一、  引言
 
+0的原码是00 00 00 00；反码是 00 00 00 00；补码是 00 00 00 00；
 
-0的原码是80 00 00 00；反码是 FF FF FF FF；补码是 00 00 00 00;
 
用补码表示时，+0和-0是相同的，符合正常认知。
 
二、  解释
 
2.1、  基础
 
由此引出计算机中补码的表示规则：正数和零暂不讨论，需要额外注意负数的转换规则。
 
对于负数进行探讨：
 
 
 
原码 -> 补码  符号位不变，按位取反后+1；
 
 
补码 -> 原码  符号位不变，-1后按位取反；
 
 
以8位二进制来表示有符号数为例，-128的补码是0x10，按照补码转换成原码的规则，没有办法保证在符号位不变的前提下，得出原码。所以我们得到一个结论：
 
 
 
最小负数只有补码，不存在原码和反码。
 
 
2.2、  补充
 
容易与单目运算符~（取反运算符）和-（求补运算符）混淆。下面再举一个例子，对于4位二进制表示的有符号数：
 
 
 
x = -4；（运算时都是以补码的形式参与运算）。
 
 
其原码为1100；反码为1011；补码为1100；
 
如果对x进行求补运算（每一位取反再+1），-x = ~x + 1；即0011+0001=0100（4）。
 
从上述例子我们可以看到：x的补码是1100；对x进行求补的结果是0100，这两者是不一样的。
 
2.3、  实例 
 
 
 
int i=-2147483648;
 
 
（k为二进制整数可表示的状态有2^k种。负数有2^(k-1)个，正数和0共有2^(k-1)个。int类型占4个字节，负数有2^31个，最小负数就是-2^31=-2147483648。）
 
i 的补码为80 00 00 00；-1的补码为ff ff ff ff；
 
-i-1的结果是 ？？？(-i)+(-1) => i的求补结果和1的求补结果相加；
 
-i = ~i+1  =>  7f ff ff ff + 00 00 00 01 = 80 00 00 00;
 
-1 = ~1+1  =>  ff ff ff fe + 00 00 00 01 = ff ff ff ff;
 
相加为7f ff ff ff = 2147483647。
 
2.4、  代码验证
 
#include<stdio.h>
#define INT_MIN     (-2147483647 - 1) 
int main()
{
	int i = INT_MIN;
	printf("%d", -i - 1);
	return 0;
}
 
 说明：代码中-2147483648要以宏的形式间接给出的原因参见errorC4146: 一元负运算符应用于无符号类型，结果仍为无符号类型
 
 
 

  
  
 
 
 

 
 
本篇文章讲解了计算机的原码, 反码和补码. 并且进行了深入探求了为何要使用反码和补码, 以及更进一步的论证了为何可以用反码, 补码的加法计算原码的减法. 论证部分如有不对的地方请各位牛人帮忙指正! 希望本文对大家学习计算机基础有所帮助!
 
 
 
 
 
一. 机器数和真值
 
 
在学习原码, 反码和补码之前, 需要先了解机器数和真值的概念.
 
 
1、机器数
 
 
一个数在计算机中的二进制表示形式,  叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.
 
 
比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。
 
 
那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。
 
 
2、真值
 
 
 
  
因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
 
 
 
 
例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1
 
 
 
 
 
二. 原码, 反码, 补码的基础概念和计算方法.
 
 
在探求为何机器要使用补码之前, 让我们先了解原码, 反码和补码的概念.对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.
 
 
1. 原码
 
 
原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:
 
 
 
  
[+1]原 = 0000 0001
 
  
[-1]原 = 1000 0001
 
 
 
 
第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:
 
 
 
  
[1111 1111 , 0111 1111]
 
 
 
 
即
 
 
 
  
[-127 , 127]
 
 
 
 
原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.
 
 
2. 反码
 
 
反码的表示方法是:
 
 
正数的反码是其本身
 
 
负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反.
 
 
 
  
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反
 
  
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反
 
 
 
 
可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.
 
 
3. 补码
 
 
补码的表示方法是:
 
 
正数的补码就是其本身
 
 
负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)
 
 
 
  
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
 
  
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
 
 
 
 
对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.
 
