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  • 逻辑回归模型

    2019-10-06 00:29:49
    逻辑回归模型 逻辑回归模型 - zgw21cn - 博客园逻辑回归模型1.逻辑回归模型1.1逻辑回归模型考虑具有p个独立变量的向量,设条件概率为根据观测量相对于某事件发生的概率。逻辑回归模型可表示为 (1.1)上...

    逻辑回归模型 - zgw21cn - 博客园

    逻辑回归模型

    1.逻辑模型 

    1.1逻辑回归模型

    考虑具有p个独立变量的向量clip_image002,设条件概率clip_image004为根据观测量相对于某事件发生的概率。逻辑回归模型可表示为

    clip_image006 (1.1)

    上式右侧形式的函数称为称为逻辑函数。下图给出其函数图象形式。

    clip_image008

    其中clip_image010。如果含有名义变量,则将其变为dummy变量。一个具有k个取值的名义变量,将变为k-1个dummy变量。这样,有

    clip_image012 (1.2)

    定义不发生事件的条件概率为

    clip_image014 (1.3)

    那么,事件发生与事件不发生的概率之比为

    clip_image016 (1.4)

    这个比值称为事件的发生比(the odds of experiencing an event),简称为odds。因为0<p<1,故odds>0。对odds取对数,即得到线性函数,

    clip_image018 (1.5)

    1.2极大似然函数

    假设有n个观测样本,观测值分别为clip_image020clip_image022为给定条件下得到clip_image024的概率。在同样条件下得到clip_image026的条件概率为clip_image028。于是,得到一个观测值的概率为

    clip_image030 (1.6)

    因为各项观测独立,所以它们的联合分布可以表示为各边际分布的乘积。

    clip_image032 (1.7)

    上式称为n个观测的似然函数。我们的目标是能够求出使这一似然函数的值最大的参数估计。于是,最大似然估计的关键就是求出参数clip_image034,使上式取得最大值。

    对上述函数求对数

    clip_image036 (1.8)

    上式称为对数似然函数。为了估计能使clip_image038取得最大的参数clip_image034[1]的值。

    对此函数求导,得到p+1个似然方程。

    clip_image040 (1.9)

    clip_image042,j=1,2,..,p.

    上式称为似然方程。为了解上述非线性方程,应用牛顿-拉斐森(Newton-Raphson)方法进行迭代求解。

    1.3 牛顿-拉斐森迭代法

    clip_image038[1]求二阶偏导数,即Hessian矩阵为

    clip_image045

    clip_image047 (1.10)

    如果写成矩阵形式,以H表示Hessian矩阵,X表示

    clip_image049 (1.11)

    clip_image051 (1.12)

    clip_image053。再令clip_image055(注:前一个矩阵需转置),即似然方程的矩阵形式。

    得牛顿迭代法的形式为

    clip_image057 (1.13)

    注意到上式中矩阵H为对称正定的,求解clip_image059即为求解线性方程HX=U中的矩阵X。对H进行cholesky分解。

    最大似然估计的渐近方差(asymptotic variance)和协方差(covariance)可以由信息矩阵(information matrix)的逆矩阵估计出来。而信息矩阵实际上是clip_image038[2]二阶导数的负值,表示为clip_image062。估计值的方差和协方差表示为clip_image064,也就是说,估计值clip_image066的方差为矩阵I的逆矩阵的对角线上的值,而估计值clip_image066[1]clip_image068的协方差为除了对角线以外的值。然而在多数情况,我们将使用估计值clip_image066[2]的标准方差,表示为

    clip_image070,for j=0,1,2,…,p (1.14)

    .显著性检验

    下面讨论在逻辑回归模型中自变量clip_image072是否与反应变量显著相关的显著性检验。零假设clip_image074clip_image076=0(表示自变量clip_image072[1]对事件发生可能性无影响作用)。如果零假设被拒绝,说明事件发生可能性依赖于clip_image072[2]的变化。

