线性规划模型困难得多。而且,也不像线性规划模型的求解有单纯形法这一通用算法,非线性规划模型目前还没有适于各种问题的一般算法,各种算法都有自己特定的适用范围。由于非线性规划模型的复杂性,在求解非线性规划模型的过程中,有时只能找到模型的局部最优解,局部最优解还不一定是全局最优解。
    特别,若某非线性规划模型的目标函数为决策变量的二次函数,约束条件与线性规划模型一样全是线性等式和线性不等式,称这种特殊形式的非线性规划模型为二次规划模型。二次规划模型的一般形式为:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    这里系数矩阵A是m×n矩阵,约束向量B是m×1列向量,H是n×n实对称矩阵,n×1是列向量。
    二次规划模型有成熟的求解算法,特别当是正定或半正定矩阵时,可得到全局最优解。用LINGO、MATLAB等数学软件进行求解也较为方便,二次规划模型有着非常广泛的应用。

    非线性规划模型的常用解法介绍

    非线性规划模型在工程计算和经济管理中经常遇到,近二十年来对非线性规划模型求解算法的研究有了很大发展,其求解方法大体可分为以下几类:
    (1) 利用问题的最优性条件来求解的方法。
    (2) 利用线性规划或二次规划来逐次逼近求解的方法,例如线性逼近法、二次逼近法等。
    (3) 把约束非线性规划模型转化为一个或一系列无约束非线性规划模型来求解的方法,例如惩罚函数法、精确惩罚函数法、乘子法等。
    (4) 对约束非线性规划模型不预先进行转换,直接进行处理的分析方法,例如可行方向法、梯度投影法、广义既约梯度法等。
    (5) 对约束非线性规划模型不预先进行转换的直接求解方法,例如复形法、随机试验法等。

    对于上述一系列关于非线性规划模型的求解方法,可详细参见清华大学编《运筹学》教材等参考文献。
    目前,如乘子法、精确惩罚函数法、广义既约梯度法、二次逼近法等方法都已开发成计算机软件,并在实际应用中获得成功。

    非线性规划建模示例

    股票组合投资问题

    现有一笔资金决定进行股票投资,以一年为一个投资周期。市场上有n种股票Si(i=1,2,…,n)可供选择,投资这n种股票在过去年份的收益率情况可统计得到。对各种股票按适当的资金比例进行投资称为组合投资。一般组合投资能够满足达到一定的总体预期收益率,同时有效降低总体风险。
    (1)试设计一种组合投资方案,即确定投资各种股票的资金比例,使总体收益率至少达到15%,并且总体风险尽量小。
    (2)表6-7中给出了三种股票过去十二年的投资收益情况,试就只有表6-7中三种股票可供选择时进行计算。
    在这里插入图片描述
    注:表6-7中的第一个数据1.300的含义是股票S1在第1年年末价值是其年初价值的1.300倍,即收益率为30%,其余数据的含义依次类推。

    1. 问题分析

    人们投资某股票时的收益率是不确定的,可将收益率视为一个随机变量,因此用收益率的平均值即数学期望值来表达投资某股票时的期望收益率。除了考虑期望收益率外,还要考虑风险,一般投资某股票的收益率越不稳定即波动幅度越大,就认为其风险越大,因此可用收益率的方差来衡量投资某股票的风险:方差越大,则认为其风险越大;方差越小,则认为其风险越小。
    同时还应考虑股票间的相关性,由概率论的知识可知,两种股票收益率的协方差表示的则是它们之间的相关程度:
    (1)协方差为0时,两者不相关;
    (2)协方差为正数时,表示两者正相关,协方差越大则正相关性越强,即越有可能一赚皆赚,一赔皆赔;
    (3)协方差为负数时,表示两者负相关,即越有可能一个赚,另一个赔。

    2. 模型假设

    (1)影响投资决策的主要因素为期望收益率和风险两项,不受意外因素影响;
    (2)用收益率的方差来衡量风险,用收益率的协方差来衡量股票间的相关程度;
    (3)遵守占优原则:同一收益率水平下,选择风险低的投资方案;
    (4)不考虑交易费用;
    (5)手上现有资金全部用于股票投资。

    3. 模型建立

    (1)决策变量
    x1,x2,…,xn分别表示投资于S1,S2,...,Sn这种股票的资金比例,则向量在这里插入图片描述表示一个投资组合,以其作为决策变量。
    (2)目标函数
    R1,R2,...,Rn分别为投资S1,S2,...,Sn这种股票的收益率,则其期望收益率分别为r1=E(R1),r2=E(R2),...,rn=E(Rn)。按投资组合在这里插入图片描述进行投资时,其组合收益率为在这里插入图片描述,R也是一个随机变量,期望组合收益率为:
    在这里插入图片描述
    组合风险(即组合收益率的方差)为:
    在这里插入图片描述
    注:符号表示数学期望,表示方差,表示与的协方差。
    我们的目标是希望组合风险尽量小,因此目标函数即为:
    在这里插入图片描述
    (3)约束条件
    手上现有资金全部用于这种股票的投资,因此有:
    在这里插入图片描述
    根据题设要求,期望组合收益率应大于等于给定的预期收益率(),于是有:
    在这里插入图片描述
    综合上述分析,股票组合投资问题的数学模型为如下二次规划模型:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    4. 模型求解

