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计算机中的有符号数有三种表示方法,即原码、反码和补码。三种表示方法均有符号位和数值位两部分,符号位都是用0表示“正”,用1表示“负”,而数值位,三种表示方法各不相同 [1]  。在计算机系统中,数值一律用补码来表示和存储。原因在于,使用补码,可以将符号位和数值域统一处理;同时,加法和减法也可以统一处理 [2]  。 展开全文
计算机中的有符号数有三种表示方法,即原码、反码和补码。三种表示方法均有符号位和数值位两部分,符号位都是用0表示“正”,用1表示“负”,而数值位,三种表示方法各不相同 [1]  。在计算机系统中,数值一律用补码来表示和存储。原因在于,使用补码,可以将符号位和数值域统一处理;同时,加法和减法也可以统一处理 [2]  。
信息
外文名
two's complement representation
作    用
存储数值
所属领域
计算机
中文名
补码
补码概念引入
在介绍补码概念之前,先介绍一下“模”的概念:“模”是指一个计量系统的计数范围,如过去计量粮食用的斗、时钟等。计算机也可以看成一个计量机器,因为计算机的字长是定长的,即存储和处理的位数是有限的,因此它也有一个计量范围,即都存在一个“模”。如:时钟的计量范围是0~11,模=12。表示n位的计算机计量范围是 ,模= .“模”实质上是计量器产生“溢出”的量,它的值在计量器上表示不出来,计量器上只能表示出模的余数。任何有模的计量器,均可化减法为加法运算 [3]  。假设当前时针指向8点,而准确时间是6点,调整时间可有以下两种拨法:一种是倒拨2小时,即8-2=6;另一种是顺拨10小时,8+10=12+6=6,即8-2=8+10=8+12-2(mod 12).在12为模的系统里,加10和减2效果是一样的,因此凡是减2运算,都可以用加10来代替。若用一般公式可表示为:a-b=a-b+mod=a+mod-b。对“模”而言,2和10互为补数。实际上,以12为模的系统中,11和1,8和4,9和3,7和5,6和6都有这个特性,共同的特点是两者相加等于模。对于计算机,其概念和方法完全一样。n位计算机,设n=8,所能表示的最大数是11111111,若再加1成100000000(9位),但因只有8位,最高位1自然丢失。又回到了 00000000,所以8位二进制系统的模为 。在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题,只需把减数用相应的补数表示就可以了。把补数用到计算机对数的处理上,就是补码 [3]  。
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  • 补码

    千次阅读 2018-08-13 11:50:38
    补码是 00 00 00 00; -0的原码是80 00 00 00;反码是 FFFFFFFF;补码是 00 00 00 00; 用补码表示时,+0和-0是相同的,符合正常认知。 二、 解释 2.1、 基础 由此引出计算机中补码的表示规则:正数和零暂不讨论...

    一、  引言

    +0的原码是00 00 00 00;反码是 00 00 00 00;补码是 00 00 00 00;

    -0的原码是80 00 00 00;反码是 FF FF FF FF;补码是 00 00 00 00;

    补码表示时,+0和-0是相同的,符合正常认知。

    二、  解释

    2.1、  基础

    由此引出计算机中补码的表示规则:正数和零暂不讨论,需要额外注意负数的转换规则。

    对于负数进行探讨:

    原码 -> 补码  符号位不变,按位取反后+1;

    补码 -> 原码  符号位不变,-1后按位取反;

    以8位二进制来表示有符号数为例,-128的补码是0x10,按照补码转换成原码的规则,没有办法保证在符号位不变的前提下,得出原码。所以我们得到一个结论:

    最小负数只有补码,不存在原码和反码

    2.2、  补充

    容易与单目运算符~(取反运算符)和-(求补运算符)混淆。下面再举一个例子,对于4位二进制表示的有符号数:

    x = -4;(运算时都是以补码的形式参与运算)。

    其原码为1100;反码为1011;补码为1100;

