博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：近世代数，方便检索。

先验知识在第一同构定理。

第二同构定理：$H\le G,N\le G,N◃G，$有$H/(H\cap N)\cong HN/N$

证明：根据第一同构定理，我们把$H$看作$G$，$HN/N$看作$G^{\prime }$，$H\cap N$看作$Ker(f),f:G\to G^{\prime }$，就自然有第二同构定理成立。

满足第一同构定理有两个条件：

• 条件1：$f:H\to HN/N$是满同态；
• 条件2： $H\cap N$是$Ker(f)$；

定义：$f(h)=hN(H\to HN/N)$，本来应该定义$f(h)=hnN$，但是从原像看，没有$n$可以提供；而且$h\in H\subset HN$，是符合定义的；所以这里的定义只是针对所有原像定义了到像的映射。

证明条件1：

• 同态：

  • 是一个映射：要证$h_1=h_2\to f(h_1)=f(h_2)$，
    易证：$h_1=h_2\to h_{1}N=h_{2}N\to f(h_1)=f(h_2)$

  • 保持运算：要证$f(h_1{h}_2)=f(h_1)f(h_2)$

    • $N◃G,\to \forall g\in G,gN=Ng$
      $H\le G\to \forall h\in H\subset G,hN=Nh$
    • $$\begin{gathered} f(h_1{h}_2) \\ =h_1{h}_{2}N \\ =h_1{h}_{2}NN \\ =h_1(h_{2}N)N \\ =h_1(N{h}_2)N \\ =h_{1}N{h}_{2}N \\ =(h_{1}N)(h_{2}N) \\ =f(h_1)f(h_2) \end{gathered}$$

• 满射：要证$\forall hN\in HN/N,\exists h$使得$f(h)=hN$，易得。

证明条件2：

• 证明$H\cap N$是内核，从内核定义出发，要证$H\cap N=Ker(f)$
  f : H → H N / N , f ( h ) = h N ， K e r ( f ) = { h : h ∈ H , f ( h ) = 1 H N / N } f:H\rightarrow HN/N,f(h)=hN，Ker(f)=\{h:h\in H,f(h)=1_{HN/N}\} f:H→HN/N,f(h)=hN，Ker(f)={h:h∈H,f(h)=1HN/N​}
  我们知道$1_{HN/N}=N$，那么 K e r ( f ) = { h : h ∈ H , f ( h ) = N } = { h : h ∈ H , h N = N } = { h : h ∈ H , h ∈ N } = H ∩ N \\Ker(f)\\=\{h:h\in H,f(h)=N\}\\=\{h:h\in H,hN=N\}\\=\{h:h\in H,h\in N\}\\= H\cap N Ker(f)={h:h∈H,f(h)=N}={h:h∈H,hN=N}={h:h∈H,h∈N}=H∩N

“群同态基本定理”是群理论中的一个非常重要的定理。在此基础上，我们可以研究群同构性质，得到“群同构定理”。我们先介绍群同态基本定理，然后给出群同构三大定理及其证明。

群同态基本定理：
令 $G, H$ 都是群，它们之间有一个映射 $f: G\rightarrow H$ 是满同态，令 $N$ 是 $f$ 的核。于是 $G/N$ 与 $H$ 同构，记为 $G/N\cong H$。

证明：
现我们已经知道 $f:G\rightarrow H$ 是一个满同态，并且 $\pi:G\rightarrow G/N$ 是一个典型的满同态。定义映射 $\bar{f}:G/N\rightarrow H$ 为 $\bar{f}(aN)=f(a)$。 我们先验证 $\bar{f}$ 是良定的，再证明 $\bar{f}$ 是同构即可。
对 $b\in aN$，存在一个 $n\in N$ 使得 $b=an$，并且 $f(b)=f(an)=f(a)f(n)=f(a)e=f(a)$， 因此，$f$ 对陪集的每一个元素都有相同的作用，是良定的。 由于$\bar{f}(aN)=f(a)$，因而 $\bar{f}$ 也是良定的。
再证同态：

$$\bar{f}(aN\cdot bN)=\bar{f}(abN)=f(ab)=f(a)f(b)=\bar{f}(aN)\bar{f}(bN)$$
再证单同态：
$$\bar{f}(aN)=\bar{f}(bN)\Rightarrow f(a)=f(b)\Rightarrow e=f^{-1}(a)f(b)=f(a^{-1})f(b)=f(a^{-1}b)$$
$$\Rightarrow a^{-1}b\in N\Rightarrow aN=bN$$
再证满同态：对任意的 $b\in H$，由 $f$ 是满同态可知，存在 $a\in G$ 使得 $f(a)=b$。由 $\bar{f}$ 的定义可知 $\bar{aN}=f(a)=b$， 其中 $aN\in G/N$。故 $\bar{f}$ 是一个满同态。
综上， $\bar{f}$ 是一个同构，即有 $G/N\cong H$

