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  • 聚类分析法

    2019-04-24 18:14:00
    聚类分析指将物理或抽象对象的集合分组为由类似的对象组成的多个类的分析过程。它是一种重要的人类行为。 聚类分析的目标就是在相似的基础上收集数据来分类。聚类源于很多领域,包括数学,计算机科学,统计学,生物...

    聚类分析指将物理或抽象对象的集合分组为由类似的对象组成的多个类的分析过程。它是一种重要的人类行为。
    聚类分析的目标就是在相似的基础上收集数据来分类。聚类源于很多领域,包括数学,计算机科学,统计学,生物学和经济学。在不同的应用领域,很多聚类技术都得到了发展,这些技术方法被用作描述数据,衡量不同数据源间的相似性,以及把数据源分类到不同的簇中。
    中文名 聚类分析 外文名 Cluster analysis 应用学科 心理学
    目录
    1 区别
    2 定义
    ▪ 聚类方法
    ▪ 统计量
    ▪ 分层步骤
    ▪ K-means
    ▪ 过程
    ▪ 算法原理
    3 分析模型
    4 有关统计
    5 两组判别
    6 因子分析模型
    7 主要应用
    ▪ 商业
    ▪ 生物
    ▪ 地理
    ▪ 保险行业
    ▪ 因特网
    ▪ 电子商务
    8 主要步骤
    9 算法
    区别
    聚类与分类的不同在于,聚类所要求划分的类是未知的。
    聚类是将数据分类到不同的类或者簇这样的一个过程,所以同一个簇中的对象有很大的相似性,而不同簇间的对象有很大的相异性。
    从统计学的观点看,聚类分析是通过数据建模简化数据的一种方法。传统的统计聚类分析方法包括系统聚类法、分解法、加入法、动态聚类法、有序样品聚类、有重叠聚类和模糊聚类等。采用k-均值、k-中心点等算法的聚类分析工具已被加入到许多著名的统计分析软件包中,如SPSS、SAS等。
    从机器学习的角度讲,簇相当于隐藏模式。聚类是搜索簇的无监督学习过程。与分类不同,无监督学习不依赖预先定义的类或带类标记的训练实例,需要由聚类学习算法自动确定标记,而分类学习的实例或数据对象有类别标记。聚类是观察式学习,而不是示例式的学习。
    聚类分析是一种探索性的分析,在分类的过程中,人们不必事先给出一个分类的标准,聚类分析能够从样本数据出发,自动进行分类。聚类分析所使用方法的不同,常常会得到不同的结论。不同研究者对于同一组数据进行聚类分析,所得到的聚类数未必一致。
    从实际应用的角度看,聚类分析是数据挖掘的主要任务之一。而且聚类能够作为一个独立的工具获得数据的分布状况,观察每一簇数据的特征,集中对特定的聚簇集合作进一步地分析。聚类分析还可以作为其他算法(如分类和定性归纳算法)的预处理步骤。
    定义
    依据研究对象(样品或指标)的特征,对其进行分类的方法,减少研究对象的数目。
    各类事物缺乏可靠的历史资料,无法确定共有多少类别,目的是将性质相近事物归入一类。
    各指标之间具有一定的相关关系。
    聚类分析(cluster analysis)是一组将研究对象分为相对同质的群组(clusters)的统计分析技术。 聚类分析区别于分类分析(classification analysis) ,后者是有监督的学习。
    变量类型:定类变量、定量(离散和连续)变量
    聚类方法
    1,层次聚类(Hierarchical Clustering)
    合并法、分解法、树状图
    2. 非层次聚类
    划分聚类、谱聚类
    聚类方法特征:
    聚类分析简单、直观。
    聚类分析主要应用于探索性的研究,其分析的结果可以提供多个可能的解,选择最终的解需要研究者的主观判断和后续的分析;
    不管实际数据中是否真正存在不同的类别,利用聚类分析都能得到分成若干类别的解;
    聚类分析的解完全依赖于研究者所选择的聚类变量,增加或删除一些变量对最终的解都可能产生实质性的影响。
    研究者在使用聚类分析时应特别注意可能影响结果的各个因素。
    异常值和特殊的变量对聚类有较大影响
      当分类变量的测量尺度不一致时,需要事先做标准化处理。
    当然,聚类分析不能做的事情是:
      自动发现和告诉你应该分成多少个类——属于非监督类分析方法
    期望能很清楚的找到大致相等的类或细分市场是不现实的;
    样本聚类,变量之间的关系需要研究者决定;
    不会自动给出一个最佳聚类结果;
    我这里提到的聚类分析主要是谱系聚类(hierarchical clustering)和快速聚类(K-means)、两阶段聚类(Two-Step);
    根据聚类变量得到的描述两个个体间(或变量间)的对应程度或联系紧密程度的度量。
      可以用两种方式来测量:
      1、采用描述个体对(变量对)之间的接近程度的指标,例如“距离”,“距离”越小的个体(变量)越具有相似性。
    2、采用表示相似程度的指标,例如“相关系数”,“相关系数”越大的个体(变量)越具有相似性。
    计算聚类——距离指标D(distance)的方法非常多:按照数据的不同性质,可选用不同的距离指标。欧氏距离(Euclidean distance)、欧氏距离的平方(Squared Euclidean distance)、曼哈顿距离(Block)、切比雪夫距离(Chebychev distance)、卡方距离(Chi-Square measure) 等;相似性也有不少,主要是皮尔逊相关系数了!
    聚类变量的测量尺度不同,需要事先对变量标准化;
    聚类变量中如果有些变量非常相关,意味着这个变量的权重会更大
    欧式距离的平方是最常用的距离测量方法;
    聚类算法要比距离测量方法对聚类结果影响更大;
    标准化方法影响聚类模式:
    变量标准化倾向产生基于数量的聚类;
    样本标准化倾向产生基于模式的聚类;
    一般聚类个数在4-6类,不易太多,或太少; [1]
    统计量
    群重心
    群中心
    群间距离
    分层步骤
    定义问题与选择分类变量
    聚类方法
    确定群组数目
    聚类结果评估
    结果的描述、解释
    K-means
    属于非层次聚类法的一种
    (1)执行过程
    初始化:选择(或人为指定)某些记录作为凝聚点
    循环:
    按就近原则将其余记录向凝聚点凝集
    计算出各个初始分类的中心位置(均值)
    用计算出的中心位置重新进行聚类
    如此反复循环,直到凝聚点位置收敛为止
