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  • 近世代数--群同构--第三同构定理
    千次阅读
    2020-11-25 17:38:26

    近世代数--群同构--第三同构定理

    博主是初学近世代数(群环域),本意是想整理一些较难理解的定理、算法,加深记忆也方便日后查找;如果有错,欢迎指正。
    我整理成一个系列:近世代数,方便检索。

    先验知识在第一同构定理

    第三同构定理 H ◃ G , N ◃ G , N ⊆ H H\triangleleft G,N\triangleleft G,N\subseteq H HG,NG,NH,有 G / H ≅ ( G / N ) / ( H / N ) G/H\cong (G/N)/(H/N) G/H(G/N)/(H/N)

    证明:根据第一同构定理,我们把 G / N G/N G/N看作 G G G G / H G/H G/H看作 G ′ G' G H / N H/N H/N看作 K e r ( f ) , f : G → G ′ Ker(f),f:G\rightarrow G' Ker(f),f:GG,就自然有第三同构定理成立。

    满足第一同构定理有两个条件

    • 条件1: f : G / N → G / H f:G/N\rightarrow G/H f:G/NG/H是满同态;
    • 条件2: H / N H/N H/N K e r ( f ) Ker(f) Ker(f)

    定义: f ( a N ) = a H , ∀ a ∈ G f(aN)=aH,\forall a\in G f(aN)=aH,aG

    证明条件1

    • 同态:
      • 是一个映射:要证 a N = b N → f ( a N ) = f ( b N ) , ∀ a , b ∈ G aN=bN\rightarrow f(aN)=f(bN),\forall a,b \in G aN=bNf(aN)=f(bN),a,bG
        a N = b N → a − 1 b N = N → a − 1 b ∈ N ⊆ H → a − 1 b H = H → a H = b H → f ( a N ) = f ( b N ) aN=bN\\\rightarrow a^{-1}bN=N\\\rightarrow a^{-1}b\in N\subseteq H\\\rightarrow a^{-1}bH=H\\\rightarrow aH=bH\\\rightarrow f(aN)=f(bN) aN=bNa1bN=Na1bNHa1bH=HaH=bHf(aN)=f(bN)
      • 保持运算:要证 f ( a N b N ) = f ( a N ) f ( b N ) , ∀ a , b ∈ G f(aNbN)=f(aN)f(bN),\forall a,b \in G f(aNbN)=f(aN)f(bN),a,bG
        N ◃ G , H ◃ G → b N = N b , b H = H b ∀ b ∈ G → f ( a N b N ) = f ( a ( N b ) N ) = f ( a ( b N ) N ) = f ( a b N ) = a b H = a b H H = a ( b H ) H = a ( H b ) H = ( a H ) ( b H ) = f ( a N ) f ( b N ) N\triangleleft G,H \triangleleft G\\\rightarrow bN=Nb,bH=Hb\forall b\in G\\ \rightarrow f(aNbN)\\=f(a(Nb)N)\\=f(a(bN)N)\\=f(abN)\\=abH\\=abHH\\=a(bH)H\\=a(Hb)H\\=(aH)(bH)\\=f(aN)f(bN) NG,HGbN=Nb,bH=HbbGf(aNbN)=f(a(Nb)N)=f(a(bN)N)=f(abN)=abH=abHH=a(bH)H=a(Hb)H=(aH)(bH)=f(aN)f(bN)
    • 满射:要证 ∀ a H ∈ G / H , ∃ a N \forall aH\in G/H,{\exists} aN aHG/H,aN使得 f ( a N ) = a H f(aN)=aH f(aN)=aH,易得。

    证明条件2

    • 证明 H / N H/N H/N是内核,从内核定义出发,要证 H / N = K e r ( f ) H/N=Ker(f) H/N=Ker(f)
      f : G / N → G / H , f ( a N ) = a H , K e r ( f ) = { a N : a N ∈ G / N , f ( a N ) = 1 G / H } f:G/N\rightarrow G/H,f(aN)=aH,Ker(f)=\{aN:aN\in G/N,f(aN)=1_{G/H}\} f:G/NG/H,f(aN)=aHKer(f)={aN:aNG/N,f(aN)=1G/H}
      我们知道 1 G / H = H 1_{G/H}=H 1G/H=H,那么 K e r ( f ) = { a N : a N ∈ G / N , f ( a N ) = H } = { a N : a N ∈ G / N , a H = H } = { a N : a N ∈ G / N , a ∈ H } = H / N \\Ker(f)\\=\{aN:aN\in G/N,f(aN)=H\}\\=\{aN:aN\in G/N,aH=H\}\\=\{aN:aN\in G/N,a\in H\}\\=H/N Ker(f)={aN:aNG/N,f(aN)=H}={aN:aNG/N,aH=H}={aN:aNG/N,aH}=H/N
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    先验知识在第一同构定理