接下来，我们介绍群同构三大定理：

第一群同构定理：
如果 $f: G\rightarrow H$ 是一个群同态，那么 $f$ 诱导出一个同构 $G/\ker(f) \cong{\rm im}(f)$。
证明：
与群同态基本定理的证明类似，此处略。

第二群同构定理：
如果 $K, N$ 都是群 $G$ 的子群， 并且 $N$ 是$G$ 的正规子群，那么就有 $K/(N\cap K)\cong NK/N$。
证明：
由 $NK=N\vee K$ 和 $K\subset NK$ 可知，映射 $f:K\rightarrow NK/N$ 是一个同态，并且核为 $K\cap N$ 。由第一同构定理，我们得到一个同构 $\bar{f}:K/K\cap N\xrightarrow{\sim}{\rm im}(f)\subseteq NK$。而 $NK/N$ 中元素的形式为 $nkN$，其中 $n\in N,k\in K$。由 $N\lhd G$可知， 存在 $n_1\in N$ 使得 $nk=kn_1$。从而有 $nkN=kn_1N=kN=f(k)$，故 $NK\subseteq{\rm im}(f)$。因此，我们得到 ${\rm im}(f)=NK/N$，定理得证。

第三群同构定理：
如果 $H, K$ 都是群 $G$ 的正规子群且 $K$ 是 $H$ 的子群，那么 $H/K$ 是 $G/K$ 的正规子群，并且 $(G/K)/(H/K)\cong G/H$。
证明：
由定义我们很容易可以证得 $H/K$ 是 $G/K$ 的正规子群，因此在这儿就不再赘述。由于 $1_{G}:G\rightarrow G$ 是恒等映射，并且 $1_{G}(K)< H$，因此我们得到一个满同态 $f:G/K\rightarrow G/H$，其中 $f(aK)=aH$。
并且 $h=f(aK)$ 当且仅当 $a\in H$，即 $\ker(f)=\{aK|a\in H\}=H/K$。由第一同构定理就可以得出结论。
（注：由于 $H/K$ 是 $G/K$ 的正规子群，那么我们就有 $\pi:G/K\rightarrow (G/K)/(H/K)$ 是一个典型的满同构。）

从上面的证明过程我们可以发现，群同构定理的关键是群同态基本定理。我们在证明的时候，首先找到一个满同态映射 $f：G\rightarrow{\rm im}(f)$，然后再找到 $\ker(f)$，显然 $\ker(f)\lhd G$，最后由 $f$ 诱导一个映射 $\bar{f}$，并且证明这个映射是同构的就可以了。这样，整个证明就变的非常的简单了。

课上有点晕，现在来总结一下群群群

基本概念

1. $Ker\phi$（读作$\phi 的核$）:
   设有：
   $$\phi :G\sim \overline{G}$$
   则${\phi }^{-1}(\overline{e})=Ker\phi$
2. $H⊵G$:（读作H为G的正规子群）
   当且仅当$H\le G,且GH{G}^{-1}\subseteq H$
3. 商群：
   $若H⊵G,G/H为G的商群$
4. 商群运算：
   $若H⊵G,G/H为商群，则(aH)(bH)=(ab)H$

定理

1. （自然同态）$若N⊵G,则G\sim G/N，进一步的，若$
   证明：
   构造映射：
   $$\phi :a\to aN(a\in G)$$
   下面说明$\phi$是同态满射。

• 满射
  对$\forall aN\in G/N$，我们总能在$\phi$下找到一个原像，使得${\phi }^{-1}(aN)=a$，故其为满射

• 保持代数运算
  取$\forall a,b\in G$有$\phi (ab)=(ab)N=(aN)(bN)=\phi (a)\phi (b)$，故其保持运算

  $故若N⊵G,则G\sim G/N$

2. （群同态基本定理）$若\phi 使得G\sim \overline{G}，则Ker\phi ⊵G，且G/K\cong \overline{G}$
   证明：
   由于$\overline{e}$是$\overline{G}$ 的正规子群，所以$Ker\phi ⊵G$。
   构造：
   $$\theta :aK\to \phi (a)$$

