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  • 超定方程

    2019-10-01 04:18:05
    根据解的存在情况,线性方程可以分为:有唯一解的恰定方程组,解不存在的超定方程组,有无穷多解的欠定方程组。 对于方程组Ax=b,A为n×m矩阵,如果A列满秩,且n>m。则方程组没有精确解,此时称方程组为超定方程组...

    根据解的存在情况,线性方程可以分为:
    有唯一解的恰定方程组, 
    解不存在的超定方程组, 
    有无穷多解的欠定方程组。

      对于方程组Ax=b,A为n×m矩阵,如果A列满秩,且n>m。则方程组没有精确解,此时称方程组为超定方程组。

    线性超定方程组经常遇到的问题是数 据的曲线拟合。对于超定方程,在MATLAB中,利用左除命令(x=A\b)来寻求它的最小二乘解;

    还可以用广义逆来求,即x=pinv(A),所得的解 不一定满足Ax=b,x只是最小二乘意义上的解。

    左除的方法是建立在奇异值分解基础之上,由此获得的解最可靠;

    广义逆法是建立在对原超定方程直接进行 householder变换的基础上,其算法可靠性稍逊与奇异值求解,但速度较快;

    独立方程个数大于独立的未知参数的个数的方程,称为超定方程,在matlab里面有三种方法求解,
    一是用伪逆法求解,x=pinv(A)*b,二是用左除法求解,x=A\b,三是用最小二乘法求解,
    x=lsqnonneg(A,b)

    (3)矩阵求逆

    行数和列数相等的矩阵称为方阵,只有方阵有逆矩阵。方阵的求逆函数为:

    B=inv(A)

    该函数返回方阵A的逆阵。如果A不是方阵或接近奇异的,则会给出警告信息。

    在实际应用中,很少显式的使用矩阵的逆。在MATLAB中不是使用逆阵x=inv(A)*B来求线性方程组Ax=B的解,

    而是使用矩阵除法运算x=A\B来求解。因为MATLAB设计求逆函数inv时,采用的是高斯消去法,而设计除法解线性方程组时,

    并不求逆,而是直接采用高斯消去法求解,有效的减小了残差,并提高了求解的速度。

    因此,MATLAB推荐尽量使用除法运算,少用求逆运算。

    (4)除法运算

    在线性代数中,只有矩阵的逆的定义,而没有矩阵除法的运算。而在MATLAB中,定义了矩阵的除法运算。

    矩阵除法的运算在MATLAB中是一个十分有用的运算。根据实际问题的需要,定义了两种除法命令:左除和右除。

    矩阵左除:

    C=A\B或C=mldivide(A,B)

    矩阵右除;

    C=A/B或C=mrdivide(A,B)

    通常矩阵左除不等于右除,

    如果A是方阵,A\B等效于A的逆阵左乘矩阵B。也就是inv(A)*B。

    如果A是一个n*n矩阵,B是一个n维列向量,或是有若干这样的列的矩阵,则A\B就是采用高斯消去法求得的方程AX=B的解。

    如果A接近奇异的,MATLAB将会给出警告信息。

    如果A是一个m*n矩阵,其中m不等于n,B是一个m维列向量,或是由若干这样的列的矩阵,

    则X=A\B是不定或超定方程组AX=B的最小二乘解。通过QR分解确定矩阵A的秩k,方程组的解X每一列最多只有k个非零元素。

    如果k<n,方程的解是不唯一的,用矩阵除法求得的最小二乘解是这种类型解中范数最小的。

    转载于:https://www.cnblogs.com/China-YangGISboy/p/6861813.html

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  • 則方程組沒有精確解,此時稱方程組為超定方程組。線性超定方程組經常遇到的問題是數 據的曲線擬合。對於超定方程,在MATLAB中,利用左除命令(x=A\b)來尋求它的最小二乘解。最小二乘法(又稱最小平方法)是一種數學優...