    第二同构定理: H ≤ G , N ≤ G , N ◃ G , H\le G,N\le G,N\triangleleft G, HG,NG,NG H / ( H ∩ N ) ≅ H N / N H/(H\cap N)\cong HN/N H/(HN)HN/N

    证明:根据第一同构定理,我们把 H H H看作 G G G H N / N HN/N HN/N看作 G ′ G' G H ∩ N H\cap N HN看作 K e r ( f ) , f : G → G ′ Ker(f),f:G\rightarrow G' Ker(f),f:GG,就自然有第二同构定理成立。

    满足第一同构定理有两个条件

    • 条件1: f : H → H N / N f:H\rightarrow HN/N f:HHN/N是满同态;
    • 条件2: H ∩ N H\cap N HN K e r ( f ) Ker(f) Ker(f)

    定义: f ( h ) = h N ( H → H N / N ) f(h)=hN(H\rightarrow HN/N) f(h)=hN(HHN/N),本来应该定义 f ( h ) = h n N f(h)=hnN f(h)=hnN,但是从原像看,没有 n n n可以提供;而且 h ∈ H ⊂ H N h\in H\subset HN hHHN,是符合定义的;所以这里的定义只是针对所有原像定义了到像的映射。

    证明条件1

    • 同态:

      • 是一个映射:要证 h 1 = h 2 → f ( h 1 ) = f ( h 2 ) h_1=h_2\rightarrow f(h_1)=f(h_2) h1=h2f(h1)=f(h2)
        易证: h 1 = h 2 → h 1 N = h 2 N → f ( h 1 ) = f ( h 2 ) h_1=h_2\rightarrow h_1N=h_2N\rightarrow f(h_1)=f(h_2) h1=h2h1N=h2Nf(h1)=f(h2)

      • 保持运算:要证 f ( h 1 h 2 ) = f ( h 1 ) f ( h 2 ) f(h_1h_2)=f(h_1)f(h_2) f(h1h2)=f(h1)f(h2)

        • N ◃ G , → ∀ g ∈ G , g N = N g N\triangleleft G,\rightarrow \forall g\in G,gN=Ng NG,gG,gN=Ng
          H ≤ G → ∀ h ∈ H ⊂ G , h N = N h H\le G\rightarrow \forall h\in H\subset G,hN=Nh HGhHG,hN=Nh
        • f ( h 1 h 2 ) = h 1 h 2 N = h 1 h 2 N N = h 1 ( h 2 N ) N = h 1 ( N h 2 ) N = h 1 N h 2 N = ( h 1 N ) ( h 2 N ) = f ( h 1 ) f ( h 2 ) f(h_1h_2)\\=h_1h_2N\\=h_1h_2NN\\=h_1(h_2N)N\\=h_1(Nh_2)N\\=h_1Nh_2N\\=(h_1N)(h_2N)\\=f(h_1)f(h_2) f(h1h2)=h1h2N=h1h2NN=h1(h2N)N=h1(Nh2)N=h1Nh2N=(h1N)(h2N)=f(h1)f(h2)
    • 满射:要证 ∀ h N ∈ H N / N , ∃ h \forall hN\in HN/N,{\exists} h hNHN/N,h使得 f ( h ) = h N f(h)=hN f(h)=hN,易得。

