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  • SG函数

    千次阅读 2014-11-06 20:45:52
    SG函数

    上一期的文章里我们仔细研究了Nim游戏,并且了解了找出必胜策略的方法。但如果把Nim的规则略加改变,你还能很快找出必胜策略吗?比如说:有n堆石子,每次可以从第1堆石子里取1颗、2颗或3颗,可以从第2堆石子里取奇数颗,可以从第3堆及以后石子里取任意颗……这时看上去问题复杂了很多,但相信你如果掌握了本节的内容,类似的千变万化的问题都是不成问题的。
    现在我们来研究一个看上去似乎更为一般的游戏:给定一个有向无环图和一个起始顶点上的一枚棋子,两名选手交替的将这枚棋子沿有向边进行移动,无法移动者判负。事实上,这个游戏可以认为是所有Impartial Combinatorial Games的抽象模型。也就是说,任何一个ICG都可以通过把每个局面看成一个顶点,对每个局面和它的子局面连一条有向边来抽象成这个“有向图游戏”。下面我们就在有向无环图的顶点上定义Sprague-Garundy函数。
    首先定义mex(minimal excludant)运算,这是施加于一个集合的运算,表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
    对于一个给定的有向无环图,定义关于图的每个顶点的Sprague-Garundy函数g如下:g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继}。
    来看一下SG函数的性质。首先,所有的terminal position所对应的顶点,也就是没有出边的顶点,其SG值为0,因为它的后继集合是空集。然后对于一个g(x)=0的顶点x,它的所有后继y都满足g(y)!=0。对于一个g(x)!=0的顶点,必定存在一个后继y满足g(y)=0。
    以上这三句话表明,顶点x所代表的postion是P-position当且仅当g(x)=0(跟P-positioin/N-position的定义的那三句话是完全对应的)。我们通过计算有向无环图的每个顶点的SG值,就可以对每种局面找到必胜策略了。但SG函数的用途远没有这样简单。如果将有向图游戏变复杂一点,比如说,有向图上并不是只有一枚棋子,而是有n枚棋子,每次可以任选一颗进行移动,这时,怎样找到必胜策略呢?
    让我们再来考虑一下顶点的SG值的意义。当g(x)=k时,表明对于任意一个0<=i<k,都存在x的一个后继y满足g(y)=i。也就是说,当某枚棋子的SG值是k时,我们可以把它变成0、变成1、……、变成k-1,但绝对不能保持k不变。不知道你能不能根据这个联想到Nim游戏,Nim游戏的规则就是:每次选择一堆数量为k的石子,可以把它变成0、变成1、……、变成k-1,但绝对不能保持k不变。这表明,如果将n枚棋子所在的顶点的SG值看作n堆相应数量的石子,那么这个Nim游戏的每个必胜策略都对应于原来这n枚棋子的必胜策略!
    对于n个棋子,设它们对应的顶点的SG值分别为(a1,a2,...,an),再设局面(a1,a2,...,an)时的Nim游戏的一种必胜策略是把ai变成k,那么原游戏的一种必胜策略就是把第i枚棋子移动到一个SG值为k的顶点。这听上去有点过于神奇——怎么绕了一圈又回到Nim游戏上了。
    其实我们还是只要证明这种多棋子的有向图游戏的局面是P-position当且仅当所有棋子所在的位置的SG函数的异或为0。这个证明与上节的Bouton's Theorem几乎是完全相同的,只需要适当的改几个名词就行了。
    刚才,我为了使问题看上去更容易一些,认为n枚棋子是在一个有向图上移动。但如果不是在一个有向图上,而是每个棋子在一个有向图上,每次可以任选一个棋子(也就是任选一个有向图)进行移动,这样也不会给结论带来任何变化。
    所以我们可以定义有向图游戏的和(Sum of Graph Games):设G1、G2、……、Gn是n个有向图游戏,定义游戏G是G1、G2、……、Gn的和(Sum),游戏G的移动规则是:任选一个子游戏Gi并移动上面的棋子。Sprague-Grundy Theorem就是:g(G)=g(G1)^g(G2)^...^g(Gn)。也就是说,游戏的和的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或。
    再考虑在本文一开头的一句话:任何一个ICG都可以抽象成一个有向图游戏。所以“SG函数”和“游戏的和”的概念就不是局限于有向图游戏。我们给每个ICG的每个position定义SG值,也可以定义n个ICG的和。所以说当我们面对由n个游戏组合成的一个游戏时,只需对于每个游戏找出求它的每个局面的SG值的方法,就可以把这些SG值全部看成Nim的石子堆,然后依照找Nim的必胜策略的方法来找这个游戏的必胜策略了!
    回到本文开头的问题。有n堆石子,每次可以从第1堆石子里取1颗、2颗或3颗,可以从第2堆石子里取奇数颗,可以从第3堆及以后石子里取任意颗……我们可以把它看作3个子游戏,第1个子游戏只有一堆石子,每次可以取1、2、3颗,很容易看出x颗石子的局面的SG值是x%4。第2个子游戏也是只有一堆石子,每次可以取奇数颗,经过简单的画图可以知道这个游戏有x颗石子时的SG值是x%2。第3个游戏有n-2堆石子,就是一个Nim游戏。对于原游戏的每个局面,把三个子游戏的SG值异或一下就得到了整个游戏的SG值,然后就可以根据这个SG值判断是否有必胜策略以及做出决策了。其实看作3个子游戏还是保守了些,干脆看作n个子游戏,其中第1、2个子游戏如上所述,第3个及以后的子游戏都是“1堆石子,每次取几颗都可以”,称为“任取石子游戏”,这个超简单的游戏有x颗石子的SG值显然就是x。其实,n堆石子的Nim游戏本身不就是n个“任取石子游戏”的和吗?