• 映射
  如果$aK=bK$，则$a^{-1}b\in K$,即:
  $$\phi (a^{-1}b)=\overline{e}$$
  从而:
  $$\phi (a)=\phi (b)$$
  故其为映射

• 满射
  对于任意$\phi (a)\in \overline{G}$，均能够找到$aK$与之对应，故其为满射

• 单射
  取$\forall aK,bK\in G/K$,有：
  $$\theta (aK)=\phi (a),\theta (bK)=\phi (b)$$
  若$\phi (a)=\phi (b)$,则：
  $${\phi }^{-1}(a)\phi (b)=\phi (a^{-1}b)=\overline{e}$$
  故$a^{-1}b\in Ker\phi =K$,即 $aK=bK$，故其为单射

• 保持运算
  取$\forall aK,bK\in G/K$，有：
  $$\theta (aKbK)=\theta (abK)=\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)=\theta (aK)\theta (bK)$$

  综上，结论成立

4. $若\phi 使得G\sim \overline{G}，H\le G，Ker\phi \subseteq H，则有:$
   $${\phi }^{-1}[\phi (H)]=H$$
   证明：
   证明集合相等通常分两个步骤：

• $H\subseteq {\phi }^{-1}[\phi (H)]$
  显然，由于$\phi$是一个$G\to \overline{G}$的同态满射，所以${\phi }^{-1}[\phi (H)]$至少包含了$H$，结论成立。

• ${\phi }^{-1}[\phi (H)]\subseteq H$
  对$\forall x\in {\phi }^{-1}[\phi (H)]$，有$\phi (x)\in \phi (H)$,注意，由于$H\subseteq {\phi }^{-1}[\phi (H)]$，取$h\in H，有\phi (x)=\phi (h)$（多对一多对一多对一，重要的事情说三遍）。进一步的，我们左乘${\phi }^{-1}(h)$，有：
  $${\phi }^{-1}(h)\phi (x)={\phi }^{-1}(h)\phi (h)$$
  由于$\phi$是同态满射，保持运算，将-1拿入得：
  $$\phi (h^{-1}x)=\phi (e)=\overline{e}$$
  故$h^{-1}x\in Ker\phi \subseteq H$，除非$x\in H$
  从而有$\forall x\in {\phi }^{-1}[\phi (H)]=>x\in H$，故结论成立。

  综上${\phi }^{-1}[\phi (H)]=H$

5. $若\phi 使得G\sim \overline{G}，Ker\phi =K.则对所有H\le G，K\subseteq H构成的集合M与\overline{H}\le \overline{G}构成的集合\overline{M}$间可建立一个保持包含关系的双射。
   证明：
   建立映射 $f$:
   $$f:H\to \phi (H),(H\in M,\phi (H)\in \overline{M})$$

   下面证明$f$是双射

• 满射
  由3知，${\phi }^{-1}[\phi (H)]=H$，即对$\forall \phi (H)\in \overline{M}均能找到H\in M与之对应$，故其为满射
• 单射
  取$\forall H_1,H_2\in M$，
  $$f(H_1)=\phi (H_1)$$
  $$f(H_2)=\phi (H_2)$$
  若$\phi (H_1)=\phi (H_2)$，则
  $${\phi }^{-1}[\phi (H_1)]={\phi }^{-1}[\phi (H_2)]$$
  由3知,$H_1=H_2$，故其为单射。
  综上，结论成立

6. （第一同构定理）$若\phi 使得G\sim \overline{G},Ker\phi =K,又K\subseteq N⊵G,\overline{N}=\phi (N),则$

$$G/N\cong \overline{G}/\overline{N}$$

证明：
构造
$$\tau :aN\to \phi (a)\overline{N}$$
下面证明$\tau$是一个双射，且保持运算，则说明$G/N\cong \overline{G}/\overline{N}$

• 映射
  检查会不会出现一对多的情况，只需说明如果$aN=bN,则\phi (a)\overline{N}=\phi (b)\overline{N}$，进一步的，说明若$a^{-1}b\in N，则{\phi }^{-1}(a)\phi (b)\in \overline{N}$

  $设aN=bN,则\tau (aN)=\phi (a)\overline{N},\tau (bN)=\phi (b)\overline{N}$
  因为$aN=bN$，所以$a^{-1}b\in N$，下面考察${\phi }^{-1}(a)\phi (b)$
  $${\phi }^{-1}(a)\phi (b)=\phi (a^{-1}b)\in \phi (N)=\overline{N}$$
  故其为映射

• 满射
  因为$\phi$为同态满射，故对任意$\phi (a)\overline{N}\in \overline{G}/\overline{N}$均能找到原像$aN\in G/N$，故$\tau$为满射。