    证明条件2

    • 证明 H ∩ N H\cap N HN是内核,从内核定义出发,要证 H ∩ N = K e r ( f ) H\cap N=Ker(f) HN=Ker(f)
      f : H → H N / N , f ( h ) = h N , K e r ( f ) = { h : h ∈ H , f ( h ) = 1 H N / N } f:H\rightarrow HN/N,f(h)=hN,Ker(f)=\{h:h\in H,f(h)=1_{HN/N}\} f:HHN/N,f(h)=hNKer(f)={h:hH,f(h)=1HN/N}
      我们知道 1 H N / N = N 1_{HN/N}=N 1HN/N=N,那么 K e r ( f ) = { h : h ∈ H , f ( h ) = N } = { h : h ∈ H , h N = N } = { h : h ∈ H , h ∈ N } = H ∩ N \\Ker(f)\\=\{h:h\in H,f(h)=N\}\\=\{h:h\in H,hN=N\}\\=\{h:h\in H,h\in N\}\\= H\cap N Ker(f)={h:hH,f(h)=N}={h:hH,hN=N}={h:hH,hN}=HN
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  • 同构定理

    万次阅读 2015-12-12 20:28:35
    在这篇文章中,我们先介绍群同态基本定理,然后给出群同构三定理及其证明。

    “群同态基本定理”是群理论中的一个非常重要的定理。在此基础上,我们可以研究群同构性质,得到“群同构定理”。我们先介绍群同态基本定理,然后给出群同构三大定理及其证明。

    群同态基本定理:
    G,H 都是群,它们之间有一个映射 f:GH 是满同态,令 N f 的核。于是 G/N H 同构,记为 G/NH

    证明:
    现我们已经知道 f:GH 是一个满同态,并且 π:GG/N 是一个典型的满同态。定义映射 f¯:G/NH f¯(aN)=f(a) 。 我们先验证 f¯ 是良定的,再证明 f¯ 是同构即可。
    baN ,存在一个 nN 使得 b=an ,并且 f(b)=f(an)=f(a)f(n)=f(a)e=f(a) , 因此, f 对陪集的每一个元素都有相同的作用,是良定的。 由于f¯(aN)=f(a),因而 f¯ 也是良定的。
    再证同态:

    f¯(aNbN)=f¯(abN)=f(ab)=f(a)f(b)=f¯(aN)f¯(bN)

    再证单同态:
    f¯(aN)=f¯(bN)f(a)=f(b)e=f1(a)f(b)=f(a1)f(b)=f(a1b)

    a1bNaN=bN

    再证满同态:对任意的 bH ,由 f 是满同态可知,存在 aG 使得 f(a)=b 。由 f¯ 的定义可知 aN¯=f(a)=b , 其中 aNG/N 。故 f¯ 是一个满同态。
    综上, f¯ 是一个同构,即有 G/NH


    接下来,我们介绍群同构三大定理:

    第一群同构定理:
    如果 f:GH 是一个群同态,那么 f 诱导出一个同构 G/ker(f)im(f)
    证明:
    与群同态基本定理的证明类似,此处略。


    第二群同构定理:
    如果 K,N 都是群 G 的子群, 并且 N G 的正规子群,那么就有 K/(NK)NK/N
    证明:
    NK=NK KNK 可知,映射 f:KNK/N 是一个同态,并且核为 KN 。由第一同构定理,我们得到一个同构 f¯:K/KNim(f)NK 。而 NK/N 中元素的形式为 nkN ,其中 nN,kK 。由 NG 可知, 存在 n1N 使得 nk=kn1 。从而有 nkN=kn1N=kN=f(k) ,故 NKim(f) 。因此,我们得到 im(f)=NK/N ,定理得证。


    第三群同构定理:
    如果 H,K 都是群 G 的正规子群且 K H 的子群,那么 H/K G/K 的正规子群,并且 (G/K)/(H/K)G/H
    证明:
    由定义我们很容易可以证得 H/K G/K 的正规子群,因此在这儿就不再赘述。由于 1G:GG 是恒等映射,并且 1G(K)<H ,因此我们得到一个满同态 f:G/KG/H ,其中 f(aK)=aH
    并且 h=f(aK) 当且仅当 aH ,即 ker(f)={aK|aH}=H/K 。由第一同构定理就可以得出结论。
    (注:由于 H/K G/K 的正规子群,那么我们就有 π:G/K(G/K)/(H/K) 是一个典型的满同构。)


    从上面的证明过程我们可以发现,群同构定理的关键是群同态基本定理。我们在证明的时候,首先找到一个满同态映射 fGim(f) ,然后再找到 ker(f) ,显然 ker(f)G ,最后由 f 诱导一个映射 f¯,并且证明这个映射是同构的就可以了。这样,整个证明就变的非常的简单了。

    展开全文
  • 同构同态定理梳理

    千次阅读 2020-06-08 14:55:21
    同构同态定理梳理基本概念定理 课上有点晕,现在来总结一下群群群 基本概念 Kerφ{Ker \varphi}Kerφ(读作φ的核\varphi的核φ的核): 设有: φ:G∼G‾\varphi: G \sim \overline G φ:G∼G 则φ−1(e‾)=Ker...

