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  • 跳表
    2020-07-30 14:14:20


    二分查找底层依赖的是数组随机访问的特性,所以只能用数组来实现。不过,只需要对链表稍加改造,就可以支持类似“二分”的查找算法。而这改造之后的数据结构叫做跳表。跳表是一种各方面性能都比较优秀的动态数据结构,可以支持快速地插入、删除、查找操作,时间复杂度都是 O(logn)。Redis 中的有序集合(Sorted Set)就是用跳表来实现的。

    理解跳表

    对于单链表来讲,查找的时间复杂度为O(n)。可以通过下面方法进行优化,每两个结点提取一个结点到上一级,我们把抽出来的那一级叫做索引或索引层。
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    如果现在要查找某个结点,比如 16。可以先在索引层遍历,当遍历到索引层中值为 13 的结点时,发现下一个结点是 17,那要查找的结点 16 肯定就在这两个结点之间。然后通过索引层结点的 down 指针,下降到原始链表这一层,继续遍历。这个时候,只需要再遍历 2 个结点,就可以找到值等于 16 的这个结点了。这样,原来如果要查找 16,需要遍历 10 个结点,现在只需要遍历 7 个结点。加来一层索引之后,查找一个结点需要遍历的结点个数减少了,也就是说查找效率提高了。

    在第一级索引的基础之上,每两个结点就抽出一个结点到第二级索引。再来查找 16,只需要遍历 6 个结点了,需要遍历的结点数量又减少了。
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    以上例子优化不够明显,下面这个例子更加清洗明显。画一个包含 64 个结点的链表,按照前面的思路,建立五级索引。
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    原来没有索引的时候,查找 62 需要遍历 62 个结点,现在只需要遍历 11 个结点。所以,当链表的长度 n 比较大时,比如 1000、10000 的时候,在构建索引之后,查找效率的提升就会非常明显。


    跳表查询

    跳表这种数据结构可以快速删除、插入、查找操作,那这些操作的执行效率是多少呢?可以是用时间复杂度和空间复杂度来度量。

    时间复杂度

    跳表查询的时间复杂度比较难分析。

    把问题分解一下,先来看这样一个问题,如果链表里有 n 个结点,会有多少级索引呢?

    每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点,那第一级索引的结点个数大约就是 n/2,第二级索引的结点个数大约就是 n/4,第三级索引的结点个数大约就是 n/8,依次类推,也就是说,第 k 级索引的结点个数是第 k-1 级索引的结点个数的 1/2,那第 k级索引结点的个数就是 n/(2^k)。
    假设索引有 h 级,最高级的索引有 2 个结点。通过上面的公式,我们可以得到 n/(2^h)=2,从而求得 h=log2n-1。如果包含原始链表这一层,整个跳表的高度就是 log2n。我们在跳表中查询某个数据的时候,如果每一层都要遍历 m 个结点,那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是 O(m*logn)。

    那这个 m 的值是多少呢?按照前面这种索引结构,每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点,也就是说 m=3,为什么是 3 呢?

    假设要查找的数据是 x,在第 k 级索引中,遍历到 y 结点之后,发现 x 大于 y,小于后面的结点 z,所以通过 y 的 down 指针,从第 k 级索引下降到第 k-1 级索引。在第 k-1 级索引中,y 和 z 之间只有 3 个结点(包含 y 和 z),所以,在 K-1 级索引中最多只需要遍历 3 个结点,依次类推,每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点。
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    所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度都为O(logn),和二分查找一样。不过,因为建立了许多的索引,会占用更多的空间。

    空间复杂度

    比起单纯的单链表,跳表需要存储多级索引,肯定要消耗更多的存储空间。那到底需要消耗多少额外的存储空间呢?

    跳表的空间复杂度分析并不难,假设原始链表大小为 n,那第一级索引大约有 n/2 个结点,第二级索引大约有 n/4 个结点,以此类推,每上升一级就减少一半,直到剩下 2 个结点。把每层索引的结点数写出来,就是一个等比数列。
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    这几级索引的结点总和就是 n/2+n/4+n/8…+8+4+2=n-2。所以,跳表的空间复杂度是 O(n)。也就是说,如果将包含 n 个结点的单链表构造成跳表,我们需要额外再用接近 n 个结点的存储空间。

    有没有办法降低索引占用的内存空间呢?

    前面都是每两个结点抽一个结点到上级索引,如果每三个结点或五个结点,抽一个结点到上级索引,是不是就不用那么多索引结点了呢?
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    从图中可以看出,第一级索引需要大约 n/3 个结点,第二级索引需要大约 n/9 个结点。每往上一级,索引结点个数都除以 3。
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    通过等比数列求和公式,总的索引结点大约就是 n/3+n/9+n/27+…+9+3+1=n/2。尽管空间复杂度还是 O(n),但比上面的每两个结点抽一个结点的索引构建方法,要减少了一半的索引结点存储空间。


    跳表插入

    对于纯粹的单链表,需要遍历每个结点,来找到插入的位置。但是,对于跳表来说,我们讲过查找某个结点的时间复杂度是 O(logn),所以这里查找某个数据应该插入的位置,方法也是类似的,时间复杂度也是 O(logn)。


    跳表删除

    如果这个结点在索引中也有出现,我们除了要删除原始链表中的结点,还要删除索引中的。 因为单链表中的删除操作需要拿到要删除结点的前驱结点,然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候,一定要获取前驱结点。


    跳表索引动态更新

    当我们不停地往跳表中插入数据时,如果我们不更新索引,就有可能出现某 2 个索引结点之间数据非常多的情况。极端情况下,跳表还会退化成单链表。

    作为一种动态数据结构,我们需要某种手段来维护索引与原始链表大小之间的平衡,也就是说,如果链表中结点多了,索引结点就相应地增加一些,避免复杂度退化,以及查找、插入、删除操作性能下降。

    所以解决办法就是当我们往跳表中添加数据的时候,可以选择同时将数据添加到部分索引中,我们通过一个随机函数,来决定将这个结点插入到哪几级索引中,比如随机函数生成了值 K,那我们就将这个结点添加到第一级到第 K 级这 K 级索引中。


    跳表的缺点

    跳表虽然容易代码实现,不过跳表并没有一个现成的实现,所以在开发中,如果你想使用跳表,必须要自己实现。

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  • 跳表 java实现

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    跳表 java实现版本,内含两个java文件。原文讲解链接:https://blog.csdn.net/weixin_38073885/article/details/86690517
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