    2.1 Wald test

    对回归系数进行显著性检验时,通常使用Wald检验,其公式为

    clip_image078 (2.1)

    其中, clip_image080clip_image082的标准误差。这个单变量Wald统计量服从自由度等于1的clip_image084分布。

    如果需要检验假设clip_image074[1]clip_image086=0,计算统计量

    clip_image088 (2.2)

    其中,clip_image090为去掉clip_image092所在的行和列的估计值,相应地,clip_image094为去掉clip_image092[1]所在的行和列的标准误差。这里,Wald统计量服从自由度等于p的clip_image084[1]分布。如果将上式写成矩阵形式,有

    clip_image097 (2.3)

    矩阵Q是第一列为零的一常数矩阵。例如,如果检验clip_image099,则clip_image101

    然而当回归系数的绝对值很大时,这一系数的估计标准误就会膨胀,于是会导致Wald统计值变得很小,以致第二类错误的概率增加。也就是说,在实际上会导致应该拒绝零假设时却未能拒绝。所以当发现回归系数的绝对值很大时,就不再用Wald统计值来检验零假设,而应该使用似然比检验来代替。

    2.2 似然比(Likelihood ratio test)检验

    在一个模型里面,含有变量clip_image103与不含变量clip_image103[1]的对数似然值乘以-2的结果之差,服从clip_image106分布。这一检验统计量称为似然比(likelihood ratio),用式子表示为

    clip_image108 (2.4)

    计算似然值采用公式(1.8)。

    倘若需要检验假设clip_image074[2]clip_image086[1]=0,计算统计量

    clip_image110 (2.5)

    上式中,clip_image112表示clip_image114=0的观测值的个数,而clip_image116表示clip_image114[1]=1的观测值的个数,那么n就表示所有观测值的个数了。实际上,上式的右端的右半部分clip_image118表示只含有clip_image120的似然值。统计量G服从自由度为p的clip_image106[1]分布

    2.3 Score检验

    在零假设clip_image074[3]clip_image076[1]=0下,设参数的估计值为clip_image122,即对应的clip_image076[2]=0。计算Score统计量的公式为

    clip_image124 (2.6)

    上式中,clip_image126表示在clip_image076[3]=0下的对数似然函数(1.9)的一价偏导数值,而clip_image128表示在clip_image076[4]=0下的对数似然函数(1.9)的二价偏导数值。Score统计量服从自由度等于1的clip_image084[2]分布。

    2.4 模型拟合信息

    模型建立后,考虑和比较模型的拟合程度。有三个度量值可作为拟合的判断根据。

    (1)-2LogLikelihood

    clip_image130 (2.7)

    (2) Akaike信息准则(Akaike Information Criterion,简写为AIC)

    clip_image132 (2.8)

    其中K为模型中自变量的数目,S为反应变量类别总数减1,对于逻辑回归有S=2-1=1。-2LogL的值域为0至clip_image134,其值越小说明拟合越好。当模型中的参数数量越大时,似然值也就越大,-2LogL就变小。因此,将2(K+S)加到AIC公式中以抵销参数数量产生的影响。在其它条件不变的情况下,较小的AIC值表示拟合模型较好。

    (3)Schwarz准则

    这一指标根据自变量数目和观测数量对-2LogL值进行另外一种调整。SC指标的定义为

    clip_image136 (2.9)

    其中ln(n)是观测数量的自然对数。这一指标只能用于比较对同一数据所设的不同模型。在其它条件相同时,一个模型的AIC或SC值越小说明模型拟合越好。

    3.回归系数解释

    3.1发生比

    odds=[p/(1-p)]clip_image138,即事件发生的概率与不发生的概率之比。而发生比率(odds ration),即clip_image140

    (1)连续自变量。对于自变量clip_image072[3],每增加一个单位,odds ration为

    clip_image143 (3.1)

    (2)二分类自变量的发生比率。变量的取值只能为0或1,称为dummy variable。当clip_image072[4]取值为1,对于取值为0的发生比率为

    clip_image145 (3.2)