    群同构同态定理梳理

    课上有点晕,现在来总结一下群群群

    基本概念

    1. K e r φ {Ker \varphi} Kerφ(读作 φ 的 核 \varphi的核 φ):
      设有:
      φ : G ∼ G ‾ \varphi: G \sim \overline G φ:GG
      φ − 1 ( e ‾ ) = K e r φ \varphi^{-1} (\overline e) = Ker \varphi φ1(e)=Kerφ
    2. H ⊵ G H \unrhd G HG:(读作H为G的正规子群)
      当且仅当 H ≤ G , 且 G H G − 1 ⊆ H H \le G,且GHG^{-1}\subseteq H HG,GHG1H
    3. 商群:
      若 H ⊵ G , G / H 为 G 的 商 群 若H \unrhd G, G/H为G的商群 HG,G/HG
    4. 商群运算:
      若 H ⊵ G , G / H 为 商 群 , 则 ( a H ) ( b H ) = ( a b ) H 若H \unrhd G , G/H为商群,则(aH)(bH)=(ab)H HG,G/H(aH)(bH)=(ab)H

    定理

    1. (自然同态) 若 N ⊵ G , 则 G ∼ G / N , 进 一 步 的 , 若 若N\unrhd G,则G \sim G/N,进一步的,若 NG,GG/N
      证明:
      构造映射:
      φ : a → a N ( a ∈ G ) \varphi: a \rightarrow aN(a\in G) φ:aaN(aG)
      下面说明 φ \varphi φ是同态满射。
    • 满射
      ∀ a N ∈ G / N \forall aN \in G/N aNG/N,我们总能在 φ \varphi φ下找到一个原像,使得 φ − 1 ( a N ) = a \varphi^{-1} (aN)= a φ1(aN)=a,故其为满射

    • 保持代数运算
      ∀ a , b ∈ G \forall a,b \in G a,bG φ ( a b ) = ( a b ) N = ( a N ) ( b N ) = φ ( a ) φ ( b ) \varphi(ab)=(ab)N=(aN)(bN)=\varphi(a)\varphi(b) φ(ab)=(ab)N=(aN)(bN)=φ(a)φ(b),故其保持运算

      故 若 N ⊵ G , 则 G ∼ G / N 故若N\unrhd G,则G \sim G/N NG,GG/N


    1. (群同态基本定理) 若 φ 使 得 G ∼ G ‾ , 则 K e r φ ⊵ G , 且 G / K ≅ G ‾ 若\varphi使得 G \sim \overline G,则Ker\varphi \unrhd G,且 G/K \cong \overline G φ使GGKerφGG/KG
      证明:
      由于 e ‾ \overline e e G ‾ \overline G G 的正规子群,所以 K e r φ ⊵ G Ker\varphi \unrhd G KerφG
      构造:
      θ : a K → φ ( a ) \theta: aK \rightarrow \varphi(a) θ:aKφ(a)
    • 映射
      如果 a K = b K aK=bK aK=bK,则 a − 1 b ∈ K a^{-1}b\in K a1bK,即:
      φ ( a − 1 b ) = e ‾ \varphi(a^{-1}b)=\overline e φ(a1b)=e
      从而:
      φ ( a ) = φ ( b ) \varphi(a)=\varphi(b) φ(a)=φ(b)
      故其为映射

    • 满射
      对于任意 φ ( a ) ∈ G ‾ \varphi(a) \in \overline G φ(a)G,均能够找到 a K aK aK与之对应,故其为满射

    • 单射
      ∀ a K , b K ∈ G / K \forall aK,bK \in G/K aK,bKG/K,有:
      θ ( a K ) = φ ( a ) , θ ( b K ) = φ ( b ) \theta(aK)=\varphi(a),\theta(bK)=\varphi(b) θ(aK)=φ(a),θ(bK)=φ(b)
      φ ( a ) = φ ( b ) \varphi(a) = \varphi(b) φ(a)=φ(b),则:
      φ − 1 ( a ) φ ( b ) = φ ( a − 1 b ) = e ‾ \varphi^{-1}(a)\varphi(b)=\varphi(a^{-1}b)=\overline e φ1(a)φ(b)=φ(a1b)=e
      a − 1 b ∈ K e r φ = K a^{-1}b\in Ker\varphi = K a1bKerφ=K,即 a K = b K aK = bK aK=bK,故其为单射

