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    SVD分解 奇异值分解(SVD SVD(奇异值分解)小结
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    2020-03-28 12:04:38
    SVD分解:Singular Value Decomposition, 记录点滴。 定义 将矩阵A分解为三个矩阵相乘的形式,其中A为m x n的矩阵,U为m x m 的单位正交阵,V为nxn的单位正交阵, Σ为m x n的 对角阵。 A=UΣVT A=U\Sigma V^T A=U...

    SVD分解:Singular Value Decomposition, 记录点滴。

    定义

    将矩阵A分解为三个矩阵相乘的形式,其中A为m x n的矩阵,U为m x m 的单位正交阵,V为nxn的单位正交阵, Σ为m x n的 对角阵。
    A=UΣVT A=U\Sigma V^T

    含义

    矩阵的几何意义在于旋转和缩放,U 和 V用来做旋转, Σ用来缩放。
    UUT=IUU^T=IVVT=IVV^T=I, 这两个矩阵都是单位正交阵,不会产生缩放。Σ一般是下面的形式
    Σ=[λ1λ2λm] \Sigma = \left[ \begin{array}{cccc} \lambda_1 & \cdots &\cdots &\cdots \\ \cdots & \lambda_2 &\cdots &\cdots \\ \cdots &\cdots & \ddots &\cdots \\ \cdots &\cdots &\cdots& \lambda_m \end{array}\right]
    表示常值对向量的缩放。

    求解

    AAT=UΣVTVΣTUT=UΣ2UT AA^T=U\Sigma V^T V \Sigma^T U^T = U\Sigma^2 U^T
    通过对AATAA^T进行特征值分解,即可得到特征向量U,特征值开方可得到Σ。同理根据下式可得V。
    ATA=VΣTUTUΣVT=VΣ2VT A^TA=V \Sigma^T U^T U\Sigma V^T =V\Sigma^2 V^T

    应用

    压缩图像、降噪,取图像矩阵中的重要奇异值进行重构,不重要的奇异值略掉, 即实现了降噪或压缩的效果。
    参考:
    https://www.cnblogs.com/endlesscoding/p/10033527.html
    https://www.cnblogs.com/xiaohuahua108/p/6137783.html?utm_source=itdadao&utm_medium=referral

    展开全文
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