    亦即对应系数的幂。

    (3)分类自变量的发生比率。

    如果一个分类变量包括m个类别,需要建立的dummy variable的个数为m-1,所省略的那个类别称作参照类(reference category)。设dummy variable为clip_image072[5],其系数为clip_image076[5],对于参照类,其发生比率为clip_image148

    3.2 逻辑回归系数的置信区间

    对于置信度1-clip_image150,参数clip_image076[6]的100%(1-clip_image150[1])的置信区间为

    clip_image154 (3.3)

    上式中,clip_image156为与正态曲线下的临界Z值(critical value), clip_image158为系数估计clip_image160的标准误差,clip_image162clip_image164两值便分别是置信区间的下限和上限。当样本较大时,clip_image150[2]=0.05水平的系数clip_image160[1]的95%置信区间为

    clip_image168 (3.4)

    4.变量选择

    4.1前向选择(forward selection):在截距模型的基础上,将符合所定显著水平的自变量一次一个地加入模型。

    具体选择程序如下

    (1) 常数(即截距)进入模型。

    (2) 根据公式(2.6)计算待进入模型变量的Score检验值,并得到相应的P值。

    (3) 找出最小的p值,如果此p值小于显著性水平clip_image170,则此变量进入模型。如果此变量是某个名义变量的单面化(dummy)变量,则此名义变量的其它单面化变理同时也进入模型。不然,表明没有变量可被选入模型。选择过程终止。

    (4) 回到(2)继续下一次选择。

    4.2 后向选择(backward selection):在模型包括所有候选变量的基础上,将不符合保留要求显著水平的自变量一次一个地删除。

    具体选择程序如下

    (1) 所有变量进入模型。

    (2) 根据公式(2.1)计算所有变量的Wald检验值,并得到相应的p值。

    (3) 找出其中最大的p值,如果此P值大于显著性水平clip_image172,则此变量被剔除。对于某个名义变量的单面化变量,其最小p值大于显著性水平clip_image172[1],则此名义变量的其它单面化变量也被删除。不然,表明没有变量可被剔除,选择过程终止。

    (4) 回到(2)进行下一轮剔除。

    4.3逐步回归(stepwise selection)

    (1)基本思想:逐个引入自变量。每次引入对Y影响最显著的自变量,并对方程中的老变量逐个进行检验,把变为不显著的变量逐个从方程中剔除掉,最终得到的方程中既不漏掉对Y影响显著的变量,又不包含对Y影响不显著的变量。

    (2)筛选的步骤:首先给出引入变量的显著性水平clip_image170[1]和剔除变量的显著性水平clip_image172[2],然后按下图筛选变量。

    clip_image173

    (3)逐步筛选法的基本步骤

    逐步筛选变量的过程主要包括两个基本步骤:一是从不在方程中的变量考虑引入新变量的步骤;二是从回归方程中考虑剔除不显著变量的步骤。

    假设有p个需要考虑引入回归方程的自变量.

    ① 设仅有截距项的最大似然估计值为clip_image175。对p个自变量每个分别计算Score检验值,

    设有最小p值的变量为clip_image177,且有clip_image179,对于单面化(dummy)变量,也如此。若clip_image181,则此变量进入模型,不然停止。如果此变量是名义变量单面化(dummy)的变量,则此名义变量的其它单面化变量也进入模型。其中clip_image183为引入变量的显著性水平。

    ② 为了确定当变量clip_image177[1]在模型中时其它p-1个变量也是否重要,将clip_image186分别与clip_image177[2]进行拟合。对p-1个变量分别计算Score检验值,其p值设为clip_image188。设有最小p值的变量为clip_image190,且有clip_image192.若clip_image194,则进入下一步,不然停止。对于单面化变量,其方式如同上步。

