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    万次阅读 多人点赞 2018-07-11 22:35:30
    评价模型 HeartGo 关注2017.01.19 12:10* 字数 4802 阅读 2941评论 0喜欢 6数据挖掘之评价模型层次分析法(AHP)基本思想:是定性与定量相结合的多准则决策、评价方法。将决策的有关元素分解成目标层、准则层和...

    评价模型

    96 
    HeartGo 
    2017.01.19 12:10*  字数 4802  阅读 2941 评论 0

    数据挖掘之评价模型

    层次分析法(AHP)

    基本思想:

    是定性与定量相结合的多准则决策、评价方法。将决策的有关元素分解成目标层、准则层和方案层,并通过人们的判断对决策方案的优劣进行排序,在此基础上进行定性和定量分析。它把人的思维过程层次化、数量化,并用数学为分析、决策、评价、预报和控制提供定量的依据。

    基本步骤:

    构建层次结构模型;构建成对比较矩阵;层次单排序及一致性检验(即判断主观构建的成对比较矩阵在整体上是否有较好的一致性);层次总排序及一致性检验(检验层次之间的一致性)。

    优点:

    它完全依靠主观评价做出方案的优劣排序,所需数据量少,决策花费的时间很短。从整体上看,AHP在复杂决策过程中引入定量分析,并充分利用决策者在两两比较中给出的偏好信息进行分析与决策支持,既有效地吸收了定性分析的结果,又发挥了定量分析的优势,从而使决策过程具有很强的条理性和科学性,特别适合在社会经济系统的决策分析中使用。

    缺点:

    用AHP进行决策主观成分很大。当决策者的判断过多地受其主观偏好影响,而产生某种对客观规律的歪曲时,AHP的结果显然就靠不住了。

    适用范围:

    尤其适合于人的定性判断起重要作用的、对决策结果难于直接准确计量的场合。要使AHP的决策结论尽可能符合客观规律,决策者必须对所面临的问题有比较深入和全面的认识。另外,当遇到因素众多,规模较大的评价问题时,该模型容易出现问题,它要求评价者对问题的本质、包含的要素及其相互之间的逻辑关系能掌握得十分透彻,否则评价结果就不可靠和准确。

    改进方法:

    (1)成对比较矩阵可以采用德尔菲法获得。

    (2)如果评价指标个数过多(一般超过9个),利用层次分析法所得到的权重就有一定的偏差,继而组合评价模型的结果就不再可靠。可以根据评价对象的实际情况和特点,利用一定的方法,将各原始指标分层和归类,使得每层各类中的指标数少于9个。



    灰色综合评价法(灰色关联度分析)

    基本思想:

    灰色关联分析的实质就是,可利用各方案与最优方案之间关联度大小对评价象进行比较、排序。关联度越大,说明比较序列与参考序列变化的态势越一致,反之,变化态势则相悖。由此可得出评价结果。

    基本步骤:

    建立原始指标矩阵;确定最优指标序列;进行指标标准化或无量纲化处理;求差序列、最大差和最小差;计算关联系数;计算关联度。

    优点:

    是一种评价具有大量未知信息的系统的有效模型,是定性分析和定量分析相结合的综合评价模型,该模型可以较好地解决评价指标难以准确量化和统计的问题,可以排除人为因素带来的影响,使评价结果更加客观准确。整个计算过程简单,通俗易懂,易于为人们所掌握;数据不必进行归一化处理,可用原始数据进行直接计算,可靠性强;评价指标体系可以根据具体情况增减;无需大量样本,只要有代表性的少量样本即可。

    缺点:

    要求样本数据且具有时间序列特性;只是对评判对象的优劣做出鉴别,并不反映绝对水平,故基于灰色关联分析综合评价具有“相对评价”的全部缺点。

    适用范围:

    对样本量没有严格要求,不要求服从任何分布,适合只有少量观测数据的问题;应用该种方法进行评价时,指标体系及权重分配是一个关键的题,选择的恰当与否直接影响最终评价结果。

    改进方法:

    (1)采用组合赋权法:根据客观赋权法和主观赋权法综合而得权系数。

    (2)结合TOPSIS法:不仅关注序列与正理想序列的关联度,而且关注序列与负理想序列的关联度,依据公式计算最后的关联度。



     模糊综合评价法

    基本思想:是以模糊数学为基础,应用模糊关系合成的原理,将一些边界不清、不易定量的因素定量化,从多个因素对被评价事物隶属等级(或称为评语集)状况进行综合性评价的一种方法。综合评判对评判对象的全体,根据所给的条件,给每个对象赋予一个非负实数评判指标,再据此排序择优。

    基本步骤:确定因素集、评语集;构造模糊关系矩阵;确定指标权重;进行模糊合成和做出评价。

    优点:

    :数学模型简单,容易掌握,对多因素、多层次的复杂问题评判效果较好。模糊评价模型不仅可对评价对象按综合分值的大小进行评价和排序,而且还可根据模糊评价集上的值按最大隶属度原则去评定对象所属的等级,结果包含的信息量丰富。评判逐对进行,对被评对象有唯一的评价值,不受被评价对象所处对象集合的影响。接近于东方人的思维习惯和描述方法,因此它更适用于对社会经济系统问题进行评价。

    缺点:

    并不能解决评价指标间相关造成的评价信息重复问题,隶属函数的确定还没有系统的方法,而且合成的算法也有待进一步探讨。其评价过程大量运用了人的主观判断,由于各因素权重的确定带有一定的主观性,因此,总的来说,模糊综合评判是一种基于主观信息的综合评价方法。

    应用范围:

    广泛地应用于经济管理等领域。综合评价结果的可靠性和准确性依赖于合理选取因素、因素的权重分配和综合评价的合成算子等。

    改进方法:

    (1)采用组合赋权法:根据客观赋权法和主观赋权法综合而得权系数。



     BP神经网络综合评价法

    基本思想:

