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  • 傅里叶拉普拉斯z变换
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    2021-07-13 00:47:59

    为什么要读书?

    为什么要读书?

    书本里,有几千年的哲学观点、有几百年的科学规律、几十年的技术总结。

    多读书,可以帮助看明白这个世界,看明白人。

    时域、频域、s域、z域

    大学《信号与系统》讲了四种域:时域、频域、s域、z域。

    本质上,频域、s域、z域,都是从时域变换到频域。

    时域:

    连续信号:x(t)

    离散信号:x[n]

    频域:

    连续信号:X(jw)

    离散信号:X(e^jw)

    转换关系

    时域与频域:傅里叶变换

    时域与s域:拉普拉斯变化

    时域与z域:z变换

    频域与s域:jw = s

    频域与z域:e^jw = z

    为何傅里叶变换?

    为什么时域要变化到频域?

    当信号从时域变换到频域后。可以观察到很多时域看不到的现象。特别是很多在时域看似不可能的数学操作,在频域反而so easy࿰

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    作者:徐北熊
    链接:https://www.zhihu.com/question/22085329/answer/103926934
    来源:知乎
    著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。
     

    第一次回答一个跟自己的专业相关的题目。

    首先,为什么要进行变换?因为很多时候,频率域比时域直观得多。

    傅里叶级数和傅里叶变换,表明时域的信号可以分解为不同频率的正弦波的叠加。而如果我们把两个没有公共频率成分的信号相加,一同发送。在接收端接收到之后,用滤波器把两个信号分开,就可以还原出发送的两个信号。这就是通信过程的实质。

    而在这个过程中,发送端发送出去的信号的最大频率和最小频率是否在接收端的带通滤波器的上下边界频率之内?如果超出了滤波器的频率范围,接收端接收到的信号就会丢失一部分信息,接收端接收到的消息就会有错误。
    但这个问题从时域是很难看出来的,不过,从频率域就一目了然。

    因此傅里叶变换得到了广泛应用,它的地位也非常重要。

    然而,可以进行傅里叶变换的信号似乎不那么够用,傅里叶变换的收敛有一个狄利克雷条件,要求信号绝对可积/绝对可和。
    为了使不满足这一条件的信号,也能读出它的“频率”,拉普拉斯变换和Z变换,对“频率”的含义做出了扩充,使得大多数有用信号都具有了对应的“频率”域表达式,方便了对各个器件的设计。

    =====================================

    接下来一个问题,傅氏变换、拉氏变换、Z变换之间到底有什么关系?

    首先,傅里叶变换粗略分来包括连续时间傅里叶变换(CTFT)、离散时间傅里叶变换(DTFT)。
    CTFT是将连续时间信号变换到频域,将频率的含义扩充之后,就得到拉普拉斯变换。
    DTFT是将离散时间信号变换到频域,将频率的含义扩充之后,就得到Z变换。

    这里解释一下,很多教材对于频率的含义没有明确规定,由于CTFT和DTFT的形式分别为 X\left( j\omega \right)X\left( e^{j\omega} \right) ,因此很多人误将频率理解为 j\omegae^{j\omega}
    但事实上我们在绘制频谱图的时候,取的自变量都是 \omega ,这样才能画出函数图像。否则CTFT和DTFT都将变成复平面上变化的函数,无法画出函数图像了。
    而且我们日常用到频率这一概念时所说的 f ,都是 f=\frac{\omega}{2\pi} .其对应的角频率恰恰是实数 \omega ,而不是复数 j\omegae^{j\omega}
    因此,我们所说的频率指的应当是 \omega 而不是 j\omegae^{j\omega}