    (2)方法特点
    通常要求已知类别数
    可人为指定初始位置
    节省运算时间
    样本量大于100时有必要考虑
    只能使用连续性变量
    过程
    特点:
    处理对象:分类变量和连续变量
    自动决定最佳分类数
    快速处理大数据集
    前提假设:
    变量间彼此独立
    分类变量服从多项分布,连续变量服从正态分布
    模型稳健
    算法原理
    第一步:逐个扫描样本,每个样本依据其与已扫描过的样本的距离,被归为以前的类,或生成一个新类
    第二步,对第一步中各类依据类间距离进行合并,按一定的标准,停止合并
    判别分析 Discriminant Analysis
    介绍: 判别分析
    分类学是人类认识世界的基础科学。聚类分析和判别分析是研究事物分类的基本方法,广泛地应用于自然科学、社会科学、工农业生产的各个领域。
    判别分析DA
    概述
    DA模型
    DA有关的统计量
    两组DA
    案例分析
    判别分析
    判别分析是根据表明事物特点的变量值和它们所属的类,求出判别函数。根据判别函数对未知所属类别的事物进行分类的一种分析方法。核心是考察类别之间的差异。
    判别分析
    不同:判别分析和聚类分析不同的在于判别分析要求已知一系列反映事物特征的数值变量的值,并且已知各个体的分类。
    DA适用于定类变量(因)、任意变量(自)
    两类:一个判别函数;
    多组:一个以上判别函数
    DA目的
    建立判别函数
    检查不同组之间在有关预测变量方面是否有显著差异
    决定哪个预测变量对组间差异的贡献最大
    根据预测变量对个体进行分类
    分析模型
    要先建立判别函数 Y=a1x1+a2x2+…anxn,其中:Y为判别分数(判别值),x1 x2…xn为反映研究对象特征的变量,a1 a2…an为系数
    有关统计
    典型相关系数
    特征值
    Wilk’s (0, 1) = SSw/SSt for X
    组重心
    分类矩阵
    两组判别
    定义问题
    估计DA函数系数
    确定DA函数的显著性
    解释结果
    评估有效性
    定义问题
    判别分析的第一步
    第二步就是将样本分为:
    分析样本
    验证样本
    估算判别函数系数
    直接法(direct method)就是同时用所有的预测变量估计判别函数,此时每个自变量都包括在内,而不考虑其判别能力。这种方法适用于前期研究或理论模型显示应包括哪些自变量的情况。
    逐步判别分析(stepwise discriminant analysis),预测变量依据其对组别的判别能力被逐步引入。
    确定显著性
    零假设:总体中各组所有判别函数的均值相等。
    特征值
    典型相关系数
    Wilk‘s (0, 1) 转换成卡方值检验
    见travel.spo
    解释结果
    系数的符号无关紧要,但能够表示每个变量对判别函数值的影响,以及与特定组的联系。
    我们可以通过标准化判别函数系数的绝对值初步判断变量的相对重要性。
    通过考察结构相关系数,也可以对预测变量的相对重要性进行判断。
    组重心
    评估判别分析的有效性
    根据分析样本估计出的判别权数,乘以保留样本中的预测变量值,就得出保留样本中每个样本的判别分。
    可以根据判别分及适当的规则划分为不同的组别。
    命中率(hit ratio)或称样本正确分类概率,就是分类矩阵对角线元素之和与总样本数的比例。
    比较样本正确分类百分比与随机正确分类百分比。
    因子分析模型
    因子分析模型(FA)
    基本思想
    因子分析模型
    FA的基本思想
    “因子分析”于1931年由Thurstone提出,概念起源于Pearson和Spearmen的统计分析
    FA用少数几个因子来描述多个变量之间的关系,相关性较高的变量归于同一个因子;
    FA利用潜在变量或本质因子(基本特征)去解释可观测变量
    FA模型
    X1=a11F1+a12F2+ …+a1pFp+v1
    X2=a21F1+a22F2+ …+a2pFp+v2 X=AF+V
    Xi=ai1F1+ai2F2+ …+aipFp+vi
    Xm=ap1F1+ap2F2+ …+ampFm+vm
    Xi — 第i个标准化变量
    aip — 第i个变量对第p个公因子的标准回归系数
    F — 公因子
    Vi — 特殊因子
    公因子模型
    F1=W11X1+W12X2+ …+W1mXm
    F2=W21X1+W22X2+ …+W2mXm
    Fi=Wi1X1+Wi2X2+ …+WimXm
    Fp=Wp1X1+Wp2X2+ …+WpmXm
    Wi — 权重,因子得分系数
    Fi — 第i个因子的估计值(因子得分)
    有关统计量
    Bartlett氏球体检验:各变量之间彼此独立
    KMO值:FA合适性
    因子负荷:相关系数
    因子负荷矩阵
    公因子方差(共同度)
    特征值
    方差百分比(方差贡献率)
    累计方差贡献率
    因子负荷图
    碎石图
    FA步骤
    定义问题
    检验FA方法的适用性
    确定因子分析方法
    因子旋转
    解释因子
    计算因子得分
    注意事项
    样本量不能太小
    变量相关性
    公因子有实际意义
    主要应用
    商业
    聚类分析被用来发现不同的客户群,并且通过购买模式刻画不同的客户群的特征。
    聚类分析是细分市场的有效工具,同时也可用于研究消费者行为,寻找新的潜在市场、选择实验的市场,并作为多元分析的预处理。
    生物
    聚类分析被用来动植物分类和对基因进行分类,获取对种群固有结构的认识
    地理
    聚类能够帮助在地球中被观察的数据库商趋于的相似性
    保险行业
    聚类分析通过一个高的平均消费来鉴定汽车保险单持有者的分组,同时根据住宅类型,价值,地理位置来鉴定一个城市的房产分组
    因特网
    聚类分析被用来在网上进行文档归类来修复信息
    电子商务
    聚类分析在电子商务中网站建设数据挖掘中也是很重要的一个方面,通过分组聚类出具有相似浏览行为的客户,并分析客户的共同特征,可以更好的帮助电子商务的用户了解自己的客户,向客户提供更合适的服务。
    主要步骤