 
 
 
 
三. 为何要使用原码, 反码和补码
 
 
在开始深入学习前, 我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码, 反码和补码的表示方式以及计算方法.
 
 
现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:
 
 
 
  
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
 
 
 
 
所以不需要过多解释. 但是对于负数:
 
 
 
  
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
 
 
 
 
可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢?
 
 
首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.
 
 
于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:
 
 
计算十进制的表达式: 1-1=0
 
 
 
  
1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2
 
 
 
 
如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.
 
 
为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:
 
 
计算十进制的表达式: 1-1=0
 
 
 
  
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0
 
 
 
 
发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.
 
 
于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:
 
 
 
  
1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原
 
 
 
 
这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:
 
 
 
  
(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补
 
 
 
 
-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)
 
 
使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].
 
 
因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.
 
 
 
 
 
四 原码, 反码, 补码 再深入
 
 
计算机巧妙地把符号位参与运算, 并且将减法变成了加法, 背后蕴含了怎样的数学原理呢?
 
 
将钟表想象成是一个1位的12进制数. 如果当前时间是6点, 我希望将时间设置成4点, 需要怎么做呢?我们可以:
 
 
 
  
1. 往回拨2个小时: 6 - 2 = 4
 
  
2. 往前拨10个小时: (6 + 10) mod 12 = 4
 
  
3. 往前拨10+12=22个小时: (6+22) mod 12 =4
 
 
 
 
2,3方法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余数是4.
 
 
所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代!
 
 
现在的焦点就落在了如何用一个正数, 来替代一个负数. 上面的例子我们能感觉出来一些端倪, 发现一些规律. 但是数学是严谨的. 不能靠感觉.
 
 
首先介绍一个数学中相关的概念: 同余
 
 
 
 
 
同余的概念
 
 
两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余
 
 
记作 a ≡ b (mod m)
 
 
读作 a 与 b 关于模 m 同余。
 
 
举例说明:
 
 
 
  
4 mod 12 = 4
 
  
16 mod 12 = 4
 
  
28 mod 12 = 4
 
 
 
 
所以4, 16, 28关于模 12 同余.
 
 
 
 
 
负数取模
 
 
正数进行mod运算是很简单的. 但是负数呢?
 
 
下面是关于mod运算的数学定义:
 
 
 
 
上面是截图, "取下界"符号找不到如何输入(word中粘贴过来后乱码). 下面是使用"L"和"J"替换上图的"取下界"符号:
 
 
 
  
x mod y = x - y L x / y J
 
 
 
 
上面公式的意思是:
 
 
x mod y等于 x 减去 y 乘上 x与y的商的下界.
 
 
以 -3 mod 2 举例:
 
 
 
  
-3 mod 2
 
  
= -3 - 2xL -3/2 J
 
  
= -3 - 2xL-1.5J
 
  
= -3 - 2x(-2)
 
  
= -3 + 4 = 1
 
 
 
 
所以:
 
 
 
  
(-2) mod 12 = 12-2=10
 
  
(-4) mod 12 = 12-4 = 8
 
  
(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7
 
 
 
 
 
 
 
开始证明
 
 
再回到时钟的问题上:
 
 
 
  
回拨2小时 = 前拨10小时
 
  
回拨4小时 = 前拨8小时
 
  
回拨5小时= 前拨7小时
 
 
 
 
注意, 这里发现的规律!
 
 
结合上面学到的同余的概念.实际上:
 
 
 
  
(-2) mod 12 = 10
 
  
10 mod 12 = 10
 
 
 
 
-2与10是同余的.
 
 
 
  
(-4) mod 12 = 8
 
  
8 mod 12 = 8
 
 
 
 
-4与8是同余的.
 
 
距离成功越来越近了. 要实现用正数替代负数, 只需要运用同余数的两个定理:
 
 
反身性:
 
 
 
  
a ≡ a (mod m)
 
 
 
 
这个定理是很显而易见的.
 
 
线性运算定理:
 
 
 
  
如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那么:
 
  
(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)
 
  
(2)a * c ≡ b * d (mod m)
 
 
 
 
如果想看这个定理的证明, 请看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm
 
 
所以:
 
 
 
  
7 ≡ 7 (mod 12)
 
  
(-2) ≡ 10 (mod 12)
 
  
7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)
 
 
 
 
现在我们为一个负数, 找到了它的正数同余数. 但是并不是7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即计算结果的余数相等.
 