    ③ 此步开始于模型中已含有变量clip_image177[3]clip_image190[1]。注意到有可能在变量clip_image190[2]被引入后,变量clip_image177[4]不再重要。本步包括向后删除。根据(2.1)计算变量clip_image177[5]clip_image190[3]的Wald检验值,和相应的p值。设clip_image196为具有最大p值的变量,即clip_image198=max(clip_image188[1]),clip_image201.如果此p值大于clip_image203,则此变量从模型中被删除,不然停止。对于名义变量,如果某个单面化变量的最小p值大于clip_image203[1],则此名义变量从模型中被删除。

    ④ 如此进行下去,每当向前选择一个变量进入后,都进行向后删除的检查。循环终止的条件是:所有的p个变量都进入模型中或者模型中的变量的p值小于clip_image172[3],不包含在模型中的变量的p值大于clip_image183[1]。或者某个变量进入模型后,在下一步又被删除,形成循环。

    posted on 2012-12-05 16:37 lexus 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏

    转载于:https://www.cnblogs.com/lexus/archive/2012/12/05/2803470.html

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  • 逻辑回归模型是金融信贷行业制作各类评分卡模型的核心,几乎80%的机器学习/统计学习模型算法都是逻辑回归模型,按照逻辑美国金融公司总结的SAS建模过程,大致总结如下:建模流程一般通用模型训练过程:1,数据下载a)...

    逻辑回归模型是金融信贷行业制作各类评分卡模型的核心,几乎80%的机器学习/统计学习模型算法都是逻辑回归模型,按照逻辑美国金融公司总结的SAS建模过程,大致总结如下:

    8acc2b66a310e438aa63582569a597bb.png

    建模流程

    一般通用模型训练过程:

    1,数据下载

    a)按照指定需求和模型要求制作driver数据集,包含字段有user_id, dep

    b)其中,空值赋默认值即:coalesce(column, default_value)

    c)从800个变量中下载过去6个月的连续数据,每张表转化为宽表下载

    2,计算变量的IV值

    a)将excel数据集转化为SAS数据集

    b)单月份的数据如:年龄、性别等可直接使用单月的值做IV计算

    c)对于6个月的数据如:每月的消费金额、消费次数等需要先做VH变换(目前VH变换的方法有36种),然后将V1-V6以及36种变换一起合起来做IV计算。

    d)按照所有变量的IV值排序,选择IV阈值(申请行为评分的IV阈值为0.02;响应模型的IV阈值为0.1),将大于阈值的字段从VH变换后的表中抽出,合并生产后续数据集(大约剩余变量个数为500~3000个)

    3,变量再选择

    89e935f24879d60d65d2b8cd90d1be7c.png

    a)使用逐步判别分析(stepdisc)是先从所有因子中挑选一个具有最显著判别能力的因子,然后再挑选第二个因子,这个因子是在第一因子的基础上具有最显著判别能力的因子,即第一个和第二个因子联合起来有显著判别能力的因子;接着挑选第三个因子,这因子是在第一、第二因子的基础上具有最显著判别能力的因子。由于因子之间的相互关系,当引进了新的因子之后,会使原来已引入的因子失去显著判别能力。因此,在引入第三个因子之后就要先检验一下各已经引入的因子是否还具有显著判别能力,如果有就要剔除这个不显著的因子;接着再继续引入,直到再没有显著能力的因子可剔除为止。用这样挑选出来的因子建立的判别函数进行判别,就能得到较高的判别准确率。通过向前选入、向后剔除或逐步选择对判别有用的定量变量来完成逐步判别分析。生产文件stepdisc_all.xls里面会将选择结果的变量保留下来(大约剩余变量个数为100~300个)

    b)使用逐步回归方法(stepwise)是将变量逐个引入模型,每引入一个解释变量后都要进行F检验,并对已经选入的解释变量逐个进行t检验,当原来引入的解释变量由于后面解释变量的引入变得不再显著时,则将其删除。以确保每次引入新的变量之前回归方程中只包含显著性变量。这是一个反复的过程,直到既没有显著的解释变量选入回归方程,也没有不显著的解释变量从回归方程中剔除为止。以保证最后所得到的解释变量集是最优的。通过此步骤会生成logistic_step_v3.1.xls的文件,在文件末尾地方可以看到精选出来的变量(大约变量个数为15~30个)