    1、连续时间傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系
    连续时间傅里叶变换的公式是:\int_{-\infty}^{\infty } x(t)e^{-j\omega t} dt,这里的\omega是实数。
    傅里叶变换要求时域信号绝对可积,即\int_{-\infty }^{\infty } \left| x(t) \right| dt<\infty
    为了让不符合这个条件的信号,也能变换到频率域,我们给x(t)乘上一个指数函数e^{-\sigma t}\sigma为(满足收敛域的)任意实数。
    可以发现,x(t)e^{-\sigma t}这个函数,就满足了绝对可积的条件,即\int_{-\infty }^{\infty } \left| x(t)e^{-\sigma t} \right| dt<\infty

    关于为什么 x\left( t \right)e^{-\sigma t} 满足绝对可积条件,这里提一下,感性地说,我们知道负指数函数随t的增大,趋于零的速度是所有函数中最快的,这也是为什么我们描述某个现象暴涨的时候会说指数上升。因此大多数一般的函数 x\left( t \right) 乘上某个负指数函数之后,一定绝对可积。
    用更加严谨的数学表达,对于大多数 x(t)\exists \sigma\in \Re,使得 \lim_{t \rightarrow \infty}{e^{-\sigma t}}\lim_{t \rightarrow \infty}{x\left( t \right)} 的高阶无穷小。即 \lim_{t \rightarrow \infty}{\frac{e^{-\sigma t}}{x\left( t \right)}}=0 。因此在 e^{-\sigma t} 的压迫下, x(t)e^{-\sigma t} 就满足了绝对可积的条件。后文DTFT中的绝对可和条件与此类似,后文不再赘述。

    于是这个新函数的傅立叶变换就是:\int_{-\infty }^{\infty } x(t)e^{-\sigma t} e^{-j\omega t} dt
    化简得\int_{-\infty }^{\infty } x(t)e^{-(\sigma +j\omega )t}
    显然\sigma +j\omega是一个复数,我们把这个复数定义为一个新的变量——复频率,记为s。
    于是便得到了拉普拉斯变换的公式:\int_{-\infty }^{\infty } x(t)e^{-st} dt

    拉普拉斯变换解决了不满足绝对可积条件的连续信号,变换到频率域的问题,同时也对“频率”的定义进行了扩充。
    所以拉普拉斯变换与连续时间傅里叶变换的关系是:
    拉普拉斯变换将频率从实数推广为复数,因而傅里叶变换变成了拉普拉斯变换的一个特例。
    当s为纯虚数时,x(t)的拉普拉斯变换,即为x(t)的傅里叶变换。

    从图像的角度来说,拉普拉斯变换得到的频谱是一个复平面上的函数,(为方便作图,这里只给出了拉氏变换的幅度谱和傅氏变换的幅度谱的关系。相位谱具有类似的关系。)

    而傅里叶变换得到的频谱,则是从虚轴上切一刀,得到的函数的剖面。

     

    2、离散时间傅里叶变换(DTFT)与Z变换的关系
    DTFT的公式是\sum_{n=-\infty }^{\infty }{x[n]e^{-j\omega n} },这里的\omega是连续变化的实数。
    同样的,DTFT需要满足绝对可和的条件,即\sum_{n=-\infty }^{\infty }{\left| x[n] \right| } <\infty
    为了让不满足绝对可和条件的函数x[n],也能变换到频率域,我们乘一个指数函数a^{-n}a为(满足收敛域的)任意实数。
    则函数x[n]a^{-n}的DTFT为:\sum_{n=-\infty }^{\infty }{x[n]a^{-n}e^{-j\omega n} }
    化简得:\sum_{n=-\infty }^{\infty }{x[n](a\cdot e^{j\omega })^{-n} }
    显然,a\cdot e^{j\omega }是一个极坐标形式的复数,我们把这个复数定义为离散信号的复频率,记为z。
    则得到Z变换的公式:\sum_{n=-\infty }^{\infty }{x[n]z^{-n} }