 
接下来回到二进制的问题上, 看一下: 2-1=1的问题.
 
 
 
  
2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原= [0000 0010]反 + [1111 1110]反
 
 
 
 
先到这一步, -1的反码表示是1111 1110. 如果这里将[1111 1110]认为是原码, 则[1111 1110]原 = -126, 这里将符号位除去, 即认为是126.
 
 
发现有如下规律:
 
 
 
  
(-1) mod 127 = 126
 
  
126 mod 127 = 126
 
 
 
 
即:
 
 
 
  
(-1) ≡ 126 (mod 127)
 
  
2-1 ≡ 2+126 (mod 127)
 
 
 
 
2-1 与 2+126的余数结果是相同的! 而这个余数, 正式我们的期望的计算结果: 2-1=1
 
 
所以说一个数的反码, 实际上是这个数对于一个膜的同余数. 而这个膜并不是我们的二进制, 而是所能表示的最大值! 这就和钟表一样, 转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值!
 
 
而2+126很显然相当于钟表转过了一轮, 而因为符号位是参与计算的, 正好和溢出的最高位形成正确的运算结果.
 
 
既然反码可以将减法变成加法, 那么现在计算机使用的补码呢? 为什么在反码的基础上加1, 还能得到正确的结果?
 
 
 
  
2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]补 + [1111 1111]补
 
 
 
 
如果把[1111 1111]当成原码, 去除符号位, 则:
 
 
 
  
[0111 1111]原 = 127
 
 
 
 
其实, 在反码的基础上+1, 只是相当于增加了膜的值:
 
 
 
  
(-1) mod 128 = 127
 
  
127 mod 128 = 127
 
  
2-1 ≡ 2+127 (mod 128)
 
 
 
 
此时, 表盘相当于每128个刻度转一轮. 所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128, 128].
 
 
但是由于0的特殊情况, 没有办法表示128, 所以补码的取值范围是[-128, 127]
 
 
本人一直不善于数学, 所以如果文中有不对的地方请大家多多包含, 多多指点!
 
 

 作者：
 张子秋
 
 出处：
 http://www.cnblogs.com/zhangziqiu/ 
 
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        本文从原码讲起。通过简述原码，反码和补码存在的作用，加深对补码的认识。力争让你对补码的概念不再局限于：负数的补码等于反码加一。
 
接触过计算机或电子信息相关课程的同学，应该都或多或少看过补码这哥仨。每次都是在课本的最前几页，来上这么一段：什么反码是原码除符号位，按位取反。补码等于反码加一。然后给整得莫名其妙，稀里糊涂地，接着就是翻页，反正后面的内容也跟三码没多大关系。
 
我原来也是看了好几遍都没看懂。古人云：事不过三。学C语言的时候，看过一次。不懂？看《计算机基本组成原理》的时候看过，还是不懂！到了大三，上《单片微机原理与接口技术》的时候仍旧是不懂。到了期末，复习的时候，和宿舍的人瞎聊。说讲讲这些码呀，我说我也不是很清楚呀。然后就一边说怎么求码，一边算。玩着玩着，突然就明白了。我说好，打住。不说了，放假我在好好整理下思路，于是就有了这篇额。。算讨论帖吧。
 
好了，废话不多说。开始我们的原码，反码，补码之旅。
 
（一）预备知识
 
认识二进制，十六进制。会二进制与十进制的相互转化运算
 
由计算机的硬件决定，任何存储于计算机中的数据，其本质都是以二进制码存储。
 
根据冯~诺依曼提出的经典计算机体系结构框架。一台计算机由运算器，控制器，存储器，输入和输出设备组成。其中运算器，只有加法运算器，没有减法运算器（据说一开始是有的，后来由于减法器硬件开销太大，被废了 ）
 
所以，计算机中的没法直接做减法的，它的减法是通过加法来实现的。你也许会说，现实世界中所有的减法也可以当成加法的，减去一个数，可以看作加上这个数的相反数。当然没错，但是前提是要先有负数的概念。这就为什么不得不引入一个该死的符号位。
 
 
而且从硬件的角度上看，只有正数加负数才算减法。
 
 
正数与正数相加，负数与负数相加，其实都可以通过加法器直接相加。
 
 
 
