文章目录
一、引例
二、机器数和真值
1、机器数
2、真值
三、计算机编码
1、原码
2、补码
3、反码
4、编码总结
四、为什么要用补码
1、主要目的
2、原码运算
3、反码运算
4、补码运算
五、回到原点

一、引例
	printf("%d\n", abs(INT_MIN));


这段的代码正确输出应该是什么呢？
凭直觉肯定是个正数，因为 abs 这个函数是求一个数的绝对值，数学上任何数的绝对值都是大于等于0的；然而…


-2147483648


那么我们来研究一下，计算机背后到底做了什么手脚；

二、机器数和真值
1、机器数

我们知道计算机是内部由 0 和 1 组成的编码，无论是整数还是浮点数，都会涉及到负数，对于机器来说是不知道正负的，而 “正” 和 “负” 正好是两种对立的状态，所以规定用 “0” 表示  “正”，“1” 表示  “负”，这样符号就被数字化了，并且将它放在有效数字的前面，就成了有符号数；
把符号 “数字化” 的数称为 机器数；

2、真值

而带有 “+” 或者 “-” 的数称为 真值；
然而，当符号位和数值部分放在一起后，如何让它一起参与运算呢？那就要涉及到接下来要讲的计算机的各种编码了；

三、计算机编码
1、原码

这里的原码并不是源码（源代码）的意思，而是机器数中最简单的一种表示形式；为了快速理解，这里只介绍整数，不介绍小数的情况；

【原码定义】 符号位为 0 代表正数，符号位为 1 代表负数，数值位为真值的绝对值。
$[x]_原 = \begin{cases}
x & (0 <= x < 2^{n-1})\\ 
2^{n-1} - x & (-2^{n-1} < x <= 0)\\
\end{cases}$

（这里 $n$ 的取值是 $8、16、32、64$，目前计算机的整型 int 都是 32 位的，但是为了便于阅读，本文介绍的整数都按照 8 位来举例）
【原码举例】


1）当真值 x = +100101 时，原码为：00100101；


2）当真值 x =  -100101 时，原码为：10100101；


原码是最贴近人类的编码方式，并且很容易和真值进行转换，但是让计算机用原码进行加减运算过于繁琐，如果两个数符号位不同，需要先判断绝对值大小，然后用绝对值大的减去绝对值小的，并且符号以绝对值大的数为准，本来是加法却需要用减法来实现；为了让计算机做的事情尽量简单，于是设计出来了补码；


2、补码
【补码定义】  正数的补码是它本身，符号位为0；负数的补码为原码数值位取反后+1，符号位为1；

$[x]_补 = \begin{cases}
x & (0 <= x < 2^{n-1})\\ 
2^{n} + x & (-2^{n-1} <= x < 0)\\
\end{cases}$

【补码举例】

1）当真值 x = +100101 时，补码为：00100101；
2）当真值 x =  -100101 时， 补码为：11011011；

（尝试把负数的数值部分和它的补码进行相加运算，可以得到 $2^n$）
3、反码

反码一般用来作为 补码 求 原码 或者 原码 求 补码 的中间过渡；

【反码定义】  整数的反码是它本身，符号位为0；负数的反码为原码数值取反，符号位为1；

$[x]_反 = \begin{cases}
x & (0 <= x < 2^{n-1})\\ 
2^{n}-1 + x & (-2^{n-1} < x <= 0)\\
\end{cases}$

【反码举例】

1）当真值 x = +100101 时，补码为：00100101；
2）当真值 x =  -100101 时， 补码为：11011010；

（尝试把负数的数值部分和它的补码进行相加运算，可以得到 $2^n-1$）
4、编码总结

1）这三种机器数的最高位均为符号位；
2）当真值为正数时，原码、补码、反码的表示形式相同，符号位用 “0” 表示，数值部分真值相同；


$[+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反 = [00000001]_补$


3）当真值为负数时，原码、补码、反码的表示形式不同，但是符号位都用 “1” 表示，数值部分：反码是原码的 “每位求反”，补码是原码的 “取反加1”；


$[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补$

四、为什么要用补码
1、主要目的

计算机的四则运算希望设计的尽量简单。但是引入符号位的概念，对于计算机来说还要考虑正负数相加，等于引入了减法，所以希望是计算机底层只设计一个加法器，就能把加法和减法都做了。

2、原码运算

对于原码的加法，两个正数相加的情况如下：


$1 + 1 = [00000001]_原 + [00000001]_原 = [00000010]_原$ = 2


好像没有什么问题？于是人们开始探索减法，但是起初设计的人的初衷是希望不用减法，只用加法运算就能够将加法和减法都包含进来，于是，我们尝试用原码的负数表示来做运算；


$1 - 2 = 1 + (-2) = [00000001]_原 + [10000010]_原 = [10000011]_原$ = -3


这个结果是错的，于是为了解决减法问题，引入了反码运算；

3、反码运算

对于反码的加法，一正一负两数相加的情况如下：


$1 - 2 = 1 + (-2) = [00000001]_反 + [11111101]_反 = [11111110]_反$ = -1


没有什么问题？但是某种情况下，反码会有歧义，当两个相同的数相减时，如下：


$1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]_反 + [11111110]_反 = [11111111]_反$ = -0


这里出现了一个奇怪的概念，就是 “负零”，反码运算过程中会出现有两个编码表示零这个数值；
为了解决正负零的问题引入了补码的概念；

4、补码运算

1）一正一负两个数相加，且非零的情况：


$1 - 2 = 1 + (-2) = [00000001]_补 + [11111110]_补 = [11111111]_补$ = -1


2）一正一负两个数相加，且答案为零的情况：


$1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]_补 + [11111111]_补 = [00000000]_补$ = 0

两个互为相反数的数相加后，得到的数的补码为 $2^n$（你可以认为是是溢出了），和我们之前提到的定义吻合；

综上所述，计算机内部都是用补码表示；

五、回到原点

最后我来回答下，文章一开始提到的那个问题，即为什么一个负数的绝对值还是一个负数；
这个负数不是一个一般的负数，它是32位有符号整型的最小值，即：

$INT\_MIN = -2^{31}$
它的补码表示为：

$[-2^{31}]_补 = [10000000\ \ 00000000\ \ 00000000\ \ 00000000]_补$
从补码的定义出发：

$[x]_补 = \begin{cases}
x & (0 <= x < 2^{31})\\ 
2^{32} + x & (-2^{31} <= x < 0)\\
\end{cases}$


$2^{31} - 2^{31} = 2^{31} + (- 2^{31}) = X + [-2^{31}]_补 = 0$

解这个简单方程得到 $X$ 唯一的值为：

$[10000000\ \ 00000000\ \ 00000000\ \ 00000000]_补$

所以在 32位有符号整数体系内， $INT\_MIN = -INT\_MIN$；

补码
计算机中的有符号数有三种表示方法，即原码、反码和补码。三种表示方法均有符号位和数值位两部分，符号位的表示，0表示“正”，1表示“负”，而数值位，就是0和1的组合。
在计算机系统中，数值一律用补码来表示和存储。原因在于，使用补码，可以将符号位和数值域统一处理；同时，加法和减法也可以统一处理 。
补码的优点：
(1)解决了符号的表示问题；

(2)可以将减法运算转化为补码的加法运算来实现，克服了原码加减法运算繁杂的弊端，可有效简化运算器的设计；

(3)在计算机中，利用电子器件的特点实现补码和真值、原码之间的相互转换，非常容易；

(4)补码表示统一了符号位和数值位，使得符号位可以和数值位一起直接参与运算。