    ||       對於方程組Ax=b,A為n×m矩陣,如果A列滿秩,且n>m。則方程組沒有精確解,此時稱方程組為超定方程組。

    線性超定方程組經常遇到的問題是數 據的曲線擬合。對於超定方程,在MATLAB中,利用左除命令(x=A\b)來尋求它的最小二乘解。

    最小二乘法(又稱最小平方法)是一種數學優化技術。它通過最小化誤差的平方和尋找數據的最佳函數匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數據,並使得這些求得的數據與實際數據之間誤差的平方和為最小。最小二乘法還可用於曲線擬合。其他一些優化問題也可通過最小化能量或最大化熵用最小二乘法來表達

    原理

    在我們研究兩個變量(x,y)之間的相互關系時,通常可以得到一系列成對的數據(x1,y1.x2,y2... xm,ym);將這些數據描繪在x -y直角坐標系中,若發現這些點在一條直線附近,可以令這條直線方程如(式1-1)。

    949863d34e79c03b1116f1874842f0fb.png

    其中:a0、a1 是任意實數

    為建立這直線方程就要確定a0和a1,應用《最小二乘法原理》,將實測值Yi與利用(式1-1)計算值(Yj=a0+a1X)的離差(Yi-Yj)的平方和f239e3bec6d3d5c985df6fb88f7b88b7.png最小為“優化判據”。

    令:φ =f239e3bec6d3d5c985df6fb88f7b88b7.png(式1-2)

    把(式1-1)代入(式1-2)中得:

    φ =a915b1ec2220e90f72662fd187bc2b7a.png(式1-3)

    f239e3bec6d3d5c985df6fb88f7b88b7.png最小時,可用函數 φ 對a0、a1求偏導數,令這兩個偏導數等於零。

    ∑(a0 + a1*Xi - Yi)(式1-4)

    ∑Xi(a0 + a1*Xi - Yi)(式1-5)

    亦即:

    na0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)

    (∑Xi ) a0 + (∑Xi^2 ) a1 = ∑(Xi*Yi) (式1-7)

    得到的兩個關於a0、 a1為未知數的兩個方程組,解這兩個方程組得出:

    a0 = (∑Yi) / n - a1(∑Xi) / n (式1-8)

    a1 = [n∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)] / [n∑Xi2 - (∑Xi)2 )] (式1-9)

    這時把a0、a1代入(式1-1)中, 此時的(式1-1)就是我們回歸的元線性方程即:數學模型。

    在回歸過程中,回歸的關聯式不可能全部通過每個回歸數據點(x1,y1. x2,y2...xm,ym),為了判斷關聯式的好壞,可借助相關系數“R”,統計量“F”,剩余標准偏差“S”進行判斷;“R”越趨近於 1 越好;“F”的絕對值越大越好;“S”越趨近於 0 越好。

    R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) *

    在(式1-10)中,m為樣本容量,即實驗次數;Xi、Yi分別為任意一組實驗數據X、Y的數值。

    擬合

    對給定數據點{(Xi,Yi)}(i=0,1,…,m),在取定的函數類Φ 中,求p(x)∈Φ,使誤差的平方和E^2最小,E^2=∑[p(Xi)-Yi]^2。從幾何意義上講,就是尋求與給定點 {(Xi,Yi)}(i=0,1,…,m)的距離平方和為最小的曲線y=p(x)。函數p(x)稱為擬合函數或最小二乘解,求擬合函數p(x)的方法稱為曲線擬合的最小二乘法。

    1272aabf1817b5c3fc25bc796ac7cdfa.jpe用MATLAB命令

    可解得55da86ef729a50513e500df0b47831de.png

    最小二乘法的Matlab實現

    ① 一次函數線性擬合使用polyfit(x,y,1)

    ②多項式函數線性擬合使用 polyfit(x,y,n),n為次數

    擬合曲線

    x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0],

    y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。

    解:MATLAB程序如下:

    x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];

    y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];

    p=polyfit(x,y,2)

    x1=0.5:0.5:3.0;

    y1=polyval(p,x1);

    plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')

