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1.softmax初探
在机器学习尤其是深度学习中，softmax是个非常常用而且比较重要的函数，尤其在多分类的场景中使用广泛。他把一些输入映射为0-1之间的实数，并且归一化保证和为1，因此多分类的概率之和也刚好为1。

首先我们简单来看看softmax是什么意思。顾名思义，softmax由两个单词组成，其中一个是max。对于max我们都很熟悉，比如有两个变量a,b。如果a>b，则max为a，反之为b。用伪码简单描述一下就是 if a > b return a; else b。

另外一个单词为soft。max存在的一个问题是什么呢？如果将max看成一个分类问题，就是非黑即白，最后的输出是一个确定的变量。更多的时候，我们希望输出的是取到某个分类的概率，或者说，我们希望分值大的那一项被经常取到，而分值较小的那一项也有一定的概率偶尔被取到，所以我们就应用到了soft的概念，即最后的输出是每个分类被取到的概率。
2.softmax的定义
首先给一个图，这个图比较清晰地告诉大家softmax是怎么计算的。



(图片来自网络)
假设有一个数组V，$V_i$表示V中的第i个元素，那么这个元素的softmax值为:

$S_i = \frac{e^i}{\sum_j e^j}$

该元素的softmax值，就是该元素的指数与所有元素指数和的比值。
这个定义可以说很简单，也很直观。那为什么要定义成这个形式呢？原因主要如下。

1.softmax设计的初衷，是希望特征对概率的影响是乘性的。

2.多类分类问题的目标函数常常选为cross-entropy。即$L = -\sum_k t_k \cdot lnP(y=k)$，其中目标类的$t_k$为1，其余类的$t_k$为0。

在神经网络模型中(最简单的logistic regression也可看成没有隐含层的神经网络)，输出层第i个神经元的输入为$a_i = \sum_d w_{id} x_d$。

神经网络是用error back-propagation训练的，这个过程中有一个关键的量是$\partial L / \partial \alpha_i$。后面我们会进行详细推导。
3.softmax求导
前面提到，在多分类问题中，我们经常使用交叉熵作为损失函数

$Loss = - \sum_i t_i lny_i$

其中，$t_i$表示真实值，$y_i$表示求出的softmax值。当预测第i个时，可以认为$t_i = 1$。此时损失函数变成了:

$Loss_i = -lny_i$

接下来对Loss求导。根据定义：

$y_i = \frac{e^i}{\sum_j e^j}$

我们已经将数值映射到了0-1之间，并且和为1，则有：

$\frac{e^i}{\sum_j e^j} = 1 - \frac{\sum_{j \neq i} e^j}{\sum_j e^j}$
接下来开始求导

${\begin{aligned}
\frac{\partial  Loss_i}{\partial _i} & = - \frac{\partial  ln y_i}{\partial _i} \\
& = \frac{\partial (-ln \frac{e^i}{\sum_j e^j}) }{\partial _i} \\ 
& = - \frac {1}{ \frac{e^i}{\sum_j e^j}} \cdot \frac{\partial (\frac{e^i}{\sum_j e^j})}{ \partial_i} \\
& = -\frac{\sum_j e^j}{e^i} \cdot \frac{\partial (1 - \frac{\sum_{j \neq i} e^j}{\sum_j e^j}) } {\partial_i} \\ 
& = -\frac{\sum_j e^j}{e^i} \cdot (- \sum _ {j \neq i}e^j ) \cdot \frac{\partial( \frac {1} {\sum_j e^j} ) } { \partial _i} \\ 
&= \frac { \sum_j e^j \cdot \sum_{j \neq i} e^j}  {e^i } \cdot \frac { - e^i} { (\sum_j e^j) ^ 2} \\ 
& = -\frac { \sum_{j \neq i} e^j } { \sum_j e^j }  \\ 
& = -(1 - \frac{ e ^ i } { \sum_j e^j } ) \\
& = y_i - 1
\end{aligned}}$
上面的结果表示，我们只需要正想求出$y_i$，将结果减1就是反向更新的梯度，导数的计算是不是非常简单！
上面的推导过程会稍微麻烦一些，特意整理了一下，结合交叉熵损失函数，整理了一篇新的内容，看起来更直观一些。