    关于这里为什么对x[n]乘以 a^{-n} 而不是像拉氏变换中乘以 e^{-\sigma n} ,主要是由离散序列的DTFT的周期性决定的。如果对离散序列进行拉氏变换,将 \omega 映射到虚轴上,则得到的变换函数是在虚轴方向上周期变化的函数,这样就没有充分利用DTFT的周期性。
    而Z变换令 z=a\cdot e^{j\omega} ,则当a=1,即 z=e^{j\omega} 时,随着 \omega-\infty+\infty 变化,z在复平面中的单位圆上以 2\pi 为周期变化,如此恰能充分利用DTFT的周期性进一步简化我们的计算。

    Z变换解决了不满足绝对可和条件的离散信号,变换到频率域的问题,同时也同样对“频率”的定义进行了扩充。
    所以Z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)的关系是:
    Z变换将频率从实数推广为复数,因而DTFT变成了Z变换的一个特例。
    当z的模为1时,x[n]的Z变换即为x[n]的DTFT。

     

    从图像的角度来说,Z变换得到的频谱,是一个复平面上的函数,而DTFT得到的频谱,则是沿着单位圆切一刀,得到的函数的剖面,从负实轴切断展开的图像。(为方便作图,这里只给出了Z变换的幅度谱和傅氏变换的幅度谱的关系。相位谱具有类似的关系。)

     

     

    作者:Heinrich
    链接:https://www.zhihu.com/question/22085329/answer/20258145
    来源:知乎
    著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。
     

    这三种变换都非常重要!任何理工学科都不可避免需要这些变换。

    这三种变换的本质是将信号从时域转换为频域。傅里叶变换的出现颠覆了人类对世界的认知:世界不仅可以看作虽时间的变化,也可以看做各种频率不同加权的组合。举个不太恰当的例子:一首钢琴曲的声音波形是时域表达,而他的钢琴谱则是频域表达。

    三种变换由于可以将微分方程或者差分方程转化为多项式方程,所以大大降低了微分(差分)方程的计算成本。
    另外,在通信领域,没有信号的频域分析,将很难在时域理解一个信号。因为通信领域中经常需要用频率划分信道,所以一个信号的频域特性要比时域特性重要的多。

    具体三种变换的分析(应该是四种)是这样的:

    傅里叶分析包含傅里叶级数与傅里叶变换。傅里叶级数用于对周期信号转换,傅里叶变换用于对非周期信号转换。
    但是对于不收敛信号,傅里叶变换无能为力,只能借助拉普拉斯变换。(主要用于计算微分方程)
    而z变换则可以算作离散的拉普拉斯变换。(主要用于计算差分方程)

    从复平面来说,傅里叶分析直注意虚数部分,拉普拉斯变换则关注全部复平面,而z变换则是将拉普拉斯的复平面投影到z平面,将虚轴变为一个圆环。(不恰当的比方就是那种一幅画只能通过在固定位置放一个金属棒,从金属棒反光才能看清这幅画的人物那种感觉。)

     

    展开全文
  • 本文介绍了在实际工程中常用到的傅里叶变换和Z变换之间的关系、各自的意义等内容。
  • 好了,我们终于把连续信号的傅里叶变换变成了离散信号的傅里叶变换,写写看 哎呀,一不小心把Z变换的公式也写出来了,原来搞了半天,不就是傅里叶变换的离散形式么. 最后总结一下 数学分析工具就是这样,当出现解决不了的...

    作者丨DBinary@知乎

    来源丨https://www.zhihu.com/question/22085329/answer/774074211

    编辑丨极市平台

    642938c15ff80c5c6030539907bee223.png

    作为一个资深信号狗,必须强答一波这个问题,想当年也是被一堆变换公式折磨的要死要活的,多年过去了,用的多了发现也就是那么回事,尽管其内部的数学推论是复杂的(其实也就那样),但真的要说,仍然可以用最简单的几句话和最通俗易懂的语言把它的原理和作用讲清楚。

    既然要讲,我就从最基础的东西开始说一说,首先我们先来认识下三角函数,要说三角函数这个东西,我们首先要来说说弧度,什么是弧度呢,你可以在纸上画一个圆,选取圆的一段边,边长和这个圆半径的比值,就是该边与圆心对应夹角的弧度,不好理解是不是,没关系,看个图你就懂了。