原码，反码，补码的产生过程，就是为了解决，计算机做减法和引入符号位（正号和负号）的问题。
 
 
本文可能比较长，没必要一下子读完。原码，反码，补码，按章读。
 重点在于讲补码，到了补码可能有些绕，建议带着笔，写出二进制数一起算。
 
表达可能不够清楚严谨，望见谅。
 
（二）原码
 
 
 
原码：是最简单的机器数表示法。用最高位表示符号位，‘1’表示负号，‘0’表示正号。其他位存放该数的二进制的绝对值。
 
 
若以带符号位的四位二进值数为例 
 
 
1010 ： 最高位为‘1’,表示这是一个负数，其他三位为‘010’，
 
 
即（0*2^2）+（1*2^1）+（0*2^0）=2（‘^’表示幂运算符）
 
 
所以1010表示十进制数（-2）。
 
下图给出部份正负数数的二进制原码表示法
 
 
OK，原码表示法很简单有没有，虽然出现了+0和-0，但是直观易懂。
 于是，我们高兴的开始运算。
 
 
0001+0010=0011 （1+2=3）OK
 
 
0000+1000=1000 （+0+（-0）=-0） 额，问题不大
 
 
0001+1001=1010 （1+（-1）=-2）
 
噢，1+（-1）=-2，这仿佛是在逗我呢。
 
于是我们可以看到其实正数之间的加法通常是不会出错的，因为它就是一个很简单的二进制加法。
 
而正数与负数相加，或负数与负数相加，就要引起莫名其妙的结果，这都是该死的符号位引起的。0分为+0和-0也是因他而起。
 
所以原码，虽然直观易懂，易于正值转换。但用来实现加减法的话，运算规则总归是太复杂。于是反码来了。
 
（三）反码
 
我们知道，原码最大的问题就在于一个数加上他的相反数不等于零。
 
例如：0001+1001=1010 (1+(-1)=-2) 0010+1010=1100 (2+(-2)=-4)
 
于是反码的设计思想就是冲着解决这一点，既然一个负数是一个正数的相反数，那我们干脆用一个正数按位取反来表示负数试试。
 
 
 
反码：正数的反码还是等于原码
 
 
负数的反码就是他的原码除符号位外，按位取反。
 
 
若以带符号位的四位二进制数为例：
 
 
3是正数，反码与原码相同，则可以表示为0011
 
 
-3的原码是1011，符号位保持不变，低三位（011）按位取反得（100）
 
 
所以-3的反码为1100
 
下图给出部分正负数的二进制数反码表示法
 
 
对着上图，我们再试着用反码的方式解决一下原码的问题
 
 
 
0001+1110=1111 （1+（-1）= - 0）
 
 
互为相反数相加等于0，解决。虽然是得到的结果是1111也就是-0
 
 
好，我们再试着做一下两个负数相加
 
 
 
1110（-1）+1101（-2）=1011（-4）
 
 
噢，好像又出现了新问题
 
 
 
（-1）+（-2）=（-4）?
 
 
不过好像问题不大，因为1011（是-4的反码，但是从原码来看，他其实是-3。巧合吗？）
 
我们再看个例子吧
 
 
 
1110（-1）+1100（-3）=1010（-5）
 
 
确实是巧合，看来相反数问题是解决了，但是却让两个负数相加的出错了。
 
但是实际上，两个负数相加出错其实问题不大。我们回头想想我们的目的是什么？是解决做减法的问题，把减法当成加法来算。
 
 
 
两个正数相加和两个负数相加，其实都是一个加法问题，只是有无符号位罢了。而正数+负数才是真正的减法问题。
 
 
也就是说只要正数+负数不会出错，那么就没问题了。负数加负数出错没关系的，负数的本质就是正数加上一个符号位而已。
 
在原码表示法中两个负数相加，其实在不溢出的情况下结果就只有符号位出错而已（1001+1010=0011）
 
反码的负数相加出错，其实问题不大。我们只需要加实现两个负数加法时，将两个负数反码包括符号位全部按位取反相加，然后再给他的符号位强行置‘1’就可以了。
 
所以反码表示法其实已经解决了减法的问题，他不仅不会像原码那样出现两个相反数相加不为零的情况，而且对于任意的一个正数加负数，如：
0001（1）+1101（-2）=1110（-1） 计算结果是正确的。所以反码与原码比较，最大的优点，就在于解决了减法的问题。
 