    4,进行模型报告打印

    cfad3b68af65bbd15691dd44a8f567d9.png

    模型报告目录

    a)将数据集随机分为训练和测试2个数据集,分别在每一行的结尾添加字段flag=’dev’和flag=’oot’

    b)对变量进行模型报告的打印:训练精选变量的模型,然后用测试数据集进行验证,打印模型的PSI、bivar、ks等评价指标的结果

    c)在结果中,查看P1. Final Model中的CONSISTENT值为FALSE的变量,以及ProbChiSq值较大的变量建议去掉;查看P2.CoLin中的Pearson 相关系数表,去掉相关系数大于0.4的变量;查看P4. KS Gain中的KS值;查看7.Bivar_After_Treatment中的数据,使用

    bivar_dev.xls使用快捷键ctrl+W可以生成Bivar Plot图表,将其表导入模型报告。根据以上调整去掉一些无效变量,根据Bivar Plot图表进行treatment变换,再次重复进行模型报告的打印

    5,模型变量说明和解释

    a)根据最终选取变量,以及变量变换的方法,将变量说明文档完善

    b)根据变量系数、变量逻辑和dep进行逻辑性验证,去掉不合逻辑、关联性不强的变量,再次使用模型打印报告保证总体的ks下降不大

    6,模型阈值和策略的调整

    a)根据模型报告的P4. KS Gain中的结果制定Min Score作为阈值进行模型预测

    end ...

    ==

    针对这一过程,后续会推出专门的文章进行详细说明,欢迎大家订阅咨询。

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  • 逻辑回归模型逻辑回归属于机器学习中的较为经典的模型,在很多金融专业的实证部分都会用到逻辑回归。接下来分成以下几个部分对逻辑回归模型进行介绍。1. 模型简介逻辑回归中的“逻辑”一次,并不是突出这个算法的...

    逻辑回归模型

    逻辑回归属于机器学习中的较为经典的模型,在很多金融专业的实证部分都会用到逻辑回归。接下来分成以下几个部分对逻辑回归模型进行介绍。

    1. 模型简介

    逻辑回归中的“逻辑”一次,并不是突出这个算法的逻辑性,而是单纯的从音译字而来。对于回归来说,回归本身的意义就是为连续型变量的任务,但是逻辑回归是用回归的办法进行分类。

    逻辑回归模型本身就是一个分类模型,经常用于二分类。逻辑回归属于一个较简单地模型,其本质就是:假设数据服从这个分布,然后使用极大似然估计做参数的估计。

    logistic 分布是一种连续型的概率分布,其分布函数和密度函数分别为:

    b8c6a4dea04a8227334e1837c35ccaa0.png

    其图像特征为

    ad1bc414b495be8093b109b100cbdc7a.png

    逻辑回归模型的图像F(x)中y轴表示的是概率。

    我们在利用逻辑回归的时候一般都是以二分法为例,

    6cac95634a835f45bc9e982abc4a86e3.png

    从图中我们可以看到,红色的×代表当y=1a

    cfc6c4a1358a95729b4b4b24bc9c4b0c.png

    逻辑回归还需要加一层,它要找到分类概率 P(Y=1) 与输入向量 x 的直接关系,然后通过比较概率值来判断类别考虑二分类问题。

    b6a0d922ad5f6697782098d462fc15af.png

    2.逻辑回归模型的构造

    常规情况下,回归的问题一般考虑:寻找假设函数;构造损失函数;在损失最小的情况下求得回归的参数。

    假设,我们给定数据集

    57eb2681aabbd63061647f2b2b148015.png

    第一步:先构造假设函数

    这里用到了logistics 函数,其也被成为Sigmoid,其形式为:

    ae4b0cd221eabe957d73bdd5cd7e796d.png

    Sigmoid 函数曲线如图所示:

    e4e98979db054356805b007fa984e253.png

    ff260d4d93f7e401ca6d1ff1406ba307.png

    940ec42034f5a4eeba5c1cd7ed616f1a.png

    7faebbae3014edce7958cf9a20906715.png

    89d139e67b50a679423301570ca64716.png

    f0dc4c32ba8eaddf6f8f43120aeb42d6.png

    逻辑回归最常见的模型就是二元逻辑回归,逻辑回归整体训练速度很快。在机器学习中,虽然使用支持SVM支持向量机的模型的人较多,但是相对于解决普通的分类问题,逻辑回归整体的速度比SVM快很多。

    我认为,如果想了解机器学习中的分类问题,逻辑回归是一种比较好的方法。

    当然,机器学习中的分类方法也不是只有逻辑回归的方法,除了上述提到过的支持向量机(SVM),还有决策树、神经网络、贝叶斯方法都是运用较多的方法。每个方法都有他自己的优点,后续内容中我们会接着讨论逻辑回归的应用。

    之后我们在写实证相关的论文时,可以运用到逻辑回归对于分类问题中。

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  • 爆炸性数据分析-EDA基本和逻辑回归模型:爆炸性数据分析(EDA)基础和逻辑回归模型
  • 逻辑回归模型实例

    2017-07-01 17:02:41
    逻辑回归模型实例
  • 在常见的现金贷金融风控模型中,逻辑回归模型是建模人员常用的用于用户信用评估的模型方案。在LR模型中,在特征工程阶段,经常采用WOE编码方式,因此本文简要的对逻辑回归模型中回归系数的正负性符号的理解做下理解...

    在常见的现金贷金融风控模型中,逻辑回归模型是建模人员常用的用于用户信用评估的模型方案。

    在LR模型中,在特征工程阶段,经常采用WOE编码方式,因此本文简要的对逻辑回归模型中回归系数的正负性符号的理解做下理解说明。

    首先先来看下常见的WOE编码的计算公式:

    3a44e0cee1be52cf6bd21ea7dd6c1118.png

    WOE编码方式

    逻辑回归的线性公式可以表示为:Ln(p/(1-p)) =β0 +β1*x1 +β2*x2 +β3*x3 +...+βn*xn

    其中,P是逻辑回归模型预测的负样本概率,Xn表示经过WOE编码后的特征,在风控场景下当概率P表示负样本出现的概率时,Ln(P/(1-P)表示的是负样本概率与正样本概率之比,因此假如当WOE公式是由上图中给出的形式,即每个bin下的正样本占全局正样本比值(Gi/Gt) 除以 该bin下 负样本占全局负样本的比值(Bi/Bt),那么该bin的WOE值大于0时,表明该bin更容易集中正样本,出现负样本的概率更小,所以WOE的计算方式与逻辑回归的预测目标方向相反,因此线性公式中的回归系数符号应该为负,但是如果WOE的表达式与上图中的表达式相反,即WOE的计算方式是bin下 负样本占全局负样本的比值(Bi/Bt)除以 该bin下的正样本占全局正样本比值(Gi/Gt),那么WOE计算方式与预测目标是正向的,此时回归系数符号应该为正。

    因此我们在逻辑回归模型筛选变量的过程中,需要去观察回归模型的系数变量符号是否满足要求,而且都一致,假如回归系数符号应该为负,但此时个别特征的系数出现了正符号,这种情况下说明 现有的特征体系中可能还存在着多重共线性的问题。

    306e0f7e6a33df896baba9b814d14541.png

    ​​上图中实际的逻辑回归模型预测的P表示的是负样本的概率

    如果定义woe是好比坏的话, 须要求logistic回归系数为负,确保风险趋势与业务理解一致

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    2020-09-15 15:32:23
    python逻辑回归模型
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    2019-07-25 13:40:02
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空空如也

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