    是一种交互式的评价方法,它可以根据用户期望的输出不断修改指标的权值,直到用户满意为止。因此,一般来说,人工神经网络评价方法得到的结果会更符合实际情况。

    优点:

    神经网络具有自适应能力,能对多指标综合评价问题给出一个客观评价,这对于弱化权重确定中的人为因素是十分有益的。在以前的评价方法中,传统的权重设计带有很大的模糊性,同时权重确定中人为因素影响也很大。随着时间、空间的推移,各指标对其对应题的影响程度也可能发生变化,确定的初始权重不一定符合实际情况。再者,考虑到整个分析评价是一个复杂的非线性大系统,必须建立权重的学习机制,这些方面正是人工神经网络的优势所在。针对综合评价建模过程中变量选取方法的局限性,采用神经网络原理可对变量进行贡献分析,进而剔除影响不显著和不重要的因素,以建立简化模型,可以避免主观因素对变量选取的干扰。

    缺点:

    ANN在应用中遇到的最大问题是不能提供解析表达式,权值不能解释为一种回归系数,也不能用来分析因果关系,目前还不能从理论上或从实际出发来解释ANN的权值的意义。需要大量的训练样本,精度不高,应用范围是有限的。最大的应用障碍是评价算法的复杂性,人们只能借助计算机进行处理,而这方面的商品化软件还不够成熟。

    适用范围:

    神经网络评价模型具有自适应能力、可容错性,能够处理非线性、非局域性的大型复杂系统。在对学习样本训练中,无需考虑输入因子之间的权系数,ANN通过输入值与期望值之间的误差比较,沿原连接权自动地进行调节和适应,因此该方法体现了因子之间的相互作用。

    改进方法:

    (1)采用组合评价法:对用其它评价方法得出的结果,选取一部分作为训练样本,一部分作为待测样本进行检验,如此对神经网络进行训练,知道满足要求为止,可得到更好的效果。



    数据包络法(DEA)

    通过明确地考虑多种投入(即资源)的运用和多种产出(即服务)的产生,它能够用来比较提供相似服务的多个服务单位之间的效率,这项技术被称为数据包络线分析(DEA)。它避开了计算每项服务的标准成本,因为它可以把多种投入和多种产出转化为效率比率的分子和分母,而不需要转换成相同的货币单位。因此,用DEA衡量效率可以清晰地说明投入和产出的组合,从而,它比一套经营比率或利润指标更具有综合性并且更值得信赖。

    DEA是一个线形规划模型,表示为产出对投入的比率。通过对一个特定单位的效率和一组提供相同服务的类似单位的绩效的比较,它试图使服务单位的效率最大化。在这个过程中,获得100%效率的一些单位被称为相对有效率单位,而另外的效率评分低于100%的单位本称为无效率单位。

    这样,企业管理者就能运用DEA来比较一组服务单位,识别相对无效率单位,衡量无效率的严重性,并通过对无效率和有效率单位的比较,发现降低无效率的方法。

    DEA线形规划模型建立如下:

    1) 定义变量

    设Ek(k=1,2,……, K)为第k个单位的效率比率,这里K代表评估单位的总数。

    设uj(j=1,2,……, M)为第j种产出的系数,这里M代表所考虑的产出种类的总数。变量uj用来衡量产出价值降低一个单位所带来的相对的效率下降。

    设vI(I=1,2,……,N)为第I种投入的系数,这里N代表所考虑的投入种类的综合素。变量vI用来衡量投入价值降低一个单位带来的相对的效率下降。

    设Ojk为一定时期内由第k个服务单位所创造的第j种产出的观察到的单位的数量。

    设Iik为一定时期内由第k个服务单位所使用的第i种投入的实际的单位的数量。

    2) 目标函数

    目标是找出一组伴随每种产出的系数u和一组伴随每种投入的系数ν,从而给被评估的服务单位最高的可能效率。

    (*)

    式中,e是被评估单位的代码。 这个函数满足这样一个约束条件,当同一组投入和产出的系数(uj和vi)用于所有其他对比服务单位时,没有一个服务单位将超过100%的效率或超过1.0的比率。

    3) 约束条件

    (**)

    k=1,2,……,K

    式中所有系数值都是正的且非零。

    为了用标准线性规划软件求解这个有分数的线性规划,需要进行变形。要注意,目标函数和所有约束条件都是比率而不是线性函数。通过把所评估单位的投入人为地调整为总和1.0,这样等式(*)的目标函数可以重新表述为:

    满足以下约束条件:

    对于个服务单位,等式(**)的约束条件可类似转化为:

    k=1,2,…,K

    式中 uj≥0 j=1,2,…,M vi≥0 i=1,2,…,N

    关于服务单位的样本数量问题是由在分析种比较所挑选的投入和产出变量的数量所决定的。下列关系式把分析中所使用的服务单位数量K和所考虑的投入种类数N与产出种类数M联系出来,它是基于实证发现和DEA实践的经验:




    组合评价法

    首先阐述问题,包括识别突出的属性以及规定这些属性的水平。用这些属性的水平构造组合,以突出刺激因素,供被调查者作评价。被调查者利用适当的量表给这些组合形式评分或排序,然后对这些数据进行分析。最后解释分析的结果并评价其信度和效度。

    (1)确认问题的属性和水平

    研究者必须首先识别并确定构造该研究问题的重要刺激因素,即所谓属性。该属性应该是影响消费者喜好的突出属性,例如,在选择汽车品牌时,价格、排量、油耗、车内空间等等比较敏感。从经济管理的角度说,属性和属性的水平应该都是可操作的。你必须用精力所能控制的属性来定义、识别和确定属性,典型的组合分析一般可以涉及6-7个属性(也可以叫做变量)。

