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  • 2018-02-07 20:35:26
    num=[];
    z=zeros(353,546);
    N=sum(sum(s{54}==1));
    U=s{54};
    Q=z;
    s0=s;
    t=0;
    for j=1:40
        max=0;  
    for i=1:53
        if sum(sum(s0{i}&U==1))/N>max
            t=i;
            max=sum(sum(s0{i}&U==1))/N;
        end   
    end
    T=Q;
    U=U.*(s0{t}==0);%将U在s0值为1的地方变为0 即U-s0;
    Q=Q|s0{(t)};
    if T==Q
        break;
    end
    pause(0.01)%速度较快 需要pause可以看清过程
    imh=image(cat(3,U,Q,s0{t}));   
    
    num(j)=t;%存储选择的集合编号
    s0{t}=z;
    if Q==s{54}%Q已经等于全集 故停止循环
        break;
    end
    end
    https://pan.baidu.com/s/1jJwSGDK(包含元组s)
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    流网络—最大流问题(Maximum-flow problem)

    df54fade1269

    image.png

    希望从0-7找到最大值,管道可以承载的最大值。

    那么目标函数是objective:maximize X01+X02+X03

    条件s.t.:

    df54fade1269

    image.png

    然后首先判断目标函数是什么类型?

    该目标函数是linear programming

    所以使用linear programming solver

    如何求出最优解呢?

    scipy

    Set Cover Problem (集合覆盖问题)

    假设我们有个全集U (Universal Set), 以及m个⼦子集合

    𝑆1 ,𝑆2 …,𝑆m, 目标是要寻找最少的集合,使得集合的union等于U

    例子: U = {1,2,3,4,5}, S: {𝑆 W ={1,2,3}, 𝑆 X ={2,4}, 𝑆 Y ={1,3},

    𝑆 Z ={4}, 𝑆 [ ={3,4}, 𝑆 Ý ={4,5}}, 最少的集合为:{1,2,3}, {4,5},集

    合个数为2。

    1、穷举法

    从小集合一个个不断组合,找到满足条件则结束。穷举法可以找到最优解

    df54fade1269

    image.png

    2、贪心算法

    从左到右判断,删掉第一个,后面等不等于U,不等于就进行下一个判断,如此循环,直到找到不能去掉的时候就是最优解,但是这个不能保证是全局最优,就下图所示就不是最优解。

    df54fade1269

    image.png

    3、优化算法求解

    1、首先设计目标函数,根据对于集合来讲,就是选跟不选,那么可以设计目标函数为

    math?formula=minimize%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bm%7DXi

    条件 s.t. xi∈{0,1}

    df54fade1269

    image.png

    那么我们首先判断函数类别,该函数是否凸函数

    因其定义域是是0和1,所以选择任意两个点,连成的线都有没有在其区域内的,所以是个非凸函数。

    df54fade1269

    image.png

    那如果这样子,很难求解,能不能relaxation,把目标函数的定义域变成一个连续数据,linear

    然后再对求的的x进行一个区域性判断,假如大于0.5,赋值其为1,小于等于0.5则赋值为0

    非凸函数一般要换一种思维去解决,比如跟上面一样转换为凸函数,然后决策去判断。

    展开全文
  • 在这个程序中,目标函数是一元函数,然后变量没有编码,采用的实数法。子代选择使用的是覆盖法。多目标函数和多变量函数,以及轮盘赌法和覆盖法。变量编码与未编码。请看我其他上传的资源。都自己运行过。注释详细。
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    介绍

    贪婪算法(贪心算法)是指在对问题进行求解时,在每一步选择中都采取最好或者最优(即最有利)的选择,从而希望能够导致结果是最好或者最优的算法

    贪婪算法所得到的结果不一定是最优的结果(有时候会是最优解),但是都是相对近似(接近)最优解的结果。

    应用场景-集合覆盖问题

    假设存在下面需要付费的广播台,以及广播台信号可以覆盖的地区。 如何选择最少的广播台,让所有的地区都可以接收到信号

    d870c500a133

    image

    思路分析:

    如何找出覆盖所有地区的广播台的集合呢,使用穷举法实现,列出每个可能的广播台的集合,这被称为幂集。假设总的有n个广播台,则广播台的组合总共有�2ⁿ -1 个,假设每秒可以计算10个子集, 如图:

    d870c500a133

    image

    效率低下,运算量大。

    使用贪婪算法

    使用贪婪算法,效率高:

    目前并没有算法可以快速计算得到准备的值, 使用贪婪算法,则可以得到非常接近的解,并且效率高。选择策略上,因为需要覆盖全部地区的最小集合:

    遍历所有的广播电台, 找到一个覆盖了最多未覆盖的地区的电台(此电台可能包含一些已覆盖的地区,但没有关系)

    将这个电台加入到一个集合中(比如ArrayList), 想办法把该电台覆盖的地区在下次比较时去掉。

    重复第1步直到覆盖了全部的地区

    d870c500a133

    image

    步骤:

    定义一个maxkey,用于保存选择的广播电台占最多未选择的地区的值。

    每次轮询广播台时,都需要一个临时hashSet去retain判断是否有更好的广播台。

    贪心算法注意事项和细节

    贪婪算法所得到的结果不一定是最优的结果(有时候会是最优解),但是都是相对近似(接近)最优解的结果

    比如上题的算法选出的是K1, K2, K3, K5,符合覆盖了全部的地区

    但是我们发现 K2, K3,K4,K5 也可以覆盖全部地区,如果K2 的使用成本低于K1,那么我们上题的 K1, K2, K3, K5 虽然是满足条件,但是并不是最优的.