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  • sg函数

    2019-08-05 19:46:06
    1.首先,mex的介绍:mex运算这是一个集合的运算,表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,3}=4;mex{0,1,3,4}=2;...2.然后,sg函数的定义和性质:sg函数sg函数的定义如下:g(x)=mex{g...

    hdu 1536 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1536

    1.首先,mex的介绍:
    mex运算
    这是一个集合的运算,表示最小的不属于这个集合的非负整数。
    例如mex{0,1,2,3}=4;
         mex{0,1,3,4}=2;
         mex{1,2,3,5}=?

    2.然后,sg函数的定义和性质:
    sg函数
    sg函数的定义如下:
    g(x)=mex{g(y) | y是x的后继}
    很明显这是一个递归运算。 

    sg函数的性质了:
    如果g(x)=0 那么 x 位置就是必败点。
    如果g(x)>0 那么 x 位置就是必胜点。
    View Code
    #include "iostream"
    #include "string"
    #include "algorithm"
    using namespace std;
    int k, a[105], f[10005];
    int mex(int x)
    {
        int i, t;
        bool mit[105]={0};
        //g(x)=mex{g(y) | y是x的后继}
        for(i=0; i<k; i++) //枚举可取方案
        {
            t = x-a[i];//x-a[i]就是x的后继
            if(t<0) break;//要求非负,所以break
            if(f[t]==-1)//后继仍然存在,继续找 
            {
                f[t] = mex(t);
            }
            mit[f[t]] = 1;//集合中存在f[t]这个值,标记一下
        }
        for(i=0; ; i++)
        {
            if(0==mit[i]) return i;
        }
    }
    int main()
    {
        int n, i, m, t, s;
        while(cin>>k && k)
        {
            for(i=0; i<k; i++) cin>>a[i];
            sort(a, a+k);
            memset(f, -1, sizeof(f));
            f[0] = 0;
            cin>>n;
            while(n--)
            {
                cin>>m;
                s = 0;
                while(m--)
                {
                    cin>>t;
                    if(f[t]==-1) f[t] = mex(t);//得出当前的状态
                    s = s^f[t];//nim-sum游戏
                }
                if(s==0) cout<<"L";
                else cout<<"W";
            }
            cout<<endl;
        }
    }

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/o8le/archive/2012/08/16/2642505.html

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  • sg 函数

    2018-09-24 17:53:34
    SG函数 结论:游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和 应用条件:当进行游戏有多种选取方式,可以打sg表或者用dfs得到 例题: 有三堆石子,每堆石子的数量为n,m,k.每次每人可以拿去的石子数量为斐波那契的项的数量...

    SG函数
    结论:游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和
    应用条件:当进行游戏有多种选取方式,可以打sg表或者用dfs得到

    例题:
    有三堆石子,每堆石子的数量为n,m,k.每次每人可以拿去的石子数量为斐波那契的项的数量,
    1、 这是一个二人游戏;
    2、 一共有3堆石子,数量分别是m, n, p个;
    3、 两人轮流走;
    4、 每走一步可以选择任意一堆石子,然后取走f个;
    5、 f只能是菲波那契数列中的元素(即每次只能取1,2,3,5,8…等数量);
    6、 最先取光所有石子的人为胜者;

    //f[N]:可改变当前状态的方式,N为方式的种类,f[N]要在getSG之前先预处理
      //SG[]:0~n的SG函数值
      //S[]:为x后继状态的集合
        #include <stdio.h>
        #include <string.h>
        #define MAXN 1000 + 10
        #define N 20
        int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];
        void getSG(int n){
            int i,j;
            memset(SG,0,sizeof(SG));
            for(i = 1; i <= n; i++){
                memset(S,0,sizeof(S));
                for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)
                    S[SG[i-f[j]]] = 1;
                for(j = 0;;j++) if(!S[j]){
                    SG[i] = j;
                    break;
                }
            }
        }
        int main(){
            int n,m,k;
            f[0] = f[1] = 1;
            for(int i = 2; i <= 16; i++)
                f[i] = f[i-1] + f[i-2];
            getSG(1000);
            while(scanf("%d%d%d",&m,&n,&k),m||n||k){
                if(SG[n]^SG[m]^SG[k]) printf("Fibo\n");
                else printf("Nacci\n");
            }
            return 0;
        }
    
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