    确定了突出的属性之后就是选择水平。为减轻被调查者的负担,同时又使参数估计保证一定的精度,需要认真考虑属性水平的个数。

    (2)构成组合形式

    属性及水平用于构成组合形式,以突出激励因素。构成组合形式的方法主要有配对法全轮廓法

    配对法也叫双因子评价,一般采用循环设计来减少配比比较的个数。

    全轮廓法也叫多因子评价,常常借助由于正交表进行设计。

    (3)决定输入数据的形式

    输入数据主要有两种形式:排序或评分。排序法是要对刺激因素集合中的所有属性水平作相对的评价,要求对每个组合给出一个不同的等级(秩)。评分法是要对每一个组合独立地进行评价。有人认为评分法更加便于被调查者作评价,所得的数据也比排序法更易于分析。近年来评分法用得更为普遍。

    (4)选择组合分析的具体方法

    基本的组合分析模型可以用下面的公式表示:

    m ki

    U(X)=∑ ∑aij xi

    j=i j=i

    其中,U(X)代表方案的总效用等

    aij代表第i个属性(i,i=1,2,……m)的第j个水平的分值贡献或者效用。

    ki代表属性的水平个数

    m代表属性个数

    xij=l 如果第i个属性的第j个水平出现

    xij=0 其他

    属性的重要性定义为该属性水平的最大分值与最小分值之差:

    Li={max(aij)-min(aij)}

    对每个i属性的重要性是经标准化的数字处理。经此表示其对别的属性的重要性。

    (5)解释结果

    为了更直观地解释结果,一般借助于分值(效用)函数的图形,将每个属性的分值函数作图。

    (6) 评估信度和效度

    评价组合分析结果的信度和效度,有多种方法,常用的有:

    1.评价估计模型的拟合优度

    2.用检验-再检验法来评价信度;

    3.用估计出来的分值函数作为评价的预测值,计算该预测值与被调查的实际评估值之间的相关,用以确定内部效度

    4.如果数据是按集合进行分析的,那么可以将样本分别分割成几个部分,再对每个子样本实施组合分析。比较这些子样本的结果就可以评价组合分析的解的稳定性。

    优点

    组合分析的主要优点就是为新产品或各种市场营销方案提供决策的参考信息。

    写作辛苦哈

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  • 3、评价模型 数学建模的十大常用算法 预测模型:神经网络预测、灰色预测、拟合插值预测(线性回归)、时间序列预测、马尔科夫链预测、微分方程预测、Logistic 模型等等。 应用领域:人口预测、水资源污染增长预测...

    学习网址:数学建模竞赛常考三大模型及十大算法

    目   录

    三大模型

    1、预测模型

    2、优化模型

    3、评价模型

    数学建模的十大常用算法


    三大模型

    1、预测模型

    预测模型:神经网络预测、灰色预测拟合插值预测(线性回归)、时间序列预测、马尔科夫链预测、微分方程预测、Logistic 模型等等。

    应用领域:人口预测、水资源污染增长预测、病毒蔓延预测、竞赛获胜概率预测、月收入预测、销量预测、经济发展情况预测等在工业、农业、商业等经济领域,以及环境、社会和军事等领域中都有广泛的应用。

    预测模型:难度中等。

    拟合插值预测:基础简单、容易理解。

    • 拟合算法:matlab拟合工具箱、准确...
    • 插值算法:短期预测、完善补全数据、插值函数、拉格朗日插值法、三次样条插值法...

    神经网络预测:现代优化算法、考验编程能力。

    人口预测:灰色预测、Logistic 模型...

    2、优化模型

    优化模型:规划模型(目标规划、线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划)、图论模型、排队论模型、神经网络模型、现代优化算法(遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法、禁忌搜索算法)等等。

    应用领域:快递员派送快递的最短路径问题、水资源调度优化问题、高速路口收费站问题、军事行动避空侦察的时机和路线选择、物流选址问题、商区布局规划等各个领域。

    优化模型:偏难。

    切割木料、地板,使损耗最低、利润最高。

    自然水管道铺设问题:图论模型(迪杰斯特拉算法 Dijkstra、克鲁斯卡尔算法 Kruskal)

    3、评价模型

    评价模型:模糊综合评价法、层次分析法、聚类分析法、主成分分析评价法、灰色综合评价法、人工神经网络评价法等等。

    应用领域:某区域水资源评价、水利工程项目风险评价、城市发展程度评价、足球教练评价、篮球队评价、水生态评价、大坝安全评价、边坡稳定性评价。

    预测模型:偏简单。

    数学建模的十大常用算法

        

    遗传算法、模拟退火算法

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    5.产品评分模型

    5.1单条评论评分模型

    我们希望通过评论文本与星级建立一个评分模型,通过该模型可以得到单条评论的打分情况,从而观察到各产品的综合评价。为达到这个目的,我们将结合星级1、点赞数2、总投票数3这几项数据集,先建立单条评论评分模型。
    由于评分模型得出的分数,我们希望它的取值范围为[0,100],因此输入评分模型的评论得分与星级得分也应是百分制数据。

    5.1.1评论得分

    本部分将计算出能够直接输入打分模型的评论得分。由于原始情感得分仅表示该购买人的个人想法,无法体现他人是否认同该评论,因此我们将其依据可信度进行优化。此后,通过TOPSIS法,我们可以得到最后能输入打分系统的评论得分数据。

    1). 优化情感得分

    在上述的LDA主题模型中,我们剔除了评论文本中的中性文本。但在本模型中为保证评分的完整性和准确性,我们重新保留了中性文本。因此所有评论的情感得分取值范围为[-1,1],即x∈[-1,1]
    不同的评论由于评价者的情况不同而具有不同的可信度,我们希望能让评论对产品评分的影响能依据其可信度进行适当调整。这里我们引入一个新变量“点赞权重系数”,用来将可信的评论影响放大,不可信的评论影响缩小,由此得到的优化后的情感得分a’公式计算如下:
    a ′ a^{'} a= x x x*(点赞权重系数+1)

