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  • 递归函数

    千次阅读 2017-08-11 11:00:12
    递归函数

    纠结了2天的递归函数,记录一下

    <php>
    function sum($n,$m){
        if($m<=$n){
            return $n;
        }
        return sum($n,$m-1)+$m;
    }
    echo sum(1,3);  // => 6
    </php>
    

    推算一下运算过程

    sum(1,3) = sum(1,2) + 3 , sum(1,2) = sum(1,1) + 2 , sum(1,1) =1

    得到了sum(1,1) =1 后,再进行倒推

    sum(1,1) =1 , sum(1,2) = 1 + 2 = 3 , sum(1,3) = 3+3=6

    展开全文
  • //用递归函数来计算N的阶乘 double factorial(int n) { double result; if(n) { printf("输入错误\n"); } else if(n==1 ||n==0) { result=1; } else { result=factorial(n-1)*n; //n=5 5-1=4 4*5...
  • 递归函数

    千次阅读 2007-03-07 21:16:00
    递归函数 [ firedy 发表于 2007-1-20 12:54:00 ]
    递归函数
    [ firedy 发表于 2007-1-20 12:54:00 ]
     

    学C数据结构时在讲栈的章节里重点提到递归函数的思想,现在我在看java时同样遇到递归的思想,所以就想整理整理一下自己的“笔记”,理一下自己的思路。

    递归的定义:递归是指在定义自身的同时又出现了对自身的调用。 如果一个函数在其定义体内直接调用自己,则称其为直接递归函数; 如果一个函数经过一系列的中间调用语句,通过其它函数间接调用自己,则称其为间接递归函数。  见名思意,递归实际上是递推与回归的结合。

    下面见一个例子,这个例子很有意思,因为在我考数据结构时且好出了这道题,我刚好在考试前复习时见道同样的题,然后我并且在考试前运行过此题目的程序。题目是:求函数F=1+1/2+1/3+……+1/n的递归出口和递归体。

    在这里先提一下递归模型:

    递归模型:
        由递归体与递归出口组成
    {
          if(递归出口)
                 (简单操作);
         else
                 (递归体);
    }

    根据题目写的c程序如下:

    /*****************************************
    求函数F=1+1/2+1/3+……+1/n
    运行环境:Turbo 2.0&&Turbo C for Windows
    Firedy
    2007-1-8
    ******************************************/

    float fun(int n)    /*递归函数*/
    {
                /*float k=1.0/n;*/
           if(n==1)         /*递归出口*/
                 return 1;   
           else
                 return fun(n-1)+1.0/n;/*k+=fun(n-1);*/  /*递归体*/
    }

    main()
    {
          int n;
          float F;
          printf("F=1+1/2+1/3+...+1/n=?/n");
          printf("/ninput n(n!=0):");
          scanf("%d",&n);
          F=fun(n);
          printf("/nF=%.3f",F);
    }

    运行结果:

     

    从中可以看出递归的优点,接着说下教材里(我使用的c数据结构教材是西电科大出版的耿国华等编著的《数据结构--C语言描述》)提到的递归算法到递归算法的转换:

    递归算法有两个特性:(1)递归算法是一种分而治之、把复杂问题分解为简单问题的求解问题方法,对求解某些复杂问题,递归算法的分析方法是有效的。  (2)递归算法的时间效率底。(计算机编程很讲究算法的效率问题,也许所以就有了需要消除递归的原因,对这方面的理解,我没有怎么去思考,毕竟目前我们为了完成题目,首先是找思维直观,容易想到的方法,而对于效率的或效益的问题,更多的是企业或更进一步的研究学习是应该很重视的一个问题,可能这也可以说是我们学校的教育与社会之间的差距吧。)

    其实,一个问题的思考,可以延伸到很多领域,研究研究是永无止境的

     
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  • Python 递归函数如果一个函数体直接或者间接调用自己,那么这个函数就称为递归函数.也就是说,递归函数体的执行过程中可能会返回去再次调用该函数.在python里,递归函数不需要任何特殊的语法,但是它需要...

    Python 递归函数

    如果一个函数体直接或者间接调用自己,那么这个函数就称为递归函数.也就是说,递归函数体的执行过程中可能会返回去再次调用该函数.在python里,递归函数不需要任何特殊的语法,但是它需要付出一定的努力去理解和创建.