    如果对x进行求补运算(每一位取反再+1),-x = ~x + 1;即0011+0001=0100(4)。

    从上述例子我们可以看到:x的补码是1100;对x进行求补的结果是0100,这两者是不一样的。

    2.3、  实例 

    int i=-2147483648;

    (k为二进制整数可表示的状态有2^k种。负数有2^(k-1)个,正数和0共有2^(k-1)个。int类型占4个字节,负数有2^31个,最小负数就是-2^31=-2147483648。)

    i 的补码为80 00 00 00;-1的补码为ff ff ff ff;

    -i-1的结果是 ???(-i)+(-1) => i的求补结果和1的求补结果相加;

    -i = ~i+1  =>  7f ff ff ff + 00 00 00 01 = 80 00 00 00;

    -1 = ~1+1  =>  ff ff ff fe + 00 00 00 01 = ff ff ff ff;

    相加为7f ff ff ff = 2147483647。

    2.4、  代码验证

    #include<stdio.h>
    #define INT_MIN     (-2147483647 - 1) 
    int main()
    {
    	int i = INT_MIN;
    	printf("%d", -i - 1);
    	return 0;
    }

     说明:代码中-2147483648要以宏的形式间接给出的原因参见errorC4146: 一元负运算符应用于无符号类型,结果仍为无符号类型

    运行结果

     

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  • 本篇文章讲解了计算机的原码, 反码和补码. 并且进行了深入探求了为何要使用反码和补码, 以及更进一步的论证了为何可以用反码, 补码的加法计算原码的减法. 论证部分如有不对的地方请各位牛人帮忙指正! 希望本文对大家...

    本篇文章讲解了计算机的原码, 反码和补码. 并且进行了深入探求了为何要使用反码和补码, 以及更进一步的论证了为何可以用反码, 补码的加法计算原码的减法. 论证部分如有不对的地方请各位牛人帮忙指正! 希望本文对大家学习计算机基础有所帮助!

     

    一. 机器数和真值

    在学习原码, 反码和补码之前, 需要先了解机器数和真值的概念.

    1、机器数

    一个数在计算机中的二进制表示形式,  叫做这个数的机器数。机器数是带符号的,在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.

    比如,十进制中的数 +3 ,计算机字长为8位,转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ,就是 10000011 。

    那么,这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

    2、真值

    因为第一位是符号位,所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011,其最高位1代表负,其真正数值是 -3 而不是形式值131(10000011转换成十进制等于131)。所以,为区别起见,将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

    例:0000 0001的真值 = +000 0001 = +1,1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

     

    二. 原码, 反码, 补码的基础概念和计算方法.

    在探求为何机器要使用补码之前, 让我们先了解原码, 反码和补码的概念.对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.

    1. 原码

    原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:

    [+1]原 = 0000 0001

    [-1]原 = 1000 0001

    第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:

    [1111 1111 , 0111 1111]

    [-127 , 127]

    原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.

    2. 反码

    反码的表示方法是:

    正数的反码是其本身

    负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变,其余各个位取反.

    [+1] = [00000001]原 = [00000001]反

    [-1] = [10000001]原 = [11111110]反

    可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.

    3. 补码

    补码的表示方法是:

    正数的补码就是其本身

    负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

    [+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

    [-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

    对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.

     

    三. 为何要使用原码, 反码和补码

    在开始深入学习前, 我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码, 反码和补码的表示方式以及计算方法.

    现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

    [+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

    所以不需要过多解释. 但是对于负数:

    [-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

    可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢?

    首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.

    于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:

    计算十进制的表达式: 1-1=0

    1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

    如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.

    为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:

    计算十进制的表达式: 1-1=0

    1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0

    发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.

    于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:

    1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原

    这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

    (-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补

    -1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)

    使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].

    因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.

     

    四 原码, 反码, 补码 再深入

    计算机巧妙地把符号位参与运算, 并且将减法变成了加法, 背后蕴含了怎样的数学原理呢?