    接下来我们要计算点赞权重系数。

    通过对原数据的观察,我们决定用总投票数和点赞数两个指标作为计算点赞权重系数的原始数据。
    通过观察总投票数的大小,我们将数据依据总投票数将数据分为三类:○1总投票数非常小:该情况下,对该评论表示认同或者不认同的人数过少,无法判断该评论是否更可信,因此我们不给予这类数据更多的信任;○2总投票数较小:该情况下,已经有部分人对该评论发表其观点,可稍微看出该评论是否可信,因此我们对它的信任改变 δ 1 \delta_1 δ1;○3总投票数较大:该情况下,由大量的人表示认同该评论或者不认同,我们可以明确它的可信度,对这类数据我们的信任改变 δ 2 \delta_2 δ2
    为避免对数据影响过大,造成结果不合理。在对原始数据进行观察后,我们决定将划分类别的两个界限定为:10,50;并且设定 a 1 a_1 a1=0.1, a 2 a_2 a2=0.15。由此可知点赞权重系数公式如下:

    2). TOPSIS法获得最终数据

    通过上一个步骤,我们已经得到了优化后的评价得分 a ′ a^{'} a,接下来我们将通过TOPSIS法获得最终的评价得分 a a a
    在这里插入图片描述
    引入变量n表示导入的数据集中的评论总条数。
    步骤一:
    将优化后的评论得分 a ′ a^{'} a导入成一个n行1列的标准化矩阵

    步骤二:
    计算该矩阵第一列的最小值并定义为 Z j 1 − = min ⁡ 1 ≤ i ≤ n ∣ ⁡ Z i 1 ∣ Z_{j1}^-=\min \limits_{1≤i≤n}|⁡Z_{i1} | Zj1=1inminZi1
    计算该矩阵第一列的最大值并定义为 Z j 1 − = max ⁡ 1 ≤ i ≤ n ∣ ⁡ Z i 1 ∣ Z_{j1}^-=\max \limits_{1≤i≤n}|⁡Z_{i1} | Zj1=1inmaxZi1
    步骤三:
    计算第i个评价对象与最小值的距离 D i 1 − = Z j 1 − Z j 1 − D_{i1}^-=Z_{j1} -Z_{j1}^- Di1=Zj1Zj1
    计算最大值与最小值的距离 D = Z j 1 + − Z j 1 − D=Z_{j1}^+-Z_{j1}^- D=Zj1+Zj1

    步骤四:
    计算第i个评价对象的最终评论得分 a i 1 = ( D i 1 − ) / D a_{i1}=(D_{i1}^-)/D ai1=(Di1)/D

    5.1.2星级得分

    由于星级从一星到五星表示从非常不满意到非常满意,并非百分制的数值,无法直接输入打分系统,因此我们需要对数据进行处理。
    为了模型的合理性,我们这里将一星赋值成0分,二星赋值成25分,以此类推五星为100分。

    星级得分
    0
    ★★25
    ★★★50
    ★★★★75
    ★★★★★100

    5.1.3结论

    经过以上计算过程,我们得到了可以直接输入模型的评论得分。为了评分模型得出的数据更能体现整条评论(包含评价本体与星级)的意向,结果更准确,我们将给评论得分和星级得分不同的权重。
    通过观察原数据,考虑到评论包含评论者对商品的满意或者不满意的具体原因,且比星级评价包含了更多评论者的感情倾向,我们最终选定权重比为:

    评论得分:星级得分=6:4,

    由此得出的最终商品得分的公式:

    最终商品得分=0.6评论得分+0.4星级得分

    通过该算法能得到满足我们要求的百分制数值,并且能较好的反映购买者对单个商品的评价。

    5.2模型优化

    以电商公司的角度,我们尝试加入用户在平台的级别和是否优惠购买的数据集来优化上述模型,从而帮助电商公司能够更方便地对产品进行跟踪。
    通过单条评论评分模型,我们已经得到了产品的单条评论的打分情况,现在我们将建立一个产品评分模型,由单条评论的打分情况计算出该品牌的打分,从而反映该产品的口碑情况。

    在这里插入图片描述
    对于其中的一个产品 α \alpha α,我们引入变量 N N N表示该产品的评论总数量,变量 w i w_{i} wi 为第 i i i条评论得分占产品总得分的权重,于是得到产品评分公式如下:

    品牌口碑评分= ∑ i = 1 N \sum_{i=1}^{N} i=1N最终商品得分* w i w_i wi/ ∑ i = 1 N \sum_{i=1}^{N} i=1N w i w_i wi

    接下来我们需要确定权重 w i w_i wi的取值。
    经过分析后,为了精简模型,我们做出以下合理假设:仅在某条评论表现出更可信时增加其权重,如果未能体现其可信度则不改变其权重。现在我们引入可信度系数变量,得到权重算法公式如下:
    w i w_i wi=1+可信度系数

    通过观察原始数据,我们发现两个会较大程度地影响该条评论在产品总得分过程中可信度的指标:是否打折和用户的评级,并且我们简单对比数据后发现,被邀请成为平台明星用户比在打折时购买产品的用户更少,且被邀请的用户的评论具有较高的信誉。我们最终选定权重比为:用户评级因素:打折因素=7:3,由此得出的最终产品得分为:

    可信度系数=0.7×用户评级因素+0.3×打折因素

    对这两个指标进行详细分析:对于打折指标:如果用户在打折是购买该产品,则其更倾向于给予该产品更高的评价与星级,而原价购买的用户的评价则会更客观;对用户评级指标:如果某用户被邀请成为平台明星用户,他的评论相比未被邀请的人会更加客观、符合实际情况。根据上述分析,我们将打折与用户评级两个指标化为两个变量:
    打 折 因 素 = { 0 打折=Yes 0.1 打折=No 打折因素= \begin{cases} 0& \text{打折=Yes}\\ 0.1& \text{打折=No} \end{cases} ={00.1打折=Yes打折=No