    6ce9614a9f251ab577fb37f6e7e031f6.gif

    弧度的单位是rad,你会发现,所有的圆边长和半径的比值都是2πRad,而π是一个无限不循环的常数,它约等于3.1415926,可以发现弧度和角度是一个对应的关系,如果按角度制而言绕圆一周是360°,弧度制而言,就是2π了

    现在,我们引入另一个在信号处理中极为极为极为重要的一个函数,三角函数,之所以叫做三角函数,是因为它的计算方式和直角三角密切相关

    654f691b6f4fb5a2fadf5ca514721cfe.png

    三角函数又常常叫正弦函数常用的主要有sin和cos两种,在高中的书本上,常常叫它们正弦函数和余弦函数,但实际在使用中,不管是sin还是cos都常常被统称为正弦函数,看上面的直角三角形, 以sin函数为例,关于这个函数的求法,可以用下面的公式来表述

    275a35f65338aa6cec26f7809718ccdc.png

    也就是说sin角a的值,等于其对应直角三角形的对边比斜边,实际上我们常常用 ccb5f9710c20c3fc847e34acf81eb495.png

    来表示这个正弦函数,而 bb90820c4285be68117926f5009402f6.png则表示某一弧度,如果你把这个三角形画在一个二维坐标系的圆上面,比如下面的这种形式

    678aade13d252cc56f8b1e2ed1b99091.png

    那么 8011dc60ab8798d51a965ae07225dfdd.png,当然,这个时候,正弦值还仅仅是一个"正弦值",现在你可以开始想象假如圆上的这个点现在开始动了起来,并开始绕圆逆时针旋转, 56738d1b13ec19ee9376fa1719bda0c5.png的值会如何变化呢?下面的图会告诉你答案

    eb79197133535764de31fbbbfd54de85.gif

    图像来自Imgur

    显然的,当我们引入动态的概念后,正弦函数随之而动,从一个定值变成了一个波,在信号处理中,我们称之为正弦波,高中的课本会告诉你正弦函数的性质和和差化积积化和差之类的公式,而我会告诉你正弦函数和其所对应的正弦波估计是信号处理中最重要最常用没有之一的重要工具

    到这里既然我们说到波了,那么就不得不提几个问题和其对应的概念,现在你再看看上图,如果我们需要描述一个正弦波是不是需要下面几个问题,而这个问题的答案,对应了几个概念。

    • 这个点围绕的圆到底有多大---->波幅

    • 这个点旋转的速度有多快---->角速度--->频率

    • 这个点最初的位置在哪里---->相位

    当然,如果我们描述正弦波只能用上面的文字来说,未免显得不够专业,于是乎,我们用一个更加通用的公式来描述正弦波

    c8cb05450520d204a8c353d5f29f38a1.png

    其中,A表示振福,A越大,振福越大.

    outside_default.png表示角速度,当然,角速度和频率cd0c9f47c6b2a0ca9706c3617176c0db.png是对应关系,所以信号处理中常常也用角频率这种俗语来描述

    161eb83c4a0d5bccfb71438bfa153024.png表示相位,sin和cos两个正弦函数的差别其实也仅仅是相位不同

    outside_default.png是这个正弦波的偏移,你可以理解为这个波在y轴上如何的上下移动,在信号处理中,这个会被统一到直流分量中(频率为0的波的波幅)

    科普完上面的概念之后,要说傅里叶变换是怎么回事其实已经很容易了,现在我们来看傅里叶说过的一句话

    “任何”周期信号都可以用一系列成谐波关系的正弦曲线来表示。

    我们先不讨论这句话的适用条件(狄里赫利条件),这句话简直牛逼大了,这表示下面这些信号

    de9373233c4e5f9182f04ef0701f62e2.png

    全部可以用下面这个式子来表示

    80aecb2dae6ab6c6667849abefb1f0cc.png(式1.0)