    (1)数据准备
    根据概率论的知识和表6-7中给出的数据,计算出三种股票的期望收益率和三种股票收益率的协方差矩阵如下:
    r1=0.0890833,r2=0.213667,r3=0.234583
    在这里插入图片描述
    即:
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    (2)求解
    取n=3和r0=15%,将上述数据代入股票组合投资问题的二次规划模型,利用LINGO软件进行求解,其最优解为:
    在这里插入图片描述
    即投资三种股票的资金比例大致是:S1占53%,S2占36%,S3占11%,相应的风险值为0.0224138。

    此外,股票组合投资问题还有:
    (1)存在(例如可买国库券等)无风险资产;
    (2)考虑交易成本等情形。这些情形下的股票组合投资问题的数学模型请读者思考。

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    接上:数学规划模型(一)

    线性规划模型的一般形式

    线性规划模型所解决的问题具有以下共同特征:
    (1)每个问题都可用一组决策变量 在这里插入图片描述表示某一方案,决策变量的一组定值就代表一个具体方案。通常决策变量取值是非负的。
    (2)存在一定的限制条件(即约束条件),这些约束条件可用关于决策变量的一组线性等式或线性不等式来表示。
    (3)有一个目标要求(即目标函数),目标函数可表示为关于决策变量的线性函数。根据问题的需要,要求目标函数实现最大化或最小化。
    线性规划模型的一般形式如下:
    目标函数:
    在这里插入图片描述
    约束条件:
    在这里插入图片描述
    用矩阵向量符号,可更简洁地表示线性规划模型的一般形式:
    目标函数:
    在这里插入图片描述
    约束条件:
    在这里插入图片描述
    这里系数矩阵A是m×n矩阵,约束向量B是m×1列向量,价值向量C是1×n行向量。即:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    关于线性规划模型的求解,目前已有相当完善的单纯形算法(详细参见清华大学编《运筹学》教材)。在实际建模中,由于数据庞大,借助于LINGO、MATLAB等数学软件进行求解是完全可以实现的。

    线性规划建模示例

    货机装载问题
    一架货机有三个货舱:前舱、中舱和后舱。三个货舱所能装载货物的最大重量和体积限制如表6-1所示。并且为了飞机的平衡,三个货舱共装载的货物重量必须与其最大的容许量成比例。
    在这里插入图片描述
    现有四类货物供该货机本次飞行装运,货物的规格以及装运后获得的利润如表6-2所示。
    在这里插入图片描述
    问应如何安排装运,使得货机本次飞行获利最大?

    1. 模型假设
    (1)每种货物可以无限细分;
    (2)每种货物可以分布在一个或者多个货舱内;
    (3)不同的货物可以放在同一个货舱内,并且可以保证不留空隙。
    2. 模型建立
    (1)决策变量
    本问题需要确定各种货物放在每个货舱内的重量,于是用xij表示第i种货物放在第个j货舱内的重量,i=1,2,3,4:分别表示货物1,货物2,货物3和货物4;j=1,2,3:分别表示前舱、中舱和后舱。 以xij作为决策变量。
    (2)目标函数
    需要实现总利润的最大化,于是目标函数即为总利润函数:
    在这里插入图片描述
    (3)约束条件
    供装载的四种货物的总重量约束:
    在这里插入图片描述
    三个货舱的空间限制约束:
    在这里插入图片描述
    三个货舱的重量限制约束:
    在这里插入图片描述
    三个货舱装入重量的平衡约束:
    在这里插入图片描述
    综合上述分析,货机装载问题的数学模型为如下线性规划模型:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    3. 模型求解
    使用数学软件MATLAB中的Linprog命令求解,求解结果为:
    在这里插入图片描述
    即使得货机本次飞行获利最大的装运安排为:货物1不装运;货物2在前舱装载10吨,在后舱装载5吨;货物3在中舱装载12.947吨,在后舱装载3吨;货物4在中舱装载3.053吨。货机本次飞行获利为:121516元。

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    非线性规划模型与01规划模型模型主要针对数学建模问题中的一些小的子问题进行求解,如果想直接使用请跳转至——
    视频回顾

    一、算法介绍

    1. 01规划模型

     01规划是指未知量的取值范围只能是0,1的规划问题,
    通常是线性规划

    二、适用问题

    三、算法总结

    四、应用场景举例

    1.非线性规划模型

    在这里插入图片描述

    2.01规划模型

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    五、LINGO代码

    1.非线性规划模型

    Model:
    max=98*x1+277*x2-x1*x1-0.3*x1*x2-2*x2*x2;
    x1+x2<100;
    x1<=2*x2;
    @gin(x1);
    @gin(x2);
    end
    

    2.01规划模型

    Model:
    Min=8*x11+13*x12+18*x13+23*x14+10*x21+14*x22+16*x23+27*x24+2*x31+10*x32+21*x33+26*x34+14*x41+22*x42+26*x43+28*x44;
    x11+x12+x13+x14=1;
    x21+x22+x23+x24=1;
    x31+x32+x33+x34=1;
    x41+x42+x43+x44=1;
    x11+x21+x31+x41=1;
    x12+x22+x32+x42=1;
    x13+x23+x33+x43=1;
    x14+x24+x34+x44=1;
    end
    int16
    
    

    六、实际案例

    
    

    七、论文案例片段(待完善)

    展开全文
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