    用 户 级 别 因 素 = { 0 非明星用户 0.1 平台明星用户 用户级别因素= \begin{cases} 0& \text{非明星用户}\\ 0.1& \text{平台明星用户} \end{cases} ={00.1非明星用户平台明星用户

    通过该小节,我们可以得到权重 w i w_i wi,并且权重 w i w_i wi的取值不大于1.1,不会造成得分增幅过大的情况,影响结果。
    在计算出权重 w i w_i wi后,我们就可以计算出产品得分,然后我们可以按照得分从高到低对产品进行排序,排名越靠前就说明该产品在用户中的口碑越好,反之则说明口碑越差。

    5.4 后记

    5.4.1模型缺点:

    • 在判定星级得分时,我们对五个级别进行了简单的赋分。事实上,被打出的同样的星级,根据其对应的评论不同可能代表更高或更低的介于两个整数星级之间的评分(例如:两个三星分别表示两星半与三星半的星级评价),因此星级评分取值设定仍需进一步优化。
    • 在计算评论得分的过程中,我们默认星级与评论代表了相同的情感倾向,事实上,可能存在星级与评论不相符的情况,而目前我们暂未筛查是否有此类情况的数据。

    5.4.2总结:

    这部分主要运用的编程技巧比较少,更多的是模型上数据的利用以及系数的确定花了较大的篇幅,目的是为了建立一个产品评分模型,最终结果会获得一个百分制的产品得分,希望能对电商平台及商家的销售策略提供建议。

    本文仅供参考学习,拒绝商用、转载。


    1. 星级指的是每条评论对产品进行评星,范围由1星到5星。 ↩︎

    2. 点赞数指的是其他用户对该条评论认为有用后进行点赞。 ↩︎

    3. 总投票数指的是所有用户对该评论发表态度的数目,包括点赞和无用。 ↩︎

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    千次阅读 2017-03-09 11:12:00
    在数学建模比赛和数据分析中,综合评价模型的出场率还是比较高的,实际应用也确实比较广泛。下面是我在学习过程中对综合评价模型的总结。 1 综合评价的目的 综合评价无外乎两种:对多个系统进行评价和对一个系统进行...

    综合评价模块

    在数学建模比赛和数据分析中,综合评价模型的出场率还是比较高的,实际应用也确实比较广泛。下面是我在学习过程中对综合评价模型的总结。

    1 综合评价的目的

    综合评价无外乎两种:对多个系统进行评价和对一个系统进行评价。对多个系统进行评价的目的基本上有两种:这东西是谁的——分类;哪个好哪个差——比较、排序。对一个系统进行评价的目的基本上就是看它达没达标、及不及格——实现程度。对一个系统的精确评价往往对它进行进一步的预测起着决定性的参考作用。因为如果我们需要对某一系统进行预测的话一个良好的评价系统也非常关键。

    2 综合评价的基本要素

    综合评价模型中的五个基本要素:被评价对象、评价指标、权重系数、综合评价模型和评价者。

    2.1被评价对象

    被评价对象就是综合评价问题中所研究的对象。这里将被评价对象记为

    1049916-20170309113346281-55503915.jpg

    2.2评价指标

    评价指标的选取对系统的综合评价起着至关重要的作用。可以说根据不同的评价指标评价出来的结论之间可能大相径庭。评价指标的选取应该主要以下几个原则:

    1. 独立性。尽量减少每一个评价指标之间的耦合关系,即每个评价指标中包含的绝大部分信息在其他评价指标中应该不存在。比如评价两地之间的交通状况,如果选择了汽车的平均行驶速度和公路距离为评价指标后,就不要在选取汽车平均使用时间作为评价指标了。因为它包含的信息在其他的评价指标中能反映出来。
    2. 全面性。所有评价指标包含的信息总和应该等于被评价模型的所有信息。独立性和全面性可以类比古典概型中样本点和样本空间的概念。
    3. 量子性。如果一个评价指标可以使用两个或者多个评价指标表示,那么将评价指标的进一步细化有助于我们实现指标之间的解耦和对问题的分析。再分析清楚问题之后,在构建评价模型的时候我们可以通过合适的算法将相关的评价指标进行聚合。
    4. 可测性。保证选择的评价指标能直接或者间接的测量也非常重要。

    评价指标我们用
    mimetex.cgi?%0A%5Cb%20X%5ET%20=%5Bx_1,x_2,...,x_m%5D(m%5Cgeq1)%0A.
    表示。

    2.3权重系数

    不同的评价指标的不同重要程度我们可以使用权重系数进行表示。每一个评价指标都应该对应一个权重系数。所以我们可以用
    mimetex.cgi?%0A%5Cb%20W%5ET%20=%5Bw_1,w_2,...,w_m%5D(m%5Cgeq1)%0A.
    表示。权重系数还应该满足
    mimetex.cgi?%0A%5Csmall%5Cdisplaystyle%5Csum_%7Bi=1%7D%5Em%20w_i%20=%201%0A.

    2.4综合评价模型

    有了评价指标和其对应的权重之后,我们就可建立合适的综合评价模型了。一般的做法就是对所有系统的各个评价指标测量值进行加权平均。假设我们已经得到了所有系统的测量矩阵
    mimetex.cgi?%0A%5Cb%20A_%7B(n,m)%7D%0A.
    其中
    mimetex.cgi?%0Aa_%7B(i,j)%7D%0A.
    表示第i个系统第j个测量指标的测量值。
    我们可以定义综合评价函数如下:
    mimetex.cgi?%0A%5Cb%20Y=f(%5Cb%20A,%5Cb%20W)%0A.
    特别的,对应加权平均的评价函数有:
    mimetex.cgi?%0A%5Cb%20Y=A%5Ccdot%20W%0A.