• 单射
  取$\forall aN,bN\in G/N$.
  若$\phi (a)\overline{N}=\phi (b)\overline{N}$，则有
  $$\phi (a{)}^{-1}\phi (b)\in \overline{N}$$又
  $$\phi (a{)}^{-1}\phi (b)=\phi (a^{-1}b)$$
  注意$a^{-1}b不一定\in N$,因为我们的条件仅有$\overline{N}=\phi (N)$。为了解决这个问题，我们设$c\in N$，使得$\phi (c)=\phi (a^{-1}b)\in \overline{N}$，则：
  $$\phi (c^{-1}{a}^{-1}b)={\phi }^{-1}(c)\phi (a^{-1}b)=\overline{e}$$
  这说明$c^{-1}{a}^{-1}b\in Ker\phi \subseteq N$，故$c\bullet (c^{-1}{a}^{-1}b)\in Ker\phi \subseteq N$。即$a^{-1}b\in N$

  故$aN=bN$，故其为单射

• 保持运算
  取$\forall aN,bN\in G/N$，有：
  $$\tau [(aN)(bN)]=\tau [(ab)N]=\phi (ab)\overline{N}$$
  $$\tau (aN)\tau (aN)=[\phi (a)\overline{N}][\phi (b)\overline{N}]=(\phi (a)\phi (b))\overline{N}=\phi (ab)\overline{N}$$
  即，$\tau [(aN)(bN)]=\tau (aN)\tau (aN)$，故其保持运算。

  综上，结论成立。

7. （第二同构定理）$若H\le G,N⊵G，则H\cap N⊵H,且$
   $$HN/N\cong H/(H\cap N)$$

证明：
如果我们能够证明$H\cap N$是某个同态满射的核，则$H\cap N⊵H$自然成立
构造从$H\to HN/N$的同态满射：
$$\phi :x\to xN(由来：x\in H,xn\in NH,又xnN=xN)$$

(由群同态基本定理的证明可以容易得到$\phi$是一个同态满射)
下面我们证明$Ker\phi =H\cap N$
易知商集$HN/N的单位元为\overline{e}=N,则Ker\phi ={\phi }^{-1}(\overline{e})=N$，$但是\phi 的定义域为x\in H$，故$Ker\phi =H\cap N$，则$H\cap N⊵H$。群同态基本定理2告诉我们：
$$G/K\cong \overline{G}$$
这里，$\overline{G}=HN/N,K=H\cap N,G=H$，故有：
$$H/(H\cap N)\cong HN/N$$

8. （第三同构定理）$设N⊵G,\overline{H}\le G/N.则$
   (1) $\exists 唯一N\subseteq H\le G使得\overline{H}=H/N$
   (2) 当$\overline{H}⊵G/N时，有唯一H⊵G使得\overline{H}=H/N且G/H\cong (G/N)/(H/N)$
   证明：

(1)
考虑从$G\to G/N$的自然同态1：
$$\phi :a\to aN(a\in G)$$
不妨设存在$H\le G$，使得:
$$\phi (H)=\overline{H}$$
此时，由于$H\in \overline{H}，故必有N\subseteq H$
我们只要证明$\phi (H)=H/N$即可。
不妨设$|H|=s|N|(Lagrange定理)$
则 φ ( H ) = { h 1 N , h 2 N , . . . , h s N } \varphi(H)=\{h_1N,h_2N,...,h_sN\} φ(H)={h1​N,h2​N,...,hs​N}
且 H / N = { h 1 N , h 2 N , . . . , h s N } H/N=\{h_1N,h2_N,...,h_sN\} H/N={h1​N,h2N​,...,hs​N}
故$\phi (H)=H/N$
即$\overline{H}=H/N$

又由定理5知:
$若\phi 使得G\sim \overline{G}，Ker\phi =K.则对所有H\le G，K\subseteq H构成的集合M与\overline{H}\le \overline{G}构成的集合\overline{M}$间可建立一个保持包含关系的双射$
这里$Ker\phi =N$,故$H与\overline{H}$是唯一映射，所以结论成立。

(2)
由(1)知，当$\overline{H}⊵G/N时，有唯一H⊵G使得\overline{H}=H/N$。且$G\sim G/N,Ker\phi =H\subseteq N$,下面，只需说明$H\sim H/N$即可由第一同构定理6知$G/N\cong (G/N)/(H/N)$。
显然，由自然同态1知$H\sim H/N$，因此$G/N\cong (G/N)/(H/N)$。结论成立。