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  • 线性规划与非线性规划问题线性规划与非线性规划问题
  • 对偶线性规划问题.ppt

    2021-05-14 14:26:02
    对偶线性规划问题
  • 1. 线性规划问题(LP) 线性规划问题是要最小化或最大化一个受限于一组有限的线性约束的线性函数。 Matlab 中规定线性规划的标准形式为 第一个式子为目标函数,s.t. 式是约束条件。其中 c 和 x 为 n 维列向量,A、...

    1. 线性规划问题(LP)

    线性规划问题是要最小化或最大化一个受限于一组有限的线性约束的线性函数。

    • Matlab 中规定线性规划的标准形式为
      在这里插入图片描述

    第一个式子为目标函数,s.t. 式是约束条件。其中 c 和 x 为 n 维列向量,A、Aeq 为适当维数矩阵,b、beq 为适当维数列向量

    • 在 matlab 中,线性规划的函数为 linprog() ,有两种常用形式:
      • X = linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0)
      • [X,FVAL]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0)

    返回的值 X 是向量 x 的值,FVAL 是目标函数的值,LB 和 UB 分别是变量 x 的下界和上界, 是 x 的初始值。

    1.2 应用例子

    • 求下列线性规划问题:
      在这里插入图片描述

    依据 Matlab 的标准,默认求解是求最小值,而本例是求的最大值,把 z 的系数变为相反数,即 -1 就好了,同理下面的大于等于号也做同样处理,然后没有上界 UB,下界 LB 为三个变量都为 0,也就是一个全零的矩阵 zeros(3, 1)

    • 编写一个 .m 文件:
      在这里插入图片描述

    1.3 相关问题

    • 运输问题(产销平衡)
    • 指派问题(匈牙利算法)
    • 对偶理论与灵敏度分析
    • 投资的收益和风险

    2. 非线性规划问题(NLP)

    如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题就叫做非线性规划问题。
    在这里插入图片描述

    2.2 非线性规划的基本解法

    • 罚函数法
    • 近似规划法
      近似规划法的基本思想;是将问题(3)中的目标函数f(x)和约束条件g(x);h(x)近似为线性函数,并对变量的取值范围加以限制。从而得到一个近似线性规划问题。再用单纯形法求解。把其符合原始条件的最优解作为(3)解的近似。
      每得到一个近似解后,都从这点出发,重复以上操作。

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    2.3 相应问题

    • 无约束问题(一维搜索方法、二次插值法、无约束极值问题的解法)
    • 约束极值问题(二次规划、罚函数法)
    • 飞行管理问题

    3. 整数规划问题(IP)

    数学规划中的变量(全部或部分)限制为整数时,称为整数规划,例如,所求的解是机器的台数,人数,车辆船只数等等。

    • 整数规划的分类:
      • 纯整数规划:全部决策变量只能取整数的线性规划
      • 混合整数规划:决策变量中有一部分必须取整数,另一部分可以不取整数的线性规划
      • 0-1整数规划:决策变量只能取0,1的线性变化

    3.1 混合整数规划问题(MIP)

    • 混合整数线性规划是整数线性规划模型的一种。

    • 整数线性规划模型分类:

      • 若I={0,1},J={1,…,n},即全部的决策变量仅取0或1,称之为0-1规划;
      • 若J是{1,2…n}的非空真子集,即仅有部分决策变量要求取整数,称为混合整数线性规划;
      • 若J={1,2,…n},即全部的决策变量都取整数,称为纯整数线性规划;
    • 常用的整数规划问题解法有:

      • 分枝定界法:可求纯或混合整数线性规划
      • 割平面法:可求纯或混合整数线性规划
      • 隐枚举法:用于求解0-1整数规划,有过滤法和分枝法。
      • 匈牙利法:解决指派问题(0-1规划特殊情形)
      • 蒙特卡罗法:求解各种类型规划

    3.2 常用方法讲解

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    4. 二次规划问题(Quadratic Programming)

    在这里插入图片描述

    5. 混合整数二次规划问题(MIQP)