    将钟表想象成是一个1位的12进制数. 如果当前时间是6点, 我希望将时间设置成4点, 需要怎么做呢?我们可以:

    1. 往回拨2个小时: 6 - 2 = 4

    2. 往前拨10个小时: (6 + 10) mod 12 = 4

    3. 往前拨10+12=22个小时: (6+22) mod 12 =4

    2,3方法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余数是4.

    所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代!

    现在的焦点就落在了如何用一个正数, 来替代一个负数. 上面的例子我们能感觉出来一些端倪, 发现一些规律. 但是数学是严谨的. 不能靠感觉.

    首先介绍一个数学中相关的概念: 同余

     

    同余的概念

    两个整数a,b,若它们除以整数m所得的余数相等,则称a,b对于模m同余

    记作 a ≡ b (mod m)

    读作 a 与 b 关于模 m 同余。

    举例说明:

    4 mod 12 = 4

    16 mod 12 = 4

    28 mod 12 = 4

    所以4, 16, 28关于模 12 同余.

     

    负数取模

    正数进行mod运算是很简单的. 但是负数呢?

    下面是关于mod运算的数学定义:

    clip_image001

    上面是截图, "取下界"符号找不到如何输入(word中粘贴过来后乱码). 下面是使用"L"和"J"替换上图的"取下界"符号:

    x mod y = x - y L x / y J

    上面公式的意思是:

    x mod y等于 x 减去 y 乘上 x与y的商的下界.

    以 -3 mod 2 举例:

    -3 mod 2

    = -3 - 2xL -3/2 J

    = -3 - 2xL-1.5J

    = -3 - 2x(-2)

    = -3 + 4 = 1

    所以:

    (-2) mod 12 = 12-2=10

    (-4) mod 12 = 12-4 = 8

    (-5) mod 12 = 12 - 5 = 7

     

    开始证明

    再回到时钟的问题上:

    回拨2小时 = 前拨10小时

    回拨4小时 = 前拨8小时

    回拨5小时= 前拨7小时

    注意, 这里发现的规律!

    结合上面学到的同余的概念.实际上:

    (-2) mod 12 = 10

    10 mod 12 = 10

    -2与10是同余的.

    (-4) mod 12 = 8

    8 mod 12 = 8

    -4与8是同余的.

    距离成功越来越近了. 要实现用正数替代负数, 只需要运用同余数的两个定理:

    反身性:

    a ≡ a (mod m)

    这个定理是很显而易见的.

    线性运算定理:

    如果a ≡ b (mod m),c ≡ d (mod m) 那么:

    (1)a ± c ≡ b ± d (mod m)

    (2)a * c ≡ b * d (mod m)

    如果想看这个定理的证明, 请看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm

    所以:

    7 ≡ 7 (mod 12)

    (-2) ≡ 10 (mod 12)

    7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)

    现在我们为一个负数, 找到了它的正数同余数. 但是并不是7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即计算结果的余数相等.

    接下来回到二进制的问题上, 看一下: 2-1=1的问题.

    2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原= [0000 0010]反 + [1111 1110]反

    先到这一步, -1的反码表示是1111 1110. 如果这里将[1111 1110]认为是原码, 则[1111 1110]原 = -126, 这里将符号位除去, 即认为是126.

    发现有如下规律:

    (-1) mod 127 = 126

    126 mod 127 = 126

    即:

    (-1) ≡ 126 (mod 127)

    2-1 ≡ 2+126 (mod 127)

    2-1 与 2+126的余数结果是相同的! 而这个余数, 正式我们的期望的计算结果: 2-1=1

    所以说一个数的反码, 实际上是这个数对于一个膜的同余数. 而这个膜并不是我们的二进制, 而是所能表示的最大值! 这就和钟表一样, 转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值!

