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  • 二重积分

    2020-11-04 11:57:31
    二重积分1. 定义附录附录1. 二重积分 1. 定义 z=f(x,y)vol=∬Rf(x,y)dAvol=∫xminxmaxS(x)dxFor given x, S(x)=∫ymin(x)ymax(x)f(x,y)dy⇒vol=∫xminxmax∫ymin(x)ymax(x)f(x,y)dydx z=f(x,y) \quad...

    1. 定义

    z = f ( x , y ) vol = ∬ R f ( x , y ) d A vol = ∫ x m i n x m a x S ( x ) d x For given x,  S ( x ) = ∫ y m i n ( x ) y m a x ( x ) f ( x , y ) d y ⇒ vol = ∫ x m i n x m a x ∫ y m i n ( x ) y m a x ( x ) f ( x , y ) d y d x z=f(x,y) \quad \text{vol}=\iint_{R}{f(x,y)}\mathrm{d}{A} \\ \text{vol}=\int_{x_{min}}^{x_{max}}{S(x)}{\mathrm{d}x} \\ \text{For given x, } S(x)=\int_{y_{min}(x)}^{y_{max}(x)} {f(x,y)}\mathrm{d}y \\ \Rightarrow \text{vol} = \int_{x_{min}}^{x_{max}} {\int_{y_{min}(x)}^{y_{max}(x)} {f(x,y)}\mathrm{d}y} \mathrm{d}x z=f(x,y)vol=Rf(x,y)dAvol=xminxmaxS(x)dxFor given x, S(x)=ymin(x)ymax(x)f(x,y)dyvol=xminxmaxymin(x)ymax(x)f(x,y)dydx
    计算二重积分时,利用切面,将二重积分转化为两个单变量积分

    附录

    附录1. 二重积分

    z = − x 2 − y 2 + 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 − x 2 ( − x 2 − y 2 + 1 ) d y d x = π 8 z=-x^2-y^2+1 \\ \int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-x^2}}(-x^2-y^2+1)\mathrm{d}y \mathrm{d}x = \frac{\pi}{8} z=x2y2+10101x2 (x2y2+1)dydx=8π

    在这里插入图片描述

    clear
    clc
    clf
    
    inte = 0.05;
    X = 0:inte:1-inte;
    j = 1;
    for i=X
        disp(i);
        
        subplot(1,2,1);
    
        f = @(x,y,z) x.^2 + y.^2 + z - 1;
        interval = [-5 5 -5 5 0 5];
        fimplicit3(f,interval,'FaceAlpha',.8);
    
        hold on
        
        % 画切面
        f = @(x,y,z) x - i;
        interval = [0 1 0 1 0 2];
        fimplicit3(f,interval);
        
        axis([-2 2 -2 2 0 4]);
        axis vis3d
        xlabel('x轴');
        ylabel('y轴');
        zlabel('z轴');
        
        j = j + 1;
    %     if (j ~= length(X))
            hold off
    %     end
        
        subplot(1,2,2);
        % -1 <= x <= 1, -1 <= y <= 0 的积分
        XA = i:0.01:i+inte;
        YA = 0:0.01:1;
        [XAA, YAA] = meshgrid(XA, YA);
        ZAA = - XAA.^2 - YAA.^2 + 1;
        ZAA(1,1) = 0;
        meshz(XAA,YAA,ZAA);
        
        hold on
    
        axis([-2 2 -2 2 0 4]);
        axis vis3d
        xlabel('x轴');
        ylabel('y轴');
        zlabel('z轴');
        
        M(j) = getframe;
    
    end
    
    % movie2gif(M, 'iint.gif', 'LoopCount', 0, 'DelayTime', 0);
    
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  • 二重积分、三重积分

    万次阅读 多人点赞 2018-06-10 00:02:44
    二重积分二重积分的现实(物理)含义:面积 × 物理量 = 二重积分值; 举例说明:二重积分的现实(物理)含义: 二重积分计算平面面积,即:面积 × 1 = 平面面积 二重积分计算立体体积,即:底面积 × 高...