    1. 数据预处理,
    2. 为衡量数据点间的相似度定义一个距离函数,
    3. 聚类或分组,
    4. 评估输出。
      数据预处理包括选择数量,类型和特征的标度,它依靠特征选择和特征抽取,特征选择选择重要的特征,特征抽取把输入的特征转化为一个新的显著特征,它们经常被用来获取一个合适的特征集来为避免“维数灾”进行聚类,数据预处理还包括将孤立点移出数据,孤立点是不依附于一般数据行为或模型的数据,因此孤立点经常会导致有偏差的聚类结果,因此为了得到正确的聚类,我们必须将它们剔除。
      既然相类似性是定义一个类的基础,那么不同数据之间在同一个特征空间相似度的衡量对于聚类步骤是很重要的,由于特征类型和特征标度的多样性,距离度量必须谨慎,它经常依赖于应用,例如,通常通过定义在特征空间的距离度量来评估不同对象的相异性,很多距离度都应用在一些不同的领域,一个简单的距离度量,如Euclidean距离,经常被用作反映不同数据间的相异性,一些有关相似性的度量,例如PMC和SMC,能够被用来特征化不同数据的概念相似性,在图像聚类上,子图图像的误差更正能够被用来衡量两个图形的相似性。
      将数据对象分到不同的类中是一个很重要的步骤,数据基于不同的方法被分到不同的类中,划分方法和层次方法是聚类分析的两个主要方法,划分方法一般从初始划分和最优化一个聚类标准开始。Crisp Clustering,它的每一个数据都属于单独的类;Fuzzy Clustering,它的每个数据可能在任何一个类中,Crisp Clustering和Fuzzy Clusterin是划分方法的两个主要技术,划分方法聚类是基于某个标准产生一个嵌套的划分系列,它可以度量不同类之间的相似性或一个类的可分离性用来合并和分裂类,其他的聚类方法还包括基于密度的聚类,基于模型的聚类,基于网格的聚类。
      评估聚类结果的质量是另一个重要的阶段,聚类是一个无管理的程序,也没有客观的标准来评价聚类结果,它是通过一个类有效索引来评价,一般来说,几何性质,包括类间的分离和类内部的耦合,一般都用来评价聚类结果的质量,类有效索引在决定类的数目时经常扮演了一个重要角色,类有效索引的最佳值被期望从真实的类数目中获取,一个通常的决定类数目的方法是选择一个特定的类有效索引的最佳值,这个索引能否真实的得出类的数目是判断该索引是否有效的标准,很多已经存在的标准对于相互分离的类数据集合都能得出很好的结果,但是对于复杂的数据集,却通常行不通,例如,对于交叠类的集合。
      算法
      聚类分析是数据挖掘中的一个很活跃的研究领域,并提出了许多聚类算法。传统的聚类算法可以被分为五类:划分方法、层次方法、基于密度方法、基于网格方法和基于模型方法。
      1 划分方法(PAM:PArtitioning method) 首先创建k个划分,k为要创建的划分个数;然后利用一个循环定位技术通过将对象从一个划分移到另一个划分来帮助改善划分质量。典型的划分方法包括:
      k-means,k-medoids,CLARA(Clustering LARge Application),
      CLARANS(Clustering Large Application based upon RANdomized Search).
      FCM
      2 层次方法(hierarchical method) 创建一个层次以分解给定的数据集。该方法可以分为自上而下(分解)和自下而上(合并)两种操作方式。为弥补分解与合并的不足,层次合
      并经常要与其它聚类方法相结合,如循环定位。典型的这类方法包括:
      BIRCH(Balanced Iterative Reducing and Clustering using Hierarchies) 方法,它首先利用树的结构对对象集进行划分;然后再利用其它聚类方法对这些聚类进行优化。
      CURE(Clustering Using REprisentatives) 方法,它利用固定数目代表对象来表示相应聚类;然后对各聚类按照指定量(向聚类中心)进行收缩。
      ROCK方法,它利用聚类间的连接进行聚类合并。
      CHEMALOEN方法,它则是在层次聚类时构造动态模型。
      3 基于密度的方法,根据密度完成对象的聚类。它根据对象周围的密度(如DBSCAN)不断增长聚类。典型的基于密度方法包括:
      DBSCAN(Densit-based Spatial Clustering of Application with Noise):该算法通过不断生长足够高密度区域来进行聚类;它能从含有噪声的空间数据库中发现任意形状的聚类。此方法将一个聚类定义为一组“密度连接”的点集。
      OPTICS(Ordering Points To Identify the Clustering Structure):并不明确产生一个聚类,而是为自动交互的聚类分析计算出一个增强聚类顺序。。
      4 基于网格的方法,首先将对象空间划分为有限个单元以构成网格结构;然后利用网格结构完成聚类。
      STING(STatistical INformation Grid) 就是一个利用网格单元保存的统计信息进行基于网格聚类的方法。
      CLIQUE(Clustering In QUEst)和Wave-Cluster 则是一个将基于网格与基于密度相结合的方法。
      5 基于模型的方法,它假设每个聚类的模型并发现适合相应模型的数据。典型的基于模型方法包括:
      统计方法COBWEB:是一个常用的且简单的增量式概念聚类方法。它的输入对象是采用符号量(属性-值)对来加以描述的。采用分类树的形式来创建一个层次聚类。
      CLASSIT是COBWEB的另一个版本.。它可以对连续取值属性进行增量式聚类。它为每个结点中的每个属性保存相应的连续正态分布(均值与方差);并利用一个改进的分类能力描述方法,即不象COBWEB那样计算离散属性(取值)和而是对连续属性求积分。但是CLASSIT方法也存在与COBWEB类似的问题。因此它们都不适合对大数据库进行聚类处理.
      传统的聚类算法已经比较成功的解决了低维数据的聚类问题。但是由于实际应用中数据的复杂性,在处理许多问题时,现有的算法经常失效,特别是对于高维数据和大型数据的情况。因为传统聚类方法在高维数据集中进行聚类时,主要遇到两个问题。①高维数据集中存在大量无关的属性使得在所有维中存在簇的可能性几乎为零;②高维空间中数据较低维空间中数据分布要稀疏,其中数据间距离几乎相等是普遍现象,而传统聚类方法是基于距离进行聚类的,因此在高维空间中无法基于距离来构建簇。
      高维聚类分析已成为聚类分析的一个重要研究方向。同时高维数据聚类也是聚类技术的难点。随着技术的进步使得数据收集变得越来越容易,导致数据库规模越来越大、复杂性越来越高,如各种类型的贸易交易数据、Web 文档、基因表达数据等,它们的维度(属性)通常可以达到成百上千维,甚至更高。但是,受“维度效应”的影响,许多在低维数据空间表现良好的聚类方法运用在高维空间上往往无法获得好的聚类效果。高维数据聚类分析是聚类分析中一个非常活跃的领域,同时它也是一个具有挑战性的工作。高维数据聚类分析在市场分析、信息安全、金融、娱乐、反恐等方面都有很广泛的应用。
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  • 基于因子分析法和聚类分析法的副省级城市宜居情况聚类评价.pdf
  • 聚类分析法-层次聚类