    如果看不明白没关系,下面这张图能让你看个清楚,如何用正弦波组成一个近似的方波

    e324ab12f166562b06bba85458df3b2f.gif

    图像来自wiki百科

    那么,有什么意义呢,要知道,如果可以将信号分解为正弦函数的累加和,不就等于知道了这个信号是由哪些频率的正弦波构成了的么,同时,我们还能知道对应频率的波在信号中的能量和相位信息。

    举个很简单的声学例子,如果我们直接看一段声音信号的波形图,我们很难看出他是男声还是女声(别说男声的嗓门比较大波幅宽,河东狮吼了解下)但是从频域中我们就能够很容易分辨出来,毕竟女声的频域中,高频的能量占比会比较高

    再举个很简单的图形学例子,如果把一张图像做频域分析,图像的低频代表着轮廓信息,高频代表着细节信息,相位代表位置信息,你要是想让图像变模糊,简单,把高频的能量压下来就行了,想让图像变尖锐,高频能量加上去就行了.

    那么问题又来了,已知aa6c9e6ced1a14e55179c9c4a1c3bcd4.png我们如何把它分解为

    43f80637a1a9c4bdf6f51dce9c26ddff.png

    的形式呢,实际上傅里叶变换需要解决的就是这一点,它的最终目的就是要将信号分解为上面这样的形式,好让我们把别通频率的正弦波信息给剥离出来。

    要说这个,我们就不得不谈谈三角函数的正交性了。

    首先我们知道,对正弦波正无穷到负无穷内进行积分,其结果必定是0(主值积分,取周期)

    所以根据三角函数的积化和差公式,下面的推论都是成立的

    d551457637b2c57a4de34b18b107e35c.png

    这导致了一个很重要的概念。

    不同频率的正弦波相乘,对其周期积分后,其结果是0!

    (我知道有人肯定会说,作者你胡说八道, 65e9ed5d57274f03c479069eb68ae4ef.png怎么会是0,老师告诉我它明明是发散的,你又忽悠我,关于这点我要说明一下,首先你的老师没说错,不过我也没有忽悠你,首先在大学高数求极限那些知识中,这个函数确实积分后是发散的,这个发散的具体原因是建立在 dead19b7287fbcb0191f5e89d0fd9624.png这种情况下的,也就是我们正常说的无穷积分,但是如果按这种玩法,基本上大半的信号处理函数都没法玩了,因此在信号处理的公式中比如傅里叶变换,默认都以柯西主值积分作为钦定的积分方式,打个比方定义0fc27e39e5bd9d561af93ca513bafc4b.png这种情况下,负无穷到正无穷的积分不就是0了么,所以这里我说明一下,傅里叶变换中使用的是柯西主值积分,整个无穷区间取周期倍)

    这个概念我们又叫做波的相干性,比如给你一段信号,问你信号里有没有100HZ频率的正弦波信号,怎么办?简单,把这个信号和100hz的正弦波信号相乘,然后对其周期内积分,如果结果不是0,那么这个信号就含有100HZ的信号。

    那么剩下的问题就是如何求得该频率正弦波对应的幅度和相位了,实际上就是求式1.0的0b7fb9c35df1ca3231b554d70378d236.png和 14692326913ec2153b949fbe651a2eef.png。下面我要甩点公式了,如果感到不适,可以选择跳过

    利用三角函数的变换公式,(式1.0)可变形为

    411bf382061139d77c296f8fba947a58.png

    568ef23dc4fdd0b39254a08e997bf5e2.png 那么,上式变为

    93bee23fc6d08a49eca553a2a00749f5.png

    现在,让我们正式的引入正交性的性质,还记得检波手段么,这里,我们假设对e35749452aeaec2df539e536607bccd3.png801caea4bde6851c24cb125c3c81e4a8.png进行检波(说人话就是乘起来,然后为了方便计算对其在一个周期内积分),那么就有

    6db5a820ef0000f6489b67dea52f17c3.png

    假设f(x)中含有 outside_default.png角频率的正弦波系数为9b72070244634e6c6dc726c53b7d3168.png,那么根据三角函数的正交性,上式就有