    代码

    public static void main(String[] args) {

    //创建广播电台,放入到Map

    HashMap> broadcasts = new HashMap>();

    //将各个电台放入到broadcasts

    HashSet hashSet1 = new HashSet();

    hashSet1.add("北京");

    hashSet1.add("上海");

    hashSet1.add("天津");

    HashSet hashSet2 = new HashSet();

    hashSet2.add("广州");

    hashSet2.add("北京");

    hashSet2.add("深圳");

    HashSet hashSet3 = new HashSet();

    hashSet3.add("成都");

    hashSet3.add("上海");

    hashSet3.add("杭州");

    HashSet hashSet4 = new HashSet();

    hashSet4.add("上海");

    hashSet4.add("天津");

    HashSet hashSet5 = new HashSet();

    hashSet5.add("杭州");

    hashSet5.add("大连");

    //加入到map

    broadcasts.put("K1", hashSet1);

    broadcasts.put("K2", hashSet2);

    broadcasts.put("K3", hashSet3);

    broadcasts.put("K4", hashSet4);

    broadcasts.put("K5", hashSet5);

    //allAreas 存放所有的地区

    HashSet allAreas = new HashSet();

    allAreas.add("北京");

    allAreas.add("上海");

    allAreas.add("天津");

    allAreas.add("广州");

    allAreas.add("深圳");

    allAreas.add("成都");

    allAreas.add("杭州");

    allAreas.add("大连");

    //创建ArrayList, 存放选择的电台集合

    ArrayList selects = new ArrayList();

    //定义一个临时的集合, 在遍历的过程中,存放遍历过程中的电台覆盖的地区和当前还没有覆盖的地区的交集

    HashSet tempSet = new HashSet();

    //定义给maxKey , 保存在一次遍历过程中,能够覆盖最大未覆盖的地区对应的电台的key

    //如果maxKey 不为null , 则会加入到 selects

    String maxKey = null;

    while(allAreas.size() != 0) { // 如果allAreas 不为0, 则表示还没有覆盖到所有的地区

    //每进行一次while,需要

    maxKey = null;

    //遍历 broadcasts, 取出对应key

    for(String key : broadcasts.keySet()) {

    //每进行一次for,把tempSet。clear

    tempSet.clear();

    //当前这个key能够覆盖的地区

    HashSet areas = broadcasts.get(key);

    tempSet.addAll(areas);

    //求出tempSet 和 allAreas 集合的交集, 交集会赋给 tempSet

    tempSet.retainAll(allAreas);

    //如果当前这个集合包含的未覆盖地区的数量,比maxKey指向的集合地区还多

    //就需要重置maxKey

    // tempSet.size() >broadcasts.get(maxKey).size()) 体现出贪心算法的特点,每次都选择最优的

    if(tempSet.size() > 0 &&

    (maxKey == null || tempSet.size() >broadcasts.get(maxKey).size())){

    maxKey = key;

    }

    }

    //maxKey != null, 就应该将maxKey 加入selects

    if(maxKey != null) {

    selects.add(maxKey);

    //将maxKey指向的广播电台覆盖的地区,从 allAreas 去掉

    allAreas.removeAll(broadcasts.get(maxKey));

    }

    }

    System.out.println("得到的选择结果是" + selects);//[K1,K2,K3,K5]

    }

    结果:

    d870c500a133

    image

    展开全文
  • 问题如下定义:首先有一个元素集合U,给定一系列集合,各集合之中含可能有一些共同的元素(如图所示)。要求访问最少的集合,可以得到U中所有的元素,求出满足要求的最少数量的集合,它是Karp’s21个NP-complete问题之...

    Set Cover problem是计算机算法复杂度领域的经典问题。

    问题如下定义:首先有一个元素集合U,给定一系列集合,各集合之中含可能有一些共同的元素(如图所示)。要求访问最少的集合,可以得到U中所有的元素,求出满足要求的最少数量的集合,它是Karp’s

    21个NP-complete问题之一。

    可以给出公式定义:

    给定一个元素集合{U}和集合{S},Si中的元素属于U,即S是U的子集集合。我们要求的一个覆盖就是一个集合C其元素集合之并等于U即:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    用图示表明:

    Input:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.pngOutput:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    Set

    cover问题通常在我们寻求高效获取被package起来的项或者寻求一种最优的项表述时出现,显然找到一个cover很简单,但我们目的是求的最优,这样才能更好的节约成本。

    我们知道,所有的NP-C(NP完全问题)都还没有多项式时间算法。而当我们遇到这类问题时我们通常采用只对特殊问题求解,动态规划或分支定界,概率算法,只求近似解或者启发式方法求解。

    下面就使用贪婪算法给出近似解:

    首先给出如下函数定义

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    给出贪婪算法:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    下面对此算法进行分析:

    此贪婪算法已被证明是set cover问题的一个多项式时间复杂度,(1+In

    r)ratio近似算法,其中r是输入S中集合的最大的集的势。

    证明:假设S1,S2…Sj是通过贪婪算法依次选择的集合,Ci={S1,S2…Si},opt是满足集合覆盖最优解的集合数,由于贪婪规则,显然,当我们选择Si+1时Si+1必定覆盖了当前还未被Ci覆盖的最多元素。还未被Ci覆盖的元素是|U|-f(Ci),他们可以被opt个子集合最优覆盖。因此,按平均来算,最优解集合的一个子集可以覆盖(|U|-f(Ci))/opt个没有被Ci覆盖的元素,因此推出:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    解决Set cover问题的贪婪算法已经被证明是解决set cover问题的最可能的多项式时间复杂度近似算法。

    展开全文
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