    而2+126很显然相当于钟表转过了一轮, 而因为符号位是参与计算的, 正好和溢出的最高位形成正确的运算结果.

    既然反码可以将减法变成加法, 那么现在计算机使用的补码呢? 为什么在反码的基础上加1, 还能得到正确的结果?

    2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]补 + [1111 1111]补

    如果把[1111 1111]当成原码, 去除符号位, 则:

    [0111 1111]原 = 127

    其实, 在反码的基础上+1, 只是相当于增加了膜的值:

    (-1) mod 128 = 127

    127 mod 128 = 127

    2-1 ≡ 2+127 (mod 128)

    此时, 表盘相当于每128个刻度转一轮. 所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128, 128].

    但是由于0的特殊情况, 没有办法表示128, 所以补码的取值范围是[-128, 127]

    本人一直不善于数学, 所以如果文中有不对的地方请大家多多包含, 多多指点!

    作者: 张子秋
    出处: http://www.cnblogs.com/zhangziqiu/ 
    本文版权归作者和博客园共有,欢迎转载,但未经作者同意必须保留此段声明,且在文章页面明显位置给出原文连接,否则保留追究法律责任的权利。
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  • 原码,反码,补码的深入理解与原理

    万次阅读 多人点赞 2019-07-03 10:37:43
    通过简述原码,反码和补码存在的作用,加深对补码的认识。力争让你对补码的概念不再局限于:负数的补码等于反码加一。 接触过计算机或电子信息相关课程的同学,应该都或多或少看过补码这哥仨。每次都是在课本的最前...

            本文从原码讲起。通过简述原码,反码和补码存在的作用,加深对补码的认识。力争让你对补码的概念不再局限于:负数的补码等于反码加一

    接触过计算机或电子信息相关课程的同学,应该都或多或少看过补码这哥仨。每次都是在课本的最前几页,来上这么一段:什么反码是原码除符号位,按位取反。补码等于反码加一。然后给整得莫名其妙,稀里糊涂地,接着就是翻页,反正后面的内容也跟三码没多大关系。

    我原来也是看了好几遍都没看懂。古人云:事不过三。学C语言的时候,看过一次。不懂?看《计算机基本组成原理》的时候看过,还是不懂!到了大三,上《单片微机原理与接口技术》的时候仍旧是不懂。到了期末,复习的时候,和宿舍的人瞎聊。说讲讲这些码呀,我说我也不是很清楚呀。然后就一边说怎么求码,一边算。玩着玩着,突然就明白了。我说好,打住。不说了,放假我在好好整理下思路,于是就有了这篇额。。算讨论帖吧。

    好了,废话不多说。开始我们的原码,反码,补码之旅。

    (一)预备知识

    认识二进制,十六进制。会二进制与十进制的相互转化运算

    由计算机的硬件决定,任何存储于计算机中的数据,其本质都是以二进制码存储。

    根据冯~诺依曼提出的经典计算机体系结构框架。一台计算机由运算器,控制器,存储器,输入和输出设备组成。其中运算器,只有加法运算器,没有减法运算器(据说一开始是有的,后来由于减法器硬件开销太大,被废了 )

    所以,计算机中的没法直接做减法的,它的减法是通过加法来实现的。你也许会说,现实世界中所有的减法也可以当成加法的,减去一个数,可以看作加上这个数的相反数。当然没错,但是前提是要先有负数的概念。这就为什么不得不引入一个该死的符号位。

    1. 而且从硬件的角度上看,只有正数加负数才算减法。

    2. 正数与正数相加,负数与负数相加,其实都可以通过加法器直接相加。

    原码,反码,补码的产生过程,就是为了解决,计算机做减法和引入符号位(正号和负号)的问题。

    本文可能比较长,没必要一下子读完。原码,反码,补码,按章读。
    重点在于讲补码,到了补码可能有些绕,建议带着笔,写出二进制数一起算。

    表达可能不够清楚严谨,望见谅。

    (二)原码

    原码:是最简单的机器数表示法。用最高位表示符号位,‘1’表示负号,‘0’表示正号。其他位存放该数的二进制的绝对值。

    若以带符号位的四位二进值数为例 

    1. 1010 : 最高位为‘1’,表示这是一个负数,其他三位为‘010’,

    2. 即(0*2^2)+(1*2^1)+(0*2^0)=2(‘^’表示幂运算符)