    4b2237d1e62eb02a24c31acb4001a44b.png

    为什么会这样?你想啊,别的频率的波积分后全变0了,不就是剩下6473724b92cc7df6d104dcda7e376ebe.png频率一样的情况了么。因此

    18632691ba4c5310f196df60927d2731.png

    进一步计算,可得

    162548c8bf0e1bff637e67e0227922d7.png

    同样,outside_default.png也可以使用相同的方式进行推导。

    因此,通过 outside_default.png我们可以知道这个波的波幅与相位:

    e5bac421e3448c00a54a69397e36c3cf.png

    好了,这个基本就是傅里叶变换中最核心的傅里叶级数了。

    不是很复杂吧,你是不是很疑惑,为什么长得和傅里叶变换的标准公式差的有点多呢,标准公式不是长得是这样么:

    21843c5217c902f80375cb0192ff1068.png

    没关系,看看我们的欧拉公式

    76006e58c526f1df0634765b36d4467c.png

    然后把欧拉公式代入傅里叶变换

    f3fd0c39d4e54666b134a4ac2372b49e.png

    你看,最终还不是换汤不换药,无非就是多了个复数,这个复数其实没有别的其它意义,作用就是在计算中和cos区分开来,扯到复平面上绕圈圈?没必要!

    现在傅里叶变换讲完了,我们来看看拉普拉斯变换。

    真的,傅里叶搞懂了拉普拉斯变换基本上一句话就能讲完,如果不扯点傅里叶变换的东西,我估计会因为回答问题过于简短待会答案都被折叠了。

    先看看拉普拉斯变换公式

    ce90b98939a68d98747dff5e6f452f8a.png

    这搞毛呢,不就是傅里叶变换的公式乘以一个 outside_default.png么,只要搞懂为什么要这么干,我们就能理解拉普拉斯变换了。

    我们来看看下面这个信号图:

    faeb4d525dc819e6cefdbc3dce40600c.png

    是的,这个信号的毛病在于,他已经上天了,是的,它增长的速度太快了,而我们却要使用不能够"上天"的正弦函数去拟合它,这不是为难我胖虎么,这个时候,我们就得想起一句名言,要么解决问题,要么解决制造问题的人(信号),既然傅里叶变换无法制造一个同样上天的正弦信号来拟合,我们就把它原本的信号"掰弯",那么如何"掰弯"呢,简单,乘以一个 outside_default.png就行了。

    然后图像就变成了这样:

    3d6e811a91687c4589df4563f02e1c8d.png

    你看,这不就皆大欢喜了么,搞来搞去,拉普拉斯变换的意义无非就是把那些想要上天的函数掰弯,好最终变成那种适合做变换的函数,但是掰弯听起来不太专业,所以我们又管outside_default.png叫衰减因子

    好了,现在能解决 的信号我们有傅里叶变换解决了,不能解决的信号有拉普拉斯变换解决了,感觉上是不是皆大欢喜,写个软件跑跑看呗。

    这时你一拍脑袋!不好,信号是连续的,而计算机上存储的数据是离散的,这可咋办好,没关系,我们可以这样,每隔一小段距离,取一个点,最后用的时候把这些点连起来,不就能变成原来的的信号了么,当然我们还得研究研究,这个一小段距离究竟得多小,才不至于让原信号失真,这个就得参考参考香农采样定律了。

    好的,现在我们把连续的信号换一下,换成离散的"点",首先积分是不能用了,既然换成离散的了,积分对应的就应该变成累加符号 outside_default.png,当然,d1f34623d1d6dbce1d9909ecbf24d1ef.png也是不能用了,这是一个连续信号的写法,而离散的一个一个的点得换成4530a749461d3183e661915f83f5e5b8.png,其中的n表示第n个点,实际上就是时间变来的,当然2e3e4c64ce0294675b2bd934ae1d80b1.png也不能用了,你想啊,我们要具体到某个点,这个点怎么表示,当然了,首先把34a130b32652cdb282203728441d3ec2.png时间换成b04c2bda785d0dce3af2f005ddc9c9e2.png索引号,然后5904038eaea9d63bf676e7a2bf92ecc0.png这个动态的角速度值换成具体的角度236fd34160900fe451c9520db0f804f4.png 。