    千次阅读 2021-02-12 10:38:05
    聚类分析法 文章目录聚类分析法1.简介2.基本内容介绍1.数据变换2. 样品间亲疏程度的测度计算常用距离计算1. 闵式(Minkowski)距离2. 马氏(Mahalanobis)距离相似系数的计算1. 夹角余弦2.皮尔逊相关系数3.使用scipy....

    在这里插入图片描述

    聚类分析法

    1.简介

    ​ 聚类分析又称群分析,它是研究分类问题的一种多元统计分析.所谓类,通俗地说,就是指相似元素的集合.要将相似元素聚为一类,通常选取元素的许多共同指标,然后通过分析元素的指标值来分辨元素间的差距,从而达到分类的目的. 聚类分析可以分为Q型聚类(堂本聚类)、R型聚类(指标聚类)

    ​ 聚类分析内容非常丰富,有层次聚类法、有序样品聚类法、动态聚类法、模糊聚类法、图论聚类法。在本篇内容中,我们重点介绍层次聚类和k-means聚类算法.以后面,还会在模糊数学那一章里更新模糊聚类算法.

    聚类算法在机器学习中的非监督学习中应用非常广泛,特别是K-means,是机器学习算法工程师必须要掌握的算法.由此可见,数学建模与机器学习联系紧密,机器学习本质上就是应用数学或者说应用统计学.

    2.基本内容介绍

    1.数据变换

    设有n个样品,每个样品测得p项指标(变量), 原始数据阵为(n,p)
    A = [ a 11 a 12 ⋅ ⋅ ⋅ a 1 p a 21 a 22 ⋅ ⋅ ⋅ a 2 p ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a n 1 a n 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n p ] A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&···&a_{1p} \\ a_{21}&a_{22}&···&a_{2p} \\ ·&·&·&· \\ ·&·&·&· \\ ·&·&·&· \\ a_n1&a_n2&···&a_np \end{bmatrix} A=a11a21an1a12a22an2a1pa2panp
    a i j ( i = 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , n ; j = 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , p ) 为 第 i 个 样 本 ω i 的 第 j 个 指 标 的 观 察 数 据 a_{ij}(i=1,···,n;j=1,···,p)为第i个样本\omega_i的第j个指标的观察数据 aij(i=1,,n;j=1,,p)iωij

    由于样本数据矩阵由多个指标组成,不同指标一般有不同的量纲,为相除量纲的影响,通常需要进行数据变换处理.常用的数据变化方法有以下两种.(也就是机器学习中常说的数据预处理(去中心化和标准化)