    3. 所以1010表示十进制数(-2)。

    下图给出部份正负数数的二进制原码表示法

    OK,原码表示法很简单有没有,虽然出现了+0和-0,但是直观易懂。
    于是,我们高兴的开始运算。

    1. 0001+0010=0011 (1+2=3)OK

    2. 0000+1000=1000 (+0+(-0)=-0) 额,问题不大

    3. 0001+1001=1010 (1+(-1)=-2)

    噢,1+(-1)=-2,这仿佛是在逗我呢。

    于是我们可以看到其实正数之间的加法通常是不会出错的,因为它就是一个很简单的二进制加法。

    而正数与负数相加,或负数与负数相加,就要引起莫名其妙的结果,这都是该死的符号位引起的。0分为+0-0也是因他而起。

    所以原码,虽然直观易懂,易于正值转换。但用来实现加减法的话,运算规则总归是太复杂。于是反码来了。

    (三)反码

    我们知道,原码最大的问题就在于一个数加上他的相反数不等于零。

    例如:0001+1001=1010 (1+(-1)=-2) 0010+1010=1100 (2+(-2)=-4)

    于是反码的设计思想就是冲着解决这一点,既然一个负数是一个正数的相反数,那我们干脆用一个正数按位取反来表示负数试试。

    反码:正数的反码还是等于原码

    负数的反码就是他的原码除符号位外,按位取反。

    若以带符号位的四位二进制数为例:

    1. 3是正数,反码与原码相同,则可以表示为0011

    2. -3的原码是1011,符号位保持不变,低三位(011)按位取反得(100)

    3. 所以-3的反码为1100

    下图给出部分正负数的二进制数反码表示法

    对着上图,我们再试着用反码的方式解决一下原码的问题

    0001+1110=1111 (1+(-1)= - 0)

    互为相反数相加等于0,解决。虽然是得到的结果是1111也就是-0

    好,我们再试着做一下两个负数相加

    1110(-1)+1101(-2)=1011(-4)

    噢,好像又出现了新问题

    (-1)+(-2)=(-4)?

    不过好像问题不大,因为1011(是-4的反码,但是从原码来看,他其实是-3。巧合吗?)

    我们再看个例子吧

    1110(-1)+1100(-3)=1010(-5)

    确实是巧合,看来相反数问题是解决了,但是却让两个负数相加的出错了。

    但是实际上,两个负数相加出错其实问题不大。我们回头想想我们的目的是什么?是解决做减法的问题,把减法当成加法来算。

    两个正数相加和两个负数相加,其实都是一个加法问题,只是有无符号位罢了。而正数+负数才是真正的减法问题。

    也就是说只要正数+负数不会出错,那么就没问题了。负数加负数出错没关系的,负数的本质就是正数加上一个符号位而已。

    在原码表示法中两个负数相加,其实在不溢出的情况下结果就只有符号位出错而已(1001+1010=0011)

    反码的负数相加出错,其实问题不大。我们只需要加实现两个负数加法时,将两个负数反码包括符号位全部按位取反相加,然后再给他的符号位强行置‘1’就可以了。

    所以反码表示法其实已经解决了减法的问题,他不仅不会像原码那样出现两个相反数相加不为零的情况,而且对于任意的一个正数加负数,如:
    0001(1)+1101(-2)=1110(-1) 计算结果是正确的。所以反码与原码比较,最大的优点,就在于解决了减法的问题。

    但是我们还是不满足为什么 0001+1110=1111 (1+(-1)=-0) 为什么是-0

    而且虽然说两个负数相加问题不大,但是问题不大,也是问题呀。好吧,处女座。接下来就介绍我们的大boss补码

    (四)补码

    补码:正数的补码等于他的原码
    负数的补码等于反码+1。
    (这只是一种算补码的方式,多数书对于补码就是这句话)

    在《计算机组成原理中》,补码的另外一种算法 是

    负数的补码等于他的原码自低位向高位,尾数的第一个‘1’及其右边的‘0’保持不变,左边的各位按位取反,符号位不变。

    OK,补码就讲完了。再见!!