    • 保持运算
      ∀ a K , b K ∈ G / K \forall aK,bK \in G/K aK,bKG/K,有:
      θ ( a K b K ) = θ ( a b K ) = φ ( a b ) = φ ( a ) φ ( b ) = θ ( a K ) θ ( b K ) \theta(aKbK)=\theta(abK)=\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)=\theta(aK)\theta(bK) θ(aKbK)=θ(abK)=φ(ab)=φ(a)φ(b)=θ(aK)θ(bK)

      综上,结论成立


    1. 若 φ 使 得 G ∼ G ‾ , H ≤ G , K e r φ ⊆ H , 则 有 : 若\varphi使得 G \sim \overline G,H\le G,Ker\varphi \subseteq H,则有: φ使GGHGKerφH:
      φ − 1 [ φ ( H ) ] = H \varphi^{-1} [\varphi(H)]=H φ1[φ(H)]=H
      证明:
      证明集合相等通常分两个步骤:
    • H ⊆ φ − 1 [ φ ( H ) ] H \subseteq \varphi^{-1} [\varphi(H)] Hφ1[φ(H)]
      显然,由于 φ \varphi φ是一个 G → G ‾ G \rightarrow \overline G GG的同态满射,所以 φ − 1 [ φ ( H ) ] \varphi^{-1} [\varphi(H)] φ1[φ(H)]至少包含了 H H H,结论成立。

    • φ − 1 [ φ ( H ) ] ⊆ H \varphi^{-1} [\varphi(H)] \subseteq H φ1[φ(H)]H
      ∀ x ∈ φ − 1 [ φ ( H ) ] \forall x\in \varphi^{-1} [\varphi(H)] xφ1[φ(H)],有 φ ( x ) ∈ φ ( H ) \varphi(x)\in \varphi(H) φ(x)φ(H),注意,由于 H ⊆ φ − 1 [ φ ( H ) ] H \subseteq \varphi^{-1} [\varphi(H)] Hφ1[φ(H)],取 h ∈ H , 有 φ ( x ) = φ ( h ) h \in H,有\varphi(x)=\varphi(h) hHφ(x)=φ(h)多对一多对一多对一,重要的事情说三遍)。进一步的,我们左乘 φ − 1 ( h ) \varphi^{-1}(h) φ1(h),有:
      φ − 1 ( h ) φ ( x ) = φ − 1 ( h ) φ ( h ) \varphi^{-1}(h)\varphi(x)=\varphi^{-1}(h)\varphi(h) φ1(h)φ(x)=φ1(h)φ(h)
      由于 φ \varphi φ是同态满射,保持运算,将-1拿入得:
      φ ( h − 1 x ) = φ ( e ) = e ‾ \varphi(h^{-1}x)=\varphi(e)=\overline e φ(h1x)=φ(e)=e
      h − 1 x ∈ K e r φ ⊆ H h^{-1}x \in Ker\varphi \subseteq H h1xKerφH,除非 x ∈ H x\in H xH
      从而有 ∀ x ∈ φ − 1 [ φ ( H ) ] = > x ∈ H \forall x\in \varphi^{-1} [\varphi(H)]=>x\in H xφ1[φ(H)]=>xH,故结论成立。

      综上 φ − 1 [ φ ( H ) ] = H \varphi^{-1} [\varphi(H)]=H φ1[φ(H)]=H


    1. 若 φ 使 得 G ∼ G ‾ , K e r φ = K . 则 对 所 有 H ≤ G , K ⊆ H 构 成 的 集 合 M 与 H ‾ ≤ G ‾ 构 成 的 集 合 M ‾ 若\varphi使得 G \sim \overline G,Ker\varphi = K. 则对所有H\le G,K\subseteq H构成的集合M与\overline H\le \overline G构成的集合\overline M φ使GGKerφ=K.HGKHMHGM间可建立一个保持包含关系的双射。
      证明:
      建立映射 f f f:
      f : H → φ ( H ) , ( H ∈ M , φ ( H ) ∈ M ‾ ) f:H\rightarrow\varphi(H),(H\in M, \varphi(H)\in\overline M) f:Hφ(H),(HM,φ(H)M)