    1. 规格化变换

      规格化变化是从数据矩阵的每一个变量值中找出其最大值和最小值,这两者之差称为极差,然后从每个变量值的原始数据中减去该变量值的最小值,再除以极差,就得到规格化数据,即:

    在这里插入图片描述

    1. 标准化变换

      标准化变换就是我们常见的处理方式,将数据变换为标准正态分布

      首先对每个变量(随机变量(抽样数据))进行中心化变换,然后用该变量的标准差进行标准化,即有

    在这里插入图片描述

    变换处理后的数据矩阵记为:

    在这里插入图片描述

    2. 样品间亲疏程度的测度计算

    研究样品的亲疏程度或相似程度的数量指标通常由两种:一种是相似系数,性质越接近的样品,其取值越接近于1或-1,而彼此无关的样品相似系数则接近于0,相似的归为一类,不相似的归为不同类.另一种是距离,它将每个样品看成p维空间的一个点,n个样品组成p维空间的n个点.用各点之间的距离来衡量各样品之间的相似程度.距离近的点归为一类,距离远的点属于不同的类.(距离相对来说用的更多)

    常用距离计算

    令 d i j 表 示 样 品 ω i 与 ω j 的 距 离 . 常 用 的 距 离 有 以 下 几 种 . 令d_{ij}表示样品\omega_{i}与\omega_{j}的距离.常用的距离有以下几种. dijωiωj..

    1. 闵式(Minkowski)距离

    d i j ( q ) = ( ∑ k = 1 p ∣ b i k − b j k ∣ q ) 1 q dij(q)={(\sum_{k=1}^{p}|{b_{ik}-b_{jk}|}^{q})}^\frac{1}{q} dij(q)=(k=1pbikbjkq)q1

    当 q = 1 的 时 候 , d i j ( 1 ) = ( ∑ k = 1 p ∣ b i k − b j k ∣ q ) 1 , 也 就 是 绝 对 值 距 离 . 当q=1的时候,dij(1)={(\sum_{k=1}^{p}|{b_{ik}-b_{jk}|}^{q})}^1,也就是绝对值距离. q=1,dij(1)=(k=1pbikbjkq)1,.

    当 q = 2 的 时 候 , d i j ( 2 ) = ( ∑ k = 1 p ∣ b i k − b j k ∣ 2 ) 1 2 , 即 欧 式 距 离 . 当q=2的时候,dij(2)={(\sum_{k=1}^{p}|{b_{ik}-b_{jk}|}^{2})}^\frac{1}{2},即欧式距离. q=2,dij(2)=(k=1pbikbjk2)21,.

    当 q = ∞ 的 时 候 , d i j ( ∞ ) = m a x 1 ≤ k ≤ p ∣ b i k − b j k ∣ , 即 切 比 雪 夫 距 离 . 当q=\infty的时候,d_{ij}(\infty)=max_{1\leq k\leq p}|b_{ik}-b_{jk}|,即切比雪夫距离. q=,dij()=max1kpbikbjk,.

    2. 马氏(Mahalanobis)距离

    马氏距离是由印度统计学家马哈拉诺比斯于1936年定义的,故称为马氏距离.

    其计算公式为

    在这里插入图片描述

    B i 表 示 矩 阵 B 的 第 i 行 , ∑ 表 示 观 测 变 量 之 间 的 协 方 差 阵 , ∑ = ( σ i j ) p × p B_i表示矩阵B的第i行,\sum表示观测变量之间的协方差阵,\sum={(\sigma_{ij})}_{p\times p} BiBi,=(σij)p×p

    其中:

    在这里插入图片描述

    这里 u j = 1 n ∑ k = 1 n b k j u_j=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}b_{kj} uj=n1k=1nbkj

    相似系数的计算

    研究样品之间的关系,除了用距离表示外,还有相似系数.相似系数是描述样品之间相似程度的一个统计量,常用的相似系数有以下几种.

    1. 夹角余弦

    将 任 何 两 个 样 品 ω i 与 ω j 看 成 p 维 空 间 的 两 个 相 邻 , 这 两 个 向 量 的 夹 角 余 弦 用 c o s θ i j 表 示 , 则 将任何两个样品\omega_i与\omega_j看成p维空间的两个相邻,这两个向量的夹角余弦用cos\theta_{ij}表示,则 ωiωjpcosθij

    在这里插入图片描述

    c o s θ i j = 1 时 , 说 明 两 个 样 品 w i 和 w j 完 全 相 似 ; c o s θ i j 接 近 1 时 , 说 明 ω i 和 ω j 相 似 密 切 ; cos\theta_{ij}=1时,说明两个样品w_i和w_j完全相似; cos\theta_{ij}接近1时,说明\omega_i和\omega_j相似密切; cosθij=1,wiwj;cosθij1ωiωj;

    c o s θ i j = 0 时 , 说 明 ω i 与 ω j 完 全 不 一 样 ; c o s θ i j 接 近 于 0 时 , 说 明 ω i 和 ω j 差 别 大 . cos\theta_{ij}=0时,说明\omega_i与\omega_j完全不一样;cos\theta_{ij}接近于0时,说明\omega_i和\omega_j差别大. cosθij=0,ωiωj;cosθij0ωiωj.

    把 所 有 两 两 样 品 的 相 似 系 数 都 计 算 出 来 , 可 排 成 相 似 系 数 矩 阵 . 把所有两两样品的相似系数都计算出来,可排成相似系数矩阵. ,.