    計算結果為:

    p =0.5614 0.8287 1.1560

    即所得多項式為y=0.5614x^2+0.8287x+1.15560

    lsqcurvefit(fun,x0,x,y)

    a=nlinfit(x,y,fun,b0)

    最小二乘法在交通運輸學中的運用

    交通發生預測的目的是建立分區產生的交通量與分區土地利用、社會經濟特征等變量之間的定量關系,推算規划年各分區所產生的交通量。因為一次出行有兩個端點,所以我們要分別分析一個區生成的交通和吸引的交通。交通發生預測通常有兩種方法:回歸分析法和聚類分析法。

    回歸分析法是根據對因變量與一個或多個自變量的統計分析,建立因變量和自變量的關系,最簡單的情況就是一元回歸分析,一般式為:Y=α+βX式中Y是因變量,X是自變量,α和β是回歸系數。若用上述公式預測小區的交通生成,則以下標 i 標記所有變量;如果用它研究分區交通吸引,則以下標 j 標記所有變量。而運用公式的過程中需要利用最小二乘法來求解,上述公式中的回歸系數根據最小二乘法可得:

    其中,式中的X拔是規划年的自變量值,Y拔是規划年分區交通生成(或吸引)預測值。

    

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  • 欠定方程与超定方程

    万次阅读 2018-09-27 13:32:22
    超定方程组:方程个数大于未知量个数的方程组。 对于方程组Ra=y,R为n×m矩阵,如果R列满秩,且n&gt;m (n为方程组行数,m为未知量个数) 超定方程一般是不存在解的矛盾方程。 例如,如果给定的三点不在一条直线...

    超定方程组:方程个数大于未知量个数的方程组。

    对于方程组Ra=y,R为n×m矩阵,如果R列满秩,且n>m
    (n为方程组行数,m为未知量个数)

    超定方程一般是不存在解的矛盾方程。

    例如,如果给定的三点不在一条直线上, 我们将无法得到这样一条直线,使得这条直线同时经过给定这三个点。 也就是说给定的条件(限制)过于严格, 导致解不存在。在实验数据处理和曲线拟合问题中,求解超定方程组非常普遍。比较常用的方法是最小二乘法。形象的说,就是在无法完全满足给定的这些条件的情况下,求一个最接近的解。

    曲线拟合的最小二乘法要解决的问题,实际上就是求以上超定方程组的最小二乘解的问题。

    欠定方程组: 方程个数小于未知量个数的方程组。

    对于方程组Ra=y,R为n×m矩阵,且n<m。则方程组有无穷多组解,此时称方程组为欠定方程组。

    内点法和梯度投影法是目前解欠定方程组的常用方法。

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  • 利用超定方程的知识,在MATLAB上拟合圆,适合通信、电子等专业学习
  • 超定方程拟合方程拟合曲线的过程,该程序容易理解,操作简单
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  • 超定方程组 方程个数大于未知量个数的方程组。对于方程组Ra=y,R为n×m矩阵,如果R列满秩,且n< P>超定方程一般是不存在解的矛盾方程。例如,如果给定的三点不在一条直线上,我们将无法得到这样一条直线,...

    超定方程组  方程个数大于未知量个数的方程组。

    对于方程组Ra=y,R为n×m矩阵,如果R列满秩,且n< P>

    超定方程一般是不存在解的矛盾方程。

    例如,如果给定的三点不在一条直线上,

    我们将无法得到这样一条直线,使得这条直线同时经过给定这三个点。 也就是说给定的条件(限制)过于严格,

    导致解不存在。在实验数据处理和曲线拟合问题中,求解超定方程组非常普遍。比较常用的方法是最小二乘法。形象的说,就是在无法完全满足给定的这些条件的情况下,求一个最接近的解。

    曲线拟合的最小二乘法要解决的问题,实际上就是求以上超定方程组的最小二乘解的问题。

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    欠定方程组  方程个数小于未知量个数的方程组。

    对于方程组Ra=y,R为n×m矩阵,如果R列满秩,且n>m。则方程组有无穷多组解,此时称方程组为欠定方程组。

    内点法和梯度投影法是目前解欠定方程组的常用方法。

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