但是我们还是不满足为什么 0001+1110=1111 （1+（-1）=-0） 为什么是-0呢
 
而且虽然说两个负数相加问题不大，但是问题不大，也是问题呀。好吧，处女座。接下来就介绍我们的大boss补码。
 
（四）补码
 
 
 
补码：正数的补码等于他的原码
 负数的补码等于反码+1。
 （这只是一种算补码的方式，多数书对于补码就是这句话）
 
 
在《计算机组成原理中》，补码的另外一种算法 是
 
 
 
负数的补码等于他的原码自低位向高位，尾数的第一个‘1’及其右边的‘0’保持不变，左边的各位按位取反，符号位不变。
 
 
OK，补码就讲完了。再见！！
 
还是莫名其妙有没有，为什么补码等于反码加1，为什么自低位向高位取反...................?
 
 
 
其实上面那两段话，都只是补码的求法，而不是补码的定义。很多人以为求补码就要先求反码，其实并不是。
 
 
那些鸡贼的计算机学家，并不会心血来潮的把反码+1就定义为补码。只不过是补码正好就等于反码加1罢了。
 
 
 
所以，忘记那些书上那句负数的补码等于它的反码+1。就这句话把我们带入了理解的误区。
 
 
这就是后来我明白为什么我看的那本《计算机组成原理》，要特意先讲补码，再讲反码。
 
然后说负数的补码等于他的原码自低位向高位，尾数的第一个‘1’及其右边的‘0’保持不变，左边的各位按位取反，符号位不变。
 
但是上面这句话，同样不是补码的定义，它只是补码的另外一种求法。它的存在，告诉我们忘记那句该死的‘反码+1’它并不是必须的。
 
如果你有兴趣了解，补码的严格说法，我建议你可以看一下《计算机组成原理》。它会用‘模’和‘同余’的概念，严谨地解释补码。
 
接下来我只想聊聊补码的思想。
 
(五)补码的思想
 
补码的思想，第一次见可能会觉得很绕，但是如果你肯停下来仔细想想，绝对会觉得非常美妙。
 
 
 
补码的思想其实就来自于生活，只是我们没注意到而已。时钟，经纬度，《易经》里的八卦。
 
 
补码的思想其实就类似于生活中的时钟
 
 
好吧，我其实不想用类似，好像这种词，因为类比的，终究不是事物本身。而且不严谨会让我怀疑我不是工科僧，说得好像我严谨过似的，哈哈
 
 
 
如果说现在时针现在停在10点钟，那么什么时候时针会停在八点钟呢？
 
 
简单，过去隔两个小时的时候，是八点钟。未来过十个小时的时候也是八点钟
 
也就是说时间正拨10小时，或是倒拨2小时都是八点钟。
 
 
 
也就是10-2=8，而且 10+10=8（10+10=10+2+8=12+8=8）
 
 
这个时候满12说明时针在走第二圈了，又走了8小时，所以时针正好又停在八点钟。
 
 
 
所以12在时钟运算中，称之为模，超过了12就会重新从1开始算了。
 
 
也就是说， 10-2和10+10从另一个角度来看是等效的，它都使时针指向了八点钟。
 
 
 
既然是等效的，那在时钟运算中，减去一个数，其实就相当于加上另外一个数（这个数与减数相加正好等于12，也称为同余数）
 
 
这就是补码所谓模运算思想的生活例子
 
在这里，我们再次强调原码，反码，补码的引入是为了解决做减法的问题。在原码，反码表示法中，我们把减法化为加法的思维是减去一个数，等于加上一个数的相反数，结果发现引入了符号位，却因为符号位造成了各种意向不到的问题。
 
但是从上面的例子中，我们可以看到其实减去一个数，对于数值有限制，有溢出的运算（模运算）来说，其实也相当于加上这个数的同余数。
 
也就是说，我们不引入负数的概念，就可以把减法当成加法来算。所以接下来我们聊4位二进制数的运算，也不必急于引入符号位。因为补码的思想，把减法当成加法时并不是必须要引入符号位的。
 