    在这里插入图片描述

    Figure 相似系数矩阵

    其 中 c o s θ 11 = ⋅ ⋅ ⋅ c o s θ n n = 1. 其中cos\theta_{11}=···cos\theta_{nn}=1. cosθ11=cosθnn=1.

    根 据 θ 可 对 n 个 样 品 进 行 分 类 , 把 比 较 相 似 的 样 品 归 为 一 类 , 不 怎 么 相 似 的 样 品 归 为 不 同 的 类 . 根据\theta可对n个样品进行分类,把比较相似的样品归为一类,不怎么相似的样品归为不同的类. θn.

    2.皮尔逊相关系数

    第i个样品与第j个样品之间的相关系数定义为

    在这里插入图片描述

    实 际 上 , r i j 就 是 两 个 向 量 B i − B ‾ i 与 B j − B ‾ j 的 夹 角 余 弦 , 其 中 B ‾ i = u i ‾ [ 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , P ] . 若 将 原 始 数 据 标 准 化 , 满 足 B ‾ i = B ‾ j = 0 , 实际上,r_{ij}就是两个向量 B_i-\overline{B}_i与B_j-\overline{B}_j的夹角余弦,其中\overline{B}_i=\overline{u_i}[1,2,···,P].若将原始数据标准化,满足\overline{B}_i=\overline{B}_j=0, ,rijBiBiBjBjBi=ui[1,2,,P].,Bi=Bj=0,

    ( 这 是 因 为 经 过 标 准 化 后 , 每 一 个 样 本 的 每 一 个 特 征 ( 随 机 变 量 ) 都 满 足 N ( 0 , 1 ) , 所 以 这 里 求 特 征 均 值 还 是 为 0 ) . 这 时 r i j = c o s θ i j . (这是因为经过标准化后,每一个样本的每一个特征(随机变量)都满足N(0,1),所以这里求特征均值还是为0).这时r_{ij}=cos\theta{ij}. (N(0,1),0).rij=cosθij.

    在这里插入图片描述

    其 中 , r 11 = ⋅ ⋅ ⋅ = r n n = 1 , 可 根 据 R 对 n 个 样 品 进 行 分 类 其中,r_{11}=···=r{nn}=1,可根据R对n个样品进行分类 r11==rnn=1Rn

    3.使用scipy.cluster.hierarchy模块实现层次聚类

    scipy.cluster.hierarchy模块的层次聚类函数介绍如下.

    1. distance.padist

    B=pdist(A,metric=‘euclidean’)用metric指定的方法计算n×p矩阵A(看作n个p维行向量,每行是一个对象的数据)中两两对象间的距离,metric可取下面表格中的特征字符串,就是表示求距离的方式.输出B是包含距离信息的长度为(n-1)·n/2的向量.((n-1)·n/2是n个样本中两两配对不重复的元素数 等差数列求和(0+n-1)·n/2)一般会用distance.squareform函数将此向量转换为方阵(距离矩阵),这样可使矩阵中的(i,j)元素对应原始数据集中对象 i 和 j 间的距离.这样就更方便我们去调用.

    字符串含义
    ‘euclidean’欧式距离(缺省值)-在无决策者干预情况下,对于决策或应用软件、计算机程序的系统参数的自动选择
    ‘cityblock’绝对值距离
    ‘minkowski’Minkowski距离
    ‘chebychev’Chebychev距离(切比雪夫距离)
    ‘mahalanobis’Mahalanobis距离(马氏距离)

    metric的取值很多,可以在函数源码或者帮助中查阅.

    import scipy.cluster.hierarchy as sch
    help(sch.distance.pdist)
    
    2. linkage

    Z=linkage(B,‘method’)使用由’method’指定的算法计算生成聚类树,输入矩阵B为pdist函数输出的n·(n-1)/2维距离行向量,'method’可取表11.10中特征字符串值.默认使用’single’

    字符串含义
    ‘single’最短距离(缺省值)
    ‘average’无权平均距离
    ‘centroid’重心距离
    ‘complete’最大距离
    ‘ward’离差平方和方法(Ward方法)

    输出z为包含聚类树信息的(n-1)×4矩阵.聚类树上的叶节点为原始数据集中的对象,其编号由0到n-1,它们是单元素的类,级别更高的类都由它们生成对应于Z中第j行中每个新生成的类,其索引为n+j.其中n为初始叶节点的数量.

    ​ Z的第一列和第二列Z[:,:2]

    ​ 如果是由初始元素(样本)生成的第一个聚合类 那么第一列和第二列显示的就是初始元素(样本)的编号

    ​ 如果已经是由初始类和初始类形成的更高级类,那么第一列和第二列分别代表的就是更高级类的两个连接子类分别的编号(子类的第一和第二列)的和.

    ​ Z的第三列Z[:,2]包含了相应的在类中的两两对象间的连接距离.

    ​ Z的第四列Z[:,3]表示当前类中原始对象的个数.

    ​ 详情可以看下面的栗子

    3.fcluster

    T=fcluster(Z,t) 从linkage的输出Z,根据给定的阈值t创建聚类.

    4.H=dendrogram(Z,p)

    由linkage产生的数据矩阵Z画聚类树状图.p是结点数,默认值是30.

    后面会举一个怎么使用这个模块的栗子

    4.基于类间距离的层次聚类

    层次聚类法是聚类分析方法中使用最多的方法.其基本思想是:聚类相近的样品(或变量)先聚为一类,距离远的后聚成类,此过程一直进行下去,每个样品总能聚到合适的类中.它包含如下步骤:

    1. 将每个样品独自聚成一类,构造n个类.

    2. 根据所确定的样品距离公式,计算n个样品(或变量)两两间的距离,构造距离矩阵,记为D(0).