    二重积分:

    二重积分的现实(物理)含义:面积 × 物理量 = 二重积分值;
    举例说明:二重积分的现实(物理)含义:

    1. 二重积分计算平面面积,即:面积 × 1 = 平面面积
    2. 二重积分计算立体体积,即:底面积 × 高 = 立体体积
    3. 二重积分计算平面薄皮质量,即:面积 × 面密度 = 平面薄皮质量

    二重积分的定义式:
    ∬ D f ( x , y ) d σ \iint_Df(x,y)d\sigma Df(x,y)dσ其中
    x x x y y y叫做积分变量, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)叫做被积函数, d σ d\sigma dσ叫做面积元素, D D D叫做积分区域

    二重积分的表达形式:
    1、直角坐标形式: ∬ D f ( x , y ) d x d y \iint_Df(x,y)dxdy Df(x,y)dxdy其中 d x d y 叫 做 直 角 坐 标 系 中 的 面 积 元 素 dxdy叫做直角坐标系中的面积元素 dxdy
    2、极坐标系形式: ∬ D f ( ρ cos ⁡ θ , ρ sin ⁡ θ ) ρ d ρ d θ \iint_Df(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho d\theta Df(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ其中 ρ d ρ d θ \rho d\rho d\theta ρdρdθ叫做极坐标系中的面积元素

    二重积分的计算法:将二重积分转化为二次积分计算
    1、在直角坐标系下, f ( x , y ) 中 x 的 取 值 区 间 为 [ x 0 , x 1 ] , 则 可 推 到 出 y 的 取 值 区 间 为 [ g ( x 0 ) , g ( x 1 ) ] f(x,y)中x的取值区间为[x_0,x_1],则可推到出y的取值区间为[g(x_0),g(x_1)] f(x,y)x[x0,x1]y[g(x0),g(x1)],则有 ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∫ x 0 x 1 d x ∫ g ( x 0 ) g ( x 1 ) f ( x , y ) d y \iint_Df(x,y)dxdy = \int_{x_0}^{x_1}dx\int_{g(x_0)}^{g(x_1)}f(x,y)dy Df(x,y)dxdy=x0x1dxg(x0)g(x1)f(x,y)dy
    反之,若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)中y的取值区间为[y_0,y_1],则可推到出x的取值区间为 [ g ( y 0 ) , g ( y 1 ) ] [g(y_0),g(y_1)] [g(y0),g(y1)],则有 ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∫ y 0 y 1 d y ∫ g ( y 0 ) g ( y 1 ) f ( x , y ) d x \iint_Df(x,y)dxdy = \int_{y_0}^{y_1}dy\int_{g(y_0)}^{g(y_1)}f(x,y)dx Df(x,y)dxdy=y0y1dyg(y0)g(y1)f(x,y)dx

    2、在极坐标系下, f ( ρ cos ⁡ θ , ρ sin ⁡ θ ) f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta) f(ρcosθ,ρsinθ) θ \theta θ的取值范围为 [ θ 0 , θ 1 ] [\theta_0,\theta_1] [θ0,θ1], ρ \rho ρ的取值范围为 [ ρ 0 , ρ 1 ] [\rho_0, \rho_1] [ρ0,ρ1],则有 ∬ D f ( ρ cos ⁡ θ , ρ sin ⁡ θ ) ρ d ρ d θ = ∫ θ 0 θ 1 d θ ∫ ρ 0 ρ 1 f ( ρ cos ⁡ θ , ρ sin ⁡ θ ) ρ d ρ \iint_Df(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho d\theta = \int_{\theta_0}^{\theta_1}d\theta\int_{\rho_0}^{\rho_1}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho Df(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ=θ0θ1dθρ0ρ1f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ

    三重积分:

    三重积分的现实(物理)含义:体积 × 物理量 = 三重积分值;
    举例说明:

    1. 三重积分计算立体体积,即:体积 × 1 = 立体体积
    2. 三重积分计算立体质量,即:体积 × 体密度 = 立体质量

    三重积分的定义式:
    ∭ Ω f ( x , y , z ) d v \iiint_\Omega f(x,y,z)dv Ωf(x,y,z)dv其中 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)叫做被积函数, d v dv dv叫做体积元素, Ω \Omega Ω 叫做积分区域