    还是莫名其妙有没有,为什么补码等于反码加1,为什么自低位向高位取反...................?

    其实上面那两段话,都只是补码的求法,而不是补码的定义。很多人以为求补码就要先求反码,其实并不是。

    那些鸡贼的计算机学家,并不会心血来潮的把反码+1就定义为补码。只不过是补码正好就等于反码加1罢了。

    所以,忘记那些书上那句负数的补码等于它的反码+1。就这句话把我们带入了理解的误区。

    这就是后来我明白为什么我看的那本《计算机组成原理》,要特意先讲补码,再讲反码。

    然后说负数的补码等于他的原码自低位向高位,尾数的第一个‘1’及其右边的‘0’保持不变,左边的各位按位取反,符号位不变。

    但是上面这句话,同样不是补码的定义,它只是补码的另外一种求法。它的存在,告诉我们忘记那句该死的‘反码+1’它并不是必须的。

    如果你有兴趣了解,补码的严格说法,我建议你可以看一下《计算机组成原理》。它会用‘模’和‘同余’的概念,严谨地解释补码。

    接下来我只想聊聊补码的思想。

    (五)补码的思想

    补码的思想,第一次见可能会觉得很绕,但是如果你肯停下来仔细想想,绝对会觉得非常美妙。

    补码的思想其实就来自于生活,只是我们没注意到而已。时钟,经纬度,《易经》里的八卦。

    补码的思想其实就类似于生活中的时钟

    好吧,我其实不想用类似,好像这种词,因为类比的,终究不是事物本身。而且不严谨会让我怀疑我不是工科僧,说得好像我严谨过似的,哈哈

    如果说现在时针现在停在10点钟,那么什么时候时针会停在八点钟呢?

    简单,过去隔两个小时的时候,是八点钟。未来过十个小时的时候也是八点钟

    也就是说时间正拨10小时,或是倒拨2小时都是八点钟。

    也就是10-2=8,而且 10+10=8(10+10=10+2+8=12+8=8)

    这个时候满12说明时针在走第二圈了,又走了8小时,所以时针正好又停在八点钟。

    所以12在时钟运算中,称之为模,超过了12就会重新从1开始算了。

    也就是说, 10-2和10+10从另一个角度来看是等效的,它都使时针指向了八点钟。

    既然是等效的,那在时钟运算中,减去一个数,其实就相当于加上另外一个数(这个数与减数相加正好等于12,也称为同余数)

    这就是补码所谓模运算思想的生活例子

    在这里,我们再次强调原码,反码,补码的引入是为了解决做减法的问题。在原码,反码表示法中,我们把减法化为加法的思维是减去一个数,等于加上一个数的相反数,结果发现引入了符号位,却因为符号位造成了各种意向不到的问题。

    但是从上面的例子中,我们可以看到其实减去一个数,对于数值有限制,有溢出的运算(模运算)来说,其实也相当于加上这个数的同余数。

    也就是说,我们不引入负数的概念,就可以把减法当成加法来算。所以接下来我们聊4位二进制数的运算,也不必急于引入符号位。因为补码的思想,把减法当成加法时并不是必须要引入符号位的

    而且我们可以通过下面的例子,也许能回答另一个问题,为什么负数的符号位是‘1’,而不是正数的符号位是‘1’。

    (六)补码实例

    好吧,接下来我们就做一做四位二进制数的减法吧(先不引入符号位)