    3. 把距离最近的两类归为一新类,其他样品仍各自聚为一类,共聚成n-1类.

    4. 计算新类与当前各类的距离,将距离最近的两个类进一步聚成一类,共聚成n-2类.以上步骤一直进行下去,最后将所有的样品聚成一类.

    5. 画聚类谱系图

    6. 决定类的个数及各类包含的样品数,并对类作出解释.

      正如样品之间的距离可以有不同的定义方法一样,类与类之间的距离也有各种定义.例如,可以定义类与类的距离为两类之间最近样品的距离,或者定义为两类之间最远样品的距离,也可以定义为两类重心之间的距离等.**类与类之间用不同的方法定义距离,也产生了不同的层次聚类方法.**常用的层次聚类方法有:

      最短距离法、最长距离法、中间距离法、重心法、类平均法、可变类平均法、可变法和离差平方和法

      介绍两种常用的层次聚类法

    1. 最短距离法

    最 短 距 离 法 定 义 类 G i 与 G j 之 间 的 距 离 为 两 类 间 最 邻 近 的 两 样 品 之 距 离 , 即 G i 与 G j 两 类 间 的 距 离 定 义 为 最短距离法定义类G_i与G_j之间的距离为两类间最邻近的两样品之距离,即G_i与G_j两类间的距离定义为 GiGjGiGj

    在这里插入图片描述

    设 类 G p 与 G q 合 并 成 一 个 新 类 记 为 G r , 则 任 一 类 G k 与 G r 的 距 离 是 设类G_p与G_q合并成一个新类记为G_r,则任一类G_k与G_r的距离是 GpGqGr,GkGr

    在这里插入图片描述

    最短距离法聚类的步骤如下:

    1. 定 义 样 品 之 间 的 距 离 : 计 算 样 品 两 两 间 的 距 离 , 得 一 距 离 矩 阵 记 为 D ( 0 ) = ( d i j ) n × n , 开 始 每 个 样 品 自 成 一 类 , 显 然 这 时 D i j = d i j . 1.定义样品之间的距离:计算样品两两间的距离,得一距离矩阵记为D_{(0)}=(d_{ij})_{n×n},开始每个样品自成一类,显然这时D_{ij}=d_{ij}. 1.D(0)=(dij)n×n,Dij=dij.

    2. 找 出 D ( 0 ) 的 非 对 角 线 最 小 元 素 , 设 为 d p q , 则 将 G P 和 G q 合 并 成 一 个 新 类 , 记 为 G r , 即 G r = { G p , G q } . 2.找出D_{(0)}的非对角线最小元素,设为d_{pq},则将G_P和G_q合并成一个新类,记为G_r,即G_r=\{G_p,G_q\}. 2.D(0)线dpq,GPGqGr,Gr={Gp,Gq}.
    3. 找 出 计 算 新 类 与 其 他 类 的 距 离 公 式 : 3.找出计算新类与其他类的距离公式: 3.
    D k r = m i n { D k p , D k q } . D_{kr}=min\{D_{kp},D_{kq}\}. Dkr=min{Dkp,Dkq}.

    将 D ( 0 ) 中 第 p , q 行 及 p , q 列 , 用 上 面 公 式 合 并 成 一 个 新 行 新 列 , 新 行 新 列 对 应 G r , 所 得 到 的 矩 阵 记 为 D ( 1 ) . 将D_{(0)}中第p,q行及p,q列,用上面公式合并成一个新行新列,新行新列对应G_r,所得到的矩阵记为D_{(1)}. D(0)p,qp,qGr,D(1).

    4. 对 D ( 1 ) 重 复 上 述 类 似 D ( 0 ) 的 ( 2 ) , ( 3 ) 两 步 得 到 D ( 2 ) . 如 此 下 去 , 直 到 所 有 的 元 素 并 成 一 类 为 止 . 4.对D_{(1)}重复上述类似D_{(0)}的(2),(3)两步得到D_{(2)}.如此下去,直到所有的元素并成一类为止. 4.D(1)D(0)(2),(3)D(2).,.

    如 果 某 一 步 D ( k ) 中 非 对 角 线 最 小 的 元 素 不 止 一 个 , 则 对 应 这 些 最 小 元 素 的 类 可 以 同 时 合 并 . 如果某一步D_{(k)}中非对角线最小的元素不止一个,则对应这些最小元素的类可以同时合并. D(k)线.

    2. 例子:

    栗:在某地区有7个矽卡岩体,对7个岩体的三种元素Cu,W,Mo作分析的原始数据见表11.11,对这7个样品进行聚类.

    1234567
    Cu2.99093.20442.83922.53152.58972.96003.1184
    W0.31110.53480.56960.45280.30103.04802.8395
    Mo0.53240.77180.76140.48930.27351.49971.9850

    ​ Figure : 7个 矽卡岩体 数据图

    数学原理及聚类过程就不赘述了.按照最短距离聚类时,所画的聚类图如下图所示.