    通过上面的定义我们不难看出混合整数二次规划问题本质就是一种混合整数规划问题的一种特例,其中他的目标函数为二次型,其约束条件满足混合整数规划问题。

    6.参考的博客文章

    展开全文
  • 高中数学简单线性规划问题时线性规划实际应用PPT课件.pptx
  • 线性规划问题的数学模型
  • 线性规划问题.doc

    2011-08-06 12:28:06
    线性规划问题.doc线性规划问题.doc线性规划问题.doc线性规划问题.doc线性规划问题.doc线性规划问题.doc
  • 使用MABLAB求解线性规划问题的pdf文件,里面含有用matlab求解各种线性规划问题,如:非线性规划,无约束非线性规划,有约束非线性规划
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  • 一、线性规划问题求解 1、Excel中大M法与Excel的“规划求解”包对实际问题的求解比较 实际例题: 求解以下约束条件的线性规划的最大值和最优解 使用大M法对实际问题的求解 使用Excel的“规划求解”包对实际问题的...
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  • Matlab 求解0-1线性规划问题
  • 吕彬、郭全魁、陈磊编写的这本《线性规划问题的新算法》系统地提出了求解线性规划问题的新算法——正则形法。全书共分8章,第1章介绍了线性规划问题的一般模型及各种形式;第2章研究了线性规划问题的图解法和其解的...
  • Matlab求解线性规划问题.pdf
  • 什么是线性规划问题? 线性规划是在一系列的线性条件的约束下,从而规定了可行解,在通过具体的目标函数,求得满足函数的最优解 。 例如平常的线性规划函数的例子: 在matlab中使用matlab标准的格式: 若是目标...

    一、线性规划

    什么是线性规划问题?

    线性规划是在一系列的线性条件的约束下,从而规定了可行解,在通过具体的目标函数,求得满足函数的最优解
    例如平常的线性规划函数的例子:
    例子
    在matlab中使用matlab标准的格式:
    在这里插入图片描述
    若是目标函数是求解最大值的话,则取-C形式:
    例如线性规划:
    在这里插入图片描述

    的MATLAB标准型为:
    在这里插入图片描述

    二、linprog函数

    在matlab中,linprog函数可以求解线性规划问题,用于寻找目标函数的最小值。
    matlab中,规划模型的标注写法如下:
    在这里插入图片描述
    (1)[x,fval]=linprog(f,A,b)
    用于求解:
    在这里插入图片描述

    (2)[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq)
    用于求解:
    在这里插入图片描述
    如果没有等式存在,就用[]代替Aeq和beq。

    (3)[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
    用于求解:
    在这里插入图片描述
    返回的x为所求的结果,fval为最值。
    linprog中fval都是求最小值,这个要记住。
    A和b是不等式约束条件的参数。
    Aeq和beq是等式约束条件的参数。
    lb和ub为x取值的取值范围。

    例如:
    a+b+c<30
    c<15
    b<10
    函数:max f = 10a+20b+30c
    因为linprog求的是最小值,我们将原式改为:
    f = -(10
    a+20b+30c)
    这样我们有了函数f=[-10;-20;-30];,然后:
    根据约束条件不等式,有:
    A = [1 1 1;
    0 0 1;
    0 1 0] ;
    b = [30;15;10] ;
    但这样算出来的结果大家会发现是小数,也可能是负数。
    因此我们加入a、b、c取值的上下限:
    lb = [0 0 0]
    ub = [30 30 30]
    如果在计算中需要得到小数的结果,只要写成0.00或者30.00就可以了,最后带入函数计算就可以了。

    三、intlinprog函数

    intlinprog()是matlab中用于求解混合整数线性规划(Mixed-integer linear programming)的一个函数,用法基本和linprog差不多。
    语法:

    x=intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
    

    与linprog相比,多了参数intcon,代表了整数决策变量所在的位置。
    例如:
    在这里插入图片描述

    四、Lingo软件

    LINGO是用来求解线性和非线性优化问题的简易工具。
    所有代码在 Lingo Model - Lingo 1中编写,写完后点击工具条上的红色的靶子运行。
    在这里插入图片描述
    例如:
    在这里插入图片描述
    代码:

    max=x1+x2;
    x1+9/14*x2<=51/14;
    -2*x1+x2<=1/3;
    @gin(x1);@gin(x2);
    end
    

    LINGO提供了大量的标准数学函数
    @abs(x) 返回x 的绝对值
    @sqrt() 开方
    @sin(x) 返回x 的正弦值,x 采用弧度制
    @cos(x) 返回x 的余弦值
    @tan(x) 返回x 的正切值
    @exp(x) 返回常数e 的x 次方
    @log(x) 返回x 的自然对数
    @lgm(x) 返回x 的gamma 函数的自然对数
    @sign(x) 如果x<0 返回-1;否则,返回1
    @floor(x) 返回x的整数部分。当x>=0 时,返回不超过x 的最大整数;当x<0
    时,返回不低于x 的最大整数。
    @smax(x1,x2,…,xn) 返回x1,x2,…,xn 中的最大值
    @smin(x1,x2,…,xn) 返回x1,x2,…,xn 中的最小值