    0110(6)-0010(2)【6-2=4,但是由于计算机中没有减法器,我们没法算】

    这个时候,我们想想时钟运算中,减去一个数,是可以等同于加上另外一个正数(同余数)

    那么这个数是什么呢?从时钟运算中我们可以看出这个数与减数相加正好等于模。

    那么四位二进制数的模是多少呢?也就是说四位二进制数最大容量是多少?其实就是2^4=16=10000B

    那么2的同余数,就等于10000-0010=1110(14)

    既然如此

    0110(6)-0010(2)=0110(6)+1110(14)=10100(20=16+4)

    OK,我们看到按照这种算法得出的结果是10100,但是对于四位二进制数,最大只能存放4位(硬件决定了),如果我们低四位,正好是0100(4),正好是我们想要的结果,至于最高位的‘1’,计算机会把他放入psw寄存器进位位中。8位机则会放在cy中,x86会放在cf中(这个我们不作讨论)

    这个时候,我们再想想在四位二进制数中,减去2,就相当于加上它的同余数14(至于它们为什么同余,还是建议看《计算机组成原理》)

    但是减去2,从另外一个角度来说,也是加上(-2)。即加上(-2)和加上14其实得到的二进制结果除了进位位,结果是一样的。

    如果我们把1110(14)的最高位看作符号位后就是(-2)的补码,这可能也是为什么负数的符号位是‘1’而不是‘0’

    而且在有符号位的四位二进制数中,能表示的只有‘-8~7’,而无符号位数(14)的作用和有符号数(-2)的作用效果其实是一样的。

    那正数的补码呢?加上一个正数,加法器就直接可以实现。所以它的补码就还是它本身。

    下图给出带符号位四位二进制的补码表示法

    到这里,我们发现原码,反码的问题,补码基本解决了。

    在补码中也不存在负零了,因为1000表示-8

    这是因为根据上面的补码图,做减法时,0001(1)+1111(-1)=0000
    我们再也不需要一个1000来表示负0了,就把它规定为-8

    负数与负数相加的问题也解决了1111(-1)+1110(-2)=1101(-3)

    可能说得有点绕,但是实在是没办法。其实我觉得补码还可以这样画。

    很优美有没有,如果你想想地理课本,0不就相当于本初子午线,-8不就是180°,而正数相当于西经,负数相当于东经。

    (七)为何这样求补码

    然后我们再来看看为什么负数的补码的求法为什么是反码+1

    因为负数的反码加上这个负数的绝对值正好等于1111,再加1,就是1000,也就是四位二进数的模

    而负数的补码是它的绝对值的同余数,可以通过模减去负数的绝对值,得到他的补码。

    所以 负数的补码就是它的反码+1。

    有点绕吧,只能说很难算清楚,你们还是自己算算吧。还有上面我提到的另外一种算法。

    接下来,我要说一下我自己算补码的小技巧。

    看上面那个图。

    如果我们把-8当成负数的原点。那么-5的补码是多少呢?

    -5=-8+3

    -5的补码就是-8的补码加3

    1000(-8) +0011(3)=1011(-5)

    所以完全可以口算出-5的补码是1011

    当然,也可以记住-1的补码是1111口算减法得出

    对于八位加法器的话,可以把-128当补码原点。十六位可以把-32768当补码原点。

    是的,128256(八位二进制数的模)的一半,3276865536(十六位二进数的模)的一半

    也很方便有没有,而且简单的是

    补码原点总是最高位是‘1’,其他位是‘0’

    所以做加法总是简单得可以口算。

    OK,原码,反码,补码之旅就到这里结束。补码第一次看总会觉得很绕,想言简意赅,就怕哪里遗漏了。讲得细致,又不免连自己都觉得啰里啰嗦。谢观

    转载自:https://www.imooc.com/article/16813?block_id=tuijian_wz 

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空空如也

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