    好了,我们终于把连续信号的傅里叶变换变成了离散信号的傅里叶变换,写写看

    5eee5f6ccd5a25d7095a518aeab81592.png

    哎呀,一不小心把Z变换的公式也写出来了,原来搞了半天,不就是傅里叶变换的离散形式么.

    最后总结一下

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    数学分析工具就是这样,当出现解决不了的问题之后,随之就会出现改进的方案,我们可以说,拉普拉斯变换是为了解决一些"太飘了"或者专业说法叫不收敛的信号,而z变换则用于解决了信号的存储和编码问题,那么,那么还有没有别的问题?

    有的,从时域到频域,频域的时间信息消失了,你有没觉得之前我们分析的信号都太理想化了,现实中的信号往往随着时间而变化并非一成不变的,比如一辆车向你开来然后远去,你会听到声音从尖锐逐渐变得浑浊,这是多普勒效应造成的,而你收到的声音信号也由高频逐渐变为低频,而傅里叶变换只能告诉你信号中存在某种频率的信号,但却不能告诉你这个频率的信号是在什么时候出现的.它可能一直存在,或者只存在前半段信号里,可能存在后半段信号里.或者别的区间。

    这个时候,又出现了傅里叶变换的改进版本,叫短时傅里叶变换.简单来说就是一段信号,假如这个信号长度是1秒,那么就每隔0.1秒就做一次傅里叶变换,总共做10次,这样,第一个变换的结果对应0-0.1s的信号频谱,第二个变换结果对应0.1-0.2s的信号频谱。

    虽然短时傅里叶提供了一个粗糙版本的方案把时间的概念引入频域,但无法解决信号拟合的问题,我们使用正弦波去拟合方波,我们就需要用无穷多个不同频率的正弦波去拟合以抵消时频间的能量差异,简单来说,一个方波我们用正弦波去拟合,最终会拟合成这个样子:

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    为了解决上面两个问题,小波变换诞生了,要使用小波变换,在进行变换前首先需要挑选合适的母小波(也常常叫基波函数,以前实验室里经常被用来调侃:喲,你搞个基波啊),然后通过对母小波的平移和缩放,最终去拟合原信号,在平移的过程中,最终也把时间信息带入了频域(小波域)中,同时不同的母小波也更好解决了信号的拟合问题,当然,大多小波变换的核心原理,最终和傅里叶变换一样,利用了正交性来检波(有的基波没有正交性,例如morlet和mexican hat,这类小波在用于离散小波变换时有限制性)

    那么如何挑选母小波呢?不用担心,数学大佬们为我们总结了一堆好用的母小波,按照响应的情况挑选就行了。

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    什么,太简略了不过瘾?

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/77345128

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/77347644

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/77388996

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/72644228

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    https://www.zhihu.com/question/22298352/answer/797335876

    这几篇文章带你从三角函数推导到傅里叶变换再到实际应用做出实际功能产品,包你看个爽。

    来源:极市平台

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    本文是对知乎上大佬的学习, 其知乎名为逸珺:傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换的联系是什么?为什么要进行这些变换? - 知乎

    三者关系如下

    如下图所示,傅里叶变换是拉普拉斯变换的特殊形式,Z变换是拉普拉斯变换的离散形式。

     

    要理解三种变换的联系区别,首先要理解什么是数学变换,什么是积分变换 

    因为:傅里叶变换和及拉普拉斯变换的本质都是基本变换

    什么是数学变换

    数学变换:指函数从原向量空间变换为另一个向量空间,或从集合x到另一个集合Y的可逆函数。

    如旋转变换,平移,对称等等

    数学中还有很多数学变换,其本质都可以看成是将函数f(x)利用变换因子进行的一种数学映射,其变换结果其函数的自变量有可能还是原来的几何空间,或许会变成其他的向量空间,比如傅立叶变换就从时域变换为频域。