    变量界定函数
    变量界定函数实现对变量取值范围的附加限制,共4种
    @bin(x) 限制x 为0 或1 — 用于0-1规划
    @bnd(L,x,U) 限制L≤x≤U
    @free(x) 取消对变量x 的默认下界为0 的限制,即x 可以取任意实数
    @gin(x) 限制x 为整数
    在默认情况下,LINGO 规定变量是非负的,也就是说下界为0,上界为+∞。@free 取消
    了默认的下界为0的限制,使变量也可以取负值。@bnd用于设定一个变量的上下界,它也可 以取消默认下界为0的约束。
    注意:
    LINGO总是根据“MAX=”或“MIN=”寻找目标函数;
    程序语句的顺序一般不重要,既可以随意调换;
    程序运用函数时都是以@开头;
    程序中的变量默认为非负数,想要改变变量类型必须有相应函数调整
    程序中变量不区分大小写;
    语句必须以分号结尾;
    注释以!开始,且注释语句后面必须也有分号,注释默认注释到第一个分号处,意思是分号前面会全部被注释掉。

    五、实例

    根据外场改装合同要求,改装备件需于每季度末分别提供10、15、25、30。已知该专业厂各季度末的生产能力及每套产品的成本构成,如果专业厂生产出的备件当季不能交付,每套积压一季度需存储、维护等的费用0.15万元,建立一个数学模型,要求在完成合同的情况下,使该全年生产(包括存储、维护)费用最小。
    在这里插入图片描述
    解:
    设x_ij为第i季度生产的用于第j季度交货产品的数量,则由题意得:
    x_11=10
    x_12+x_22=15
    x_13+x_23+x_33=25
    x_14+x_24+x_34+x_44=30

    又由生产能力的要求,有
    x_44<=10
    x_33+x_34<=30
    x_22+x_23+x_24<=35
    x_11+x_12+x_13+x_14<=25

    再设c_ij表示第i季度生产的用于第j季度交货的每台产品的实际成本,其值如下表:
    在这里插入图片描述
    目标函数为:
    min f = 10.8 * x11 + 10.95 * x12 + 11.10 * x13 + 11.25*x14 + 11.10 * x22 + 11.25 * x23 + 11.40 * x24 + 11 * x33 + 11.15 * x34 + 11.30 * x44;

    MATLAB求解:
    在这里插入图片描述
    上式中,Aeq为左边的矩阵,beq为等号右边的向量;
    在这里插入图片描述
    上式中,A为左边的矩阵,b为等号右边的向量;

    % 线性规划问题
    % 目标函数:
    % minF = 10.8 * x11 + 10.95 * x12 + 11.10 * x13 + 11.25 + x14 + ...
    %    11.10 * x22 + 11.25 * x23 + 11.40 * x24 + ...
    %    11 * x33 + 11.15 * x34 + ...
    %    11.30 * x44;
    
    minfun = [10.8 ,10.95 , 11.10 , 11.25 ,11.10 ,11.25,11.40 ,11,11.15,11.30]';
    Aeq = zeros(10);
    Aeq(1,1) = 1;
    Aeq(2,2) = 1;  Aeq(2,5) = 1;
    Aeq(3,3) = 1;  Aeq(3,6) = 1;  Aeq(3,8) = 1;
    Aeq(4,4) = 1;  Aeq(4,7) = 1;  Aeq(4,9) = 1;  Aeq(4,10) = 1;
    beq = [10,15,25,30,0,0,0,0,0,0]';
    A = zeros(10);
    A(1,1) = 1; A(1,2) = 1; A(1,3) = 1; A(1,4) = 1;
    A(2,5) = 1; A(2,6) = 1; A(2,7) = 1;
    A(3,8) = 1; A(3,9) = 1;
    A(4,10) = 1;
    b = [25,35,30,10,0,0,0,0,0,0]';
    [x,y]=intlinprog(minfun,1:10,A,b,Aeq,beq,zeros(10,1)',[]); 
    disp('x的值为:');  x
    disp('最小值为:');  y
    

    运行结果:
    x的值为:

    10
     0
    15
     0
    15
     0
     0
    10
    20
    10
    

    最小值为:

    887

    Lingo求解:

    min=10.8 * x11 + 10.95 * x12 + 11.10 * x13 + 11.25*x14 + 11.10 * x22 + 11.25 * x23 + 11.40 * x24 + 11 * x33 + 11.15 * x34 + 11.30 * x44;
    x11=10;
    x12+x22=15;
    x13+x23+x33=25;
    x14+x24+x34+x44=30;
    x11+x12+x13+x14<=25;
    x22+x23+x24<=35;
    x33+x34<=30;
    x44<=10;
    end
    

    运行结果:
    在这里插入图片描述
    最小值为:887

    由此可见,MATLAB和lingo所求的最优解一致,但是每个变量值x并不一样,说明规划有多组解。
    不足之处,请多指教!