交叉熵损失函数(Cross Entropy Error Function)与均方差损失函数(Mean Squared Error)
4.softmax VS k个二元分类器
如果你在开发一个音乐分类的应用，需要对k种类型的音乐进行识别，那么是选择使用 softmax 分类器呢，还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢？

这一选择取决于你的类别之间是否互斥，例如，如果你有四个类别的音乐，分别为：古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐，那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签（即：一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种），此时你应该使用类别数 k = 4 的softmax回归。（如果在你的数据集中，有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类，那么你可以添加一个“其他类”，并将类别数 k 设为5。）

如果你的四个类别如下：人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲，那么这些类别之间并不是互斥的。例如：一首歌曲可以来源于影视原声，同时也包含人声 。这种情况下，使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样，对于每个新的音乐作品 ，我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。

现在我们来看一个计算视觉领域的例子，你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是：室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢？ (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片，你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢？

在第一个例子中，三个类别是互斥的，因此更适于选择softmax回归分类器 。而在第二个例子中，建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。
参考文献：

1.https://www.zhihu.com/question/40403377

2.http://deeplearning.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax回归

Softmax函数概述

soft version of max
大的越来越大，小的越来越小



Softmax常与crossentropy（交叉熵）搭配连用

上图中假设有三个输出，分别是2.0，1.0和0.1，如果将数值转换成概率的话，我们希望概率最大的值作为预测的label。即我们希望将最大值2.0所对应的索引作为相应的label输出，那么如何作为probilities输出呢？
sigmoid函数可以将input压缩到[0,1]的范围，但是对于分类问题来说，我们不仅要求概率范围是[0,1]，还要求所有的概率和为1，即$\sum p_i = 1$
为了解决此类问题，就有了Softmax函数，具体的函数表达式为

$S(y_i) = \frac{e^{y_i}}{\sum_j e^{y_j}}$
另外有一点要注意，Softmax具有差距放大功能，例如原来2.0和1.0是两倍关系，经过Softmax压缩后，变为0.7和0.2，增大到3.5倍关系
Softmax求导
对Softmax函数进行求导，首先写出其函数表达式

$p_i =  \frac{e^{a_i}}{\sum_{k=1}^Ne^{a_k}}$
根据除法求导法则，若$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$，则$f'(x) = \frac{g'(x)h(x)-h'(x)g(x)}{h^2(x)}$
当$i=j$时
KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: 
\begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲  
 \frac{\nabl…
当$i\neq j$时

KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: 
\begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲  
 \frac{\nabl…
对以上求导过程进行总结

$\frac{\nabla p_i}{\nabla{a_j}}=\begin{cases}p_i(1-p_j) & i = j \cr  -p_j*p_i &i \neq  j\end{cases}$

需要注意的一点是，由于$p_j$和$p_j$均在$[0,1]$范围内，故$p_i(1-p_j)>0$，$-p_i*p_j<0$
下面使用代码举例
import torch
import torch.nn.functional as F
a = torch.rand(3, requires_grad=True) # dim=1, len=3 tensor
p = F.softmax(a, dim=0)# 需要指定进行sfotmax操作的dim维度
print('softmax:', p)
torch.autograd.grad(p[0],[a], retain_graph=True)
# 注意Loss必须是长度为1的值，由于p是dim=1，len=3的值，因此取必须取p中的一个

输出softmax: tensor([0.2732, 0.3780, 0.3489], grad_fn=<SoftmaxBackward>)

(tensor([ 0.1985, -0.1033, -0.0953]),)
这里进行了$\frac{\nabla p_0}{\nabla{a_i}}$的操作，由于$a$是$[0,2]$的tensor，所以返回了一个$1*3$的tensor。并且仔细观察会发现，当$i=0$时，梯度信息为正
参数retain_graph=True需要解释一下。由于PyTorch在求导一次之后，就会将这个图的梯度信息清除掉，如果第二次再求导，就会报错。但如果写上这个参数，就可以保留梯度信息，就能再求一次导

softmax 向量计算 dim

softmax 实例分类
softmax 损失函数 交叉熵 极大似然估计
softmax 函数本身具有 把值压缩到0，1 之间，结果具有归一，放大，散列 效果。这个过程也可以看成是求 概率的过程。

softmax计算得出概率 送入交叉熵公式概率中或极大似然估计

softmax的 损失函数 可以用 交叉熵来表达 也可以用极大似然估计来描述，二者结果一样