    2.5评价者

    3 综合评价的一般步骤

    1. 确定综合评价目的(分类、排序、实现程度)。
    2. 选取评价指标。
    3. 对评价指标进行测量建立测量矩阵。
    4. 对测量矩阵进行预处理(一致化、无量纲化)。
    5. 确定权重。
    6. 确定评价模型。

    4 评价指标的规范化处理

    一般来说我们直接测量到的评价指标数据有以下四种类型。极大型指标、极小型指标、中间型指标和区间型指标。

    • 极大型指标:取值越大系统对应指标表现越好。
    • 极小型指标:取值越小系统对应指标表现越好。
    • 中间型指标:取值越靠近中间值表现越好。
    • 区间型指标:取值越靠近某一区间表现越好,区间内表现都为最好。

    4.1评价指标类型一致化

    在建立评价模型之前,我们应该将所有的评价指标都化为同一种类型,一般都会选择极大型。下面是评价指标化为极大型的方法。

    4.1.1极小型化为极大型

    • 倒数法

    mimetex.cgi?%0A%5Csmall%20a_%7Bi,j%7D%5E'=%5Cfrac%7B1%7D%7Ba_%7Bi,j%7D%7D%0A.

    • 平移法

    mimetex.cgi?%0A%5Csmall%20a_%7Bi,j%7D%5E'=M_j-a_%7Bi,j%7D%0A.
    其中
    mimetex.cgi?%0A%5Csmall%20M_j=%5Cunderset%7B%5Csmall%201%5Cleq%20i%5Cleq%20n%7D%7Bmax%7D%5C%7Ba_%7Bi,j%7D%5C%7D%0A.

    4.1.2 居中型化为极大型

    对于测量矩阵中的某一列j评价指标,如果其取值为中间值最好。我们可以采用如下的方法将其化为极大型。
    设最好的中间值为:
    mimetex.cgi?%0Aa_%7BjBest%7D=%5Cfrac%7BM_j+m_j%7D%7B2%7D%0A.
    其中
    mimetex.cgi?%0AM_j=max(x_%7Bij%7D),m_j=min(x_%7Bij%7D),(1%5Cleq%20i%5Cleq%20n)%0A.
    则:
    mimetex.cgi?%0Aa_%7Bi,j%7D%5E'=%5C%7B%7B%5Cfrac%7B2(a_%7Bi,j%7D-m_j)%7D%7BM_j-m_j%7D,m_j%5Cleq%20a_%7Bi,j%7D%5Cleq%20a_%7BjBest%7D%0A%5Catop%0A%5Cfrac%7B2(M_j-a_%7Bi,j%7D)%7D%7BM_j-m_j%7D,a_%7BjBest%7D%5Cleq%20a_%7Bi,j%7D%5Cleq%20M_j%7D%0A.
    下面是使用matlab将居中型转化为极大型的代码:

    %% 将居中型化为极大型
    clear
    clc
    
    %参数设置
    xMax = 100;         %设置最大值
    xMin = 0;           %设置最小值
    plotPoints = 100;   %设置绘图的点数
    %下面代码不用修改
    x = linspace(xMin,xMax,plotPoints);
    xBest = (xMax+xMin)/2;
    xLessPoints = x(x<xBest);
    xLessPoints = 2*(xLessPoints-xMin)./(xMax-xMin);
    xGreaterPoints = x(x>=xBest);
    xGreaterPoints = 2*(xMax-xGreaterPoints)./(xMax-xMin);
    xTrans = [xLessPoints,xGreaterPoints];
    plot(x,xTrans)

    绘图结果如下图所示:

    居中型到极大型

    4.1.3区间型化为极大型

    对于区间型的数据类型可以使用如下公式进行转换:

    1049916-20170309113552672-2048572567.jpg

    其中[d,e]为a(这里省略了下标)的最佳稳定区间。c=max{d-m,M-e},其中M和m分别为a所在列(对应一个指标)取值的最大值和最小值。
    下面是使用matlab程序将区间型化为极大型:

    %% 将区间型化为极大型
    clear
    clc
    
    %参数设置
    xMin = 0;       %设置x的最小值
    xMax = 100;     %设置x的最大值
    bestMinX = 40;  %设置最佳区间的最小值
    bestMaxX = 50;  %设置最佳区间的最大值
    plotPoints = 100;   %设置绘图点数
    %下面代码不用修改
    x = linspace(xMin,xMax,plotPoints);
    c = max((bestMinX-xMin),(xMax-bestMaxX));
    xLessBestPoints = x(x<bestMinX);
    xLessBestPoints = 1-(bestMinX-xLessBestPoints)/c;
    xEqualBestPoints = x((x>=bestMinX)&(x<bestMaxX));
    xEqualBestPoints = ones(size(xEqualBestPoints));
    xGreaterPoints = x(x>=bestMaxX);
    xGreaterPoints = 1-(xGreaterPoints-bestMaxX)/c;
    xTrans = [xLessBestPoints,xEqualBestPoints,xGreaterPoints];
    plot(x,xTrans);

    绘图结果如下图所示:

    区间型到极大型

    4.1.4定性指标的量化处理

    实际上,很多指标并不能直接就进行定量分析,大部分指标都是只能进行定性分析。那么如何将定性分析的问题转化为定量分析呢?大部分情况下我们采用的方法是采用隶属函数的方法。比如我们可以对常用的五等级评价标准(A,B,C,D,E)进行量化处理。如果我们用1-5个数字表示这五个等级的话。我们可以采用如下隶属函数进行量化(不能简单的认为这种评价是线性的)。
    对应1到3我们可以采用对数函数作为隶属函数,对于3-5我们采用偏大型柯西分布作为隶属函数。这样选取隶属函数的原因是我们通常在打分的时候认为D和E,A和B之间的实际差距并不是那么明显。而我们打分C,D之间往往代表这两个指标值差距更大。隶属函数的选择应该考虑到实际情况进行选择。我们得到隶属函数如下:

    mimetex.cgi?%0Ax=%20%5C%7B%20%7B%5B%5C%201%2B%5Calpha(x-%20%5Cbeta)%5E%7B-2%7D%20%5D%5C%20%5E%7B-1%7D,1%5Cleq%20x%5Cleq3%0A%20%5Catop%0A%20alnx%2Bb,3%5Cleq%20x%5Cleq5%7D%0A

    其中待定系数为
    mimetex.cgi?%0A%5Calpha,%5Cbeta,a,b%0A
    同时给出已知数据点
    mimetex.cgi?%0Af(5)=1,f(3)=0.8,f(1)=0.01%0A
    待定系数后,我们就可以将上面定性的分析转化为可以参与计算的定量指标值。关于matlab中函数的拟合可以参考matlab已知函数类型的拟合

    4.2 评价指标的无量纲化

    不同的指标量纲不同如果在此基础上直接进行权重确定,会使权重的确定变得非常困难,同时也会使评价模型的建立和选取的指标有直接的耦合。我们一般在确定权重之前首先进行无量纲化处理,使他们在权重的确定时不会再考虑量纲的因素。使得模型的建立和指标的选取进行解耦,让模型具有清晰的逻辑和通用性。常用的无量纲化方法有:标准差方法、极值差方法和功效数方法等。
    假设m个评价指标
    gif.latex?%0Ax_1,x_2,...,x_m%0A
    ,在此不妨假设已经进行了类型的一致化处理,并且共有n个评价系统。那么我们就得到了一个处理后的测量矩阵
    gif.latex?%0AX_%7Bn%5Ctimes%20m%7D%0A

    4.2.1标准差方法


    gif.latex?%0AX_%7Bij%7D%5E%7B'%7D%20=%20%5Cfrac%7Bx_%7Bij%7D-%5Coverline%20x_j%7D%7Bs_j%7D(i=1,2,...,n;j=1,2,...,m)%0A
    其中
    gif.latex?%0A%5Coverline%20x_j%20=%20%5Cfrac%201n%5Csum_%7Bi=1%7D%5Enx_%7Bij%7D%0A
    ,
    2%7D(j=1,2,...,m)%0A
    显然无量纲化后的测量矩阵
    gif.latex?%0AX_%7Bn%5Ctimes%20m%7D%5E%7B'%7D%0A
    的均值和均方差分别为0和1,这时指标变成了无量纲的指标,称矩阵中的值
    gif.latex?%0Ax_%7Bi,j%7D%5E%7B'%7D%0A
    为标准观测值。

    4.2.2极值差方法


    gif.latex?%0Ax_%7Bi,j%7D%5E%7B'%7D=%5Cfrac%7Bx_%7Bij%7D-m_j%7D%7BM_j%20-%20m_j%7D(i=1,2,...m)%0A
    ,其中
    gif.latex?%0AM_j=%5Cunderset%7B1%20%5Cleq%20i%5Cleq%20n%7D%7Bmax%7D%5C%7Bx_%7Bij%7D%5C%7D,m_j=%5Cunderset%7B1%20%5Cleq%20i%20%5Cleq%20n%7D%7Bmin%7D%5C%7Bx_%7Bij%7D%5C%7D(j=1,2,...,m)%0A
    .则
    gif.latex?%0Ax_%7Bij%7D%5E%7B'%7D%5Cin%20%5B0,1%5D%0A
    是无量纲的指标观测值。

    4.2.3功效系数法

    使用上面的极值差方法变换后每一列的指标中总会有一个值为0一个值为1.这样会将拉大指标值之间的差距。我们知道对于一个序列,如果每个序列中的值都减去一个小于等于序列中的最小值的值,那么序列中的各个值之间的差距会增加。相反如果将序列中的值都加上同一个数据那么它们之间的相对差距会减少。比如序列{1,2,4}的差距比较大,后面的数据都是前面的两倍,但是如果我将序列中的值都增加了1000变成了{1001,1002,1004}那么它们之间的相对差距就会减少。同样我们也可以对序列做乘除运算来改变数据之间相对的重要程度,这便是功效系数法的思想。

    gif.latex?%0Ax_%7Bij%7D%5E%7B'%7D=c+%5Cfrac%7Bx_%7Bij%7D-m_j%7D%7BM_j-m_j%7D%5Ctimes%20d(i=1,2,...,n;j=1,2,...,m)%0A
    ,其中c,d为根据对数据差距的要求所确定的常数。c表示平移量,d表示缩放量。可以看出
    gif.latex?%0Ax_%7Bij%7D%5E%7B'%7D%5Cin%20%5Bc,c+d%5D%0A

    5 综合评价模型的建立方法

    前面我们说过综合平键模型的建立其实就是建立规范化后的测量矩阵X和权重向量w的关系,即
    gif.latex?%0Ay=f(w,X)%0A

    5.1线性加权综合法

    前面我们说过最基本也是最简单的一种建模方法就是将权重直接和对应的规范化后的测量值相乘然后求和。这种建模方法叫做线性加权函数。
    gif.latex?%0Ay=%5Csum_%7Bj=1%7D%5E%7Bm%7Dw_jx_j%0A
    这种线性加权的方法在各个评价指标之间为相互独立时效果比较好。但是如果各个评价指标之间存在着信息的耦合的话,这种评价指标往往不能客观的反应实际情况。

    线性加权有如下特点:

    1. 该方法能使得各个评价指标之间作用得到线性补偿,保证综合评价指标的公平性。
    2. 该方法中权重系数对评价结果的影响明显。
    3. 当权重系数预先给定时,该方法使评价结果对应各备选方案之间的差异表现不敏感。
    4. 该方法计算简便,可操作性强,便于推广使用。