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  • matlab求解线性规划问题.docx
  • 因此,尝试使用基于齐默尔曼提出的解决模糊线性规划问题的较早技术的技术来解决直觉模糊线性规划问题。 我们提出的技术不需要直觉模糊数的现有排序。 该方法也不同于现有的权重分配方法或Angelov方法。 进行了比较...
  • 各类线性规划问题化为标准形式

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    文章目录1. 各类线性规划问题化为标准形式 1. 各类线性规划问题化为标准形式

    1. 各类线性规划问题化为标准形式

    在这里插入图片描述

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  • 2017_2018学年高中数学第三章不等式3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.2简单的线性规划问题优化练习新人教A版必修520180731453
  • 线性规划问题的常见题型.pdf
  • 利用excel求解线性规划问题.docx
  • 商业目标的核心目标之一是利润最大化,而在现实生产中,利润最大化问题必然涉及ROI(return on investment),并且是多种限制条件下资源的最优分配问题,转化为数据建模或者数学问题就是线性规划问题线性规划问题...

    数据分析始终是为公司的商业目标服务的。商业目标的核心目标之一是利润最大化,而在现实生产中,利润最大化问题必然涉及ROI(return on investment),并且是多种限制条件下资源的最优分配问题,转化为数据建模或者数学问题就是线性规划问题。

    线性规划问题,很多同学在高中数学中就学过了,不过在有限的纸笔工具条件下,我们只能求解二元变量的线性规划问题。在商业实际中,变量的数目往往在三个或以上,这时如何求解线性规划问题呢?

    很多数学或编程软件可以帮助我们解决这一问题,如Matlab、Maple,Linggo、Lingdo、Python等。现在我们用数据分析中最常用的编程语言Python来求解线性规划问题。

    实例:已知某游戏1天内各渠道的导流情况如下:

    1. 分析每个渠道

    2. 假如公司对这款游戏的月推广预算是1000万(1个月按30天计算),要求在以上渠道中进行广告投放,且要求引入的用户数达到20万以上。如何选择渠道投放能使公司利益最大化?

    一、ROI

    ROI=净利润/投资资本总额*100%。要计算ROI,首先需要知道成本、收入以及净利润。

    ROI就是问题1所要分析的指标。可以根据“ROI=总净利润/总成本”或“ROI=单用户净利润/单用户成本”计算ROI。

    分析方法及结果如下表:

    显然,ROI和引入用户量是公司重点考虑的指标。从ROI、引入用户量的角度分析,结论如下:

    渠道C的ROI最高,B次之,C最低;但渠道A引入用户数量最高,C最低。

    二、用Python求解线性规划问题

    问题2显然是线性约束下的最优化问题:

    目标函数

    = 340007200 24708

    将上述数学语言转为Python语言:

    Python求解线性规划问题的函数是科学计算包scipy中的optimize.lingrog:

    scipy.optimize.linprog(c, A_ub=None, b_ub=None, A_eq=None, b_eq=None, bounds=None, method=‘simplex’, callback=None, options=None)

    1. 函数参数含义

    (1) c为目标函数中的系数组成的数组:

    若求目标函数最小值,则c为目标函数中各系数组成的数组;

    若求目标函数最大值,则c为目标函数中各系数的相反数组成的数组。

    (2) A_ub为约束条件中不等式左边系数组成的矩阵,在python中为元素为数组的数组。

    若约束不等式为<=,则为约束不等式左边各系数组成的数组;

    若约束不等式为>=,则为约束不等式左边各系数的相反数组成的数组。

    (3) b_ub为约束条件中不等式右边的常数项组成的数组

    若约束不等式为<=,则为约束不等式右边常数项组成的数组;

    若约束不等式为>=,则为约束不等式右边常数项的相反数组成的数组。

    (4) A_eq为约束条件中等式左边系数组成的矩阵,在python中为元素为数组的数组。

    (5) b_ub为约束条件中等式右边的常数项组成的数组。

    若没有等式约束条件,则A_eq和b_eq为由0组成的数组,但0的个数须与自变量的个数相等。

    上述问题Python代码如下:

    输出结果如下:

    从输出结果中可以看出:B、C渠道投放的天数均为最大值30天,因为B、C渠道的ROI最高,在能达到“引入的用户数20万以上”的条件下,显然应该优先投放ROI最高的渠道。
    在这里插入图片描述

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  • 基于Matlab的线性规划问题求解
  • matlab求解线性规划问题

    千次阅读 2021-02-19 13:50:11
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