    我们会以一个简单的例子开始:写一个函数求一个自然数中所有数字的和.在设计递归函数的时候,我们会寻找能把问题分解成简单的问题的方法.在这道题中,运算符%和//可以用来把一个数分成两部分:最低位和不包含最低位数字两部分.

    84d26dc69cc6f0254a8d7a09e2626830.png

    18117的数字和为:1+8+1+1+7=18.这样我们就可以分割这个数.把这个数分割成最低位7和不包含最低位数字的和1+8+1+1=11.这种分割方法给我们提供了一个算法:通过最低位n%10与n//10的数字之和相加来计算数n的数字之和.这种方法存在特殊情况:如果一个数只有一位,那么它的数字之和就是它本身.这个算法可以用递归函数实现.

    def sum_digit(n):

    """return the sum of the digit of positive integer n."""

    if n < 10:

    return n

    else:

    last = n % 10

    all_but_last = n // 10

    return sum_digit(all_but_last) + last

    函数sum_digit的定义是完整和正确的,即使sum_digit函数在自身的函数体里被调用.

    这样求一个数的数字之和的问题就被分解成了两部分:求除去最低位部分数字之和,然后加上最低位.这两个步骤全都比原问题要简单.这个函数是递归的,因为第一步的问题和原问题是相同类型的.也就是说,sum_digit的确实是我们需要去实现自然数数字求和的函数.

    85f997ade6093d59ba8a07afa290f927.png

    我们可以理解这个递归函数是怎样使用计算环境模型成功应用的.它 不需要任何新的规范.

    感谢阅读,希望能帮助到大家,谢谢大家对本站的支持!

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    递归函数(一):开篇
    递归函数(二):编写递归函数的思路和技巧
    递归函数(三):归纳原理
    递归函数(四):全函数与计算的可终止性
    递归函数(五):递归集与递归可枚举集
    递归函数(六):最多有多少个程序
    递归函数(七):不动点算子
    递归函数(八):偏序结构
    递归函数(九):最小不动点定理

      • -

    递归,是一个熟悉而陌生的概念,说它熟悉,是因为人们经常提起它,
    而说它陌生,指的是人们在实际编程中几乎不会主动使用它。

    给定一个问题,如果本质上它能看做一个调用自身的规模较小的一个子问题来求解,
    那么给出一个递归的算法解,就是很自然的。
    然而,即使是这样,编制一个递归函数也是一件令人头疼的事情。

    本系列文章的目的,可能并不局限于指出如何编写一个递归函数,
    而是期望想从递归函数开始,了解它相关的科学知识,以达到对不同领域触类旁通的效果。

    从一个简单的例子开始

    首先,我们来重温一下递归的概念,
    维基百科上是这样描述的,

    递归(recursion),在数学与计算机科学中,是指在函数的定义中使用函数自身的方法。

    我们来看一个简单的例子吧。(Haskell代码

    fact :: Int -> Int
    fact 1 = 1
    fact n = n * fact (n-1)

    在这个例子中,
    第一行fact :: Int -> Int表示了fact函数的类型,
    第二行和第三行定义了函数fact
    我们看到第三行,在对fact函数定义的时候,等式右边又出现了fact
    这样定义的函数fact是递归的。

    我们调用一下fact,来看看结果,

    fact 10
    3628800

    嗯嗯,fact就是阶乘函数。

    写递归函数的步骤

    那么,给定一个问题,我们编写一个递归函数,要如何开始呢?

    (1)递推式

    首先,我们要找到“递推式”。

    例如,在数学上阶乘的定义是,\(f(n)=n!\),这样的表述形式,不具有递推性。
    我们先要想办法把\(f(n)\)用\(f(n-1)\)表示出来。

    经过思考之后,我们可以证明,\(f(n)=n*f(n-1)\),
    于是,我们就走出了关键的第一步,得到了“递推式”。

    (2)找出终止条件

    有了“递推式”还不行,我们还需要确定递推在什么时候终止。
    我们知道\(f(1)=1\),\(f(2)=2f(1)\),\(f(3)=3f(2)\),等等,
    因此,我们只需要指定\(f(1)=1\),那么递推就会在\(f(n)\),当\(n=1\)的时候终止了。