      下面证明 f f f是双射

    • 满射
      3知, φ − 1 [ φ ( H ) ] = H \varphi^{-1} [\varphi(H)] = H φ1[φ(H)]=H,即对 ∀ φ ( H ) ∈ M ‾ 均 能 找 到 H ∈ M 与 之 对 应 \forall \varphi(H)\in\overline M均能找到H\in M与之对应 φ(H)MHM,故其为满射
    • 单射
      ∀ H 1 , H 2 ∈ M \forall H_1,H_2\in M H1,H2M
      f ( H 1 ) = φ ( H 1 ) f(H_1)=\varphi(H_1) f(H1)=φ(H1)
      f ( H 2 ) = φ ( H 2 ) f(H_2)=\varphi(H_2) f(H2)=φ(H2)
      φ ( H 1 ) = φ ( H 2 ) \varphi(H_1) = \varphi(H_2) φ(H1)=φ(H2),则
      φ − 1 [ φ ( H 1 ) ] = φ − 1 [ φ ( H 2 ) ] \varphi^{-1} [\varphi(H_1)] = \varphi^{-1} [\varphi(H_2)] φ1[φ(H1)]=φ1[φ(H2)]
      3知, H 1 = H 2 H_1=H_2 H1=H2,故其为单射。
      综上,结论成立

    1. (第一同构定理) 若 φ 使 得 G ∼ G ‾ , K e r φ = K , 又 K ⊆ N ⊵ G , N ‾ = φ ( N ) , 则 若\varphi使得 G \sim \overline G,Ker\varphi = K,又K\subseteq N \unrhd G,\overline N = \varphi(N),则 φ使GG,Kerφ=K,KNG,N=φ(N),

    G / N ≅ G ‾ / N ‾ G/N \cong \overline G/\overline N G/NG/N

    证明:
    构造
    τ : a N → φ ( a ) N ‾ \tau:aN \rightarrow \varphi(a) \overline N τ:aNφ(a)N
    下面证明 τ \tau τ是一个双射,且保持运算,则说明 G / N ≅ G ‾ / N ‾ G/N \cong \overline G/\overline N G/NG/N

    • 映射
      检查会不会出现一对多的情况,只需说明如果 a N = b N , 则 φ ( a ) N ‾ = φ ( b ) N ‾ aN = bN,则\varphi(a) \overline N=\varphi(b) \overline N aN=bN,φ(a)N=φ(b)N,进一步的,说明若 a − 1 b ∈ N , 则 φ − 1 ( a ) φ ( b ) ∈ N ‾ a^{-1}b\in N,则\varphi^{-1}(a)\varphi(b) \in \overline N a1bNφ1(a)φ(b)N

      设 a N = b N , 则 τ ( a N ) = φ ( a ) N ‾ , τ ( b N ) = φ ( b ) N ‾ 设aN = bN,则\tau(aN)=\varphi(a) \overline N,\tau(bN)=\varphi(b) \overline N aN=bN,τ(aN)=φ(a)N,τ(bN)=φ(b)N
      因为 a N = b N aN=bN aN=bN,所以 a − 1 b ∈ N a^{-1}b\in N a1bN,下面考察 φ − 1 ( a ) φ ( b ) \varphi^{-1}(a)\varphi(b) φ1(a)φ(b)
      φ − 1 ( a ) φ ( b ) = φ ( a − 1 b ) ∈ φ ( N ) = N ‾ \varphi^{-1}(a)\varphi(b)=\varphi(a^{-1}b) \in \varphi(N)=\overline N φ1(a)φ(b)=φ(a1b)φ(N)=N
      故其为映射

    • 满射
      因为 φ \varphi φ为同态满射,故对任意 φ ( a ) N ‾ ∈ G ‾ / N ‾ \varphi(a) \overline N\in \overline G/\overline N φ(a)NG/N均能找到原像 a N ∈ G / N aN \in G/N aNG/N,故 τ \tau τ为满射。