    如果取阈值d=0.5(也就是画一条线y=0.5),则可把这些岩体划分为两类, 6 7 为一类

    1 2 ···5为另外一类
    在这里插入图片描述

    ​ Figure :最短距离聚类图

    可以看到,画出的聚类图就是一棵树的形状(所以又叫作聚类树)

    在这里插入图片描述

    ​ Figure: 输出矩阵Z

    import numpy as np
    from sklearn import preprocessing as pp #sklearn的数据预处理模块
    import scipy.cluster.hierarchy as sch
    import matplotlib.pyplot as plt
    a=np.loadtxt("Pdata11_11.txt")     #数据文件在资源里面
    b=pp.minmax_scale(a.T)   #数据规格化
    d = sch.distance.pdist(b)  #求对象之间的两两距离向量
    dd = sch.distance.squareform(d)  #转换为矩阵格式
    z=sch.linkage(d); print(z) #进行聚类并显示
    s=[str(i+1) for i in range(7)]; plt.rc('font',size=16)
    sch.dendrogram(z,labels=s); plt.show()  #画聚类图
    

    3. 最长距离法

    定 义 类 G i 与 类 G j 之 间 的 距 离 为 两 类 最 远 样 品 的 距 离 , 即 定义类G_i与类G_j之间的距离为两类最远样品的距离,即 GiGj
    在这里插入图片描述

    最 长 距 离 法 与 最 短 距 离 法 的 合 并 步 骤 完 全 一 样 , 也 是 将 各 样 品 先 自 成 一 类 , 然 后 将 非 对 角 线 上 最 小 元 素 对 应 的 两 类 合 并 . 最长距离法与最短距离法的合并步骤完全一样,也是将各样品先自成一类,然后将非对角线上最小元素对应的两类合并. 线.

    设 某 一 步 将 类 G p 和 G q 合 并 为 G r , 则 任 一 类 G k 与 G r 的 最 长 距 离 公 式 为 设某一步将类G_p和G_q合并为G_r,则任一类G_k与G_r的最长距离公式为 GpGqGr,GkGr

    在这里插入图片描述

    再找非对角线元素对应的两类并类,直至所有的样品全归为一类为止.
    可见,最长距离法与最短距离法只有两点不同,一是类与类之间的距离定义不同;二是计算新类与其他类的距离所用的公式不同.

    4.例子:

    我们还是以上面的例题为例子

    栗:在某地区有7个矽卡岩体,对7个岩体的三种元素Cu,W,Mo作分析的原始数据见表11.11,对这7个样品进行聚类.

    import numpy as np
    from sklearn import preprocessing as pp
    import scipy.cluster.hierarchy as sch
    import matplotlib.pyplot as plt
    a=np.loadtxt("Pdata11_11.txt")
    b=pp.minmax_scale(a.T)   #数据规格化
    d = sch.distance.pdist(b)  #求对象之间的两两距离向量
    dd = sch.distance.squareform(d)  #转换为矩阵格式
    print(dd)
    z=sch.linkage(d,'complete'); print(z) #进行聚类并显示  使用最大距离法
    s=[str(i+1) for i in range(7)]; plt.rc('font',size=16)
    sch.dendrogram(z,labels=s); plt.show()  #画聚类图
    

    在这里插入图片描述
    学完了不要着急走开,赶紧趁热打铁学习下一篇:
    聚类分析法-K均值聚类

    展开全文
  • 聚类分析法

    聚类分析法

    概念移步百度百科:聚类分析法

    基于9*9的矩阵A ,代码如下:
    (A 对角线均为1,对称矩阵)

    d=1-abs(a);
    y=linkage(d,'average');
    j=dendrogram(y);
    L=cluster(y,'maxclust',3)
    for i=1:3
    	b=find(L==i);
    	b=reshape(b,1,length(b));
    	fprintf('第%d 类的有%s\n',i,int2str(b));
    End
    

    运行结果

      >> ep_334
      第1类的有8  9
      第2类的有6  7
      第3类的有1  2  3  4  5
    

    ep_334运行结果
    知识点:

    函数
    abs(x)Absolute value and complex magnitude
    linkage(x,‘average’)Agglomerative hierarchical cluster tree (层次聚类树)
    返回一个矩阵,它对实数矩阵x的行的层次簇树进行编码
    dendrogram(x)Dendrogram plot
    生成层次二叉树的树形图。树形图由许多连接层次树中数据点的U形线组成。
    每个U的高度表示所连接的两个数据点之间的距离。
    cluster(Z,‘cutoff’,c)Construct agglomerative clusters from linkages (从联系中构建集聚集群)
    根据由链接函数生成的聚集层次集群树z构造集群
    reshape(x)Reshape array (重塑数组)

    R 型聚类法可以研究变量之间的相似关系,按照变量之间的相互关系把各个变量
    聚合成若干类,从而可以方便地找出影响体系的主要因素

    R型聚类分析的主要作用是:

    • 不但可以了解个别变量之间的关系的亲疏程度,而且可以了解各个变量组合之间的亲疏程度。
    • 根据变量的分类结果以及它们之间的关系,可以选择主要变量进行回归分析或Q型聚类分析

    聚类分析法归类之后便可建立评价体系,可用于层次分析法,nice

    END
    (侵删,请联系)

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    数学建模(11)——聚类分析法

    1、聚类分析法的含义:

    所谓物以类聚,聚类分析法的含义就是把一大套各种各样的数据归归类。不必给出分类标准,软件自己根据数据进行分析。

    2、聚类分析法的举例:

    在这里插入图片描述
    分析分析数据,还可以按聚类分析的方法去进行分析。
    我们用到SPSS软件
    https://pan.baidu.com/s/1D1JmYF2zecgqXnI4L3DZmg
    提取码:zrjm
    中文设置在界面的 edit -option-language选上中文,如何apply(应用)就🆗了

    3、聚类分析法的求解:

    打开spss软件
    导入数据:在这里插入图片描述
    点击分析-分类-系统聚类,之后将GDP等数据导入变量,将地区导入个案,点击图-谱系图选中,之后得到结果在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    根据实际分析需要,把那些分在一块,分几类,可作为依据。

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空空如也

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聚类分析法