    三重积分的表达形式:
    1、直角坐标形式:
    ∭ Ω f ( x , y , z ) d x d y d z \iiint_\Omega f(x,y,z)dxdydz Ωf(x,y,z)dxdydz其中 d x d y d z dxdydz dxdydz叫做直角坐标系的体积元素
    2、柱面坐标系形式:
    ∭ Ω f ( ρ cos ⁡ θ , ρ sin ⁡ θ , z ) ρ d ρ d θ d z \iiint_\Omega f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,z)\rho d\rho d\theta dz Ωf(ρcosθ,ρsinθ,z)ρdρdθdz与定义式的关系为 { x = ρ cos ⁡ θ y = ρ sin ⁡ θ z = z d v = ρ d ρ d θ d z \left\{ \begin{array}{c}x = \rho \cos \theta \\ y = \rho \sin \theta \\ z = z \\dv = \rho d\rho d\theta dz\end{array}\right. x=ρcosθy=ρsinθz=zdv=ρdρdθdz
    3、球面坐标系形式:
    ∭ Ω f ( r sin ⁡ ψ cos ⁡ θ , r sin ⁡ ψ sin ⁡ θ , r cos ⁡ ψ ) r 2 sin ⁡ ψ d r d ψ d θ \iiint_\Omega f(r\sin\psi\cos\theta,r\sin\psi\sin\theta,r\cos\psi)r^2\sin\psi dr d\psi d\theta Ωf(rsinψcosθ,rsinψsinθ,rcosψ)r2sinψdrdψdθ与定义式的关系为 { x = r sin ⁡ ψ cos ⁡ θ y = r sin ⁡ ψ sin ⁡ θ z = r cos ⁡ ψ d v = r 2 sin ⁡ ψ d r d ψ d θ \left\{ \begin{array}{c}x = r\sin\psi\cos\theta \\ y = r\sin\psi\sin\theta \\ z = r\cos\psi \\dv = r^2\sin\psi dr d\psi d\theta\end{array}\right. x=rsinψcosθy=rsinψsinθz=rcosψdv=r2sinψdrdψdθ其中

    • r是图形到原点的距离
    • ψ \psi ψ是图形与z轴的角度,原点为顶点
    • θ \theta θ是图形与 x o y xoy xoy面投影的夹角,原点为顶点

    三重积分的计算法:
    1、将三重积分转化为三次积分计算:
    在直角坐标系下: f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)中的z的取值范围可以被 x x x y y y表示为 [ z 0 ( x , y ) , z 1 ( x , y ) ] [z_0(x,y),z_1(x,y)] [z0(x,y),z1(x,y)],在 x x x y y y平面上, y y y的取值范围可以被 x x x表示为 [ y 0 ( x ) , y 1 ( x ) ] [y_0(x), y_1(x)] [y0(x),y1(x)] x x x的取值范围可以表示为 [ x 0 , x 1 ] [x_0, x_1] [x0,x1],则有 ∭ Ω f ( x , y , z ) d v = ∫ x 0 x 1 d x ∫ y 0 ( x ) y 1 ( x ) d y ∫ z 0 ( x , y ) z 1 ( x , y ) f ( x , y , z ) d z \iiint_\Omega f(x,y,z)dv = \int_{x_0}^{x_1}dx\int_{y_0(x)}^{y_1(x)}dy\int_{z_0(x,y)}^{z_1(x,y)}f(x,y,z)dz Ωf(x,y,z)dv=x0x1dxy0(x)y1(x)dyz0(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

    2、将三重积分转化为一个二重积分和一个单积分
    在直角坐标系下: f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)中的 z z z的取值范围为 [ z 0 , z 1 ] [z_0,z_1] [z0,z1] x x x y y y所组成的区域可以表示为区域 D D D,则有: ∭ Ω f ( x , y , z ) d v = ∫ z 0 z 1 d z ∬ f ( x , y , z ) d x d y \iiint_\Omega f(x,y,z)dv = \int_{z_0}^{z_1}dz\iint f(x,y,z)dxdy Ωf(x,y,z)dv=z0z1dzf(x,y,z)dxdy

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    第六章 二重积分

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    1. 内容要点

    1.2. 二重积分的概念和几何意义

    在这里插入图片描述

    3. 性质

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    4. 计算

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    2. 重点题型

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  • 二重积分.xmind

    2021-08-04 15:11:27
    二重积分.xmind
  • 积分域边界曲线为参数方程的二重积分的计算

    万次阅读 多人点赞 2017-10-07 23:32:08
    积分域边界曲线为参数方程的二重积分的计算 1,此题来源于李永乐复习全书(数学一,2018版本)二重积分章节的某一例题,提出了在计算二重积分的过程中,当积分域的边界曲线为参数方程时的二重积分的一种常用解法思想...
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    1,此题来源于李永乐复习全书(数学一,2018版本)二重积分章节的某一例题,提出了在计算二重积分的过程中,当积分域的边界曲线为参数方程时的二重积分的一种常用解法思想。(更好的阅读体验,请移步我的 个人博客)
     
    2,题目如下图,(可能在红色部分理解有些困难):
    题目
     
    3,对于本题的解释如下:
    解答
     
    4,如有不妥或你有好的见解之处还请多多指教,(联系18395561365艾特163.com,艾特换成@)。
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  • 二重积分》.xmind

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