    • 单射
      ∀ a N , b N ∈ G / N \forall aN,bN \in G/N aN,bNG/N.
      φ ( a ) N ‾ = φ ( b ) N ‾ \varphi(a)\overline N =\varphi(b)\overline N φ(a)N=φ(b)N,则有
      φ ( a ) − 1 φ ( b ) ∈ N ‾ \varphi(a)^{-1} \varphi(b) \in \overline N φ(a)1φ(b)N
      φ ( a ) − 1 φ ( b ) = φ ( a − 1 b ) \varphi(a)^{-1} \varphi(b)=\varphi(a^{-1}b) φ(a)1φ(b)=φ(a1b)
      注意 a − 1 b 不 一 定 ∈ N a^{-1}b 不一定\in N a1bN,因为我们的条件仅有 N ‾ = φ ( N ) \overline N = \varphi(N) N=φ(N)。为了解决这个问题,我们设 c ∈ N c\in N cN,使得 φ ( c ) = φ ( a − 1 b ) ∈ N ‾ \varphi(c)=\varphi(a^{-1}b)\in\overline N φ(c)=φ(a1b)N,则:
      φ ( c − 1 a − 1 b ) = φ − 1 ( c ) φ ( a − 1 b ) = e ‾ \varphi(c^{-1}a^{-1}b)=\varphi^{-1}(c)\varphi(a^{-1}b)=\overline e φ(c1a1b)=φ1(c)φ(a1b)=e
      这说明 c − 1 a − 1 b ∈ K e r φ ⊆ N c^{-1}a^{-1}b \in Ker\varphi\subseteq N c1a1bKerφN,故 c ∙ ( c − 1 a − 1 b ) ∈ K e r φ ⊆ N c\bullet(c^{-1}a^{-1}b) \in Ker\varphi\subseteq N c(c1a1b)KerφN。即 a − 1 b ∈ N a^{-1}b \in N a1bN

      a N = b N aN=bN aN=bN,故其为单射

    • 保持运算
      ∀ a N , b N ∈ G / N \forall aN,bN \in G/N aN,bNG/N,有:
      τ [ ( a N ) ( b N ) ] = τ [ ( a b ) N ] = φ ( a b ) N ‾ \tau[(aN)(bN)]=\tau[(ab)N]=\varphi(ab)\overline N τ[(aN)(bN)]=τ[(ab)N]=φ(ab)N
      τ ( a N ) τ ( a N ) = [ φ ( a ) N ‾ ] [ φ ( b ) N ‾ ] = ( φ ( a ) φ ( b ) ) N ‾ = φ ( a b ) N ‾ \tau(aN)\tau(aN)=[\varphi(a)\overline N][\varphi(b)\overline N]=(\varphi(a)\varphi(b))\overline N=\varphi(ab)\overline N τ(aN)τ(aN)=[φ(a)N][φ(b)N]=(φ(a)φ(b))N=φ(ab)N
      即, τ [ ( a N ) ( b N ) ] = τ ( a N ) τ ( a N ) \tau[(aN)(bN)] = \tau(aN)\tau(aN) τ[(aN)(bN)]=τ(aN)τ(aN),故其保持运算。

      综上,结论成立。


    1. (第二同构定理) 若 H ≤ G , N ⊵ G , 则 H ∩ N ⊵ H , 且 若H\le G,N\unrhd G,则H\cap N \unrhd H,且 HG,NGHNH,
      H N / N ≅ H / ( H ∩ N ) HN/N \cong H/(H\cap N) HN/NH/(HN)

    证明:
    如果我们能够证明 H ∩ N H\cap N HN是某个同态满射的核,则 H ∩ N ⊵ H H\cap N \unrhd H HNH自然成立
    构造从 H → H N / N H\rightarrow HN/N HHN/N的同态满射:
    φ : x → x N ( 由 来 : x ∈ H , x n ∈ N H , 又 x n N = x N ) \varphi :x\rightarrow xN(由来:x\in H ,xn\in NH,又xnN=xN) φ:xxN(xH,xnNH,xnN=xN)