    终止,就是不再调用规模更小的问题了。
    这时,终止条件是\(f(1)=1\)。

    (3)用数学归纳法证明解的正确性

    这一步是很重要的,有很多人都缺少证明递推式正确性的环节,
    但是,考虑到介绍数学归纳法及其扩展会占用不少篇幅,
    这里先略去,下一篇我们再回来讨论它。

    这里,我们先假定,根据“递推式”和“终止条件”,使用数学归纳法,
    我们已经证明了这样定义的\(f(n)\)就是\(n!\)。

    (4)根据递推式和终止条件,编写程序

    有了“递推式”和“终止条件”,再编写程序就水到渠成了。
    很多人一上来就开始编码,就会感觉毫无头绪。

    我们再来看下那段程序,

    fact :: Int -> Int
    fact 1 = 1
    fact n = n * fact (n-1)

    这不就是“递推式”和“终止条件”的忠实表示吗?
    我们用fact 1 = 1表示了\(f(1)=1\),
    fact n = n * fact (n-1)表示了\(f(n)=n*f(n-1)\)。

    小技巧

    我们再看个复杂一点的例子。

    在实际项目中,我们可能会遇到循环n次的场景,
    在循环过程中,我们会根据索引进行运算,然后将某些符合条件的运算放到最终的结果中。

    例如,我们选择10以内的所有偶数,

    [x|x <- [0..9], x `mod` 2 == 0]
    [0,2,4,6,8]

    使用以上列表解析(list comprehension)的方法,我们可以快速得到结果。
    但是这里,我们想要拿它来举例,介绍一个编写递归函数常用的小技巧。

    为了通用性,我们考虑循环n次,将索引传入函数fn,根据fn的返回值,将结果放入一个列表中。

    (1)困境

    根据前文介绍的编写步骤,我们需要先找到“递推式”和“终止条件”。

    “终止条件”怎么写呢?
    假如我们定义的递归函数称为myLoop,那么\(myLoop(0,fn)\)就是终止条件,它应该返回一个列表。
    但是这个列表在参数中没有,它随着递归调用的过程“积累”得到的。

    好吧,那我们看“递推式”。
    \(myLoop(n,fn)\)要用\(myLoop(n-1,fn)\)的结果计算出来,
    我们需要先用索引调用fn,然后再根据fn的返回值,放入结果列表,再继续调用\(myLoop(n-1,fn)\)。
    可是,索引从哪来呢?(n不是索引,因为索引从0开始,而n是逐渐变小的。

    这是两个典型的困难,
    其一,我们在递归的过程中“积累”了某些东西,
    其二,我们需要传递和递归过程相关的“索引”。

    (2)解法

    这时候,我们的小技巧就有用武之地了。

    我们可以编写一个辅助的递归函数,通过增加参数的办法,提高灵活性。

    例如,我们可以编写一个辅助函数myLoop',然后用myLoop'来实现myLoop

    myLoop :: Int -> (Int -> Maybe a) -> [a]
    myLoop n fn = myLoop' n 0 fn []
    
    myLoop' :: Int -> Int -> (Int -> Maybe a) -> [a] -> [a]
    myLoop' 0 i fn lst = lst
    myLoop' n i fn lst = case fn i of
      Just x -> myLoop' (n-1) (i+1) fn (lst++[x])
      Nothing -> myLoop' (n-1) (i+1) fn lst

    以上,我们为myLoop'增加了参数ilst,分别表示“索引”和“积累”的列表。
    然后,myLoop就可以用myLoop'来实现了。

    别忘了测试一下最终的结果,

    myLoop 10 (\x -> if x `mod` 2 == 0 then Just x else Nothing)
    [0,2,4,6,8]

    (3)其他考虑

    合理的利用递归函数的返回值,会减少附加参数的数量,例如,

    myLoop :: Int -> (Int -> Maybe a) -> [a]
    myLoop n fn = myLoop' n 0 fn
    
    myLoop' :: Int -> Int -> (Int -> Maybe a) -> [a]
    myLoop' 0 i fn = []
    myLoop' n i fn = case fn i of
      Just x -> x:(myLoop' (n-1) (i+1) fn)
      Nothing -> myLoop' (n-1) (i+1) fn

    但最终得到的递归函数就不是尾递归了,
    关于尾递归,我们将在后续文章中讨论它。

    参考

    维基百科 - 递归
    维基百科 - 递推关系式

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