而且我们可以通过下面的例子，也许能回答另一个问题，为什么负数的符号位是‘1’，而不是正数的符号位是‘1’。
 
(六)补码实例
 
好吧，接下来我们就做一做四位二进制数的减法吧（先不引入符号位）
 
 
 
0110（6）-0010（2）【6-2=4，但是由于计算机中没有减法器，我们没法算】
 
 
这个时候，我们想想时钟运算中，减去一个数，是可以等同于加上另外一个正数（同余数）
 
 
 
那么这个数是什么呢？从时钟运算中我们可以看出这个数与减数相加正好等于模。
 
 
那么四位二进制数的模是多少呢？也就是说四位二进制数最大容量是多少？其实就是2^4=16=10000B
 
 
 
那么2的同余数，就等于10000-0010=1110（14）
 
 
既然如此
 
0110（6）-0010（2）=0110（6）+1110（14)=10100（20=16+4）
 
OK，我们看到按照这种算法得出的结果是10100，但是对于四位二进制数，最大只能存放4位（硬件决定了），如果我们低四位，正好是0100（4），正好是我们想要的结果，至于最高位的‘1’，计算机会把他放入psw寄存器进位位中。8位机则会放在cy中，x86会放在cf中（这个我们不作讨论）
 
这个时候，我们再想想在四位二进制数中，减去2，就相当于加上它的同余数14（至于它们为什么同余，还是建议看《计算机组成原理》）
 
 
 
但是减去2，从另外一个角度来说，也是加上（-2）。即加上（-2）和加上14其实得到的二进制结果除了进位位，结果是一样的。
 
 
如果我们把1110（14）的最高位看作符号位后就是（-2）的补码，这可能也是为什么负数的符号位是‘1’而不是‘0’，
 
 
而且在有符号位的四位二进制数中，能表示的只有‘-8~7’，而无符号位数（14）的作用和有符号数（-2）的作用效果其实是一样的。
 
那正数的补码呢？加上一个正数，加法器就直接可以实现。所以它的补码就还是它本身。
 
下图给出带符号位四位二进制的补码表示法
 
 
到这里，我们发现原码，反码的问题，补码基本解决了。
 
 
 
在补码中也不存在负零了，因为1000表示-8
 
 
这是因为根据上面的补码图，做减法时，0001（1）+1111（-1）=0000
 我们再也不需要一个1000来表示负0了，就把它规定为-8
 
负数与负数相加的问题也解决了1111（-1）+1110（-2）=1101(-3)
 
可能说得有点绕，但是实在是没办法。其实我觉得补码还可以这样画。
 
 
很优美有没有，如果你想想地理课本，0不就相当于本初子午线，-8不就是180°，而正数相当于西经，负数相当于东经。
 
(七)为何这样求补码
 
然后我们再来看看为什么负数的补码的求法为什么是反码+1
 
因为负数的反码加上这个负数的绝对值正好等于1111，再加1，就是1000，也就是四位二进数的模
 
而负数的补码是它的绝对值的同余数，可以通过模减去负数的绝对值，得到他的补码。
 
所以 负数的补码就是它的反码+1。
 
有点绕吧，只能说很难算清楚，你们还是自己算算吧。还有上面我提到的另外一种算法。
 
接下来，我要说一下我自己算补码的小技巧。
 
看上面那个图。
 
 
 
如果我们把-8当成负数的原点。那么-5的补码是多少呢？
 
 
-5=-8+3
 
-5的补码就是-8的补码加3
 
1000（-8） +0011（3）=1011(-5)
 
所以完全可以口算出-5的补码是1011
 
当然，也可以记住-1的补码是1111口算减法得出
 
对于八位加法器的话，可以把-128当补码原点。十六位可以把-32768当补码原点。
 
是的，128是256（八位二进制数的模）的一半，32768是65536（十六位二进数的模）的一半
 
也很方便有没有，而且简单的是
 
 
 
补码原点总是最高位是‘1’，其他位是‘0’
 
 
所以做加法总是简单得可以口算。
 
OK，原码，反码，补码之旅就到这里结束。补码第一次看总会觉得很绕，想言简意赅，就怕哪里遗漏了。讲得细致，又不免连自己都觉得啰里啰嗦。谢观
 
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