    5.2 非线性加权综合法

    用非线性函数作为综合评价模型,比如
    gif.latex?%0Ay=%5Cprod_%7Bj=1%7D%5E%7Bm%7Dx_j%5E%7Bw_j%7D%0A

    非线性加权综合法适用于各指标间有较强关联的情况。
    主要特点:

    1. 对数据要求较高,指标数值不能为0,、负数。
    2. 乘除法容易拉开评价档次,对较小数值的变动更敏感。
    3. 适用于各个指标有较强关联的情况。

    5.3动态加权综合评价方法

    上面两种方法中,权重向量w都是常数。我们知道有时候一个指标的重要程度可能和指标的取值有关。比如我们在评价一个人的时候,如果他有某种特长远超常人,那么我们可能就不太关心其他的评价指标,而将这个权重相应的增加。

    5.3.1分段变幂函数

    如果某一个评价指标一共分为K个等级,每个等级内又有不同的重要程度。这时候我们可以用如下的分段变幂函数去近似权值的变化。
    gif.latex?%0Aw_%7Bix%7D=x%5E%7B%5Cfrac1k%7D,x%5Cin%5Ba_k,b_k%5D%20(k=1,2,...,K)%0A
    其中
    gif.latex?%0Aa_k,b_k%0A
    为等级K的区间内。
    分段变幂函数如下图所示:

    分段变幂函数图像

    对应matlab代码如下:

    clear
    clc
    
    kMax = 6;   %这里设置分段数
    
    x = linspace(0.0001,1,200);
    for k = 1:kMax
        xi = x((x>1/kMax*(k-1))&(x<1/kMax*k));
        yi = xi.^(1/k);
        plot(xi,yi)
        hold on
    end
    legend('k=1','k=2','...')
    title('分段变幂函数')

    分段变幂函数中等级越高权值也越高,不同等级之间有一个明显的突变,同一等级之间不同阶段权值也不相同。需要注意分段变幂函数中,不能有值为0等变换后测量值。

    5.3.2偏大型正态分布函数

    我们知道生物增长模型中S型函数能对其很好的表达。同样这种随类别的增长权重先快速增长然后趋于平缓的模型在在动态加权的模型中也十分常见。我们可以使用偏大型正态分布函数进行描述。

    1049916-20170309113712500-2035513990.jpg

    如果也将x的取值分为K段,则
    gif.latex?%0A%5Calpha%0A
    的取值应该在第一段内,
    gif.latex?%0A%5Cdelta%0A
    的取值应该保证第K段的某测量值的权值为0.9.
    下面绘出
    gif.latex?%0A%5Calpha=0.05,%5Cdelta=0.45%0A
    时的函数曲线。

    1049916-20170309111034172-1714880161.jpg

    相关matlab代码如下:

    clear
    clc
    
    % alpha = 0.05;
    % x = 0.75;   %观察x=0.75时delta和x权值的关系
    % delta = linspace(0.1,0.5,100);
    % wX = 1-exp(-((x-alpha)./delta).^2);
    % plot(delta,wX)
    % %由图得delta约等于0.45时x的权值为0.9.
    
    alpha = 0.05;
    delta = 0.45;
    
    x=linspace(0,1,200);
    y = x;
    y(x<=alpha) = 0;
    index = (x>alpha);
    y(index) = 1-exp(-((x(index)-alpha)./delta).^2);
    plot(x,y)
    title('偏大型正态分布函数')

    5.3.3S型分布函数

    S型分布函数的模型如下:
    gif.latex?%0Aw(x)=%5C%7B%0A%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A2(%5Cfrac%7Bx-a_1%7D%7Bb_K-a_1%7D)%5E2,%20&%20a_1%5Cleq%20x%20%5Cleq%20c%20%5C%5C%0A1-2(%5Cfrac%7Bx-b_K%7D%7Bb_K-a_1%7D)%5E2,%20&%20c<x%5Cleq%20b_K%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%0A
    其中
    gif.latex?%0Ac=%5Cfrac%7B1%7D2(a_1+b_K)%0A
    ,且
    gif.latex?%0Aw(c)=0.5%0A
    。这里可以将
    gif.latex?%0Aa_1,b_K%0A
    看成图像两边的控制点。下面是
    gif.latex?%0Aa_1=0.05,b_K=1%0A
    时的函数图像。

    1049916-20170309111104938-1769759102.jpg

    对应matlab代码如下:

    clear
    clc
    
    a1 = 0.05;
    bk = 1;
    
    c = (a1+bk)/2;
    x = linspace(0,1,200);
    y = x;
    y(x<a1)=0;
    index = (x>=a1)&(x<=c);
    y(index)= 2*((x(index)-a1)/(bk-a1)).^2;
    index = (x>c)&(x<=bk);
    y(index) = 1-2*((x(index)-bk)/(bk-a1)).^2;
    plot(x,y)
    title('S型分布函数')

    6 总结

    综合评价模型的建立步骤总结如下:

    1. 选取评价指标。需要注意指标独立性和全面性。
    2. 得到测量矩阵。
    3. 对指标进行一致化处理。一般都转换成极大型。可以使用极小到极大、居中到极大、区间化极大、建立隶属函数等方法。
    4. 进行无量纲化处理。常用方法有标准差方法、极值差方法、功效系数法等。
    5. 确定权重。是固定权值还是动态加权?动态加权函数有分段变幂函数、偏大型正态分布函数、S型分布函数等。
    6. 建立综合评价模型。是线性加权还是非线性加权?
    7. 给出结论。如果对多个对象进行评价对它们进行排序,如果对单个对象进行评价给出实现程度或当前等级。

    转载于:https://www.cnblogs.com/yabin/p/6524711.html

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