     

     而傅立叶变换与拉普拉斯变换本质上都是对连续函数的一种积分变换,那么什么是积分变换呢

    为何积分变换:

     积分变换通过积分将一个函数从其原始函数空间映射到另一个函数空间,其中原始函数的某些属性可能比原始函数空间更容易表征和操作。通常可以通过逆变换变回原函数。

     通常积分变换,假定对于函数为自变量t的函数f(t),都类似具有以下的范式

    函数f(t)是该变换的输入,(Tf)(u)为变换的输出,因此积分变换一般也称为一种特定的数学运算符。而函数K(t,u)称为积分核函数(kernel function)。

     变换可逆

     观察正逆变换可知:

    • 核函数刚好两个自变量交换位置
    • 正变换是对原函数f(t)在时间t维度上进行积分
    • 逆变换是在变换后的函数在u维度上进行积分

     傅里叶级数

    它可以将任何周期信号分解为一个或者多个正弦函数的集合。

    其前为:周期信号,其周期为T。若f(t)在一个周期的能量是有限的

    可以将f(t)展开为傅立叶级数。计算如下:

     F(kw)为傅里叶级数的系数,

     或者利用欧拉公式,将原信号展开为正弦函数和的形式。

     上式中的k表示第k次谐波。

     什么是傅里叶变换

    假设周期信号趋向于无穷大,则谱线间隔趋向于无穷小,周期信号变为非周期信号,谱线变成连续。前提是该函数绝对可积。

     傅里叶变换为:

     

     其反变换为:

     为什么之前说傅里叶变换本质是积分变换呢,这里可以看到傅里叶变换的核函数为:

     

     核函数有两个自变量,t与Ω,一个表征时间,一个表征空间。

     傅里叶变换与傅里叶级数的区别

     

     

    • 傅立叶级数对应的是周期信号,而傅立叶变换则对应的是一个时间连续可积信号(不一定是周期信号)
    • 傅立叶级数要求信号在一个周期内能量有限,而后者则要求在整个区间能量有限
    • 傅立叶级数的对应是离散的,而傅立叶变换则对应Ω是连续的。

    故:

     F(jk)代表周期信号的第k次谐波的大小,F(jΩ)则是频谱密度概念。

     拉普拉斯变换

     

     那么如果对于函数其傅立叶变换为(这里描述单边拉普拉斯变换):

     

     上面公式整理如下:

     令,则上面的变换

     核函数:

     

    傅里叶变换与拉普拉斯区别

     

     

    • 拉普拉斯变换,将原函数从时间维度(不一定是时间维度,只是方便理解本文以常见的时间维度信号进行描述),映射为复平面
    • 傅立叶变换是拉普拉斯变换的特例,也即变换核函数时,拉普拉斯变换就变成傅立叶变换了。相当于只取虚部,实部为0.
    • 傅立叶变换是从原维度变换为频率维度,对于信号处理而言相当于将时域信号变换为频域进行分析,为信号处理提供了强大的数学理论基础及工具。
    • 拉普拉斯变换,将原维度变换为复频域,在电子电路分析以及控制理论中,为建立系统的数学描述提供了强大的数学理论基础,学过控制理论的一天到晚都与传递函数打交道,其本质就是拉普拉斯变换对系统的一种数学建模描述。为分析系统的稳定性、可控性提供了数学工具。

     

     什么是Z变换

     Z变换的本质是拉普拉斯变换的离散形式。对原信号进行抽样得到离散信号

     

    然后进行拉普拉斯变换: 

     利用冲激函数特性

     

     

     Z变换的意义

     利用Z变换很快能够将传递函数描述成差分方程形式,为计算机处理提供便利。



     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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