    (由群同态基本定理的证明可以容易得到 φ \varphi φ是一个同态满射)
    下面我们证明 K e r φ = H ∩ N Ker\varphi=H\cap N Kerφ=HN
    易知商集 H N / N 的 单 位 元 为 e ‾ = N , 则 K e r φ = φ − 1 ( e ‾ ) = N HN/N的单位元为\overline e=N,则Ker\varphi =\varphi^{-1}(\overline e)=N HN/Ne=N,Kerφ=φ1(e)=N 但 是 φ 的 定 义 域 为 x ∈ H 但是\varphi的定义域为x\in H φxH,故 K e r φ = H ∩ N Ker\varphi=H\cap N Kerφ=HN,则 H ∩ N ⊵ H H\cap N \unrhd H HNH。群同态基本定理2告诉我们:
    G / K ≅ G ‾ G/K \cong \overline G G/KG
    这里, G ‾ = H N / N , K = H ∩ N , G = H \overline G = HN/N,K=H\cap N,G=H G=HN/N,K=HN,G=H,故有:
    H / ( H ∩ N ) ≅ H N / N H/(H\cap N) \cong HN/N H/(HN)HN/N


    1. (第三同构定理) 设 N ⊵ G , H ‾ ≤ G / N . 则 设N\unrhd G,\overline H \le G/N.则 NG,HG/N.
      (1) ∃ 唯 一 N ⊆ H ≤ G 使 得 H ‾ = H / N \exist 唯一N\subseteq H\le G使得\overline H = H/N NHG使H=H/N
      (2) 当 H ‾ ⊵ G / N 时 , 有 唯 一 H ⊵ G 使 得 H ‾ = H / N 且 G / H ≅ ( G / N ) / ( H / N ) \overline H \unrhd G/N时,有唯一H\unrhd G使得\overline H = H/N且G/H\cong (G/N)/(H/N) HG/NHG使H=H/NG/H(G/N)/(H/N)
      证明:

    (1)
    考虑从 G → G / N G\rightarrow G/N GG/N的自然同态1
    φ : a → a N ( a ∈ G ) \varphi: a \rightarrow aN(a\in G) φ:aaN(aG)
    不妨设存在 H ≤ G H\le G HG,使得:
    φ ( H ) = H ‾ \varphi(H) = \overline H φ(H)=H
    此时,由于 H ∈ H ‾ , 故 必 有 N ⊆ H H\in \overline H,故必有N\subseteq H HHNH
    我们只要证明 φ ( H ) = H / N \varphi(H)=H/N φ(H)=H/N即可。
    不妨设 ∣ H ∣ = s ∣ N ∣ ( L a g r a n g e 定 理 ) |H|=s|N|(Lagrange定理) H=sN(Lagrange)
    φ ( H ) = { h 1 N , h 2 N , . . . , h s N } \varphi(H)=\{h_1N,h_2N,...,h_sN\} φ(H)={h1N,h2N,...,hsN}
    H / N = { h 1 N , h 2 N , . . . , h s N } H/N=\{h_1N,h2_N,...,h_sN\} H/N={h1N,h2N,...,hsN}
    φ ( H ) = H / N \varphi(H)=H/N φ(H)=H/N
    H ‾ = H / N \overline H=H/N H=H/N

    又由定理5知:
    若 φ 使 得 G ∼ G ‾ , K e r φ = K . 则 对 所 有 H ≤ G , K ⊆ H 构 成 的 集 合 M 与 H ‾ ≤ G ‾ 构 成 的 集 合 M ‾ 若\varphi使得 G \sim \overline G,Ker\varphi = K. 则对所有H\le G,K\subseteq H构成的集合M与\overline H\le \overline G构成的集合\overline M φ使GGKerφ=K.HGKHMHGM间可建立一个保持包含关系的双射$
    这里 K e r φ = N Ker\varphi=N Kerφ=N,故 H 与 H ‾ H与\overline H HH是唯一映射,所以结论成立。

    (2)
    由(1)知,当 H ‾ ⊵ G / N 时 , 有 唯 一 H ⊵ G 使 得 H ‾ = H / N \overline H \unrhd G/N时,有唯一H\unrhd G使得\overline H = H/N HG/NHG使H=H/N。且 G ∼ G / N , K e r φ = H ⊆ N G\sim G/N,Ker\varphi =H \subseteq N GG/N,Kerφ=HN,下面,只需说明 H ∼ H / N H\sim H/N HH/N即可由第一同构定理6 G / N ≅ ( G / N ) / ( H / N ) G/N\cong (G/N)/(H/N) G/N(G/N)/(H/N)
    显然,由自然同态1 H ∼ H / N H\sim H/N HH/N,因此 G / N ≅ ( G / N ) / ( H / N ) G/N\cong (G/N)/(H/N) G/N(G/N)/(H/N)。结论成立。

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空空如也

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